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ch10 电磁感应


第10章 电磁感应与电磁场
Chapter-10 Electromagnetic Induction And Electromagnetic Field
本章内容:
10. 1 电磁感应的基本规律

10. 2 动生电动势与感生电动势
10. 3 自感和互感 10. 4 磁能

10. 5 麦克斯韦电

磁场理论简介

世界是对称(symmetry)和谐的! 1820年 电流 奥斯特: 那么 磁 ? 磁 电

法拉第(Faraday)经过10年艰辛的努力! 最后得出电磁感应定律。这一发现推动了电和磁在工 业上的广泛应用,使人类迈向了电气化时代。

法拉第的生平

法拉第于1791年出生在英国伦敦附近的一个小村里, 父亲是铁匠,自幼家境贫寒,无钱上学读书。13岁时到 一家书店里当报童,次年转为装订学徒工。在学徒工期 间,法拉第除工作外,利用书店的条件,在业余时间贪 婪地阅读了许多科学著作,例如《化学对话》、《大英 百科全书》的《电学》条目等,这些著作开拓了他的视 野,激发了他对科学的浓厚兴趣。

1812年,学徒期满,法拉第打算专门从事科学研究。 次年,经著名化学家戴维推荐,法拉第到皇家研究院实 验室当助理研究员。这年底,作为助手和仆人,他随戴 维到欧洲大陆考察漫游,结识了不少知名科学家,如安 培、伏打等,这进一步扩大了他的眼界。1815年春回到 伦敦后,在戴维的支持和指导下作了好多化学方面的研 究工作。1821年开始担任实验室主任,一直到1865年。 1824年,被推选为皇家学会会员。次年法拉第正式成为 皇家学院教授。1851年,曾被一致推选为英国皇家学会 会长,但被他坚决推辞掉了。1869年8月25日,他坐在书 房的椅子上安祥地离开了人世。遵照他的遗言,在他的 墓碑上只刻了名字和生死年月。

10.1 电磁感应的基本规律
静电场、稳恒电流的磁场
什么现象?、什么规律? ?现象 ?磁铁与线圈有相对运动,线圈中产生电流 ?一线圈电流变化,在附近其它线圈中产生电流 ?结论 不论用什么方法,只要使穿过闭合导体回 路的磁通量发生变化,此回路中就会有电 不随时间而变化 如果随时间而变化

? v

N

I
S

流产生。 ----电磁感应现象

I'

I (t )

? 变化

感应电动势

电磁感应现象

? ? ?

? ? ? ? ?
Fm

b

? ? ?
? v

? ?
a

当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的磁 通量发生变化时(不论这种变化是由什么原因引起 的),在导体回路中就有电流产生。这种现象称为 电磁感应现象。 回路中所产生的电流称为感应电流。

相应的电动势则称为感应电动势。

10.1.1 电动势 要求在电源内电路中存在一种能反抗静电力、并把正电荷 由负极低电势处推向正极高电势处的非静电力Fk 什么装置能 提供非静电力?
? ? ? Fe ? ? Fk ? + ? ? ? ?
?

电源

能将其他形式的能量 转化为电能的装置

例: 干电池、发电机、太阳能电池

I

A
G

E

B
。。

如何度量这种本领?

E ----电动势

? ? Fk Ek ? q
Ak ? ?
?

(非静电性场强)

? (电源内)

? ? Fk ? dl ? q ?

? ? (电源内)

? ? Ek ? dl
A

Ak E? q

电动势:非静电力Fk把单位正电荷 从负极通过电源内部搬到 正极所作的功 ?结论 (1) E反映电源作功能力,与外电路无关;

? ? E ? ?B Ek ? dl

(2) E是标量,规定其方向为电源内部电势升高的方向; (3) 如果一个闭合电路L上处处都有非静电力Fk存在

? ? E ? ? Ek ? dl

10.1.2 法拉第电磁感应定律

法拉第的实验规律 感应电动势的大小与通过导体回路的磁通量的变化率成正比

d? E? dt

在国际单位制中

d? E?? dt

负号表示感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因 —— 楞次定律

? n ? ?0
N
d? ?0 dt

? n ? ?0
S
d? ?0 dt

S E?0

N
E ? 0 楞次定律

?讨论
(1) 若回路是 N 匝密绕线圈

d? E ? ?N dt

d( N? ) ?? dt

d? ?? dt

(2) 若闭合回路中电阻为R

dqi E d? Ii ? ? ? ? R Rdt dt
感应电荷为

qi ? ? I i dt ? ??
t1

t2

?2
1

1 ? d? R

?

