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1.3.3已知三角函数值求角(2)


已知三角函数值求角
回忆:k? ? ? (k ? Z ) , ? ? , ? , ? ? ? 的诱导公式. 2 ? 2 ?

已知角

解唯一

三角函数值

已知三角函数值

角的范围决定解的个数



已知三角函数值求角<

br />? ? 2 x ? [? , ] ,求x; 例1. (1)已知 sin x ? ,且 2 2 2 2 (2)已知 sin x ? ,且 x ? [0,2? ] ,求x的取值集合. 2 ? ? 2 解:(1)由于正弦函数在闭区间 [ ? , ] 上是增函数和 ? 0,所以x是第一或第二象限角. (2)因为sin x ? 2 2 2 ? 2 ? ? sin ? 由正弦函数的单调性和 sin( ? ? ) ? sin 4 2 4 4 ? ? 可知符合条件的角有且只有一个,即 . 可知符合条件的角有且只有两个,即第一象限角 或 4 4 ? 3? ? 第二象限角 ? ? ? 于是 x ? 4 4 4 ? 3? { , } 所以x的集合是 4 4

已知三角函数值求角
y x

? ? 根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足:)的角x,叫做 [ ? , ] 上,符合条件sin x ? a(?1 ? a ? 1 在闭区间 2 2 使符合条件的sin x ? a (?1 ? a ? 1) 的角x有且只有一个,而且 ? ? 包括锐角. 实数 a 的反正弦,记作 arcsin a ,即 x ? arcsin a,其中 x ? [? , ], 2 2 且a ? sin x . arcsin a 的意义:
首先 arcsin a 表示一个角,角的正弦值为a (?1 ? a ? 1),即 ? ? sin(arcsin a ) ? a .角的范围是arcsin a ? [? , ] 2 2

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练习:
1 (1)arcsin 表示什么意思? 2 1 arcsin 表示 [ ? ? , ? ] 上正弦值等于 1 的那个角,即角 ? , 2 2 2 2 6 1 ? arcsin ? 故 2 6 3 ? 3 ? ? arcsin( ? ) ? ? , x ? [? , ],则x= (2)若 sin x ? ? 2 3 2 2 2

(3)若 sin x ? 0.7, x ? [? , ] ,则x= arcsin 0.7 2 2

? ?

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例2. (1)已知cos x ? ?0.7660 ,且 x ? [0,? ],求x. (2)已知cos x ? ?0.7660 ,且 x ? [0,2? ],求x 的取值集合. 解: (1)由于余弦函数在闭区间 [0,? ]上是减函数和 (2)因为cos x ? ?0.7660 ? 0,所以x是第二象限或第三 cos x ? ?0.7660 可知符合条件的角有且只有一个, 象限角.由余弦函数的单调性和 而且角为钝角, 2? 2? 7? cos(? ? ) ? cos(? ? ) ? cos 9 9 9 利用计算器并由: 7? 可知符合条件的角有且只有两个,即第二象限角 或 cos(? ? x ) ? ? cos x ? 0.7660 9 2? 2? 7? 11? ( ? 40? ) ? ,所以 x ? ? ? 可得? ? x ? 第三象限角 9 9 9 7? 11? } 故x 的集合是 { , 9 9

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y x

根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足: 在闭区间 [0,? ] 上,符合条件cos x ? a(?1 ? a ? 1) 的角x,叫做 使符合条件的 cos x ? a (?1 ? a ? 1) 的角x有且只有一个,而且 实数 a 的反余弦,记作 arccos a,即 x ? arccos a,其中 x ? [0,? ] , 包括锐角. 且 a ? cos x . arccos a 的意义: 首先arccos a 表示一个角,角的余弦值为a (?1 ? a ? 1),即 cos(arccosa ) ? a .角的范围是 arccos a ? [0,? ].

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练习: 1 x cos x ? , ? [0,2? ] ,求x. (1)已知 2
x?

?
3



5? 3

? (2)已知cos x ? cos 61,x ? [0,2? ] ,求x的取值集合.

{61? ,299? }

(3)已知cos x ? ?0.4665,x ? [0,2? ],求x的取值集合

{arccos(?0.4665),2? ? arccos(?0.4665)}

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例3. (1)已知 sin x ? ?0.3322 ,且 x ? [? , ] ,求x(用弧度 2 2 表示). (2)已知 sin x ? ?0.3322 ,且 x ? [0,2? ] ,求x的取值集合. 解: (1)利用计算器并由 sin( ? x ) ? ? sin x ? 0.3322

? ?

可得 ? x ?

97? 97? ,所以 x ? ? (或 arcsin( ?0.3322)) 900 900

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(2)已知 sin x ? ?0.3322 ,且 x ? [0,2? ] ,求x的取值集合. 解: (2)由正弦函数的单调性和
sin( 180? ? 19? 24/ ) ? ? sin( 19? 24/ ) ? sin( ?19? 24/ ) sin( 360? ? 19? 24/ ) ? ? sin( 19? 24/ ) ? sin( ?19? 24/ )

可知199? 24/ 角, ? 36/角的正弦也是-0.3322, 340
340 所以x的取值集合是 {199? 24/ , ? 36/ }

或 {

997? 1703? , } 900 900

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练习:
2 (1)若 cos x ? ? , x ? [0, ? ] ,则x的值( B ) 3 2 2 B .? ? arccos A. arccos 3 3 2 2 D .? ? arccos C . ? arccos 3 3 1 ? ? x ? ( ? , ) ,集合 A ? { , ? }, B ? {0, sin x }且 (2)若 5 2 2 A? B ? ? ,则x的值为 arcsin 1 5

已知三角函数值求角
你都学 会了么? 1. arcsin a 表示一个角,角的正弦值为a(?1 ? a ? 1) ,即 ? ? sin(arcsin a ) ? a 角的范围是 arcsin a ? [? , ] 2 2 2. arccos a 表示一个角,角的余弦值为a(?1 ? a ? 1) ,即 cos(arccosa ) ? a .角的范围是 arccos a ? [0,? ].


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