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高中数学重要公式和知识点


高中数学重要公式和知识点
1.常用数集 常用数集 记法 非负整数集 N 正整数集 N*/N+ 有理数集 Q 整数集 Z 实数集 R

2.集合间的基本关系 (1)子集 A?B (或 B?A) A 含于 B (或 B 包含 A) (2)相等 A=B 集合 A=集合 B (3)真子集 A ?B 3.集合 {a1 , a2 , (或 B?A)A 是 B 的

真子集

, an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n –1 个;非空子集有 2n -1 个;非空的真子集有 2n –2 个.

4.集合的基本运算 (1)并集:A∪B={x |x∈A 或 x∈B} (2)交集:A∩B={x |x∈A 且 x∈B} (3)全集:若 A?U,B?U,C?U,则 U 为全集 (4)补集:CUA={ x |x∈U,且 x?A} 5.求函数的解析式 (1)配凑法 例题:f(x+1)=x2+2x+2,求 f(3)及 f(x) ,f(x+3) 2 2 2 解:f(x+1)=x +2x+2= x +2x+1+1=(x+1) +1 ∴f(x)=x2+1 f(3)=10 f(x+3)=(x+3)2+1= x2+6x+10 (2)换元法 例题:f(x+1)=x2+2x+2,求 f(x) ,f(x+3) 解:令 t=x+1,则 x=t-1 ∴f(t)=f(x+1)=(t-1)2+2(t-1)+2=t2+1 ∴f(x)=x2+1 ∴f(x+3)=(x+3)2+1= x2+6x+10 (3)待定系数法 例题:已知 f(x)是二次函数,且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,求 f(x) 解: f(x)=ax2+bx+c (a≠0) f(x+1)+f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c =2x2-4x+4 二次函数的解析式的三种形式 ∴a=1,b=-2,c=1 ∴f(x)=x2-2x+1 (1)一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; 6.证明函数单调性的步骤 2 (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ; 取值→作差→变形(化简)→定号→判断 8.函数的奇偶性 (1)奇函数 f(-x)=-f(x) ,f(x)的图像关于原点对称 (2)偶函数 f(x)= f(-x),f(x)的图像关于 y 轴对称 9.指数幂的运算性质 (1) a ? a ? a
r s r ?s

(3)两点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0)

(a ? 0, r, s ? Q) . (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) .
a>1

(3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
r r r

10.指数函数的图像与性质 0<a<1

图像

定义域 值域 定点 性质 单调性 在 R 上↙

R (0,+∞) 过定点(0,1) ,即 x=0,y=1 在 R 上↗

11.如图所示,是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3),y=cx(4),y=dx 的图象, 如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系? 提示:在图中作直线 x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即 c>d>1>a>b,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 12.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则

(1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; N (3) loga M n ? n loga M (n ? R) .
(2) log a 13 指数式与对数式的互化式 14. 对数的换底公式

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a n n 推论 log a m b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
15.对数函数的图像与性质 0<a<1 图像 a>1

定义域 值域 性质

(0,+∞) R 过定点(1,0) ,即 x=1 时,y=0 在(0,+∞)↙ 在(0,+∞)↗

拓展:y=logax(0<a<1)底数越大,图像越靠近 x 轴 y= logax(a>1)底数越小。图像越靠近 x 轴 16.几种常见幂函数的图像与性质 解析式 图像 y=x y=x2 y=x3 y=x
-1

定义域 值域 奇偶性 单调性 定点

R R 奇 ↗

R {y|y≠0 } 偶 (-∞,0] ↙ [0,+ ∞)↗ (0,0) (1,1)

R R 奇 ↗

{x |x≠0 } {y|y≠0 } 奇 (-∞,0)↙ (0,+ ∞)↙ (1,1)