?1 ? ? 2
R

2.楞次定律
判断感应电流方向的楞次定律: 闭合回路中产生的感应电流具有确定 的方向,它总是使感应电流所产生的 通过回路面积的磁通量,去补偿或者 反抗引起感应电流的磁通量的变化。
N

S

楞次

N

S

注意: (1)感应电流所产生的磁通量要阻碍的 是磁通量的变化,而不是磁通量本身。 (2)阻碍并不意味抵消。如果磁通量的 变化完全被抵消了,则感应电流也就不存在 了。

例 在无限长直载流导线(I=I0cos2t)的磁场中,有一导体线框, 导体线框与载流导线共面 求 线框中的感应电动势 解 通过面积元的磁通量

I
l
bdx bdx 2 πx

a
b

d? ? BdS ?

?0 I
2πx
l ?a

? ? ? d? ? ?l


?0 I

x
dx
(选顺时针方向为正)

?0 Ib ? l ? a ? ? ln
? ? ? l ?

d? E?? dt

?0b l ? a dI ?0 I 0b l ? a ? ? ln ? ln sin 2t 2π l dt π l

例 在无限长直载流导线的磁场中,有一运动的导体线框,导 体线框与载流导线共面 求 线框中的感应电动势 解 通过面积元的磁通量

I
l
bdx bdx 2 πx

a

? v

d? ? BdS ?

?0 I
2πx
l ?a

b

? ? ? d? ? ?l


?0 I

x
dx
(选顺时针方向为正)

?0 Ib ? l ? a ? ? ln
? ? ? l ?

d? ?0 Ib ? dl / dt dl / dt ? ?0 Iabv E?? ? ?? ? dt 2π ? l ? a l ? 2 πl (l ? a ) ? ?

10. 2 动生电动势与感生电动势
两种不 1. 相对于实验室参照系,磁场不随时间变化,而 导体回路运动(切割磁场线)------动生电动势

2. 相对于实验室参照系,若导体回路静止, 但磁 场随时间变化------感生电动势 b 10.2.1. 动生电动势

同机制

? ? ? f m ? ?e(v ? B) ? ? Fe ? eE

× × × × ×

× × × × ×

I

× × ×

× × ×

× × × × ×

×

当 f m ? Fe 时达到平衡

G ○

Fe

? ×B ×
× × ×

×


× ×

×fm × × ×

eE ? evB E ? vB U ? El ? vBl

a

动生电动势的产生中,谁充当非静电力? 非静电性场强Ek为 动生电动势为

洛伦兹力

? ? fm ? ? Ek ? ? ? (v ? B) e
? ? ? ? b ? Ei ? ? a Ek ? d l ? ? a (v ? B) ? dl
b

? ? ? 闭合回路中的动生电动势为 Ei ? ? d Ei ? ? (v ? B) ? dl L L
? 讨论

d? (1) E ? ? 适用于一切产生电动势的回路 dt ? ? b ? (2) Ei ? ? (v ? B) ? dl 适用于切割磁力线的导体 a ? 0 Ub ? U a ? b ? ? ? b ?
(3)
Eab ? U b ? U a ? ?a Ek ? dl ? ?a (v ? B) ? dl

? 0 Ub ? U a

[例] 已知一根导体棒放在匀强磁场中,已知:

v , B , , 。求: ε a L
解:

( v × B ) dl d = = v B sin90 d l cos ( 90 a )
0 0

ε

.

= B v sin a d l

v ×B
dl

? 动 ? ? Bv sin ad?
? 动 ? BvL sin a
?i
与L方向一致
L

a
L

v
B

典型结论

? ? BvL sina
L
特例

a
? B

? v

? v

? B

? v ?

