当前位置:首页 >> 数学 >> 高中数学典型例题解析--三角函数

高中数学典型例题解析--三角函数


高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

第三章

基本初等函数Ⅱ(三角函数)
3.1 任意角三角函数

一、知识导学 1.角:角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形 . 角的三要素是:顶点、始边、终边.角可以任意大小,按旋转的

方向分类有正角、负角、零 角. 2.弧度制:任一已知角 ? 的弧度数的绝对值 ? ?

l ,其中 l 是以 ? 作为圆心角时所对圆弧 r

的长, r 为圆的半径.规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为 零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制. 3. 弧度与角度的换算: 360 ? 2?rad ; 1 ?
?

?

? 180 ? ? 1 rad ? ? ? 0.1745rad ; ? ? 57.30 . 180 ? ? ?

?

?

用弧度为单位表示角的大小时,弧度(rad)可以省略不写.度 4.弧长公式、扇形面积公式: l ?

? ? 不可省略.
?

? r , S 扇形= lr ?

1 2

1 | ? | r 2 ,其中 l 为弧长, r 为圆的半 2

径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当 ? ? 2? 时的情形. 5.任意角的三角函数定义:设 ? 是一个任意大小的角,角 ? 终边上任意一点 P 的坐标是

?x, y ? ,它与原点的距离是 r (r ? 0) ,那么角 ? 的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分
别是 sin? ?

y x y x r r , cos? ? , t an? ? , cot? ? , sec? ? , csc? ? . 这六个函数统称 r r x y x y

为三角函数. 6.三角函数的定义域 三角函数 定义域 R R

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x y ? cot x
y ? sec x

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

?x x ? k? , k ? Z ?
? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

y ? csc x

?x x ? k? , k ? Z ?

7. 三角函数值的符号: 各三角函数值在第个象限的符号如图所示(各 象限注明的函数为正,其余为负值) 可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析 1.在直角坐标系内讨论角 (1)角的顶点在原点,始边在 x 轴的正半轴上,角的终边在第几象 限,就称这个角是第几象限角(或说这个角属于第几象限).它的前提 是“角的顶点为原点,角的始边为 x 轴的非负半轴.否则不能如此判断 某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限. (2)与 ? 角终边相同的角的集合表示.

?? ? ? k ? 360

?

? ? , k ? Z ,其中 ? 为任意角.终边相同的角不一定相等,相等的角终边一
?

?

定相同,终边相同的角有无数多个,它们相差 360 整数倍. 2.值得注意的几种范围角的表示法 “ 0
?

~ 90
?

?

间 的 角 ” 指 0 ? ? ? 90
?

?

;“ 第 一 象 限 角 ” 可 表 示 为

?? k ? 360

? ? “小于 90 的角”可表示为 ? ? ? 90 . ? ? ? k ? 360 ? ? 90 ? , k ? Z ;

?

?

?

3.在弧度的定义中

l 与所取圆的半径无关,仅与角的大小有关. r

4. 确定三角函数的定义域时, 主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴 上时点 P 坐标中必有一个为 0. 5. 根据三角函数的定义可知: (1) 一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关, 即角 ? 与

? ? k ? 360? (k ? Z ) 的 同 名 三 角 函 数 值 相 等 ;( 2 ) x ? r , y ? r , 故 有

c o? s ? 1, s i ? n ? 1 ,这是三角函数中最基本的一组不等关系.
6.在计算或化简三角函数关系式时,常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况 进行讨论.因此,在解答此类问题时要注意: (1)角的范围是什么?(2)对应角的三角函数 值是正还是负?(3)与此相关的定义、性质或公式有哪些? 三、经典例题导讲 [例 1] 若 A、B、C 是 ?ABC 的三个内角,且 A ? B ? C (C ? ) ,则下列结论中正确的个数

? 2

是( ) ①. sin A ? sin C ②. cot A ? cot C ③. tan A ? tan C ④. cos A ? cos C A.1 B.2 C.3 D.4 错解:? A ? C ∴ sin A ? sin C , tan A ? tan C 故选 B 错因:三角形中大角对大边定理不熟悉,对函数单调性理解不到位导致应用错误 正解:法 1? A ? C 在 ?ABC 中,在大角对大边,? c ? a, ? sin C ? sin A 法 2 考虑特殊情形,A 为锐角,C 为钝角,故排除 B、C、D,所以选 A .
京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

[例 2]已知 ? , ? 角的终边关于 y 轴对称,则 ? 与 ? 的关系为 错解:∵ ? , ? 角的终边关于 y 轴对称,∴

.

? ??
2

?

?
2

+ 2k? , ( k ? z)

错因:把关于 y 轴对称片认为关于 y 轴的正半轴对称. 正解:∵ ? , ? 角的终边关于 y 轴对称 ∴

? ??
2

?

?
2

? k? , (k ? Z ) 即 ? ? ? ? ? ? 2k? , (k ? z)

说明: (1)若 ? , ? 角的终边关于 x 轴对称,则 ? 与 ? 的关系为 ? ? ? ? 2k? , (k ? Z ) (2) 若 ? , ? 角的终边关于原点轴对称, 则 ? 与 ? 的关系为 ? ? ? ? (2k ? 1)? , (k ? Z ) (3)若 ? , ? 角的终边在同一条直线上,则 ? 与 ? 的关系为 ? ? ? ? k? , (k ? Z )

3 ? 4 ? , cos ? ? ,试确定 ? 的象限. 2 5 2 5 ? 3 ? 4 ? 错解:∵ sin ? ? 0, cos ? ? ? 0 ,∴ 是第二象限角,即 2 5 2 5 2
[例 3] 已知 sin

?

2k? ?

?

2

? 2k? ? ? , k ? z.

从而 4k? ? ? ? 4k? ? 2? , k ? z. 故 ? 是第三象限角或第四象限角或是终边在 y 轴负半轴上的角.

? ? 3 ? 4 是第二象限角是正确的,由 sin ? ? 0, cos ? ? ? 0 即可确定, 2 2 5 2 5 ? 3 ? 4 而题中 sin ? , cos ? ? 不仅给出了符号,而且给出了具体的函数值,通过其值可进 2 5 2 5 ? ? 一步确定 的大小,即可进一步缩小 所在区间. 2 2 ? 3 ? 4 ? 正解:∵ sin ? ? 0, cos ? ? ? 0 ,∴ 是第二象限角, 2 5 2 5 2
错因:导出 又由 sin

?
2

?

3? ? 3 2 3? 知 2k? ? ? ? 2k? ? ? , k ? z ? ? sin 4 2 5 2 4

4k? ?

3? ? ? ? 4k? ? 2? , k ? z ,故 ? 是第四象限角. 2

[例 4]已知角 ? 的终边经过 P(?4a,3a)(a ? 0) ,求 sin ? , cos ? , tan ? , cot ? 的值. 错解:? x ? ?4a, y ? 3a,? r ?

x 2 ? y 2 ? 5a

? sin ? ?