☆ 注意:在第一象限内,幂函数的指数越小,其图像越靠近 x 轴 17.函数的应用 方程 f(x)=0 有实数根 ?函数 y=f(x)的图像与 x 轴有交点 ?函数 y=f(x)有零点 ☆注意:零点是一个数,不是一个点 18.空间几何体的相关公式 ①长方体的对角线长=

a2 ? b2 ? c2

②边长为 a 的正三角形面积为

3 2 a 4

③边长为 a 的正六边形面积为 ⑤圆柱的表面积 S=2π r2+2π rl ⑦柱体的体积 V=Sh ⑨球的体积 V=

3 3 2 a 2

④棱长为 a 的四面体的表面积为 S= ⑥圆锥的表面积 S=π r2+π rl ⑧锥体的体积 V=

3a 2

1 Sh 3

4 π R3 3

⑩球的表面积 S=4π r2

19.空间中两条直线的位置关系:相交,平行,异面 ☆ 注意:两条异面直线所成的较的范围(0°,90°] 20.线线平行,线面平行,绵绵平行 线面平行:a?α ,b?α,且 a∥b ? a∥α 面面平行:a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α ?β∥α 21.二面角的平面角 θ 的取值范围:0°≤θ≤180° 22.线面垂直,面面垂直 线面垂直:a?β,b?α,a∩b=P,l⊥α,l⊥b,? l⊥α 面面垂直:l⊥α,l?β ?β⊥α 23.直线的倾斜角 α 的取值范围为 0°≤θ<180° 24.斜率公式

k?

y2 ? y1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ) x2 ? x1

25. 直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 26.点到直线的距离

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).
2 2

(y1 ? y2) 27. 两点间的距离公式:|P1P2|= (x1 ? x2) ?
28.两条平行直线间的距离:

29.中点坐标公式: 30. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2 2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ? (4)圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1)( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
(3)圆的参数方程 ? 31. 点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种
2 2 2

若d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.
相离 相切 相交

32.直线与圆的位置关系 位置关系

二元二次方程组 消元后一元 二次方程组 圆心到直线的 距离 d 与圆的 半径 r 的关系

无解 无实数根 (△<0) d>r

仅有一组解 有两相等的 实数根(△=0) d=r

有两组不同的解 有两不相等 实数根(△>0) d<r

图示

33.直线被圆所截弦的问题 直线与圆相交于 A,B 两点,求弦 AB 长的方法有两种 (1) 代数法 ① 联立直线与圆的方程,求得 A,B 两点的坐标,再用两点间的距离公式求弦长 ② 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由根与系数的关系及弦长公式知,

1? k ) ( [ x1 ? x2) ? 4 x1 x2 ] ③ |AB |= 1 ? k 2 |x1-x2| = (
2 2

(2)几何法 由弦心距 d,半径 r,半弦长构成的直角三角形可知,|AB |=2 34.空间两点间的距离公式

r2 ? d 2

(y1 ? y2) ? (z1 ? z2) d= (x1 ? x2) ?
2 2 2

35.终边在某位置上的角的集合 (1)终边在 x 轴上{β|β=0°+n?180°,n∈Z} (2)终边在 y 轴上{β|β=90°+n?180°,n∈Z} (3)终边在 x 轴非负半轴上{β|β=0°+n?360°,n∈Z} (4)终边在 x 轴非正半轴上{β|β=180°+n?360°,n∈Z} (5)终边在 y 轴非负半轴上{β|β=90°+n?360°,n∈Z} (6)终边在 y 轴非正半轴上{β|β=270°+n?360°,n∈Z} (7)终边在第一象限的角的集合{β|n?360<β<90°+n?360°,n∈Z} (8)终边在第二象限的角的集合{β|90°+n?360<β<180°+n?360°,n∈Z} (9)终边在第三象限的角的集合{β|180°+n?360<β<2700°+n?360°,n∈Z} (10)终边在第四象限的角的集合{β|270°+n?360<β<360°+n?360°,n∈Z} (11)终边在第一,三象限角平分线集合{β|45°+n?180°,n∈Z} (12)终边在第二,四象限角平分线集合{β|135°+n?180°,n∈Z} 36.用弧度制表示扇形的公式 弧长 l=αR 37.三角函数的定义域 三角函数 sin x cos x tan x {x|x≠ 定义域 R R 面积 S=

1 2 1 αR = lR 2 2

? +kπ ,k∈Z} 2

38. 同角三角函数的基本关系式

2 2 平方的关系: sin ? ? cos ? ? 1 , 商的关系: tan ? =

sin ? cos ?

