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2012年数学一轮复习精品试题第44讲 空间几何体的表面积与体积


第四十四讲
班级________ 姓名________

空间几何体的表面积与体积
考号________ 日期________ 得分________

一? 选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号 内.) 1.将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥,棱锥的体

积与剩下的几 何体的体积之比为( A.1:2 ) B.1:3 C.1:4 D.1:5

解析:设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是 a,b,c,则棱锥的体积 V1=

1 1 1 1 5 × abc= abc.长方体的体积 V=abc,剩下的几何体的体积为 V2=abc- abc ? abc, 3 2 6 6 6
答案:D 2.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知四边 形 ABCD 是边长为 1 的正方形,且△ADE?△BCF 均

所以 V1:V2=1:5, 故选 D.

为正三角 形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为(

)

A.

2 3

B.

3 3

C.

4 3

D.

3 2

解析:如图,将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥. 在梯形 ABFE 中,易知 BN=

3 , 2

∴S△BCN=

2 2 1 1 ? . BC·HN= ×1× 2 4 2 2 2 1 2 1 2 ? ? , 选 A. ×1+2× ? 3 4 2 3 4

故该几何体体积为 答案:A

3.已知几何体的三视图如图所示,它的表面积是(

)

A.4 ? 2

B.2 ? 2

C.3 ? 2

D.6

解析:该几何体为直三棱柱,其表面积为 2× 答案:C

1 2 ×1×1+2×1 + 2 ×1=3+ 2 ,选 C. 2

4.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿 ED?EC 向上折起,使 A?B 重 合于点 P,则三棱锥 P—DCE 的外接球的体积为( )

A. C.

4 3? 27 6 ? 8

B. D.

6? 2 6? 24

解析:由已知条件知,平面图形中 AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1. ∴折叠后得到一个正四面体.

作 PF⊥平面 DEC,垂足为 F,F 即为△DEC 的中点. 取 EC 中点 G,连接 DG?PG,

过球心 O 作 OH⊥平面 PEC. 则垂足 H 为△PEC 的中心.

? 3? 3 6 3 ∵PG= , PF ? 1 ? ? , PH ? . ? ? ? 3 ? 2 3 3 ? ?
3 3 ? PG ?PH 3 ? 6. ∴OP= ? 2 PF 4 6 3
∴外接球体 积为 答案:C 5.如图,啤酒瓶的高为 h ,瓶内酒面高度为 a,若将瓶盖盖好倒置,酒面高度为 a′(a′+b=h),则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为( )

2

6 6 6 4 3 4 π ×OP = ×π × 3 ? π. 4 8 3 3

b 且 a+b>h a a C.1+ 且 a+b>h b
A.1+

b 且 a+b<h a a D.1+ 且 a+b<h b
B.1+

解析:设酒瓶下底面面积为 S,则酒的体积为 Sa,酒瓶的体积为 Sa+Sb,故体积之比为 1+

b , 显然有 a<a′,又 a′+b=h,故 a+b<h.选 B. a
答案:B 6.(原创题)设计一个杯子,其三视图如图所示,现在向杯中匀速注水,杯中水面的高度 h

随时间 t 变化的图象是(

)

解析:由三视图可知杯子是圆柱形的,由于圆柱形的杯子上下大小相同,所以当向杯中 匀速注水时,其高度随时间的变化是相同的,反映在图象上,选项 B 符合题意.故选 B. 答案:B 二?填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.已知某个几何体的三视图如图(正视图中 的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单 位:cm),可得这个几何体的体积是________cm .
3

解析:该几何体由半个圆柱和一个正方体构成的组合体. 其体积为 2 + 答案:8+π 8.(2010·烟台检测)已知三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,E 是棱 CC1 上一点,三棱锥
3

1 3 ×π ×2=(8+π ) cm . 2

E—ABC 的体积是 V1,则三棱锥 E—A1B1C1 的体积是________. 解析:如图,过 E 作 AC?BC 的平行线 EF?EG,分别与 AA1?BB1 交于 F?G,连接 FG.

∵三棱锥 E—ABC 的体积是 V1,∴三棱柱 EFG—CAB 的体积是 3V1, ∴三棱柱 EFG—C1A1B1 的体积是 V-3V1,

1 VEFG—C1A1B1, 3 1 V ∴VE—A1B1C1= (V-3V1)= -V1. 3 3 V 答案: -V1 3
∵VE—A1B1C1= 9.(2010·广州模拟)如图为一几何体的展开图,其中 ABCD 是边长为 6 的正方 形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点 S,D,A,Q 及点 P,D,C,R 共线,沿图中虚线将它们折叠起来,使 P,Q,R,S 四点重合,则需要________个这样的几何体,可以拼成一个棱长为 6 的正方体.