3a 3 ? 4a 4 3a 3 ? 4a 4 ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? , cot ? ? ?? 5a 5 5a 5 ? 4a 4 3a 3
京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

错因:在求得 r 的过程中误认为 a ? 0 正解:若 a ? 0 ,则 r ? 5a ,且角 ? 在第二象限

3a 3 ? 4a 4 3a 3 ? 4a 4 ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? , cot ? ? ?? 5a 5 5a 5 ? 4a 4 3a 3 若 a ? 0 ,则 r ? ?5a ,且角 ? 在第四象限 3a 3 ? 4a 4 3a 3 ? 4a 4 ? sin ? ? ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ? ? , cot ? ? ?? ? 5a 5 ? 5a 5 ? 4a 4 3a 3 ? sin ? ?
说明: (1)给出角的终边上一点的坐标,求角的某个三解函数值常用定义求解; (2)本题由于所给字母 a 的符号不确定,故要对 a 的正负进行讨论. [例 5] (1)已知 ? 为第三象限角,则 (2)若 ? ? ?4 ,则 ? 是第

? 是第 2
象限角.

象限角, 2? 是第

象限角;

解: (1)?? 是第三象限角,即 2k? ? ? ? ? ? 2k? ?

? k? ?

?
2

?

?

3 ?,k ? Z 2

? 为第二象限角 2 ? 当 k 为奇数时, 为第四象限角 2
当 k 为偶数时,

3 ? k? ? ? , k ? Z , 4k? ? 2? ? 2? ? 4k? ? 3? , k ? Z 2 4

而 2? 的终边落在第一、二象限或 y 轴的非负半轴上. (2)因为 ?

3? ? ?4 ? ?? ,所以 ? 为第二象限角. 2

点评:? 为第一、二象限角时,

? ? 为第一、三象限角,? 为第三、四象限角时, 为第二、 2 2

四象限角,但是它们在以象限角平分线为界的不同区域. [例 6]一扇形的周长为 20 cm ,当扇形的圆心角 ? 等于多少时,这个扇形的面积最大?最大 面积是多少? 解:设扇形的半径为 rcm ,则扇形的弧长 l ? (20 ? 2r )cm

1 (20 ? 2r ) ? r ? ?(r ? 5) 2 ? 25 2 l 2 所以当 r ? 5cm 时,即 l ? 10cm, ? ? ? 2 时 S max ? 25cm . r
扇形的面积 S ? 点评:涉及到最大(小)值问题时,通常先建立函数关系,再应用函数求最值的方法确定最 值的条件及相应的最值. [例 7]已知 ? 是第三象限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 。 1 ? sin ? 1 ? sin ?

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

解:原式=

(1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 2 sin ? = ? ? cos ? cos ? 1 ? sin 2 ? 1 ? sin 2 ?
2 sin ? ? ?2 tan ? 。 cos ?

又 ? 是第三象限角,? cos ? ? 0 所以,原式= ?

点评:三角函数化简一般要求是: (1)尽可能不含分母; (2)尽可能不含根式; (3)尽可能 使三角函数名称最少; (4)尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式 脱去根式,进行化简. [例 8] A.一 解: ? 若角 ? 满足条件 sin 2? ? 0, cos ? ? sin ? ? 0 ,则 ? 在第( B.二 C.三 )象限 D.四

?sin 2? ? 0 ?sin ? cos ? ? 0 ?sin ? ? 0 ?? ?? ? ? 角在第二象限.故选 B. ?cos ? ? sin ? ? 0 ?cos ? ? sin ? ?cos ? ? 0

[例 9] 已知 cos ? ? ? cos ? ,且 tan? ? 0 .

(1)试判断

sin(cos ? ) 的符号; cos(sin ? )

(2)试判断 lg(sin ? ? cos ? ) 的符号. 解: (1)由题意, ? 1 ? cos ? ? 0 , 1 ? sin ? ? 0

? sin(cos ? ) ? 0, cos(sin ? ) ? 0 ,所以

sin(cos ? ) ? 0. cos(sin ? )

(2)由题意知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ? 1 ,所以 lg(sin ? ? cos ? ) ? 0 . 四、典型习题导练 1.已知钝角 ? 的终边经过点 P?sin 2? , sin 4? ? ,且 cos ? ? 0.5 ,则 ? 的值为 A. arctan ? ? )

? 1? ? B. arctan ?? 1? ? 2?

C. ? ? arctan

1 2

D.

3? 4

2.角α的终边与角β的终边关于 y 轴对称,则β为( A.-α B.л-α C.(2kл+1)л-α(k∈Z) 3.若 sinαtgα≥0,k∈Z,则角α的集合为( ) A.[2k ? -

) D.kл-α(k∈Z)

? ? ? ? ,2k ? + ] B.( 2k ? - ,2k ? + ) 2 2 2 2 ? ? C.( 2k ? - ,2k ? + )∪ ?2k? ? ? ? D.以上都不对 2 2 4.当 0<x< ? 时,则方程 cos ( ? cosx)=0 的解集为( )

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

A. ?

?? 5? ? , ? ?6 6 ?

B. ?

?? 2? ? , ? ?3 3 ?

C. ?

?? ? ? ?3 ?

D. ?

? 2? ? ? ? 3 ?

5.下列四个值:sin3,cos3,tg3,ctg3 的大小关系是( A.cos3<tg3<ctg3<sine C.cot3<tan3<cos3<sin3 6.已知 x∈(0,

) B.sin3>cos3>tg3>ctg3 D.sin3>tan3>cos3>cot3 .

? ),则下面四式: 中正确命题的序号是 2
②sin(cosx)<cosx<cos(sinx) ④cos(sinx)<sin(cosx)<cosx

①sinx<x<tgx ③sin3x+cos3x<1

7.有以下四组角:(1)k ? + 的是( ) A.(1)和(2) C.(1)、(2)和(4)

π π π π ;(2)k ? - ;(3)2k ? ± ;(4)-k ? + (k∈z)其中终边相同 2 2 2 2 B.(1)、(2)和(3) D.(1)、(2)、(3)和(4) )

8 . 若 角 α 的 终 边 过 点 (sin30°, - cos30°),则 sinα 等 于 (

A.

1 2

B.-

1 2

C.-

3 2

D.-

3 3

9.函数 y= 2 cos(?x ?

?
3

) ? 1 的定义域是______,值域是______.

10.若点 P 取值范围是( )

在第一象限,则在[0,2

]内



A.

B.

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

C.

D.

3.2 三角函数基本关系式与诱导公式
一、知识导学 1.同角三角函数的基本关系式 平方关系: sin
2

商数关系:tan ? ? ? ? cos 2 ? ? 1 ;

sin ? ; 倒数关系:tan? ? cot ? ? 1 cos ?

