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山东省实验中学2018届高三上学期第二次诊断考试数学(理)试题+Word版含答案


山东省实验中学 2015 级高三第二次诊断性考试

数学试题(理科)
2017.11 说明:本试卷满分 150 分,分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷为第 1 页至第 3 页,第 II 卷为第 3 页至第 6 页.试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位 置上,书写在试题上的答案无效.考试时间 120 分钟.

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.已知全集为 R,集合 A= x 2 ? 1 ,B= x x ? 6 x ? 8 ? 0 ,则 A ? B=
x 2

?

? ?

?
2

A.

? x x ? 0? B. ? x 2 ? x ? 4? C. ? x 0 ? x ? ?或x ? 4? D. ? x x ? ?或x ? 4?
2 2

2.已知 a, b, c ? R ,命题“若 a ? b ? c ? 3,则a ? b ? c ? 3 ”的否命题是 A.若 a ? b ? c ? 3,则a ? b ? c ? 3
2 2 2

B. 若 a ? b ? c ? 3,则a ? b ? c ? 3
2 2 2

C. 若 a ? b ? c ? 3,则a ? b ? c ? 3
2 2 2

D. 若 a ? b ? c ? 3,则a ? b ? c ? 3

x ? ?2 , x ? ? 3.已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? 2 ? 的值为 ? ? f ? x ? 1? ? 1, x ? 0

A.4

B.

7 2

C. 3

D.

3 2
气质量状况 51~100 为 重度污染, AQI 的茎叶 的天数(这

4. 空气质量指数(Air Quality Index,简称 AQI)是定量描述空 的无量纲指数,空气质量按照 AQI 大小分为六级:0~50 为优, 良。101~150 为轻度污染,151~200 为中度污染,201~250 为 251~300 为严重污染。一环保人士记录去年某地某月 10 天的 图。利用该样本估计该地本月空气质量状况优良(AQI≤100) 个月按 30 计算) A.15 B.18 C.20 D.24 5.曲线若 y ? x 和直线 x ? 0, x ? 1, y ?
2

A.

2 3

B.

1 3

1 围成的图形面积为 4 1 1 C. D. 2 4

6. 已知函数 f ? x ? ? ln

e x ? e? x ,则 f ? x ? 是 2
B. 偶函数,且 ? 0, ? ?? 在上单调递增 D. 偶函数,且 ? 0, ? ?? 在上单调递增

A.奇函数,且在 ? ??, ? ?? 上单调递增 C.奇函数,且在 ? ??, ? ?? 上单调递增

7. 函数 f ? x ? ? 8. 奇

sin ? x 的图像为 x2
函 数 定义域 当

f ? x?
为 R,

x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? x2 ?1 ,且函数 f ? x ? 1? 为偶函数,则 f ? 2016? ? f ? ?2017? 的值为
A. ?2 B.2 C. ?1 D.3 9.曲线 y ? ln ? 2 x ?1? 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是 A. 3 5 B. 2 5 C.

5

D.0

[KS5UKS5U]

10. 已知命题:命题 p : x ? 1 ? ? ;命题 q : x ? a ,且 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,则 a 的取值范 围 A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? ? D. a ? 1 别是否 否爱好

11. 某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性 有关, 通过随机询问 110 名性别不同的高中生是 游泳运动得到如下的列联表:

n ? ad ? bc ? 由k ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

并参照附表,得到的正确结论是 A.在犯错误的概率不超过 1%的前提下, “爱好游泳运动与性别有关”

认 为

B.在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为“爱好游泳运动与性别无关” C.有 99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关” D.有 99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关” 12. .已知 f ? x ? 是定义在 ? 0, ? 上的函数, f ? ? x ? 是它的导函数,且恒有 f ? x ? ? f ? ? x ? tan x 成立,

? ?

??
2?

则 A.

?? ? ?? ? 3f ? ? ? 2f ? ? ?4? ?3? ?? ? ?? ? 2f ? ?? f ? ? ?6? ?4?

