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2016-2017学年高中数学阶段质量评估2北师大版选修1-1讲义


第二章

圆锥曲线与方程

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.若拋物线 y =4x 上的一点 P 到焦点的距离为 10,则 P 点的坐标是( A.(9,6) C.(6,9) B.(9,±6) D.(6,±9)
2

)

解析: 设 P(x0,y0),则 x0+1=10,∴x0=9,

y2 0=36,∴y0=±6,故 P 点坐标为(9,±6).
答案: B 2.以双曲线 - =1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( 4 12 A. C. + =1 16 12 + =1 16 4

x2

y2

)

x2 x2

y2

B. + =1 12 16 D. + =1 4 16

x2

y2

y2

x2

y2

解析: 双曲线的焦点(±4,0),顶点(±2,0), 故椭圆的焦点为(±2,0),顶点为(±4,0). 所以椭圆的标准方程为 + =1. 16 12 答案: A 3.θ 是任意实数,则方程 x +y sin θ =4 的曲线不可能是( A.椭圆 C.抛物线 B.双曲线 D.圆
2 2

x2

y2

)

解析: sin θ 可以等于 1,这时曲线表示圆,sin θ 可以小于 0,这时曲线表示双曲 线,sin θ 可以大于 0 且小于 1,这时曲线表示椭圆. 答案: C

x2 y2 4.双曲线 + =1 的离心率 e∈(1,2),则 k 的取值范围是( 4 k
A.(-∞,0) C.(-3,0) 解析: ∵a =4,b =-k,∴c =4-k.
2 2 2

)

B.(-12,0) D.(-60,-12)

c 4-k ∵e∈(1,2),∴ 2= ∈(1,4),k∈(-12,0). a 4
1

2

答案: B 5.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率 为( ) A. 6 C. 6 2 B. 5 D. 5 2

解析: 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0, b>0), 所以其渐近线方程为 y=± x,

x2 y2 a b

b a

b 1 c -a 1 5 2 2 2 2 因为点(4,-2)在渐近线上,所以 = ,根据 c =a +b ,可得 2 = ,解得 e = ,e= a 2 a 4 4
5 . 2 答案: D 6.双曲线 - =1(mn≠0)离心率为 2,其中一个焦点与抛物线 y =4x 的焦点重合,则

2

2

x2 y2 m n
)

2

mn 的值为(
A. C. 3 16 16 3

3 B. 8 8 D. 3

n 2 1 3 2 解析: 抛物线 y =4x 的焦点为(1,0),∴m+n=1 且 =e -1=3,解得 m= ,n= , m 4 4
3 ∴mn= . 16 答案: A

x2 y 2 5 7.若双曲线 - =1 的渐近线 l 的方程为 y=± x,则双曲线焦点 F 到渐近线 l 的 9 m 3
距离为( A. 5 C.2
2 2

) B. 14 D.2 5

x y 5 m 解析: 可知 m>0,∴双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x=± ,∴m=5, 9 m 3 3
焦点为(± 14,0). 则焦点( 14,0)到渐近线 y= 答案: A 5 5× 14 x 的距离为 d= = 5. 3 9+5

2

9 x y 8.两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 2 5,且 a>b,则双曲线 2- 2=1 2 a b 的离心率为( A. C. 5 3 5 4 ) B. D. 41 4 41 5

2

2

a+b=9 ? ? 解析: 由?ab=20 ? ?a>b
2 2 2

可得 a=5,b=4,

∴c =a +b =41,∴c= 41,e= 答案: D

41 . 5

9.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点 到椭圆上点的最短距离为 3,则这个椭圆的方程为( A. C. + =1 12 9 + =1 或 + =1 12 9 12 9 )

x2 x2

y2 y2

B. + =1 9 12

x2

y2

y2

x2

D.以上都不对

解析: ∵短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形, ∴2c=a,又∵a-c= 3,可知 c= 3,a=2 3, ∴b= a -c =3. ∴椭圆方程为 + =1 或 + =1. 12 9 12 9 答案: C 10.设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在 点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近 线方程为( ) B.3x±5y=0 D.5x±4y=0
2 2

x2

y2

y2

x2

x2 y2 a b

A.3x±4y=0 C.4x±3y=0

解析: 过 F2 作 F2A⊥PF1 于 A,由题意知|F2A|=2a,|F1F2|=2c,则|AF1|=2b,∴|PF1| =4b,而|PF1|-|PF2|=2a,