同角三角函数的基本关系式可用图表示 (1)三个阴影部分三角形上底边平方和等于 1 的平方; (2)对角为倒数关系; (3)每个三角函数为相邻两函数的积. 2.诱导公式( k ? z ) 角 函数 正弦 余弦 记忆口诀 函数名不变 符号看象限

2k? ? ? ? ?? ?? ? ?? 2? ? ?

?
2

??
??

sin ? - sin ? - sin ? sin ? - sin ? cos ?

cos ? - cos ? cos ? - cos ? cos ? sin ?

?
2

cos ?
- cos ? - cos ?

sin ?
- sin ?

函数名不变 符号看象限

3? ?? 2 3? ?? 2

sin ?

诱导公式可将“负角正化,大角小化,钝角锐化”. 3.诱导公式解决常见题型 (1)求值:已知一个角的某个三角函数,求这个角其他三角函数; (2)化简:要求是能求值则求值,次数、种类尽量少,尽量化去根式,尽可能不含分母. 二、疑难知识导析 1.三角变换的常见技巧 “1”的代换; sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? 三个式子,据方程思想
京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

知一可求其二(因为其间隐含着平方关系式 sin

2

; ? ? cos 2 ? ? 1 )

2.在进行三角函数化简和三角等式证明时,细心观察题目的特征,灵活恰当地选用公式, 一般思路是将切割化弦.尽量化同名,同次,同角; 3.已知角 ? 的某个三角函数值,求角 ? 的其余 5 种三角函数值时,要注意公式的合理选择. 在利用同角公式中的平方关系并要开方时, 要根据角的范围来确定符号, 常要对角的范围进 行讨论.解决此类问题时,要细心求证角的范围. 三、典型例题导讲

1 ,? ? (0,?),则 cot ? ? __________ 5 12 1 错解:两边同时平方,由 sin ? ? cos ? ? ? 得 与 sin ? ? cos ? ? , 25 5
[例 1]已知 sin ? ? cos ? ?

(sin ? ? cos ? ) 2 ? sin 2 ? ? 2 sin ? ? cos ? ? cos 2 ? ? 4 sin ? cos ? ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 4 sin ? cos ? ? 49 25 ?sin ? ? cos ? ? ? 7 5

∴ sin ? ?

4 3 3 , cos ? ? ? ,进而可求 cot ? . 解得: cot ? ? ? 5 5 4 3 4 4 或 sin ? ? ? , cos ? ? ,进而可求 cot ? . 解得: cot ? ? ? 5 5 3

错因:没有注意到条件 ? ? (0, ? ) 时,由于 sin ? ? cos ? ? 0 所以 sin ? ? cos ? 的值为正而导致错误. 正解: sin ? ? cos ? ?

1 ,? ? (0,?), 5 12 1 两边同时平方,有 sin ? ? cos ? ? ? ? 0与 sin ? ? cos ? ? 联立, 25 5 4 3 3 求出 sin ? ? , ∴ cot ? ? ? cos ? ? ? , 5 5 4

[例 2]若 sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B 为锐角且 a>1,0<b<1,求 tanA 的值 错解:由 ?

?sin A ? a sin B  ① ?cos A ? b cos B  ② ?sin A ? a sin B  ① ?cos A ? b cos B  ②
a2 ?1 ∴cos B= 2 a ? b2
2

得 tan A=

a tan B b

错因:对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示 正解:由 ? ①2+②2 得 a2sin2B+b2cos2B=1

1? b2 ∴sin B= 2 a ? b2
2

1? b2 ∴tan 2B= 2 a ?1

1? b2 ∵B 为锐角 ∴tan B= a2 ?1
京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

a 1? b2 ① a 得 tan A= tan B= ② b a2 ?1 b
[例 3](05 年高考重庆卷)若函数 f ( x) ?

1 ? cos 2 x 4 sin(

?
2

? x)

x x ? a sin cos(? ? ) 的最大值为 2, 2 2

试确定常数 a 的值.

2 cos 2 x x x 解 : f ( x) ? ? a sin cos 4 cos x 2 2 1 a ? cos x ? sin x 2 2 1 a2 1 ? sin( x ? ? ), 其中角?满足 sin ? ? 4 4 1? a2 1 a2 由已知有 ? ? 4. 4 4 解之得, a ? ? 15. ?
点评:本试题将三角函数“

?
2

? ? , ? ? ? ”诱导公式有机地溶于式子中,考查了学生对基

础知识的掌握程度,这就要求同学们在学习中要脚踏实地,狠抓基础. [例 4] (05 年高考北京卷)已知 tan (1) tan(? ?

?

?
4

) 的值;

2 6sin ? ? cos ? (2) 的值. 3sin ? ? 2cos ?

=2,求

? 2 ? 2? 2 ? ? 4 ; =2, ∴ tan ? ? ? 1? 4 3 2 1 ? tan 2 2 4 ? ? ?1 tan ? ? tan ? tan ? ? 1 1 4 ? 所以 tan(? ? ) ? = 3 ?? ; 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 4 7 4 3 4 6(? ) ? 1 7 4 6sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 3 (2)由(I), tanα=- , 所以 = = ? . 3 3sin ? ? 2cos ? 3 tan ? ? 2 3(? 4 ) ? 2 6 3
解: (1)∵ tan 点评:本题设计简洁明了,入手容易,但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要 求熟练应用,运算准确. [例 5]化简: sin(

2 tan

?

4n ? 1 4n ? 1 ? ? ? ) ? cos( ? ??) 4 4

(n ? z )

错解:原式 ? sin[n? ? (

?

4

? ? )] ? cos[n? ? (

?

4

? ? )]

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

? sin(

?
4

? ? ) ? cos(

?
4

? ? ) ? sin[ ??) ? 0

?
2

?(

?
4

? ? )] ? cos(

?
4

??)

? cos(

?
4

? ? ) ? cos(

?
4

错因:对三角函数诱导公式不完全理解,不加讨论而导致错误. 正解:原式 ? sin[n? ? (

?
4

? ? )] ? cos[n? ? (

?
4

? ? )]

(1)当 n ? 2k ? 1(k ? z ) ,时 原式 ? sin[2k? ? ? ? (

?
4

? ? )] + cos[2k? ? ? ? (

?
4

? ? )]

? sin(

?
4

? ? ) ? cos(

?
4

? ? ) ? cos(

?
4

? ? ) ? cos(

?
4

? ? ) =0

(2)当 n ? 2k (k ? z ) ,时 原式 ? sin[2k? ? (

?
4

? ? )] + cos[2k? ? (

?
4

? ? )]

? ? sin(

?
4

? ? )] + cos(

?
4

? ? ) =0
?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? =( ?6 ? 3 ? 3 ?
C. )

[例 6](05 年高考江苏卷)若 sin ? A. ?

7 9

B. ?

1 3

1 3

D.

7 9

错解: cos?