B. f ?1? ? 2 f ?

?? ? ? sin1 ?6?

C.

D.

?? ? ?? ? 3f ? ? ? f ? ? ?6? ?3?

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 函数 y ?
2

log 1 ? 2 x ? 1? 的定义域是_______________
2

14.如果方程 x ? ? m ?1? x ? m ? 2 ? 0 的两个实根一个小于 1,另一个大于 1,那么实数 m 的取值
2

范围是____________. 15.若函数 f ? x ? ? ?

?x ?1 x ? 0 函数 y ? f ? ? f ? x ?? ? ? 1 的零点个数是________. ?ln x x ? 0,

[KS5UKS5U]

16. 对 于 函 数 f ? x ? , 若 存 在 常 数 a ? 0 , 使 得 取 f ? x ? 定 义 域 内 的 每 一 个 值 , 都 有

f ? x ? = ? f ? 2a ? x ? ,则称为准奇函数,给出下列函数
① f ? x ? = ? x ? 1? , ② f ? x ? =
2

1 3 , ③ f ? x? = x , ④ f ? x? = c o sx, ⑤ f ? x? = s i nx, ⑥ x ?1

f ? x ? =ex?1 ? e1?x ,其中所有准奇函数的序号是_________________。
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 为必考题,每个试题考 生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.) (一)必考题:60 分. 17. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定: “车辆驾驶员血液酒精溶度(单位 mg/100ml)/ 在 ?20, 80? ,属于酒后驾驶;血液 于 80, 属于醉酒驾驶。 ” 2017 年 “中 9 点开始,济南市交警队在杆石桥 设点,对过往的车辆进行检查,经 时,共查处喝过酒的驾驶者 60 名, 酒精测试仪对这 60 名驾驶者血液 度进行检测后所得结果画出的频率 图。 浓度不低 秋节”晚 交通岗前 过 4 个小 下图是用 中酒精溶 分布直方

(1)求这 60 名驾驶者中属于醉酒驾车的人数(图中每组包括左端点,不包括右端点) (2)若以各小组的中值为该组的估计值,频率为概率的估计值,求这 60 名驾驶者血液的酒精浓度 的平均值。 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax 2 ? 4 x . 3

[KS5UKS5UKS5U]

(1)若曲线 y ? f ? x ? 在点 1 ,f ?1? 处的切线的倾斜角为

?

?

? ,求实数 a 的值. 4

(2)若函数 y ? f ? x ? 在区间? 0, ? 上单调递增,求实数 a 的范围.

? ?

1? 2?

19. 某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价,将产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组 销售数据 ? xi , yi ??i ? 1, 2,…6? ,如表所示:

已知 y ? 80 (1)求 q 的值

? ?a ? ? bx ? 可 (2)已知变量 x , y 具有线性相关性,求产品销量 y 关于试销单价 x 的线性回归方程 y
供选择的数据

?x y
i ?1 i

6

i

? 3050, ? xi 2 ? 271
i ?1

6

? 表示( 2 )中所求的线性回归方程得到的与 xi 对应的产品销量的估计值。当销售数据 ( 3 )用 y

? xi , yi ??i ? 1,2,…,6? 对应的残差的绝对值
据” 。试求这 6 组销售数据中的 “好数据” 。

?i ? yi ? 1时,则将销售数据 ? xi , yi ? 称为一个“好数 y

?? ?, a ? 的最小二乘估计分别是 b 参考数据:线性回归方程中 b

? x y ? nx y ?x
i? i ?1 n i i 2 i

n

?n x

??

2

? ? ? y ? bx ,a

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? = (1)求函数 f ? x ? 的单调区间;

1 2 x ? a ln x . 2

(2)设 k ? Z , 当x ? 0 ,不等式 ? x ?1? ln ? x ?1? ? ? 2 ? k ? x ? 2 ? 0 恒成立,求 k 的最大值.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? xe ?
x

1 2 a ? x ? 1? . 2

(1)若 a ? e ,求函数 f ? x ? 的极值; (2)若函数 f ? x ? 有两个零点,求实数 a 的取值范围. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,则按所做的第一题计分. 22.[选修 4-4,坐标系与参数方程] (10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 3cos ? ??为参数? ,以坐标原点为极点, ? ? y ? 3 sin ?

