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例谈平面向量问题的解题策略


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 例谈平面向量问题的解题策略 作者:丁称兴 来源:《中学课程辅导高考版· 学生版》2015 年第 04 期 平面向量是高中数学中的一块重要内容,它既是“代数”与“几何”沟通的桥梁,同时也是数 形结合的典型范例.因此,近些年来高考中出现了不少以平面向量为载体的填空题,这类问题 “小巧玲珑”、内容丰富、方法灵活,具有一定的

综合性.本文通过例题,从四个不同的角度探讨 这类问题的求解策略,供同学们参考. 策略一:向量的分解 所谓向量的分解,就是运用平面向量的加、减法法则,将一个向量分解为几个向量的和或 差的形式. 评析:向量的分解的目的就是将“未知”化为“已知”,便于计算.例 1 从已知条件中“不和谐” 的向量 AB 入手,将它分解为以点 P 为起点的两个向量的差,这样就将所有的向量转化为以点 P 为起点的向量进行加减运算;例 2 通过对向量 AC 的分解,将要进行数量积运算的两个向量 “放置”在 Rt△ ABD 中,然后利用解三角形的有关知识,从而达到解题的目的. 策略二:几何图形法 以向量为载体,综合考查平面向量的加法、减法、实数与向量的乘积的几何意义以及平面 向量的数量积的几何意义.方法灵活,直观快捷,同时思维能力要求高,充分利用平行四边 形、三角形和圆等几何模型. 在图 1 中,|c|恒为 1;在图 2 中,当线段 OC 为圆 O 的直径时,|c|取得最大值,易求|c|的 最大值为 2.所以|c|的最大值为 2. 评析:利用几何法解决一些向量问题,思维较活跃,难度较大,但如果可以构造一些基本 模型,比如三角形模型、平行四边形模型和圆模型等,结合图形,运用数形结合的数学思想方 法,可以巧妙、快速解决复杂问题,达到事半功倍的效果. 策略三:向量坐标化 以已知条件为前提,建立直角坐标系,将平面向量用坐标表示,运用向量的坐标运算来解 决问题. 评析:向量坐标化是“形”向“数”转换的有力工具. 策略四:向量实数化 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 如果问题中含有条件等式 a=λb+μc,那么我们可以在条件等式的左右两边同时乘以相同的 向量,通过向量的数量积运算,将向量问题实数化,从而达到解题的目的. 评析:上述两例以方程(组)或函数思想为指导,通过向量的数量积运算,将向量等式转 化为代数等式,将向量问题转化为代数问题求解.条件允许时最好要选择垂直的向量,这种方 法比直接运用向量加法的平行四边形法则要方便得多. 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

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