39.三角函数值在各个象限的符号

sin x 40.特殊角的三角函数值表 角α 弧度 0° 0 30° 45°

cos x 60° 90°

tan x 120° 135° 150° 180°

正弦(sinα) 0

? 6 1 2
3 2 3 3

? 4
2 2 2 2
1

? 3
3 2
1 2

? 2
1

2? 3

3? 4

3 2
-

2 2 2 2
-1

5? 6 1 2

?

0

余弦(cosα) 1

0

1 2

-

3 2

-1

正切(tanα) 0

3

不 存在

3

3 3

0

41.三角函数的诱导公式 公式一 sin(α+k?360°)=sin a cos(α+k?360°)=cos a tan(α+k?360°)=tan a 公式四 sin(π -α )=sinα cos(π -α )=-cosα

公式二 sin(π +α )=-sinα cos(π +α )=-cosα tan(π +α )=tanα 公式五 sin(

公式三 sin(-α )=-sinα cos(-α )=cosα tan(-α )=-tanα 公式六 sin(

? -α )=cos α 2 ? cos( -α )= sinα 2

? +α )=cos α 2 ? cos( +α )= -sinα 2
记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限

tan(π -α )=-tanα 42.正弦函数,余弦函数,正切函数的图像与性质 性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?

??1,1?

当 x ? 2 k? ?

?
2

? k ??? 时,
?
2

当 x ? 2k? ? k ??? 时,

最值

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最小值

? k ??? 时, ymin ? ?1.
周期性 奇偶性
2? 奇函数

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2? 偶函数

?
奇函数

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上 ↗
单调性

在 ?2k? ? ? , 2k? ? ? k ??? 上↗ 在 ?2k? ,2k? ? ? ? ? k ??? 上↙

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? 3? ? ? 在 ?2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上↗

? k ??? 上↙
对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对称性 对称轴 x ? k? ?

? ? ? 对称中心 ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

?
2

? k? ? 对称中心 ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

?k ? ??

无对称轴

注意:① y ? tan x 无单调递减区间 ② y ? tan x 在整个定义域内不单调 43. 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 振幅:| ? | →拓展 周期: ? ?

2?

?

频率: f ?

? k? 对称中心坐标( ,0) (k∈z) ?

对称轴方程:x=

k?

?

? ? ? (k∈z) 2? ?

1 ? ? ? 2?

相位: ? x ? ?

初相: ?

44.两角和与差的正弦,余弦,正切公式

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;
tan ?? ? ? ? ?

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ?

tan ?? ? ? ? ?
45.倍角公式

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

sin 2? ? 2sin ? cos ? .

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?
( cos ? ?
2

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
46.辅助角公式

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? ) . 2 2

? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

? . ?

47. 向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 48.向量加法运算: (1)三角形法则的特点:首尾相连. (2)平行四边形法则的特点:共起点. (3)三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . (4) 运算性质: ①交换律:a ? b ? b ? a ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ③a ?0 ? 0?a ? a . (5)坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? 49. 向量减法运算: ?三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ?坐标运算:设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 50. 向量数乘运算: ?实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?

?

?

?

?a ? ? a ;

②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . ?运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ?坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 51.向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 52. 平面向量的数量积: ? a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 .

?

?

?

?

?

?

?

?

?性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时,

a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b .
?运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ?坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ? 2

2

?

?

? ?

?

?

x2 ? y 2 .

设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都是非零向量, a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的夹角,则 cos ? ?

a ?b a b

?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 x2 ? y2



53. 分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,?1 、?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ? ??2 时,点 ? 的 坐标是 ?

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?

