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2011上海市高中数学竞赛(新知杯)


2011 上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷
【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分)

? y x ? 7 x ?12 ? 1 ? 1.方程组 ? 的解集是 ? ?x ? y ? 1
2



2.在平面直角坐标系中,长度为 1 的线段 AB 在 x 轴上移动(点 A 在点 B 的左边) ,点 P(0,1) 与点 A 连 成直线,点 Q(1, 2) 与点 B 连成直线,则直线 PA 与直线 QB 的交点 R 轨迹的普通方程是
2 2



3.已知 M 是椭圆

x y ? ? 1 在第一象限的弧上一动点, MN ? y 轴,垂足为 N ,当 ?OMN 面积最大 16 9


时,它的内切圆半径 r ?

4.已知 ?ABC 的外接圆半径为 1,角 A、B、C 的平分线分别交 ?ABC 的外接圆于点 A 1、B 1、C1 ,则

A B C ? BB1 cos ? CC1 cos 2 2 2 的值为 。 sin A ? sin B ? sin C 5.设 f ( x) ? a sin[( x ? 1)? ] ? b 3 x ?1 ? 2 ,其中 a , b 为实常数,若 f (lg 5) ? 5 ,则 f (lg 20) 的值为 AA1 cos
则满足条件的数对 ( a, b) 共有
2 2



6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A(3, a), B(3, b) 使 ?AOB ? 45 ,其中 a , b 为整数,且 a ? b , 组。 7. 已知圆 C 的方程为 x ? y ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 (圆心为点 O ) , 直线 y ? (tan10 ) x ? 2 与圆 C 交于 A、B 两点,则直线 AC,BC 的倾斜角之和为 。

8.甲、乙两运动员乒乓比赛在进行中,甲必须再胜 2 局才最后获胜;乙必须再胜 3 局才最后获胜,若甲、 乙两人每局取胜的概率都是

1 ,则甲最后获胜的概率是 2

。 (用最简分数作答)

二、解答题(共 60 分) 9. (本题满分 14 分)对于两个实数 a , b , min{a, b} 表示 a , b 中的较小数,求所有的非零实数 x ,使

4 1 min{x ? , 4} ? 8 ? min{x, } 。 x x

10. (题满分 14 分)如图,在 ?ABC 中, O 为 BC 的中点,点 M ,N 分别在 边 AB,AC 上,且 AM ? 6,MB ? 4,AN ? 4,NC ? 3 , ?MON ? 90 ; 求 ? A 的大小。

11. (本题满分 16 分)对整数 k ,定义集合 Sk ? {n | 50k ? n ? 50(k ? 1), n ? Z} ,问 S0,S1, S2 , , S599 这 600 个集合中,有多少个集合不含有完全平方数?

2 12 . (本题满分 16 分)求所有大于 1 的正整数 n ,使得对任意正实数 x1 , x2 , 2 0 ( x1 ? x 2 ? ? xn ) ? n (x 1x 2? x 2 x 3? ? xn x 1)。 0 8 0 8 0

, xn ,都有不等式


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