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2014年8月石家庄二中开学考试文科数学


新高三 2014 年暑假开学文科数学试卷
一、选择题(每题 5 分,共 50 分)
? ? ?x-2 ≤0 1.若集合 A={x|-1≤2x+1≤3},B=?x? ? ? x ? ? ? ?,则 A∩B=( ? ?

).

A.{x|-1≤x<0} B.{x|0<x≤1}

C.{x|0

≤x≤2}

D.{x|0≤x≤1}

2.已知命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1” ,则下 列结论正确的是( ).

A.否命题是“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数,则 m>1” ,是真 命题 B.逆命题是“若 m≤1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数” ,是假 命题 C.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数” ,是 真命题 D.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上不是增函数” , 是真命题 3.函数 y=

x-5 在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是 ( x-a-2

).

A.A.a=-3 B.a<3 C.a≤-3 D.a≥-3 4.已知函数 f(x)的导函数 f’(x)的图像如右图所示,则函数 f(x)的图像最有 可能的是( )

A.

B.

C.

D.

? 5? 5.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f?- ?= ? 2?

(

).

1 A.- 2

1 B.- 4

1 C. 4

1 D.. 2 )

6.下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是( A . f(x) = sinx 2-x D.f(x)=ln 2+x 7. 设函数 g(x)=x2-2(x∈R),f(x)= ? 则 f(x)的值域是(
? 9 ? A. ?? ,0? (1, ??) ? 4 ?

B . f(x) =- |x + 1|

1 C . f(x) = (ax + a - x) 2

? g ( x) ? x ? 4, x ? g ( x) ? g ( x) ? x, x ? g ( x)


?9 ? C. ? , ?? ? ?4 ? ? 9 ? D. ?? ,0 ? (2, ??) ? 4 ?

B.?0, ?? ?

8.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是 增函数,则( ). B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 的零点个数为( ).

A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25)
?x2+2x-3,x≤0 ? 9.函数 f(x)=? ? ?-2+ln x,x>0

A.3 B.2 C.1

D.0

10.设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的图像分别交于点 M、N,则当|MN| 达到最小时的 t 的值为( A. 1 B.
1 2


2 2

C.

5 2

D.

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 11.若命题“? x0∈R,使得 x02+(1-a)x0+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范 围是_____.
? 21? x x ?1 12.设函数 f ( x) ? ? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是________. ?1 ? log 2 x x ? 1

13.已知点 P 在曲线 f(x)=x4-x 上,曲线在点 P 处的切线平行于直线 3x-y= 0,则点 P 的坐标为________. 14.定义在 (?1,1) 上的函数 f ( x) 满足: f ( x) ? f ( y) ? f (
1 1 1 ( f 0 ) 若 P ? f ( ) ? f ( ), Q ?f( ), R ? f ( x) ? 0 ; 5 1 1 2

x? y ) ,当 x ? (?1, 0) 时,有 1 ? xy

; 则 P, Q, R 的大小关系为________.

三、解答题(共 50 分) 15. (12 分)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B? A, 求实数 m 的取值范围. 16. (12 分)f(x)是定义在区间(0,+∞)上的函数,满足 f? ?=f(x1)-f(x2),
?x2? ?x1?

当 x>1 时,f(x)<0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值. 17. (12 分)设函数 f ( x) ? x ? aex?1 . (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围. 18. (14 分)已知函数 f ( x) ?
a ? x ln x, g ( x) ? x3 ? x 2 ? x ? 1 2x

(1)如果存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M ,求满足该不等式的最大整数 M ; (2)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围
1 3

参考答案 (1)B(2)D(3)C(4)A(5)A(6)D(7)D(8)D(9)B(10)D (11) (-∞,-1)∪(3,+∞)(12) ?0, ??? (13)(1,0)(14)R>P>Q

( 15 ) 解



B =

?

时 , 有

m + 1 ≥ 2m - 1 , 得

m ≤

2,?????????????.4’



B ≠

?

时 , 有

m+1≥-2, ? ? ?2m-1≤7, ? ?m+1<2m-1,

解 得

2 < m ≤

4. ?????????????.8’ 综上:m≤4. ?????????????.10’ ( 16 )解 (Ⅰ)令 x1 =x2 >0,代入得 f(1) =f(x1)- f(x1)= 0,故 f(1) =

0.?????.3’ (Ⅱ)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1, 由于当 x>1 时, f(x)<0, 所以 f? ?<0, 即 f(x1)-f(x2)<0, 因此 f(x1)<f(x2),
?x2? ?x1?

x1 x2

所 以 函 数

f(x) 在 区 间 (0 , + ∞ ) 上 是 单 调 递 减 函

数.?????????????.7’ (Ⅲ) ∵f(x)在 (0, +∞)上是单调递减函数. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9).
?x1? ?9? 由 f? ?=f(x1)-f(x2)得,f? ?=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. ?x2? ?3?

∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2. (17)解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? 1 ? aex?1 ,

?????????????.12’

①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ( x) 在 R 上单调递增;

②当 a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 1 ? ln a , ∴函数在 上单调递增,在 上单调递 (? ?,1 ? ln a) ( 1 ? ln a,??) 减; ??????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 当 a ? 0 时, f ? x ? 趋近于 ?? ,所以不成立; 当 a ? 0 时, f ? x ? 的最大值为 f ?1? ln a ? ? 1? ln a ?1 ? ? ln a ? 0 ,解得 a …1 , ∴ a …1 . 18. 解: (1)由题 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 等价于 g ( x)max ? g ( x)min ? M 由 g ( x) ? x3 ? x2 ? x ?1,
g '( x) ? 3x 2 ? 2 x ?1

??????12 分

令 g '( x) ? (3x ? 1)( x ? 1)

当 x ?[0,1] 时, g '( x) ? 0 ,g(x)单调递减; 当 x ?[1, 2] 时, g '( x) ? 0 ,g(x)单调递增; 又 g (0) ? ?1, g (2) ? 1, g (1) ? ?2 所以, g ( x)max ? 1, g ( x)min ? ?2 ,

所以, M ? 3 ??????6 分 (2)对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,等价于 f(x)≥g(x)max. 由(1)可知当 x ? [ ,1] 时, g(x)单调递减;当 x ?[1, 2] 时, g(x)单调递增;
g ( x)max ? g (2) ? 1
1 3 1 3

所以 f ( x) ? 1 恒成立,即 a ? 2 x ? 2 x2 ln x 恒成立 令 h( x) ? 2 x ? 2 x2 ln x , h '( x) ? 2 ? 2 x ? 2 x ln x ? 0 ,得 x ? 1 由(1)可知当 x ? [ ,1] 时, h(x)单调递增;当 x ?[1, 2] 时, h(x)单调递减; 所以,∴h(x)max=h(1)=2 12 分 ∴a≥2??????
1 3


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