? ? ? 7 ? 2? ? ? 2? ? = cos[? ? ( ? 2? )] = cos( ? 2? ) =1—2 sin 2 ( ? ? ) = 3 3 6 9 ? 3 ?
? ? 2? ? ? 2? ? = cos[? ? ( ? 2? )] 3 ? 3 ?
? 2? ) =—1+2 sin 2 (

错因:诱导公式应用符号错. 正解: cos? =— cos(

7 ? ? ) =— .故选 A. 3 6 9 ? 1 [例 7]. (05 年高考福建卷)已知 ? ? x ? 0, sin x ? cos x ? . 2 5
(1)求 sinx-cosx 的值;

?

?

x x x x ? 2 sin cos ? cos 2 2 2 2 2 的值. (2)求 tan x ? cot x 1 1 解法一: (1)由 sin x ? cos x ? , 平方得 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? , 5 25 24 49 即 2 sin x cos x ? ? . ? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? . 25 25 3 sin 2

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

7 ? x ? 0,? sin x ? 0, cos x ? 0, sin x ? cos x ? 0, 故 sin x ? cos x ? ? . 2 5 x x x x x 3 sin 2 ? sin cos ? cos 2 2 sin 2 ? sin x ? 1 2 2 2 2 ? 2 (2) sin x cos x tan x ? cot x ? cos x sin x
又? ?

?

? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) ? (? 12 1 108 ) ? (2 ? ) ? ? 25 5 125
① ②

1 ? ?sin x ? cos x ? , 解法二: (1)联立方程 ? 5 ?sin 2 ? cos 2 x ? 1. ?
由①得 sin x ?

1 ? cos x, 将其代入②,整理得 25 cos 2 x ? 5 cos x ? 12 ? 0, 5 3 ? sin x?? , ? 3 4 ? ? 5 ?c o s x ? ? 或c o s x? . ? ? ? x ? 0,? ? 4 5 5 2 ?c o s x? . ? 5 ? 7 sin x ? cos x ? ? . 5 x x x x 3 sin 2 ? sin cos ? cos 2 2 2 2 2 (2) tan x ? cot x x 2 sin 2 ? sin x ? 1 2 ? sin x cos x ? cos x sin x



? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) 3 4 4 3 108 ? (? ) ? ? (2 ? ? ) ? ? 5 5 5 5 125
点评:本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本 知识,以及推理和运算能力. sin α cos ? 2 2 + +cos α csc α 2 sec α - 1 csc 2 ? ? 1
2

2

[ 例 8] (1) 化 简 :

(2) 设 sin(α +

π 1 )= - , 且 sin2α > 0 2 4

求 sinα ,t an α

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网
2 2

http://www.shuxuefudao.com

解:原式=

sin α cos α 2 2 + +cos α csc α 2 2 tan α cot α
2 2 2 2

=cos α +sin α +cos α csc α =1+cot α =csc α π 1 1 )=- ∴ cosα =- ∵ sin2α > 0∴ 2kπ < 2 α < 2k π + π 2 4 4
2 2

(2) 解 : 由 sin( α +

kπ < α < kπ +

π (k∈ z) 2

∴α 为第一象限或第二象限的角

∵ cosα = -

1 <0 4

∴α 为第三角限角

15 sinα= - 1 - cos 2 α = 4

tan α=

sin α = cos α

15

点 评 :本 题 要 求 同 学 们 熟 练 掌 握 同 角 三 角 函 数 之 间 的 关 系 ,在 求 值 过 程 中 特 别 注 意三角函数值的符号的探讨.

[例 9] 求函数 解:由题意有

的定义域.



时,





时,


京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com



时,

函数的定义域是 点评:有部分同学可能会认为不等式组(*)两者没有公共部分,所以定义域为空集,原 因是没有正确理解弧度与实数的关系,总认为二者格格不入,事实上弧度也是实数. [例 10] (05 年高考天津卷) 已知 sin(? ?

? 7 2 7 ? )? , cos 2? ? , 求 sin ?及 tan(? ? ) . 4 10 25 3

解法一:由题设条件,应用两角差的正弦公式得

7 2 ? 2 ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos ?) 10 4 2
即 sin ? ? cos ? ?

7 5



由题设条件,应用二倍角余弦公式得

7 7 ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ?)(cos ? ? sin ?) ? ? (cos ? ? sin ?) 25 5 1 故 cos ? ? sin ? ? ? ② 5 3 4 3 由①式和②式得 sin ? ? , cos ? ? ? .因此, tan ? ? ? ,由两角和的正切公式 5 5 4

3 ? tan ? ? 3 4 ? 4 3 ? 3 ? 48 ? 25 3 . tan(? ? ) ? ? 4 1 ? 3 tan ? 11 3 3 4?3 3 1? 4 3?
解法二:由题设条件,应用二倍角余弦公式得

7 9 3 ? cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ? 解得 sin 2 ? ? ,即sin ? ? ? 25 25 5
由 sin(? ?

? 7 2 7 )? , 可得 sin ? ? cos ? ? 4 10 5

7 7 ? cos ? ? 0, 且 cos ? ? sin ? ? ? 0 , 5 5 3 故 ? 在第二象限,于是 sin ? ? . 5
由于 sin ? ?
京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

7 4 ? ? (以下同解法一). 5 5 点评:sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? 三个式子, 据方程思想知一可求其二 (因
从而 cos ? ? sin ? ? 为其间隐含着平方关系式 sin
2

,在求值过程中要注意符号的讨论. ? ? cos 2 ? ? 1 )

四、典型习题导练 1. 当 0<x<л时,则方程 cos (лcosx)=0 的解集为( A. ? ,

) D. ?

л ? ?л 5 ? ?6 6 ?

B. ? ,

л ? ?л 2 ? ?3 3 ?

C. ?

?л ? ? ?3 ?

?2 л ? ? ?3 ?

2. (05 年高考全国卷Ⅰ)在 ?ABC 中,已知 tan ① tan A ? cot B ? 1 ③ sin 2 A ? cos 2 B ? 1 其中正确的是 A.①③ B.②④

A? B ? sin C ,给出以下四个论断: 2
② 0 ? sin A ? sin B ?

2

④ cos 2 A ? cos 2 B ? sin 2 C C.①④ D.②③

3. (05 年全国卷Ⅲ)设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则 A. 0 ? x ? ? B.

?
4

?x?

7? 4

C.

?
4

?x?

5? 4

D.

?
2

?x?

3? 2

4.函数 A. 增函数 C. 偶函数 5 . 曲线 y ? 2 sin( x ? B. 减函数 D. 奇函数

?

? 1 ) cos( x ? ) 和直线 y ? 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依 4 4 2
C.3 ? D.4 ?

次记为 P1,P2,P3,?,则|P2P4|等于( ) A. ? B.2 ?