54. 正 弦定 理 : 在 ??? C 中 , a 、 b 、 c 分 别 为 角 ? 、 ? 、 C 的 对边 , R 为 ??? C 的 外 接 圆 的半 径, 则 有

a b c ? ? ? 2R sin ? sin ? sin C
正弦定理的变形公式: ① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 55.利用正弦定理解直角三角形 A≥90° a>b a=b a<b 一解 无解 无解 A<90° 一解 一解 a>bsinA A=bsinA A<bsinA 两解 一解 无解
2 2 2 2 2 2

a b c , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
② sin ? ?

56.余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
2 ABC 是钝角三角形 ? 2b ? 2c ? < a0 2 ☆余弦定理的推论: 设 a 是最长的边 { A B C 是锐角三角形 ? 2b ? 2c ? > a0 2 2 2 ABC 是直角三角形 ? b ? c ? a ?0

?拓展 ①acosA=bcosB ? △ABC 是等腰三角形或直角三角形

a b c ? ? ? ABC是等边三角形 cos A cos B cos C 1 1 1 57.三角形面积公式: S ???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? 2 2 2
② 58.常用结论

①△ABC 中,A+B+C=π ,

sin(A+B)=sinC,

cos(A+B)=-cosC,

sin

A? B C ? cos 2 2

②△ABC 中,A>B ? a>b ? sinA>sinB 59. 若等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an ? a1 ? ? n ?1? d . 等差中项: b ?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项 2

通项公式的变形:① an ? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? an ? ? n ?1? d ;③ d ? ④n ?

an ? a1 a ? am ? 1 ;⑤ d ? n . d n?m
②等差中项法:2an+1=an+an+2 ④前 n 项和公式法:Sn=An2+Bn

an ? a1 ; n ?1

60.判断等差数列的方法 ①定义法:an+1-an=d ③通项公式法:an=pn+q 61.应用 ①在已知三个数成等差数列时,可依次设为 a,a+d,a+2d 如果已知等差数列的三个数的和一定时,往往可设这三个数为 a-d,a,a+d ②四个数等差数列的设法:a-3d,a-d,a+d,a+3d 62.等差数列的单调性 等差数列{ an }首项为 a1,公差为 d,则 d>0 ? 等差数列{ an }是递增数列 d=0 ? 等差数列{ an }是常数列 d<0 ? 等差数列{ an }是递减数列 63.在等差数列{ an }中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq 64.等差数列的前 n 项和的公式: Sn ? 切记:m=p+q 不能推出 am ? a p ? aq

n ? a1 ? an ? 2



Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? d 2

* 拓展:在等差数列{ an }①若项数为 2n n ? ? ,则 S2n ? n ? an ? an?1 ? ,且 S偶 ? S奇 ? nd ,

?

?

S奇 a ? n . S偶 an?1

* ②若项数为 2n ? 1 n ? ? , 则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an , 且 S奇 ?S 偶 ? a n,

?

?

S奇 n (其中 S奇 ? nan ,S偶 ? ? n ?1? an ) . ? S偶 n ? 1

65.等差数列求最值 (1)利用 an 若 a1>0,d<0,Sn 有最大值,由 an≥0 且 an+1≤0 时,求 n 若 a1<0,d>0,Sn 有最小值,由 an≤0 且 an+1≥0 时,求 n (2)利用 Sn

Sn ?

d 2 ? d? n ? ? a1 ? ? n 2 2? ?

66. 若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q n?1 等比中项:若 G ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项
2

注意: a 与 b 的等比中项可能是 ? G
n ?1

通项公式的变形:① an ? amqn?m ;② a1 ? an q

?? n ?1?