以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos ?? ?

? ?

??

6 。 ?? 4? 2

(1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程。 (2)设点 P 为曲线 C 上的任意一点,求点 P 到直线 l 的距离的最大值。 23.[选修 4—5:不等式选讲] (10 分) 设函数 f ? x ? ? x ? 3 , g ? x ? ? x ? 2 (1)解不等式 f ? x ? ? g ? x ? ? 2 (2)对任意的实数 x , y ,若 f ? x ? ? 1, g ? y ? ? 1, 求证: x ? 2 y ? 1 ? 3

山东省实验中学 2015 级高三第二次诊断性考试

理科数学参考答案
一、选择题 CABBD BDACA AD 二、填空题 13.

(2017.11)

1 ( ? ,0 ] 2

14. (?2,1)

15. 4 16. ②④⑤⑥

三、解答题 17. .(1)由频率分布直方图可知: 醉酒驾驶的频率为 所以醉酒驾驶的人数为 (2)由频率分布直方图可知 酒精浓度 频率 25 0.25
[KS5UKS5UKS5U]

…………………………3 分 (人)……………………6 分 45 0.2 55 0.15 65 0.1 75 0.1 85 0.05

35 0.15

………………………9 分 所以 x ? 25? 0.25 ? 35? 0.15 ? 45? 0.2 ? 55? 0.15 ? 65? 0.1 ? 75? 0.1 ? 85? 0.05 =47 …12 分 18. 解: (1)? f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? 4 x, 3 1 2

? f ' ( x) ? x 2 ? 2ax ? 4

则f (1) ? tan

'

?
4

?1

则可得: a ? 2 .-----------------------------------5 分 (2)由函数 y ? f ( x) 在区间 (0, ) 上单调递增
' 2 则 f ( x) ? x ? 2ax ? 4 ? 0 对一切的 x ? (0, ) 恒成立.-------6 分

1 2

即a ?

1 4 ( x ? ) 恒成立, 2 x

令 g ( x) ?

x2 ? 4 1 4 ? ( x ? ) -------9 分 2x 2 x
1 2 1 17 时, g ( x ) ? 2 4

函数 g ( x) 在 (0, ) 上单调递减,当 x ? 所以的取值范围是 a ? 19. (1)? y ?

17 .-------12 分 4

q ? 84 ? 83 ? 80 ? 75 ? 68 6 q ? 84 ? 83 ? 80 ? 75 ? 68 ? 80 又? y ? 80 ,? 6

? q ? 90 ……………………3 分

(2) x ?

4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 13 ? ,……………………4 分 6 2
13 2 ? ?4 ……………………6 分 2

?b ?

?

3050? 6 ? 80? ? 13 ? 271? 6? ? ?2?

? a ? 80 ? (?4) ?
?

?

13 ? 106 ……………………7 分 2

? y ? ?4 x ? 106……………………8 分
(3)? y ? ?4 x ? 106
?

? y1 ? ?4 x1 ? 106 ? 90, | y1 ? y1 |?| 90 ? 90 |? 0 ? 1 ,所以 ( x1 , y1 ) ? ?4,90? 是好数据; y2 ? ?4 x2 ? 106 ? 86, | y2 ? y2 |?| 86 ? 84 |? 2 ? 1 ,所以 ( x2 , y2 ) ? ?5,84? 不是好数据
y3 ? ?4 x3 ? 106 ? 82, | y3 ? y3 |?| 83 ? 82 |? 1 ? 1 ,所以 ( x3 , y3 ) ? ?6,83? 是好数据
? ?

?

?

?