6. 7.已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. (1) 求 f(

? )的值; 4

(2) 设 ? ∈(0, ? ),f(

2 ? )= ,求 sin ? 的值. 2 2

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

8. (05 年高考湖南卷)已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0, sinB+cos2C=0,求角 A、B、C 的大小. 9. (06 年高考安徽卷)已知 (1)求 tan ? 的值;

3? 10 ? ? ? ? , tan ? ? cot ? ? ? 4 3

5sin 2
(2)求

?
2

? 8sin

?
2

cos

?
2

? 11cos 2

?
2

?8
的值。

?? ? 2 sin ? ? ? ? 2? ?

3.3 三角函数的恒等变换 一、知识导学 1.两角和、差、倍、半公式 (1) 两角和与差的三角函数公式

sin ? (? ?) ? s i n ? ?s in ? ?co? s sin ? cos ? (? ?) ? c o ? s cos ? ?s in ?s in ?

t an ?( ? ? ) ?

t an ? ?t an ? 1? t a n ?t an ?

(2) 二倍角公式

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ? tan 2

(3) 半角公式

sin 2

1 ? cos ? 1? c o ? s 2 ? , cos ? , 2 2 2 2 ? sin ? 1 ? cos ? tan ? ? 2 1 ? cos ? sin ?

?

?

?
2

?

1 ? cos ? 1 ? cos ?

2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形, 常见于化简求值和恒等式证明.恒等 式证明就是利用公式消除等式两边的差异,有目的地化繁为简,使左右相等,常用方法为: (1)从一边开始证得它等于另一边,一般由繁到简; (2)证明左右两边都等于同一个式子 (或数值). 二、疑难知识导析 1. 两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律, 常用于解 决求值、化简和证明题. 2.倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如

sin 2? ? 2 sin ? cos ? 成立的条件是 “ ? 是任意角,2?是? 的 2 倍角” , 精髓体现在角的 “倍
数”关系上. 3.公式使用过程中(1)要注意观察差异,寻找联系,实现转化,要熟悉公式的正用逆用
京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

和变形使用,也要注意公式成立的条件 . 例 tan? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 ? tan? tan ? ) 、

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 、 cos ? ? 等. 2 2

4. 三角公式由角的拆、凑很灵活.如 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 、 ? ? (? ? ? ) ? ? 、

??

???
2

?

???
2



???
2

? (? ?

?
2

)?(

?
2

? ? ) 等,注意到倍角的相对性.

5.化为三角函数式,常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次,切割化弦、特殊值与 特殊角的三角函数互化等. 6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式 (1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点 ,角度和函数关系,找出差异 寻找突破口. (2)有条件的等式证明 ,常常四寻找条件与需证式的区别与联系 ,对条件或须证式进行变 形.采用消去法或基本量法等求证. 三、典型例题导讲 [例 1] 在?ABC 中,2sinA+cosB=2,sinB+2cosA= 3 ,则?C 的大小应为( A.
? 6

)

B.

? 3

C.

? 5 或 ? 6 6

D.

? 2? 或 3 3

错解:C 错因:求角 C 有两解后未代入检验. 正解:A [例 2] 已知 tan? tan?是方程 x +3 3 x+4=0 的两根,若?,??(2

? ?

, ),则?+?=( 2 2
2 3



A.

? 3

B.

? 2 或- ? 3 3

C.-

? 2 或 ? 3 3

D.- ?

错解:B. 错因:未能准确限制角的范围. 正解:D.

[例 3] 若

,则对任意实数

的取值为(



A. 1 错解:C

B. 区间(0,1)

C.

D. 不能确定

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

错因:此题极易认为答案 A 最不可能, 怎么能会与

无关呢?其实这是我们忽

略了一个隐含条件

,导致了错选为 C 或 D.

正解:解法一 设点

,则此点满足

解得





选A 解法二:用赋值法,

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com



同样有

选A [例 4] △ABC 中,已知 cosA= A.

16 56 B. 65 65 错解:C 错因:是忽略对题中隐含条件的挖掘. 正解:A
[例 5] 已知 sin ? ? A、 错解:A 错因:是忽略 sin 正解:C
2

5 3 ,sinB= ,则 cosC 的值为( ) 13 5 16 56 16 C. 或 D. ? 65 65 65

4 ? 2m m?3

m?3 4 ? 2m ? , cos ? ? ( ?? ?? ) ,则 tan? ? ( ) m?5 m?5 2 m?3 3 5 5 B、 ? C、 ? D、 ? 或 ? 4 ? 2m 4 12 12

? ? cos 2 ? ? 1,而解不出 m

[例 6]求值: 解:答 2- 3 解法一

=_______________

原式

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

解法二
1 (sin 23 ? ? sin 7 ? ) 2 原 式? 1 cos 7 ? ? (cos 23 ? ? cos 7 ? ) 2 sin 23 ? ? sin 7 ? ? cos 23 ? ? cos 7 ? sin 7 ? ? ? 2 sin 15 ? cos 8 ? 2 cos 15 ? ? cos 8 ?

? tg15 ? ? ? (余同解法一)

[例 7] 已知

是第三象限的角,若

等于(



A.

B.

C.

D. 解:选 A.

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

解析:

[例 8] 化简 sin 2 ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2? ? cos 2? 分析:对三角函数式化简的目标是: (1)次数尽可能低; (2)角尽可能少; (3)三角函数名称尽可能统一; (4)项数尽可能少. 观察欲化简的式子发现: (1)次数为 2(有降次的可能) ; (2)涉及的角有α、β、2α、2β, (需要把 2α化为α,2β化为β) ; (3)函数名称为正弦、余弦(可以利用平方关系进行名称的统一) ; (4)共有 3 项(需要减少) ,由于侧重角度不同,出发点不同,本题化简方法不止一种. 解法一: (复角→单角,从“角”入手) 原式 ? sin
2

1 2

? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? ? (2 cos 2 ? ? 1)(2 cos 2 ? ? 1)

1 2

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

解法二: (从“名”入手,异名化同名)

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

解法三

(从“幂”入手,利用降幂公式先降次)

解法四

(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

点评:在对三角式作变形时,以上四种方法,提供了四种变形的角度,这也是研究其他三 角问题时经常要用的变形手法. 四、典型习题导练 1.已知集合 M= y y ? sin x ? cos x, x ? R A.M B.N C.ф ) C.-1 ) D.-2

?

?, N= ?y y ? ? sin x cos x, x ? R ? 则 MUN 等于 (
D. y ? 2 ? y ? 2



?

?

2.若 sinα+cosα= 2 ,则 tanα+cotα=( A.1 3.已知 B.2

л 4 α <α<л<,sinα= ,则 cos 的值为( 2 5 2
B.-

A.

5 5 或2 5

5 5

C.

5 5

D.以上都不对

л θ 4 θ θ 4 θ ,则 tan ? tan ? 3tan tan = 5 3 3 3 3` л 13 л 5.计算 sin sin = . 10 10
4.已知θ= 6.已知 tanA· tanB=tanA+tanB+1,则 cos(A+B)的值是( A. ? )

.