;③ q

?

an a n?m ;④ q ? n . a1 am

67.判断等比数列的方法 (1)定义法:

an ?1 ?q an

(2)通项公式法:an=cqn

(3)等比中项法: a2n+1=an?an+2

68. 等比数列的单调性 等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 ①q<0 ? 等比数列 ?an ? 是摆动数列 ②a1>0,0<q<1 ? 等比数列 ?an ? 是递减数列 ③a1<0,0<q<1 ? 等比数列 ?an ? 是递增数列 a1>0,q>1 ? 等比数列 ?an ? 是递增数列 a1<0,q>1 ? 等比数列 ?an ? 是递减数列

2 69.若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ;若 ?an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ,则 an ? ap ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 70. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
71.数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 72.求通项公式的几种公式 (1)用等差,等比公式 Sn 为等比,公比为 qn Sn 为等差,公差为 n2d

an ? a1 ? ? n ?1? d

(等差)

an ? a1qn?1

(等比)

(2)由递推关系求通项公式 类型一:已知 a1 且递推关系 an+1=qan+b 类型二:已知 a1 及 an -an-1= f ? n ? 类型三:已知 a1 及

“构造法” “累加法”

an ? f ? n? an ?1
an= {

“累乘法”

(3)利用 Sn,求 an 73.数列求和的几种方法 (1)利用常用的公式求和

S1, n ? 1 Sn ? Sn?1,n ? 2
n ? a1 ? an ? 2 n ? n ? 1? d 2

①等差数列 Sn ?



Sn ? na1 ?

?na1 ? q ? 1? ? 1 ②等比数列 Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ③Sn=1+2+3+?+n= n(n+1)④Sn=12+22+32+?+n2 2 ? 1 n ? q ? 1? ? 1 ? q 1 ? q ?
⑤因式分解公式 a? -b? =(a+b) (a-b) (a±b)2=a2±2ab+b2 1-q3=(1-q) (1+q+q2) 1+q3=(1+q) (1-q+q2)

(2)倒序相加法 (3)错位相消法 求数列{an?bn}前 n 项和 Sn,其中{ an },{ bn }分别为等差数列和等比数列 步骤;①写出 Sn ②两边同时乘以公比 q ③两式相减 ④利用等比数列求和公式求和 ⑤化 Sn 系数 1 (4)分组求和法 通过拆项,能将数列转化成两个或若干个等差或等比数列的和或差的形式来求和 (5)裂项相消法(小减大)

74.不等式的性质 ① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? an ? bn ? n ??, n ? 1? ; ⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? 75.一元二次不等式及其解法 ? ? b ? 4ac
2

△>0

△=0
y

△<0

y=ax?+bx+c (a>0)的图像

y

y
?

x1

?

0

x2 x
0 ( x1 ? x2 )
?

x

0

x

ax?+bx+c=0 (a>0)的根

x1, 2 ?

? b ? b 2 ? 4ac 2a

x1 ? x2 ? ?

(取x1 ? x 2 )

b 2a
b } 2a

没有实根

ax?+bx+c>0 (a>0)的解集 ax?+bx+c<0 (a>0)的解集 76. 分式不等式的解

{x|x 小于 x1,或 x>x2} (x1<x2)

{x | x ? -

R

{ x| x ? x ? x }
1 2

f ( x) ? 0(? 0) ? f ( x).g ( x) ? 0(? 0) g ( x)
77.应用 例题:不等式
2

? f ( x).g ( x) ? 0(? 0) f ( x) ? 0(? 0) ? ? g ( x) ? g ( x) ? 0

x?2 >0 的解集 x ? 3x ? 2 x?2 >0 ∴ ? x ? 2 ? ? x 2 ? 3 x ? 2 ?>0 解:∵ 2 x ? 3x ? 2
78. 基本不等式: 79.应用

∴ ? x ? 2?? x ? 2?? x ?1?>0

利用穿根法可得原不等式的解集为(-2,-1)∪(2,∞)

a?b ? ab 2

?若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

s2 . 4

?若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p . 80. 常用的基本不等式:① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;② ab ?
2 2
2 2

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2

③ ab ? ?