?

y4 ? ?4 x4 ? 106 ? 78, | y4 ? y4 |?| 78 ? 80 |? 2 ? 1 ,所以 ( x4 , y4 ) ? ?7,80? 不是好数据
y5 ? ?4 x5 ? 106 ? 74, | y5 ? y5 |?| 75 ? 74 |? 1 ? 1所以 ( x5 , y5 ) ? ?8,75? 是好数据 y6 ? ?4 x6 ? 106 ? 70, | y6 ? y6 |?| 70 ? 68 |? 2 ? 1 所以 ( x6 , y6 ) ? ?9,68? 不是好数据
所以好数据为 (4,90), (6,68)(8,75) ……………………12 分
? ? ? ?

?

?

a x2 ? a 20. 解:(1)函数 f ( x) 定义域为 (0,??) , f ( x) ? x ? ? ,------------1 分 x x
/

/ 当 a ? 0 时,在 (0,??) 上, f ( x) ? 0, f ( x) 单调递增;------------3 分

当 a ? 0 时, 在 (0, a ) 上, f / ( x) ? 0, f ( x) 单调递减; 在 ( a ,??) 上, f / ( x) ? 0, f ( x) 单调递增; 综上所述:当 a ? 0 时,在 (0,??) 上, f ( x) 单调递增.当 a ? 0 时,在 (0, a ) 上, f ( x) 单调递减;在 ( a ,??) 上, f ( x) 单调递增.---------5 分 (2) ( x ? 1) ln(x ? 1) ? (2 ? k ) x ? 2 ? 0 等价于 k ? 令 g ( x) ?

2 ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? 2 ---6 分 x

2 ? ( x ? 1) ln( x ? 1) x ? 2 ? ln( x ? 1) ? 2 , g ' ( x) ? x x2
1 ?0 x ?1

, 令 h( x) ? x ? 2 ? ln(x ? 1) ,易知 h ( x) ? 1 ?

h( x) 在 (0,??) 上单调递增.--------------8 分
h(3) ? 1 ? ln 4 ? 0 , h(4) ? 2 ? ln 5 ? 0 ,
所以存在 x0 ? (3,4) , 使得 h( x0 ) ? 0 .即 x0 ? 2 ? ln(x0 ? 1) ? 0 .--------------9 分 在 (0, x0 ) 上, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减,在 ( x0 ,??) 上, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递增. 所以 g ( x) min ? g ( x0 ) ?

2 ? ( x0 ? 1) ln(x0 ? 1) 2 ? ( x0 ? 1)(x0 ? 2) ?2? ?2. x0 x0

? x0 ? 1? (4,5)
求 k 的最大值为 4.-------------- -------12 分 21. 解: (1)函数定义域为 (??,??) ,

f / ( x) ? ( x ? 1)e x ? e( x ? 1) ? ( x ? 1)(e x ? e) .----------------1 分 f / ( x) ? 0, 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1, ---1 分
列表:

x
f / ( x)
f ( x)

(??,?1)
+

?1
0 极大值 ?

(?1,1)
_

1
0 极小值

(1,??)
+

?

1 e

?

e ? 2a

?

-------------------------------------------------------3 分 所以 x ? ?1 时, f ( x) 取极大值 ?
/ x

1 ,当 x ? 1 时, f ( x) 取极小值 e ? 2a .--------4 分 e
x

(2) f ( x) ? ( x ? 1)e ? a( x ? 1) ? ( x ? 1)(e ? a) 当 a ? 0 时,易知函数 f(x)只有一个零点,不符合题意;---------------5 分
/ 当 a ? 0 时,在 (??,?1) 上, f ( x) ? 0, f ( x) 单调递减;

在 (?1,??) 上, f ( x) ? 0, f ( x) 单调递增;
/

f ( ?1) ? ?

1 ? 0 ,且 f (1) ? e ? 2a ? 0, x ? ??, f ( x) ? ?? e

所以函数 f ( x) 有两个零点.----------------------------------------7 分 当0 ? a ?

1 / 时, 在 (??, ln a) 和 (?1,??) 上 f ( x) ? 0, f ( x) 单调递增; 在 (ln a,?1) 和 (ln a,??) 上 e

f / ( x) ? 0, f ( x) 单调递减;----------------------8 分

f (ln a ) ? a ln a ?