2 2

B.

2 2 C. ? 2 2

D. ?

1 2

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

7.求值:

__________

8.函数

的最小值为(



A.

B.

C. 0

D. 1 )

9.已知角 A 是△ABC 的一个内角,且 sin A ? cos A ? A.锐角三角形 B.钝角三角形

2 ,则△ABC 是( 3
D.形状不确定

C.直角三角形

10.已知向量 a ? (cos ? , sin ? ), b ? (cos ? , sin ? ), | a ? b | ? (1)求 cos(? ? ? ) 的值; (2)若 0 ? ? ?

2 5 . 5

?
2

,?

?
2

? ? ? 0, 且 sin ? ? ?

5 , 求 sin ? 的值. 13

3.4 三角函数的图像与性质 一、知识导学 1.三角函数线 .设角 ? 的终边与单位圆交于点 P ,过点 P 做 PM ? x 轴于 M ,过点

A(1,0) 做单位圆的切线,与角 ? 的终边或终边的反向延长线相交于点 T ,则有向线段 MP, OM , AP 分别叫做角 ? 的正弦线,余弦线,正切线.
2.三角函数的图像 (1) y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x, y ? cot x 四种图像 (2)函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像 ①“五点作图法” ②图像变化规律 3.三角函数的定义域、值域及周期 4.三角函数的奇偶性和单调性 二、疑难知识导析 1. y ? A sin(?x ? ? ) + B( A ? 0, ? ? 0) 中, A, B, ? 及 ? ,对正弦函数 y ? sin x 图像的

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

影响,应记住图像变换是对自变量而言.

? ? ? 个单位,应得 y ? sin 2( x ? ) ,而不是 y ? sin( 2 x ? ) 6 6 6 ? 2.用 “五点法” 作 y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 图时, 将 ?x ? ? 看作整体, 取 0, , 2 3? ? , ,2? 来求相应的 x 值及对应的 y 值,再描点作图. 2
如: y ? sin 2 x 向右平移 3. y ? sin x, y ? cos x, y ? A sin(?x ? ? ) 的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形. 而 y ? tan x 图像只是中心对称图形,掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征,充分 利用特征求出中 y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的各个参数. 4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提 .求定义域实质上是解简单的三角不等 式(组).要考虑到分母不为零,偶次根式被开方数不小于零,对数的真数大于零、底数 大于零且不等于 1,同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数线 解不等式(组). 5. 求 三 角 函 数 的 值 域 是 常 见 题 型 . 一 类 是 y ? a s i nx ? b co sx 型 , 这 要 变 形 成

y ? a2 ? b2 s i n x ( ? ? ) ;二是含有三角函数复合函数,可利用换元、配方等方法转换
成一元二次函数在定区间上的值域. 6. y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 单调性的确定,基本方法是将 ?x ? ? 看作整体, 如求增区间可由 2k? ?

?
2

? ?x ? ? ? 2k? ?

?
2

(k ? z ) 解出 x 的范围.若 x 的系数为负

数,通常先通过诱导公式处理. 7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区 间上的两个同名函数. 三、典型例题导讲 [例 1] 为了得到函数 y ? sin? 2 x ?

? ?

??

? 的图像,可以将函数 y ? cos 2 x 的图像( 6?
C 向左平移



A 向右平移

? 6

B 向右平移

? 3

? 6

D 向左平移

? 3

错解:A 错因:审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 正解:B [例 2] 函数 y ? sin x?1 ? tan x ? tan ? 的最小正周期为(

? ?

x? 2?

)

A 错解:A

?

B 2?

C

? 2

D

3? 2

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

错因:将函数解析式化为 y ? tan x 后得到周期 T ? ? ,而忽视了定义域的限制,导致出错. 正解:B [例 3]下列四个函数 y=tan2x,y=cos2x,y=sin4x,y=cot(x+ 称的三角函数有( )个. A.1 B.2 C.3 错解:B 错因:对三角函数图像的对称性和平移变换未能熟练掌握. 正解:D [例 4]函数 y ? 2 sin( A. [0,
? ? ),其中以点( ,0)为中心对 4 4

D.4

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是 (

)

?
3

]

B. [

?

12

,

7? ] 12

C. [

?
3

,

5? ] 6

D. [

5? , ?] 6

错解:B 错因:不注意内函数的单调性. 正解: C

[例 5]函数

的最大值为__________.

解:

[例 6] 函数

的部分图像是(



解:选 D.

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

提示:显然 y ? ? x cos x为奇函数,故排除A、C

令x ? 0且x ? 0,判断出相应的y ? 0, 即当横坐标x ? 0且x ? 0时,纵坐标y ? 0,故弃D选B

[例 7] 当

A. 最大值为 1,最小值为-1

B. 最大值为 1,最小值为

C. 最大值为 2,最小值为 解:选 D

D. 最大值为 2,最小值为

解析:

,而

2 [例 8]已知定义在区间 [ ? ? , ? ] 上的函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 3 ? ? 2 ? ? x ? ? 对称, 当 x ?[ ? , ? ] 时, 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) , 6 6 3 2 2 y
其图像如图所示.

2 (1)求函数 y ? f ( x) 在 [ ? ? , ? ] 的表达式; 3

1
?


x??? 6

?

o

? 6

2? 3

?

x

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

(2)求方程 f ( x) ?

2 的解. 2

? 2 ?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ?? ? ? ) 解: (1)当 x ? [ ? 6 , 3 ? ] 时,函数 f ( x) ? Asin( 2 2 ,观察

? ? 图像易得: A ? 1 , ? ? 1 , ? ? 3 ,即时,函数 f ( x) ? sin(x ? 3 ) , ? ? 由函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 6 对称得, x ? [ ? ? , ? 6 ] 时,
? ? ?sin(x ? 3 ) f ( x ) ? ? 函数 f ( x) ? ? sin x . ∴ ? sin x ? ? ?] x ? [? ? , 23 6

x ? [?? ,? ? ) 6

.

2 ? ? 2 (2)当 x ? [ ? 6 , 3 ? ] 时,由 sin(x ? 3 ) ? 2 得, x ? ? ? ? 或 3? ? x ? ? ? 或x ? 5? ;
3 4 4 12 12



x ?[ ? ? , ? ? ] 6 时,由 ? sin x ?

2 x 2 得,

? 或x ? ? ? ? ? 34 4

.

3? 2 ∴方程 f ( x) ? 2 的解集为 { ? 4 四、典型习题导练

? , 5? } ,?? , ? 12 4 12

1.函数

的图像的一条对称轴方程是(



A.

B.

C.

D.

2.已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 是函数 y ? sin x (?? ? x ? 0) 上的两个不同点,且 x1 ? x2 , 试根据图像特征判定下列四个不等式的正确性:① x 1
1 2

sin x1

?

sin x2 x2 ;② sin x1

? sin x2 ;③
.