解析:由题意知,将该展开图沿虚线折叠起来以后,得到一个四棱锥 P—ABCD(如图),其 中 PD⊥平面 ABCD,因此该四棱锥的体积 V=

1 ×6×6×6=72,而棱长为 6 的正方体的体积 3

V=6×6×6=216,故需要

216 ? 3 个这样的几何体,才能拼成一个棱长为 6 的正方体. 72

答案:3 评析:几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容,通过折叠与展开问题, 可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力.解决折叠与展开问题时,关键是弄清楚 折叠与展开前后,位置关系和数量关系变化的情况,画出准确的图形解决问题. 10.已知一个凸多面体共有 9 个面,所有棱长均为 1,其平面展开图如图所示,则该凸多面 体的体积 V=________.

解析:该几何体形状如图所示,是一个正方体与正四棱锥的组合体,正方体的体积是 1, 正四棱锥的体积是

2 2 , 故该凸多面体的体积为 1 ? . 6 6

答案: 1 ?

2 6

三?解答题:(本大题共 3 小题,11?12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.)

11.一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积和体积.

分析:由几何体的三视图,画出原几何体的直观图,然后求解即可. 解:由三视图易知,该正三棱柱的形状如图所示.

可知 AA′=BB′=CC′=4 cm,正三角形 ABC 和正三角形 A′B′C′的高为 2 3 cm,

∴正三角形 ABC 的边长为|AB|=

2 3 =4(cm), sin60?

∴该三棱柱的表面积为 S=3×4×4+2× |AA′|=

1 2 2 ×4 sin60°=(48+8 3 )(cm ),体积为 V=S 底? 2

1 2 3 ×4 sin60°× 4=16 3 (cm ). 2
2 3

故这个三棱柱的表面积为(48+8 3 )cm ,体积为 16 3 cm . 评析:(1)注意:侧(左)视图中的数据 2 3 cm 为底面正三角形的高,不要误认为是正三 角形的边长.(2)通过三视图间接给出几何体的形状,打破以往直接给出几何体,并给出相关 数据进行相关运算的传统模式,使三视图与传统意义上的几何有机结合,这也体现了新课标 的思想,应是高考的新动向,希望引起大家注意. 12.如图,在三角形 ABC 中,若 AC=3,BC=4,AB=5,以 AB 所在直线为轴,将此三角形旋转一 周,求所得旋转体的表面积和体积.

解:如图所示,所得旋转体是两个底面重合的圆锥,高的和为 AB=5.底面半径等于

AC ?BC 12 12 84 ? ,所以所得旋转体的表面积 S=π ·OC·(AC+BC)=π · ·(3+4)= π ; AB 5 5 5 1 1 1 48 2 2 2 其体积 V= ·π ·OC ·AO+ ·π ·OC ·BO= ·π ·OC ·AB= π. 3 3 3 5
CO=

评析:求一些组合体的表面积和体积时,首先要弄清楚它由哪些基本几何体构成,再通 过轴截面分析和解决问题. 13.在右图所示的几何体中,平面 PAC⊥平面 ABC,PM∥BC,PA=PC,AC=1,BC=2PM=2,AB= 5, 若该几何体的侧视图(左视图)的面积为

3 . 4

(1)求证:PA⊥BC; (2)画出该几何体的正视图,并求其面积 S; (3)求出多面体 A—BMPC 的体积 V.

解:(1)证明:AC=1,BC=2,AB= 5 ,

∴AC +BC =AB .

2

2

2

∴AC⊥BC.又∵平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC=AC, ∴BC⊥平面 PAC.又∵PA?平面 P AC,∴PA⊥BC. (2)设几何体的正视图如图所示:

∵PA=PC,取 AC 的中点 D,连接 PD,则 PD⊥AC. 又平面 PAC⊥平面 ABC,∴PD⊥平面 ABC. ∴几何体侧视图的面积=

3 1 1 AC·PD= ×1×PD= . 4 2 2

∴PD=

3 .易知△PAC 是边长为 1 的正三角形. 2

∴正视图的面积是上?下底边长分别为 1 和 2,PD 的长为高的直角梯形的面积. ∴S=

1? 2 3 3 3 ? ? . 2 2 4

(3)取 PC 的中点 N,连接 AN,由△PAC 是边长为 1 的正三角形,可知 AN⊥PC,由(1)知 BC⊥ 平面 PAC, ∴AN⊥BC,∴AN⊥平面 PCBM. ∴AN 是四棱锥 A—PCBM 的高,且 AN= 由 BC⊥平面 PAC,可知 BC⊥PC. 由 PM∥BC,可知四边形 PCBM 是上?下底边长分别为 1 和 2,PC 的长 1 为高的直角梯形. 其面积 S′=

3 . 2

3 3 1 . ,∴V= S′·AN= 4 2 3


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