B

? ?0

? ? BvL

[例] 一金属杆在匀强磁场中转动,已知: B , , 求:动生电动势。 ω L

解一:

dε = ( v ×B ) dl dl . = B l ω sin90 d l cos 180
0

.

v = lω
0

? 动 ? ? B? ? ldl 0 1 = 2 Bω L
2

L

v
v ×B
O l

B

ω

式中负号表示ε 与 d l 方向相反。

dl L

例题:法拉第电机,设铜盘的半径为 R,角 速度为?。求盘上沿半径方向产生的电动势。 可视为无数铜棒一端在圆心, 另一端在圆周上,即为并联, 因此其电动势类似于一根铜棒 绕其一端旋转产生的电动势。

? ?
o a

?

B

U 0 ? U a ? ? B?l ? dl
o

R

1 2 ?U 0 ? U a ? BR ? 2

? 例 在空间均匀的磁场中 B ? Bz ?
导线ab绕Z轴以? 匀速旋转

? B

z?
r

? l

导线ab与Z轴夹角为a
设 ab ? l 求 导线ab中的电动势 解 建坐标如图

b
l

a

? ? ? dl v ? B

? ? ? ?a 2

? ? v ? B ? vB ? ? rB ? ? lB sin a
L

aO

? ? ? ? B? sin 2 a ldl dEi ? (v ? B) ? dl ? vBdl cos ?

B? L2 2 Ei ? ? dEi ? B? sin 2 a ? ldl ? sin a ? 0 2 0
b

方向从 a



有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁

? ? 场线运动。已知: , B , R . v

求:动生电动势。 解:方法一 作辅助线,形成闭合回路

b
? v
R
? B

?i ? 0

? 半圆 ? ? ab ? 2 RBv
方向:a

a

?b



有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁

? ? 力线运动。已知: , B , R . v

求:动生电动势。 解:方法二

dl ? Rd?

? v?B
d?

? ? ? d? ? ( v ? B ) ? dl ? vB sin 900 dl cos ?
? ? vBR?
? 2
?? 2

b
?
R

? dl

cos ?d?

? v
? B

? vB2 R
方向:a

?b

如果是圆形导线、四分之一 圆形导线?

a



一直导线CD在一无限长直电流磁场中作 切割磁场线运动。求:动生电动势。

解:方法一

? ? ? d? ? ( v ? B ) ? dl ? I l dl ?0 I D ?v sin 900 dl cos 1800 C 2?l b a ? 0 vI ?? dl 方向 D ? C 2?l ? 0vI a ? b dl ? 0vI a ? b ? ?? ?a l ? ? 2? ln a 2?

? ? v?B

? v

方法二

作辅助线,形成闭合回路CDEF

? ? ? ? ? B ? dS ?
S

?

a?b

a

?i ? ?

? 0 Ix a ? b ? ln 2? a d?
dt

?0 I xdr 2?r
I

方向

D?C

? v

X

? 0 I a ? b dx ? ?( ln ) 2? a dt ? 0 Iv a ? b ?? ln 2? a

C

D

a

b

r
F
dr
E( O )

10.2.2 感生电动势 有旋电场 ?感生电动势:由于磁场变化在导体回路中产生的电动势

谁提供非静电力?

有旋电场

麦克斯韦提出: 不论有无导体或导 体回路,变化的磁场都将在其周围 空间产生具有闭合电场线的电场 相同

感生电场或 ? 有旋电场 EV

电能
对处于其中的电荷施加力的作用

有旋电场 与静电场 的比较

不同 有旋电场线为闭合曲线, 非保守场

? ? ? EV ? d S ? 0
S

? ? ?L EV ? dl ? 0

静电场(库仑场)

感生电场(涡旋电场)

具有电能、对电荷有作用力 具有电能、对电荷有作用力

由静止电荷产生

由变化磁场产生

? E 库 线是“有头有尾”的,
起于正电荷而终于负电荷

? E 感 线是“无头无尾”的
是一组闭合曲线

? 1 ? ?S E静 ? dS ? ? 0 ? qi ? ? ? E ? dl ? 0
L 静

?