(sin x1 ? sin x2 ) ? sin

x1 ? x2 2 ;④ sin

x1 ? 2

sin

x2 2

.其中正确不等式的序号是

3.
京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

4.若常数α满足 log ?

α

?

<1,求使函数 f (x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数的α的值.

5.已知函数



(1)当 y 取最大值时,求自变量 x 的集合;

(2)该函数的图像可由 y=sinx, 到?

的图像经过怎样的平移和伸缩变换得

6. 求函数的最小值. 7. (06 年高考浙江卷)如图,函数 y=2sin(πx+φ),x∈R,(其中 0≤φ≤ 的图象与 y 轴交于点(0,1). (1)求φ的值; (2)设 P 是图象上的最高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,求 PM 与PN的夹角. 3.5 解三角形及三角函数的应用 一、知识导学 1.解三角形的的常用定理: (1) 内角和定理: A ? B ? C ? ? 结合诱导公式可减少角的个数. (2) 正弦定理:

? ) 2

a b c ? ? ? 2 R ( R 指△ABC 外接圆的半径) sin A sin B sin C 1 1 1 ( S ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B) 2 2 2
a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? c 2 及其变形.

(3) 余弦定理: (4) 勾股定理:

Rt?ABC中a 2 ? b 2 ? c 2

2.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题.
京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题. 他的显著特点是(1)意义反映在三角形的边、角关系上,有直角三角形,也有斜三角形 . (2)函数模型多种多样,有三角函数,有代数函数,有时一个问题中三角函数与代数函数 并存.解三角函数应用题一般首先审题,三角函数应用题多以“文字语言,图形语言”并用 的方式,要通过审题领会其中的数的本质,将问题中的边角关系与三角形联系起来,确定以 什么样的三角形为模型, 需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路; 其次, 寻求变量之间的关系,也即抽象出数学问题,要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号 语言等方式来思考解决问题;再次,讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质,从而得到 的是数学参数值;最后,按题目要求作出相应的部分问题的结论. 二、疑难知识导析 1.对各类定理的应用要注意使用其变形逆用 .同时充分利用方程的思想知道其中的部分量可 求出其他量. 2.三角函数的应用主要是图像和性质的应用. 3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构. 三、经典例题导讲 [例 1]已知方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan? , tan ? , 且? 、 ? ? ? ?

? ?? ? ? ?? , ? ,则 tan 的值是_________________. 2 ? 2 2?

错解: ? t a n ?, t a n ? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个根

? tan ? ? tan ? ? ?4a , tan ? ? tan ? ? 3a ? 1
由 tan

?? ? ? ? =

? ?? tan ? ? tan ? ? 4a 4 = = 可得 tan ? ?2. 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? ?3a ? 1? 3 2

错因:忽略了隐含限制 tan? , tan ? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根,从而导致错 误. 正解:? a ? 1

?t an ? ?t an ? ? ?4a ? 0 , tan? ? tan ? ? 3a ? 1 ? o

? tan? , tan ? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根
又? , ? ? ? ?

? ? ?? , ? ? 2 2?

? ?? ? ? ? ? ? ? ?? , ? ? ? ? ,0 ? 即 ? ? ? ,0 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

由 tan 答案: -2 .

?? ? ? ? =

tan ? ? tan ? ? 4a 4 ? ?? = = 可得 tan ? ?2. 2 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? ?3a ? 1? 3

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

[例 2]在 ?ABC 中,已知 a ,b,c 是角 A、B、C 的对应边,则 ①若 a ? b ,则 f ( x) ? (sin A ? sin B) ? x 在 R 上是增函数; ②若 a ? b ? (a cos B ? b cos A) ,则 ? ABC 是 Rt? ;
2 2 2

③ cos C ? sin C 的最小值为 ? 2 ; ④若 cos A ? cos 2B ,则 A=B; ⑤若 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ,则 A ? B ? 错解:③④⑤中未考虑 0 ? C ? ? . 错因:④中未检验. 正解:错误命题③⑤. ① a ? b ? sin A ? sin B,? sin A ? sin B ? 0

3 ? ,其中错误命题的序号是_____. 4

? f ( x) ? (sin A ? sin B) x在R上是增函数。
② a ? b ? c , a ? b ? c , 则?ABC是Rt? .
2 2 2 2 2 2

③ sin c ? cos c ?

2 sin(c ?

?
4

),当sin(c ?

?
4

) ? ?1, 时最小值为 ? 2 .

显然 0 ? c ? ? , .得不到最小值为 ? 2 . ④ cos 2 A ? cos 2B ? i ? 2 A ? 2B , A ? B 或 2 A ? 2? ? 2B, A ? ? ? B, A ? B ? ? (舍) ,? A ? B . ⑤ 1 ? tan A ? tan B ? tan A ? tan B ? 2,1 ? tan A ? tan B ? tan A ? tan B

?

tan A ? tan B ? ? 1,即 tan( A ? B) ? 1, ?A? B ? 1 ? tan A ? tan B 4 sin x cos x 的值域为______________. 1 ? sin x ? cos x

? 错误命题是③⑤.
[例 3]函数 f(x)= 错解: ??

? ?

2 1 2 1? ? , ? ? 2 2 2 2?
2

t ?1 错因:令 t ? sin x ? cos x 后忽视 t ? ?1 ,从而 g (t ) ? ? ?1
正解: ??

? ?

? ? 2 1 2 1? ? ,?1? ?? ? 1, ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 2?

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

[例 4] (06 年高考江苏卷) cot 20? cos10? ? 3 sin 10? tan70? ? 2 cos 40? = 【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值 解: cot 20? cos10? ? 3 sin 10? tan70? ? 2 cos 40?



cot 20 0 cos 10 0 3 sin 10 0 sin 70 0 ? ? 2 cos 40 0 sin 20 0 cos 70 0 cos 20 0 cos 10 0 ? 3 sin 10 0 cos 20 0 ? 2 cos 40 0 0 sin 20



cos 200 (cos100 ? 3 sin100 ) ? 2 cos 400 0 sin 20 0 2 cos 20 (cos100 sin 300 ? sin100 cos 300 ) ? ? 2 cos 400 0 sin 20 0 0 2 cos 20 sin 40 ? 2sin 200 cos 400 ? sin 200 ?2 ?
【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即 (1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化,(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近 的名称,例如把所有的切都转化为相应的弦,或把所有的弦转化为相应的切,(3)看式子,看 式子是否满足三角函数的公式 .如果满足直接使用 ,如果不满足转化一下角或转换一下名称 , 就可以使用. [例 5] 在锐角△ABC 中,A<B<C,且 B=60°,