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ;④ a ? 0, b ? 0 ?? ? ? ? ? ? a, b ? R ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

81.四种命题的真假性 原命题 真 真 假 假 关系式 逆命题 真 假 真 假 否命题 真 假 真 假 结论 逆否命题 真 真 假 假

82.充分,必要条件的四种类型

p ? q且q ? q

p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件 p是q的充分必要条件 p是q的既不充分又不必要条件
p∨q 真 真 真 假 ?p 假 假 真 真 注意:否命题:条件与结论同时否定 命题的否定:条件不变,结论否定

p ? q且q ? q p ? q且q ? q p ? q且q ? q
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假

83.简单的逻辑连接词“或” (∨) , “且” (∧),“非” (┐)

84.全称,存在量词 (1)全称量词“ ? ” 全称命题 p: ? x∈M,p(x) 命题否定:?p: ? x0∈M,?p(x0) (2)存在量词“ ? ” 特称命题 p: ? x0∈M,p(x0) 命题否定:? p: ? x∈M, p(x) ? (p∨q)=(? q)∧(? q) ? ?(p∧q)=(?q)∨(?q) 85.椭圆的几何性质 标准 方程

x2 y2 x2 y2 + = 1 a > b > 0 ? ? 2 + 2 = 1 ? a > b > 0? a 2 b2 b a
y P
y F2 P x

简图

F1

OF

2

x

O

F1

中心 顶点 焦点 对称轴 范围 离心率 (±a,0) , (0,±b) (±c,0) x,y 轴 -a≤x≤a,-b≤y≤b

(0,0) (0,±a) , (±b,0) (0,±c) x,y 轴 -b≤y≤b ,-a≤y≤a

e?

c ? 0<e<1,a 2 ? b2 ? c2 ? a

86.直线与椭圆的位置关系 (1) ?<0 ? 方程组无实数根 ? 直线与椭圆相离 (2) ? ? 0 ? 方程组有一组解 ? 直线与椭圆相切

(3) ?>0 ? 方程组有二组解 ? 直线与椭圆相交 设两个交点为 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ,

(y1 ? y2) = 1 ? k 2 |x1-x2| = ( 1? k ) ( [ x1 ? x2) ? 4 x1 x2 ] 则弦长|P1P2|= (x1 ? x2) ?
2 2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 (m,n>0) 87.椭圆方程的设法: m n
88.双曲线的简单几何性质 标准 方程

x 2 y 2 ? a,b>0? ? ?1 a 2 b2

y 2 x2 ? a,b>0? ? ? 1 a 2 b2

简图

F1

A1 A2
O

F2

x

. .
B2 A2 A1 O
(0,0) x,y 轴

. .
B2 B1

y

y
F2 B1

x

F1

对称中心 顶点 焦点 对称轴 范围 准线方程 |x|≥a,y∈R (±a,0) (±c,0)

(0,±a) (0,±c)

|y|≥a,x∈R

x??
渐近线 离心率 89.直线与双曲线的位置关系

a2 c
b a

y??
y??

a2 c
a b

y??

e?

c e>1,a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? a

(1) ?<0 ? 方程组无实数解 ? 直线与双曲线相离 (2) ? ? 0 ? 方程组有一组解 ? 直线与双曲线相切 (3) ?>0 ? 方程组二有组解 ? 直线与双曲线相交 直线与双曲线交于点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ,

(y1 ? y2) = 1 ? k 2 |x1-x2| = ( 1? k ) ( [ x1 ? x2) ? 4 x1 x2 ] 则弦长|P1P2|= (x1 ? x2) ?
2 2 2 2

90.常见双曲线的设法 ①已知离心率为 e 的双曲线方程可设为

x2 y2 ? ?1 a 2 (e2 ? 1 )a 2



y2 x2 ? ?1 a 2 (e2 ? 1 )a 2

②焦点位置不确定的双曲线方程可设为

x2 y 2 ? ?1 m n

? mn>0?
(AB>0)

③已知过两点的双曲线可设 Ax2 ?B y 2 ? 1

x2 y 2 x2 y 2 ④与 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? ? ? ? 0 ? a b a b
91.等轴双曲线 其标准方程为 x2 ? y 2 ? a2 或 y 2 ? x2 ? a2 ,其中 e ? 92.抛物线的几何性质 标准 方程

2 ,渐近线为 y ? ? x

y 2 ? 2 px ( p ? 0)

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

x2 ? 2 py ( p ? 0)

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

简图

焦点

?p ? ? ,0? ?2 ?
p 2
x轴 x≥0,y∈R

? p ? ? ? ,0? ? 2 ?
(0,0)

? p? ? 0, ? ? 2?
p 2

p? ? ? 0, ? ? 2? ?