S

? ? E涡 ? dS ? 0

? ? ? ?B ? ?L E涡 ? dl ? ? ??S ? t ? dS

? ? ? ? i ? ? ?v ? B ?? dl
特 点 磁场不变,闭合电路 的整体或局部在磁场 中运动导致回路中磁 通量的变化 由于S的变化引起 回路中? m变化
洛仑兹力

动生电动势

感生电动势 ? ? ? ?B ? ? i ? ? E涡 ? dl ? ? ? ? dS S ?t

闭合回路的任何部分 都不动,空间磁场发 生变化导致回路中磁 通量变化

原 因 非静 电力 来源

? 由于 B的变化引起
回路中? m变化

感生电场力

四、涡电流
大块金属处于变化的磁场中,或相对于磁场运动, 都有可能在其内部产生涡旋状闭合感应电流,通常 称此类电流为涡旋电流或者涡电流。

? dB dt
导体

大块的金属在磁场中运动,或处在变化的磁 场中,金属内部也要产生感应电流,这种电流在 金属内部自成闭合回路,称为涡电流或涡流。
涡流线

交 流 电 源
铁芯

涡电流的热效应

涡流线 交 流 电 源

利用涡电流进行加热
利用: 1、冶炼难熔金属及特种合金 2、家用 如:电磁灶 3、电磁阻尼 弊端 热效应过强、温度过高, 易破坏绝缘,损耗电能,还可能造成事故

铁芯

1、选择高阻值材料 减少涡流:
2、多片铁芯组合

电磁感应动画

?感生电动势的计算 法拉第电磁感应定律

? ? ? ? d? d ? ? ?? S B ? d S Ei ? ? L Ev ? dl ? ? dt dt
因为回路固定不动,磁通量的变化仅来自磁场的变化

? ? ? ?B ? Ei ? ? L Ev ? d l ? ? ?? S ? d S ?t
在变化的磁场中,有旋电场强度对任意闭合路径 L的线积分 等于这一闭合路径所包围面积上磁通量的变化率。

?说明

? ?B ? 符合左螺旋法则,此关系满足楞次定律 EV 与 ?t ? ? ?B ?B ?t ?t
B

? ? ? ?B ? Ei ? ? L Ev ? d l ? ? ?? S ? d S ?t

B

EV

EV

例 一半径为R 的长直螺线管中载有变化电流,当磁感应强度 的变化率 ?B / ?t 以恒定的速率增加 时, 求 管内外的 EV

EV

? ? ? ?B ? 解 管内:? Ev ? d l ? ? ?? ?dS L S ?t ?B 2 EV ? 2 πr ? ? πr ?t r ?B Ev ? ? 2 ?t
管外: Ev ? 2 πr ? ?

EV

? ? r ? ? ? ? ?

R

?B 2 πR ?t R 2 ?B EV ? ? 2r ?t

O

R

r

例 长直螺线管磁场 ?B ?t ? C 求 (1) 直径上放一导体杆ab , Uab (2) 导体杆位置如图时, Uab 解 (1) a dl EV × × × r× × R × h a a b ? V × E× b R

? ? uab ? Ei ? ?a EV ? dl ? 0
b

(2) 方法1:

? b ? Eab ? ?a EV ? dl ? ?a EV cos ? dl
b

? ?a

b

r ?B cos ? dl 2 ?t

1 ?B b 1 ?B b hl ?B ? ?a r sin a dl ? 2 ?t ?a hdl ? 2 ?t 2 ?t

ub ? ua

方法2: 构造闭合回路L

? ? b? ? E ? ? EV ? dl ? ?a EV ? dl ? lh ?B ?B ? ?B ? ? ? ? dS ? ? dS ? 2 ?t ?t ?t
求 Ebc ,并判断b,c 两点的电势高低。

