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2014上海高考数学理科word 2


2014 年全国普通高等学校招生统一考试

上海
考生注意:

数学试卷(理工农医类)

1. 本试卷共 4 页,23 道试题,满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂(选择题)或写 (非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分. 3.

答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对 后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 函数 y ? 1 ? 2cos (2 x) 的最小正周期是____________.
2

2. 若复数 z ? 1 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,则 ? z ?

? ?

1? ? ? z ? ____________. z?

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 3. 若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 9 5
2

____________. 4. 设 f ( x) ? ?

? x,

x ? (?? , a),

2 ? x , x ?[a , ? ?).

若 f (2) ? 4 ,则 a 的取值范围为____________.
2

5. 若实数 x , y 满足 xy ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值为____________.
2

6. 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底面夹角的大小为__________(结果用反 三角函数值表示). 7. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? (3cos ? ? 4sin ? ) ? 1 ,则 C 与极轴的交点到极点的距离 是____________. 上海市教育考试院 保留版权 数学(理)2014 第 1 页(共 4 页)

8. 设无穷等比数列 ?an ? 的公比为 q ,若 a1 ? lim ? a3 ? a4 ?
n ??

? an ? ,则 q ? ________.

9. 若 f ( x) ? x ? x

2 3

?

1 2

,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是_____________.

10. 为强化安全意识,某商场拟在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练,则 选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是_______________(结果用最简分数表示).
2 2 11. 已知互异的复数 a , b 满足 ab ? 0 ,集合 ?a , b? ? a , b ,则 a ? b ? __________.

?

?

12. 设常数 a 使方程 sin x ?

3 cosx ? a 在闭区间 [0 , 2? ] 上恰有三个解 x1 , x2 , x3 ,则

x1 ? x2 ? x3 ? ____________.
13. 某游戏的得分为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,随机变量 ? 表示小白玩该游戏的得分. 若 E (? ) ? 4.2 , 则小白得 5 分的概率至少为____________.
2 14. 已知曲线 C : x ? ? 4 ? y ,直线 l : x ? 6 . 若对于点 A(m , 0) ,存在 C 上的点 P 和 l

上的 Q 使得 AP ? AQ ? 0 ,则 m 的取值范围为____________. 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 设 a , b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2 且 b ? 2 ”的 (A) 充分条件. (C) 充分必要条件. (B) 必要条件. (D) 既非充分又非必要条件.
P2
P 1 P4

[答](



16. 如图,四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱, AB 是 一条侧棱, P i (i ? 1 , 2 , 点,则 AB ? AP i ( i ? 1, 2, ( ) (B) 2 . (D) 8 .

P5 P7 P6 P3

P8

, 8) 是上底面上其余的八个
, 8)的不同值的个数为[答]

B

A

(A) 1 . (C) 4 .

17. 已知 P 1 (a1 , b 1) 与 P 2 (a2 , b2 ) 是直线 y ? kx ? 1( k 为常数)上两个不同的点,则关于 x

数学(理)2014 第 2 页(共 4 页)

和 y 的方程组 ?

?a1 x ? b1 y ? 1, 的解的情况是 a x ? b y ? 1 ? 2 2

[答](



(A) 无论 k , P 1 , P 2 如何,总是无解. (C) 存在 k , P 1 , P 2 ,使之恰有两解.

(B) 无论 k , P 1 , P 2 如何,总有唯一解. (D) 存在 k , P 1 , P 2 ,使之有无穷多解. )

?( x ? a) 2 , x ? 0, ? 18. 设 f ( x) ? ? 若 f (0) 是 f ( x ) 的最小值, 则 a 的取值范围为 [答( ] 1 x ? ? a , x ? 0. ? x ?
(A) [?1 , 2] . (B) [?1 , 0] . (C) [1 , 2] . (D) [0 , 2] .

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 底面边长为 2 的正三棱锥 P-ABC ,其表面展开图是 三角形 PP 1 2P 3 ,如图. 求 △ PP 1 2P 3 的各边长及此三棱锥的 体积 V .
A

P3

C

P1

B

P2

20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

2x ? a 设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x . 2 ?a
?1 (1) 若 a ? 4 ,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ( x) ;

(2) 根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由. 21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

B 两地连线上的定点 如图,某公司要在 A 、
C 处建造广告牌 CD , 其中 D 为顶端,AC 长 35

D

B 在同一水平面上, 米, CB 长 80 米. 设点 A 、
从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 ? 和 ? .
A

?
C

?
B

数学(理)2014 第 3 页(共 4 页)

(1) 设计中 CD 是铅垂方向. 若要求 ? ? 2? , 问 CD 的长至多为多少 (结果精确到 0.01 米)?

CD 与铅垂方向有偏差. (2) 施工完成后, 现在实测得 ? ? 38.12? , 求 CD ? ? 18.45? ,
的长(结果精确到 0.01 米). 22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小 题满分 8 分. 在平面直角坐标系 xOy 中,对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,

C 与直 l 记 ? ? (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c) . 若? ? 0 , 则称点 P 1 , P 2 被直线 分割. 若曲线 C 的一条分割 l l 线 l 没有公共点,且曲线 C 上存在点 P 1 , P 2 被直线 分割,则称直线 为曲线
线. (1) 求证:点 A(1, 2) , B(?1, 0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分割; (2) 若直线 y ? kx 是曲线 x2 ? 4 y 2 ? 1的分割线,求实数 k 的取值范围; (3) 动点 M 到点 Q(0 , 2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1 ,设点 M 的轨迹为曲线 E . 求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是 E 的分割线.

23. (本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 满足 an ? an ?1 ? 3an , n ? N , a1 ? 1 .
*

1 3

(1) 若 a2 ? 2 , a3 ? x , a4 ? 9 ,求 x 的取值范围; (2) 设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, Sn ? a1 ? a2 ?

1 ? an . 若 Sn ? Sn ?1 ? 3Sn , 3

n ? N* ,求 q 的取值范围;
(3) 若 a1 , a2 ,

, ak 成等差数列,且 a1 ? a2 ? , ak 的公差.

? ak ? 1000 ,求正整数 k 的最大值,

以及 k 取最大值时相应数列 a1 , a2 ,

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