顶点 准线 方程 对称轴 范围 离心率 93.直线与抛物线相交的弦长 焦点在 x 轴上:|AB |= | xA ? xB | =p 94.空间向量的加减运算 95.空间向量的加法运算律 96.空间向量的数乘运算律 97.共线(面)向量

x??

x?

p 2

y??

y?

p 2

x轴 x≤0,y∈R

y轴 y≥0,x∈R

y轴 y≤0,x∈R

e ?1

焦点在 y 轴上:|AB |= | yA ? yB | +p

O B? O A ?

A B B A? O A ? OB

? a ? b? ? c ? a ? ? b ?? c ? ? a ? b? ? ? a ? ? b ? ? ? a ? ? ? ?? ? a
a? b ? b? a

①对于空间任意两个向量 a , b b ? 0 , a ∥ b 的充要条件是存在实数 ? ,使 a ? ? b ②如果两个向量 a , 那么向量 p 与向量 a , (x, y) , 使 p ? xa ? yb b 不共线, b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 98.空间向量坐标表示: 设 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3)

?

?

a ? b =(a1+b1,a2+b2,a3+b3)

a ? b =(a1-b1,a2-b2,a3-b3)

? a =( ? a1 , ? a2 , ? a3 ) a b =a1b1,a2b2,a3b3
a ∥b ?

a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3

?

a1 a2 a3 ? ? b1 b2 b3

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3
99.夹角

cos a , b ?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ab ? |a| |b| a12 ? a2 2 ? a32 b12 ? b2 2 ? b32
2 2 2

(y1 ? y2) ? (z1 ? z2) 100.距离 dAB= d AB ? (x1 ? x2) ?
101.平均变化率:

| a | ? x2 ? y 2? z

2

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0) ? ?x ?x

注意: ?x , ?y 可正可负, ?x 不为 0. 当 f ? x ? 为常函数时, ?y =0 .

102.求函数 y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的基本方法是: (1)求函数的增量 ?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ?

(2)求平均变化率

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0) ? ?x ?x
?y ?x

(3)求得导数 f ?( x) ?

103.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求切线斜率 ②利用点斜式求切线方程 104.几种常用函数的导数 (1)函数 y ? f ? x ? ? c 的导数为 0 (2)函数 y ? f ? x ? ? x 的导数为 1 (4)函数 y ? f ? x ? ? (3)函数 y ? f ? x ? ? x 的导数为 2 x
2

1 1 的导数为 ? 2 x x

(5)函数 y ? f ? x ? ?

x 的导数为

1 2 x

105.基本初等函数的导数公式 ①(C)′=0(C 为常数); ②( x )′= ? x
?

? ?1

(x>0, ? ? Q );

③(sinx)′=cosx;

④(cosx)′=-sinx; ⑦ (ln x ) ?

⑤(ex)′=ex; ⑧ (log a x) ?

⑥(ax)′=axlna(a>0,且 a≠1);

1 ; x

1 (a>0,且 a≠1). x ln a
②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);

106. 导数的运算法则: ①[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x); ③[

u ( x) u?( x)v( x) ? u ( x) ? v?( x) ]? ? (v ( x ) ? ? 0) . v( x) v 2 ( x)

107.复合函数的求导

y' x ? y'u ?u'x

108.函数的单调性与导数
' 设函数 y ? f ( x) 在某个区间(a,b)可导,如果 f ( x ) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为增函数; ' 如果 f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为减函数;