× × × × ×R ×

a

× E×

b

? ?B ? ?B 1 2 ? ?R ? dS ? 解 Ebc ? ? ?S ?t ?t 2

× ×

?B ?0 ?t

O × × × ×

uc ? ub

a

× ×

b E c

10.3 自感和互感(Self-Induced Phenomenon and

Mutual Induced Phenomenon)
10.3.1. 自感现象 1.自感现象 线圈电流变化 穿过自身磁通变化 自感系数 自感电动势

在线圈中产生感应电动势
2.自感系数 当

I

? B

I ? I (t )
? ? ? (t ) ?? ? ? B ? dS
S

? ? B ? B(t )

d? E?? dt

—— 自感电动势 遵从法拉第定律

根据毕 — 萨定律
穿过线圈自身的磁通量 ? 与 电流 I 成正比

? ? LI
3.自感电动势

L 自感系数

自感电动势

dI dL d( LI ) E?? ? ?L ? I dt dt dt

若回路周围不存在铁磁质, 且回路大小、形状及周围磁介质分 布不变

dI E ? ?L 自 dt

?讨论
(1) 负号:楞次定律 (2)自感具有使回路电流保持不变的性质 —— 电磁惯性 (3) L与线圈的形状、大小、匝数、以及周围磁介质的分布 情况有关。若回路周围不存在铁磁质, 与 I 无关

[ 例 1] 试计算直长螺线管的自感。 已知:匝数 N , 横截面积 S , 长度 l , 磁导率 μ

μ
l
自感的计算步骤:
I H .dl = I l B =μ H Φ = B.dS

S

Ψ =N Φ Ψ =L I

H

B

Φ

Ψ

L

解:

B N I l

Φ

Ψ

L

B= μ

0

μ
μ
0

0

S

? ? ? ? ? B ? dS

NI S = BS = l μ 0 N 2I Ψ = NΦ = l S Ψ μ 0 N l S μ n 2V L= = 2 = 0 I l
2

l

例 同轴电缆由半径分别为 R1 和R2 的两个无限长 同轴导体和柱面组成 求 无限长同轴电缆单位长度上的自感 解 由安培环路定理可知

I
R1

?0 ?r I B? 2?r r ? R1 , r ? R2 B?0 ?0 ?r I ldr d? ? BdS ?
R1 ? r ? R2
2 πr
R2 ? ? ?R ldr ? ln 2 πr 2π R1 ? ?0 ? r R2 L? ? ln Il 2π R1
R2
1

I
R2

dS

?r

l

?0 ? r I

?0 ? r Il

r

10.3.2.互感现象

互感系数

互感电动势

线圈 1 中的电流变化 引起线圈 2 的磁通变化 线圈 2 中产生感应电动势

? B1

I

穿过线圈 2 的磁通量正比于
线圈1 中电流 I ? 互感电动势

L1
(M21:互感系数)

L2

? 21 ? M 21 I1

dI1 dM 21 d ( M 21 I1 ) E2 ? ? ? ? M 21 ? I1 dt dt dt
dI1 E2 ? ? M 21 dt dI 2 E1 ? ? M 12 dt

若两线圈结 构、相对位置 及其周围介质分布不变时

?讨结论 (1) 可以证明: M 21 ? M12 ? M

(2) 两个线圈的互感与各自的自感有一定的关系

M ? k L1L2
k 为两线圈的耦合系数

(0 ? k ? 1)

改变两线圈的相对位置,可改变两线圈之间的耦合程度。
k =1 两线圈为完全耦合: M ?

L1L2

k =0 两线圈间无相互影响:

M ?0

例,一个线圈放在一根导线旁,共面,求M=?

b

I1

解:假设导线通电流 I1,在线圈中取一面 元,其绕行方向为顺 时针方向。

a r dr
b

c

? 0 I1 d? 21 ? BdS ? cdr 2?r

? 0 I1 ? 0 I1c b dr ? 0 I1c b ? 21 ? ?a cdr ? ?a r ? 2? ln a 2?r 2? ?0c ? 21 b M ? ? ln I1 2? a

例 一无限长导线通有电流 I ? I 0sin ?t 现有一矩形线 框与长直导线共面。

求 互感系数和互感电动势


I

?0 I B? 2?r
穿过线框的磁通量

3a 2

a
a 2

? ? ?a / 2
互感系数

3a / 2

?0 Ia ln 3 BdS ? 2?
?

dr

?0 a M? ? ln3 I 2?

r

互感电动势

dI ?0 a E ? ?M ?? ln 3I 0?cos?t dt 2?

