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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(40)


加试模拟训练题(40) (附详细答案) 1、 △ABC 具有下面性质:存在一个内部的点 P 使∠PAB=10?,∠ PBA=20?,∠PCA=30?,∠PAC=40?.证明:△ABC 是等腰三角形. 2、求适合以下条件的所有函数 f:[1,+∞)→(1,+∞): (1)f(x)≤2(x+1); (2)f(x+1)=[f2(x)-1]/x. 3、 设项链 A 有珠 14 颗,B 有珠 19 颗.对奇数 n≥1,用 n,n+1,n+2,…,n+32 给这 33 颗珠编号,使每个整数恰用一次,且相邻之珠编号互素,试证最少有 6 种可行方法. 4、 k ? 2, n1 , n2 , ? , nk自然 数,且满足 n2 (2n1 ? 1), n3 (2n2 ? 1), ?, nk (2nk ?1 ? 1), n1 (2 nk ? 1), 证明 n1 ? n2 ? ? ? nk ? 1 。 加试模拟训练题(40) 1、 △ABC 具有下面性质:存在一个内部的点 P 使∠PAB=10?,∠PBA=20?,∠PCA= 30?, ∠PAC=40?. 证明: △ABC 是等腰三角形. (第 25 届(1996 年)美国数学奥林匹克题 5) [解] 作 AC 边上的高 BD,又作 AQ 使∠QAD=30?,AQ 交 BD 于 Q,连 PQ.设直线 PQ 交 AC 于 C'. 因为∠BAD=10?+40?=50?,所以∠ABD=90?-50?=40?,∠PBQ=40?- ∠PBA=20?=∠PBA,∠PAQ=∠PAC-∠QAD=10?=∠PAB,从而 P 是△ 1 ABQ 的内心,∠PQA=∠PQB= (180?-40?-20?)=60? 2 ∠PC'A=∠PQA-∠QAC=30?,而∠PCA=30?,所以 C'与 C 重合. 从而 QA=QC,QD 平分 AC,BA=BC. 2、求适合以下条件的所有函数 f:[1,+∞)→(1,+∞): (1)f(x)≤2(x+1);(2)f(x+1)=[f2(x)-1]/x. 【题说】1994 年中国数学奥林匹克(第九届数学冬令营)题 3. 【解】易见,函数 f(x)=x+1 满足条件.下面证明这是唯一符合要求的函数. 令 g(x)=f(x)-(x+1),由(2),有|g(x+1)|=|f(x+1)-(x+2)| 因 f(x)≥1,故 又由 1≤f(x)≤2(x+1),得-x≤g(x)≤x+1 (2) 代入(1),得 代入(1),得 因此,对任何自然数 n,都有 令 n→∞,就得 g(x)=0.从而 f(x)=x+1 是满足本题条件的唯一函数. 3、 设项链 A 有珠 14 颗,B 有珠 19 颗.对奇数 n≥1,用 n,n+1,n+2,…,n+32 给这 33 颗珠编号,使每个整数恰用一次,且相邻之珠编号互素,试证最少有 6 种可行方法. 【题说】 第三届(1993 年)澳门数学奥林匹克第二轮题 5. 【证】 A 的珠顺次编为 n+k,n+k+1,…,n+k+13. B 的珠顺次编为 n+k+14,n+k+15,…,n+32,n,n+1,…,n+k-1,1≤k≤18.当 且仅当(n+k,n+k+13)=(n+32,n)=(n+k-1,n+k+14)=1 即 (n+k,13)=(n,32)=(n+k-1,15)=1 (*) 时,编号合乎要求. 因为 n 为奇数,(n,32)=1,显然成立.18 个连续值中至少 2 个 k 能使 13|n+k,恰有 6 个能使 3|n+k-1,至多 4 个能使 5|十 k

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