1 1 a(ln a ? 1) ? a(ln a ? 1) ? 0 , 函 数 f ( x) 至 多 有 一 个 零 点 , 不 符 合 题 2 2

意.----------------------------------10 分 当 a?

1 时 , 在 (??,?1) 和 (ln a,??) 上 f / ( x) ? 0, f ( x) 单 调 递 增 ; 在 (?1, ln a) 上 e

f / ( x) ? 0, f ( x) 单调递减;
1 ? 0 ,函数 f ( x) 至多有一个零点,不符合题意.----------------------11 分 e 综上:实数 a 的取值范围是 a ? 0 .-----------------------------------------12 分 f ( ?1) ? ?

22.解:⑴因为直线 l 的极坐标方程为 ? cos?? ?

? ?

??

6 , ?? 4? 2

所以 ? ?

? 2 ? 2 6 ?? cos ? ? sin ? ,即 x ? y ? 3 ? 0 ?????????????3 分 ? 2 ? 2 2 ? ? ? x ? 3 cos? ? y ? 3 sin ?
( ? 为参数)

曲线 C 的参数方程为 ?

所以

x2 y2 ? ? 1 ?????????????????????????????5 分 9 3

⑵设 P 3 cos? , 3 sin ? ,则 P 到直线 l 的距离为

?

?

d?

3 cos? ? 3 sin ? ? 3 2

?????????????????????????6 分

?? ? 2 3s i n ? ?? ? ? 3 ?3 ? ? ?????????????????????????8 分 2
所以当 sin?

3 6 ?? ? ??????????????????10 分 ? ? ? ? ?1 时, d 取最大值 2 ?3 ?

3 3 ,所以 ? x ? 2 2 2 当 2 ? x ? 3 时,原不等式可化为 3 ? x ? x ? 2 ? 2 ,恒成立,所以 2 ? x ? 3 7 7 当 x ? 3 时,原不等式可化为 x ? 3 ? x ? 2 ? 2 ,可得 x ? ,所以 3 ? x ? 2 2
23.⑴①当 x ? 2 时,原不等式可化为 3 ? x ? 2 ? x ? 2 ,可得 x ? 综上,不等式的解集为 ? , ? (结果为不等式的扣 1 分)????????5 分 (2)证明: x ? 2 y ? 1 ? ?x ? 3? ? 2? y ? 2? ? x ? 3 ? 2 y ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ???10 分

?3 7? ?2 2?

山东省实验中学 2015 级高三第二次诊断性考试数学答题卡 (理 科)
注意事项:
1.答题前,考生务必将学校、姓名、班级、座号及准考 证号填写在相应位置,并用 2B 铅笔在填涂区域填涂 准考证号。 2.第 I 卷作答必须用 2B 铅笔,修改时用橡皮擦干净。 第 II 卷作答必须用 0.5mm 黑色墨迹签字笔,答题不 得超出答题框,作图题可用铅笔作答。 3.保持卡面清洁、完整,严禁折叠,严禁在答题卡上做 任何标记,严禁使用涂改液,胶带纸,修正带。 4.未按上述要求填写、答题,影响评分质量,后果自负。
选择题填涂说明: 正确填涂: △ [D] 错误填涂:[A] √ [B] [C] ×
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

学校_____________ 班级_____________ 准 考

姓名____________ 座号____________ 证 号

缺考标记 [ ]

第 I 卷 (选择题答题区 60 分)
1 2 3 4 5 [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] 6 7 8 9 [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D]

10 [A] [B] [C] [D]

第 II 卷 (非选择题 90 分)

13._____________________ 14._____________________ 15._____________________ 16._____________________

17.

18.

19.

20.

姓名_______________ 21.

座号_______________

选考题 请考生从给出的 22、23 两题中任选一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑,注意 所做题目必须与所涂题号一致,如果多做,则按所做的第一题计分。 我所选择的题号是[22] [23]


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