有两个直长螺线管,它们绕在同一个圆柱面上。 N N S l 已知: μ 0 、 、 、 、 求:互感系数 1 2 解: B N1
2

例,

Φ12 Ψ 12

N2 μ0 B2 = 0 μ I2 l N2 l ? ? N2 ? 12 ? ?? B ? dS = B 2S = 0 I 2S μ l μ 0N 1N 2 I 2S Ψ12 = N 1Φ 12= l Ψ12 μ 0N 1 N2 l S =μ 0 n 1n 2V M= = 2 I2 l

S

M = μ 0 n 1n 2V 2 ... L n 22V L 2= μ 0 1 = μ 0 n1 V

M = L 1L 2

在此例中,线圈1的磁通全部通过线圈2,称为 无磁漏。 在一般情况下:

称K 为耦合系数

耦合系数的大小反映了两个回路磁场耦合松紧的 程度。由于在一般情况下都有漏磁通,所以耦合系数 小于1。

...

M =K L 1 L 2

0 < K <1

磁能(Energy of Magnetic Field) L R 1.磁能的来源 10.4
?实验分析

I

当K接通①时

?
?
t0

① ②
I 0

E ? EL ? iR
di E idt ? ?(? L )idt ? i 2 Rdt dt
当K断开① 、接通②时

K
t0 2

E idt ? ?0 Lidi ? ?0 i Rdt ? ?I Lidi ? ?0 i Rdt
0 t0 2

EL ? iR

? Lidi ? i Rdt
2

?结论:通有电流的线圈存在能量 —— 磁能 自感为 L 的线圈中通有电流 I 时所储存的磁能 为电流 I 消失时自感电动势所做的功

电流 I 消失过程中,自感电动势所做的功

A ? ? dA ? ?I
?讨论

0

1 2 ? Lidi ? LI ? Wm 2

(自感磁能公式)

(1) 在通电过程中 E ? EL ? iR ? 0

E idt ? ?ELidt ? i 2 Rdt
自感电动势反抗电流建立的功

E idt 电源做的功
2

? ELidt

i Rdt 电阻消耗的焦耳热
A' ? ?0 ? ELidt ? ?0 Lidi
(2) 与电容储能比较
I I

(电源的功转化为磁场的能量)

1 2 Wm ? LI 2

Q We ? 2C

2

自感线圈也是一个储 能元件,自感系数反 映线圈储能的本领

2. 磁场能量密度 ? 以无限长直螺线管为例

I
? B ?r

B ? ?0 ?r nI
长直螺线管的自感

N? nl L? ? ?0 ? r nIS ? ?n 2V I I 1 2 B2 B2 1 2 1 2 2 Wm ? LI ? ?n VI ? ?n V 2 2 ? V ? wmV 2 2 2 ?n 2?
磁场能量密度的普遍计算公式

Wm B 2 BH wm ? ? ? V 2? 2

(适用于均匀与非均匀磁场)

磁场能量密度与电场能量密度公式的比较

B BH wm ? ? 2? 2
在有限区域内

2

1 1 2 we ? ? 0? r E ? ED 2 2

dV
w

V

1 Wm ? ?V wm dV ? ?V BH dV 2

1 We ? ?V we dV ? ?V EDdV 2

磁场能量公式与电场能量公式具有完全对称的形式

例 一由 N 匝线圈绕成的螺绕环,通有电 流 I ,其中充有均匀磁介质 求 磁场能量Wm 解 根据安培环路定理 R1 ? r ? R2

I

NI ?0 ? r NI H? B? 2 πr 2 πr 1 1 ?0 ? r N 2 I 2 wm ? BH ? 2 2 4π 2 r 2
取体积元 dV ? 2πrhdr

R2

R1

h
?N 2 I 2 h ? R2 ?
4π ln ? ? ? R1 ?

Wm ? ?V wm dV ? ?
思考: Wm ?

R2

?0 ? r N 2 I 2
8π r
2 2

R1

2 πrhdr ?

1 2 LI 2

求自感系数

10.5 麦克斯韦电磁场理论简介

10.5.1 位移电流 1. 问题的提出 对稳恒电流 对S1面 对S2面

S1 L
? ? ?LH ? dl ? I ? ? ?LH ? dl ? I ? ? ?LH ? dl ? 0

I R
矛 盾

S2

?

S1 L
I R

S2
?