(1 ? cos 2 A)(1 ? cos 2C ) =
解:∵B=60° ∴A+C=120°
2

3 ?1 ,求证:a+ 2b ? 2c. 2
1 2
∵锐角△ABC 中,cosA>0,cosC>0,

cos(A+C)=2

又由已知 2 cos A ? 2 cos C =

3 ?1 2

∴cosAcosC=

3 ?1 4 3 2
B=60°

sinAsinC=

3 ?1 4

∴cos(C-A)= ∴A=45°

即 C-A=30° C=75°

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

∴a+ 2 b=2R(sin45°+ 2 sin60°)=2·2R

2? 6 =2·2Rsin75°=2c 4

[例 6]如图,在平面有点 A、B、P、Q,其中 AB ? △PQB 面积为 S、T,求 S2+T2 的取值范围. 解:设∠BAP=α α∈[0,

3 , AP ? PQ ? QB ? 1, 设△APB 与

л ] 2

∠BQP=β,在△PAB,△PBQ 中 由余弦定理 cosβ=cosα-1 ∴S +T =(
2 2

1 3 2 2 sinα) +( sinβ) 2 2

=-

1 2 7 3 (cos ? - )+ 2 8 2 3
2 2

∴当 cosα=1 时,S +T 有最小值

2 3 ?3 4
7 8

当 cosα=

1 2 3

时,S +T 有最大值

2

2

[例 7]已知函数 f(x)=sin(?x+?),x?R,(其中 ?>0)的图像与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N (6,0),又 f(2+x)=f(2-x),f(0)<0,求这个函数的解析式. 解:? f(2+x)=f(2-x)

? f(x)关于 x=2 对称,又 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N(6,0)

T 2? ? =6-2=4,即 T=16,? ? ? = . T 8 4 ? 3? 将 N(6,0)代入 f(x)=sin( x+?)得:sin( +?)=0, 4 8 ? 5? 得:?=2k ? + 或 ?=2k ? + (k?Z), 4 4 5? 5? (k?Z),满足条件的最小正数 ?= , ?f(0)<0,? ?=2k ? + 4 4 ? 5? ). ? 所求解析式 f(x)=sin( x+ 8 4
?
[例 8] 已知△ABC 的周长为 6, BC , CA , AB 成等比数列,求 (1)△ABC 的面积 S 的最大值; (2) BA ? BC 的取值范围.

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com



设 BC , CA , AB 依次为 a,b,c,则 a+b+c=6,b?=ac,

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 由余弦定理得 cos B ? ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2 ? a ?c 6?b 故有 0 ? B ? ,又 b ? ac ? ? , 从而 0 ? b ? 2 3 2 2 1 1 1 ? (1)所以 S ? ac sin B ? b 2 sin B ? ? 22 ? sin ? 3 ,即 Smax ? 3 2 2 2 3
(2)所以 BA ? BC ? ac cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 (a ? c) 2 ? 2ac ? b 2 ? 2 2

(6 ? b)2 ? 3b2 ? ? ?(b ? 3)2 ? 27 2

? 0 ? b ? 2,? 2 ? BA ? BC ? 18 ,
四、典型习题导练 1.在 Rt△ABC 中,C=90°,则 sinAcos2(45°- A.有最大值

B A A )-sin cos 2 2 2
B.有最大值

1 和最小值 0 4

C.即无最大值也无最小值

1 但无最小值 4 1 D.有最大值 但无最小值 2
) D.向左平移

2.要得到 y=sin2x 的图像,只需将 y=cos(2xA.向右平移

л 8

B.向左平移

л 8

л )的图像 ( 4 л C.向右平移 4

л 4

3.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I= A ? sin(?t ?

?
6

)( A ? 0, ? ? 0) 的图像如图
安.

所示,则当 t ?

1 秒时,电流强度是 50

4. 在△ ABC 中 ,sin

A B C 1 sin sin = , 则△ ABC 的形状 2 2 2 8
.

为 . 5.直角三角形的周长为定值 2l,则斜边的最小值是
2 2

6. 如 果 方 程 x -4xcos θ +2=0 与 方 程 2x +4xsin2 θ -1=0 有 一 根 , 互为倒数求θ值, 其 中 0< θ < π .

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/

高中数学辅导网

http://www.shuxuefudao.com

7. 如图,已知一半径为 1,圆心角为 求该矩形的最大面积.

? 的扇形中,有一个一边在半经上的内接矩形 ABCD, 3
?
3
,求 sinB

8.在 ?ABC中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,设 a ? c ? 2b,A ? C ? 的值.

京翰教育 http://www.zgjhjy.com/


更多相关文档:

三角函数典型例题分析

三角函数典型例题分析_数学_高中教育_教育专区。目 录 1、0°~360°间的三角...【分析】 解答本题必须熟练掌握各个象限三角函数的符号、各个象限的三角函数值随...

高考数学三角函数典型例题

高考数学三角函数典型例题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学经典题型 几何...【解析】:(1) 由余弦定理:cosB= A?C 2 1 4 8 1 a + c =2ac+4≥...

高三数学三角函数经典练习题及答案精析

高三数学三角函数经典练习题及答案精析_数学_高中教育_教育专区。1.将函数 f ...3 3 3 3 2 考点:三角函数的诱导公式. 5.A. 【解析】 试题分析:由题意...

2015高考数学三角函数典型题型大全完美

2015高考数学三角函数典型题型大全完美_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2015高考数学三角函数典型题型大全完美_数学_高中教育_教育专区。...

高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案

高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案_数学_高中教育_教育专区。主要是高中数学关于三角函数方面的知识点总结及其经典题型 ...

高中数学典型例题解析三角函数3 - 副本

高中数学典型例题解析三角函数3 - 副本_数学_高中教育_教育专区。高中数学三角函数志存高远,行展风华 基本初等函数Ⅱ(三角函数) 1 任意角三角函数一、知识导学 1...

高一数学经典习题集(内附带三角函数公式)

高一数学经典习题集(内附带三角函数公式)_专业资料。高一数学经典习题集(内附带...?2, 3? 时,函数 f ( x) 的解析式为 A. x 2 ? 4 B. x 2 ? 4 ...

高中数学三角函数常见习题类型及解法

高中数学三角函数常见习题类型及解法高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低...高中数学典型例题解析:... 24页 免费 高中数学三角函数常见习... 6页 免费...

高中三角函数的典型例题和详解【非常经典】

高中三角函数典型例题详解【非常经典】_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中三角函数典型例题详解【非常经典】_数学_高中教育_...

高中数学三角函数精选习题解析

高中数学三角函数精选习题解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。三角函数的概念...二、典型例题分析: 1、化简表达式: (1 ? sin x)[ 3 cos x ? x ? 2 ...
更多相关标签:
高中三角函数典型例题 | 高中解三角形典型例题 | 三角函数典型例题 | 相似三角形典型例题 | 全等三角形典型例题 | 等腰三角形典型例题 | 解直角三角形典型例题 | 锐角三角函数典型例题 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com