109. 求单调性的步骤: ①确定函数 y ? f ( x) 的定义域(不可或缺,否则易致错) ; ②解不等式 f '( x) ? 0或f '( x) ? 0 ; ③确定并指出函数的单调区间(区间形式,不要写范围形式) ,不能用“ 110.极值 (1)如果 f / ? x ? 在 x0 两侧满足“左正右负”,则 x0 是的极大值点, f ? x0 ? 是极大值; (2)如果 f / ? x ? 在 x0 两侧满足“左负右正”,则 x0 是 f ? x ? 的极小值点, f ? x0 ? 是极小值. 111.求函数 y ? f ? x ? 在 ? a , b? 上的最值步骤: ☆函数的极值不一定是最值 ①求函数 y ? f ? x ? 在 ? a , b? 上的极值 ②再求 f ? a ? , f ? b ? ,四个数进行比较 112. 微积分基本定理 ”连结)

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |b ? F (b) ? F (a) . a

113.数学归纳法 ①证明当 n 去第一个值 n0 时命题成立 ②假设 n ? k 时,命题也成立,证明当 n ? k ? 1 时,命题也成立 114.复数 z ? a ? bi , a 是实部, b 是虚部 b ? 0 时,为实数; b ? 0 时,为虚数

a ? 0 , b ? 0 时,为纯虚数
115.相关公式

(i 2 ? ?1 )

① a ? bi ? c ? di ( a, b, c, d ? R ) ? a ? c,b ? d ③ z ? a ? bi ? 116.复数运算 ①加减法: ? a ? bi ? ? ? c ? di ? ? ? a ? c ? ? ? c ? d ? i ②乘法: ? a ? bi ?? c ? di ? ? ? ac ? bd ??bc ? ad ? i ③除法:

② a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0

a 2 ? b2

④ z ? a ? bi 与 z 互为共轭复数(实部相同,虚部互为相反数)

a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ac ? bd bc ? ad ? ? ? 2 ? i c ? di ? c ? di ?? c ? di ? c2 ? d 2 c ? d 2 c2 ? d 2
(?)

(分母实数化)

117.注意问题 ①含 i 的数不能比较大小,例如 2 i <3 i ②复数的模能比较大小
m

118.排列数公式: An ? n ? n ?1?? n ? 2??? n ? m ?1? 或 An ?
m

n ! ? n ? m ?!

n != 1 119.全排列公式: An ?n ! 规定: 0

120.解题方法:插空法,捆绑法
m m n n 121.组合数公式: : CC ? n? n? m m ?

Am n(? )1 ? (n(? mm ?1 )1) m m n!n! A m n(n n1 ? )? n? ? CC n? n? m! m! (n m)! Am m! m !(? n? m)! Am

122.组合数的两个性质:
n?m Cm n ?C n;

1 m C m?n ?C m n ?C n ?1
n 0 n 1 n ? 1 2 n ? 2 2 r n ? r r n n

a ? b ) ? C a ? C a b ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b n n n n n 123.二项式定理: (

r n ? r r 124. 二项式通项公式 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 : T ? C a b ( r ? 0 , 1 ? ? n ) r ? 1 n

125.两点分布

X P

0 1-p

1 P
k n? k CM CN ?M (k ? 0,1, 2, n CN

126.超几何分布 P ( X ? k ) ? 127.条件概率 ①0 ? P B A ?1

, m)

?

?

②B,C 互斥

P ? B? C A ? ? P ? ? B ?A

C ?P A ?

128.A,B 相互独立 P ? AB? ? P ? A? P ? B?

A与B , A与B , A与B 也相互独立
k k n ?k ? Cn p q (其中 k=0,1, ??,n,q=1-p )记作 ξ~B(n,p) 129.二项分布 P(? ? k )

130.均值/数学期望 E ? X ? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xnpn 131.均值的性质 ① E ? aX ? b? ? aE ? X ? ? b 132.方差与标准差 ②两点分布的均值: E ? X ? ? p ③二项分布的均值: E ? X ? ? np

D ? X ? ? ? ? xi ? E ? X ? ? pi
2 i ?1

n

D ? X ? 为标准差

133.方差的性质: ① D ? aX ? b? ? a D ? X ?
2

②两点分布的方差: D ? X ? ? p ?1 ? p ?

③X~B(n,p) ,则 D ? X ? ? np ?1 ? p ?

注意:方差是一个常数,方差≥0


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