稳恒磁场的安培环路定理已 不适用于非稳恒电流的电路
2. 位移电流假设

?非稳恒电路中,在传导电流中断处必发生电荷分布的变化
I ? dq / dt
极板上电荷的时间变化率等于传导电流

?

极板上电荷的变化必引起电场的变化 (以平行板电容器为例) 电位移通量

σ ?t ?
I (t )

? σ ?t ?
? D?t ?

ΦD ? DS ? ΦD ?t ?

D ?σ
ΦD ?t ? ? ? ?t ?S ? q?t ?

I (t )

S

dq dΦD I? ? ? I D —位移电流(电场变化等效为一种电流) dt dt
电位移通量的变化率等于传导电流强度

? dΦD d ? ? ?D ? 一般情况位移电流 I D ? ? ? D ? dS ? ? ? dS S S ?t dt dt

? 位移电流密度 jD

? 位移电流与传导电流连接起来恰好构成连续的闭合电流
麦克斯韦提出全电流的概念

ID
I R

I 全 ? I 传导 ? I 位移

?

电流在空间永远是连续不中断的,并且构成闭合回路 麦克斯韦将安培环路定理推广

? ? ?L H ? dl ? I 全 ? I 传导 ? I 位移 ? I 传导 ?
(全电流安培环路定理)

? ?D ? ?S ?t ? dS

若传导电流为零

? ? ? ?D ? ?LH ? dl ? ?S ?t ? dS

3. 位移电流、传导电流的比较
(1) 位移电流具有磁效应 —与传导电流相同 (2) 位移电流与传导电流不同之处 ? 产生机理不同 ? 存在条件不同

dΦD I? dt

? B

位移电流可以存在于真空中、导体中、介质中 (3) 位移电流不产生焦耳热,传导电流产生焦耳热

? Maxwell 的新思想:
– 1.涡旋电场 —变化的磁场产生涡旋电场 – 2.位移电流 —变化的电场产生磁场 – 3.电学和磁学的高斯定理在非稳恒情况下仍然成立

? Maxwell把电学和磁学统一为电磁场理论,并 在数学上对电磁场的本质给予了完整的描述。

10.5.2 麦克斯韦方程组的积分形式 1. 电场的高斯定理
S

电磁场

? ? ? ? ? ? ? ? D ? dS ? ?S( D1 ? D2 ) ? dS ? ?S ε ( E1 ? E2 ) ? dS ? ? qi ? 0 ?

? ? ?S D ? dS ? ? qi (? ? ?dV )
V

静电场是有源场、感应电场是涡旋场 2. 磁场的高斯定理

? ? ? ? ? ?S B ? dS ? ?S( B1 ? B2 ) ? dS ? 0 ? 0 ? 0 ? ? ? B ? dS ?0
S

传导电流、位移电流产生的磁场都是无源场

3. 电场的环路定理 —— 法拉第电磁感应定律

? ? ? ? ? ? ?B ? ?LE ? dl ? ?L( E1 ? E2 ) ? dl ? 0 ? ?S ?t ? dS ? ? ? dΦ ?B ? ?LE ? dl ? ? dt ? ??S ?t ? dS

静电场是保守场,变化磁场可以激发涡旋电场 4. 全电流安培环路定理

? ? ? ? ? ? ?D ? ?LH ? dl ? ?L( H1 ? H 2 ) ? dl ? ? I i? ?S ?t ? dS ? ? ? ? ? ?D ?LH ? dl ??S( j ? ?t ) ? dS

传导电流和变化电场可以激发涡旋磁场

例 设平行板电容器极板为圆板,半径为R ,两极板间距为d, 用缓变电流 IC 对电容器充电 求 P1 ,P2 点处的磁感应强度 解 任一时刻极板间的电场

P 1
IC

?
ID

P2

??
R

? D E? ? ?0 ?0

极板间任一点的位移电流密度

?D ?? IC jD ? ? ? 2 ?t ?t πR
由全电流安培环路定理

? ? ? ?D ? ?L H ? dl ? I C ? ?S ?t ? dS

P: 1

H1 2πr1 ? I C

P2 : H 2 2 πr2 ? πr2 2 jD

2 πr1 ?0 I C B2 ? r 2 2 2 πR

B1 ?

?0 I C


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