3

∴4b-2c=2a,c=2b-a,c =(2b-a) ,

2

2

b 4 a2+b2=4b2-4ab+a2,解得 = , a 3
4 ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x.故选 C. 3 答案: C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 11.已知拋物线 y =4x 上一点 M 与该拋物线的焦点 F 的距离|MF|=4,则点 M 的横坐标
2

x=________.
解析: 拋物线 y =4x 的焦点为 F(1,0),准线为 x=-1. 根据拋物线的定义,点 M 到准线的距离为 4, 则 M 的横坐标为 3. 答案: 3 13 12.若双曲线的一个焦点为(0,-13)且离心率为 ,则其标准方程为________. 5 解析: 依题意,知双曲线的焦点在 y 轴上,且 c=13,又 = 所以 a=5,b= c -a =12,故其标准方程为 2- 2=1. 5 12 答案: - =1 25 144
2 2 2 2 2

c 13 , a 5

y2

x2

y2

x2

13.若椭圆 x +my =1 的离心率为
2 2

3 ,则它的长半轴长为______________. 2
2 2

y x a -b 3 2 解析: 当 0<m<1 时, + =1,e = 2 =1-m= , 1 1 a 4 m m= ,a2= =4,a=2; 4 m
当 m>1 时, + =1,a=1.应填 1 或 2. 1 1 1 1

x2 y 2 m

答案: 1 或 2

4

14.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点为 F1、F2,O 为坐标原点,点 P 是椭圆上的一点, 点 M 为 PF1 的中点,|OF1|=2|OM|,且 OM⊥PF1,则该椭圆的离心率为________. 1 解析: ∵OM 綊 F2P,又|OF1|=2|OM|, 2 ∴|PF2|=2|OM|=c, ∵PF2⊥PF1, ∴(2a-c) +c =(2c) , ∴e +2e-2=0,得 e= 3-1. 答案: 3-1
2 2 2 2

x2 y2 a b

三、解答题(本大题共 4 小题,满分 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤) 15. (12 分)已知双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点, 且与椭圆的一个交点的纵坐标 27 36 为 4,求双曲线的方程. 解析: ∵双曲线的一个焦点坐标为(0,3), ∴双曲线的焦点在 y 轴上, ∴方程化为 - =1, 8 1 - -

x2

y2

y2

x2

k

k



8 1 - - =3,

k k

∴k=-1, ∴双曲线的标准方程为 -x =1. 8 16.(12 分)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F,过 F 作 y 轴的平行线交椭圆于 M、

y2

2

x2 y2 a b

N 两点,若|MN|=3,且椭圆离心率是方程 2x2-5x+2=0 的根,求椭圆方程.
解析: ∵右焦点为 F(c,0),把 x=c 代入 2+ 2=1 中,

x2 y2 a b

b ? c? b 得 y =b ?1- 2?= 2,∴y=± . a ? a? a
2 2

2

4

2

2b ∴|MN|= =3.①

2

a

又 2x -5x+2=0? (2x-1)(x-2)=0, 1 1 c 1 ∴x= 或 2,又 e∈(0,1),∴e= ,即 = .② 2 2 a 2

2

5

又知 a =b +c ,③

2

2

2

a=2, ?c 由①②③联立解得? =1, ?b= 3,
∴椭圆方程为 + =1. 4 3 17.(12 分)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反 射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处,已知灯口的直径是 24 cm,灯深 10 cm,那么灯泡 与反射镜顶点的(即截得抛物线顶点)距离是多少? 解析: 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为 x 轴,抛物线的顶点为坐标原点,建立直角 坐标系 xOy,如图所示.

x2 y2

因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点 A 的坐标是(10,12). 设抛物线的方程是 y =2px(p>0). 由点 A(10,12)在抛物线上,得 12 =2p×10,∴p=7.2. 抛物线的焦点 F 的坐标为(3.6,0). 因此灯泡与反射镜顶点的距离是 3.6 cm.
2 2

? 3? 18.(14 分)已知,椭圆 C 经过点 A?1, ?,两个焦点为(-1,0),(1,0). ? 2?
(1)求椭圆 C 的方程; (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线的斜率 AE 与 AF 的斜率互为相反数,证明: 直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值. 解析: (1)由题意,知 c=1,可设椭圆方程为

x2
1+b

2

+ 2=1,

y2 b

1 9 因为 A 在椭圆上,所以 2+ 2=1, 1+b 4b 3 2 2 解得 b =3,b =- (舍去). 4 所以椭圆的方程为 + =1. 4 3

x2 y2

6

3 x y (2)证明:设直线 AE 的方程为 y=k(x-1)+ ,代入 + =1, 2 4 3

2

2

?3 ?2 2 2 得(3+4k )x +4k(3-2k)x+4? -k? -12=0. ?2 ? ? 3? 设 E(xE,yE),F(xF,yF),因为点 A?1, ?在椭圆上, ? 2? ?3 ?2 4? -k? -12 3 ?2 ? 所以 xE= ,yE=kxE+ -k. 2 3+4k 2 ?3 ?2 4? +k? -12 ?2 ? 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中-k 代 k,可得 xF= , 2 3+4k
3 yF-yE -k?xE+xF?+2k 1 yF=-kxF+ +k.所以直线 EF 的斜率 kEF= = = , 2 xF-xE xF-xE 2 1 即直线 EF 的斜率为定值,其值为 . 2

7


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