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第二部分 专题二 第四讲 高考中的三角函数(解答题型)


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导练感悟高考

专 题 二

第 四 讲

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第四讲

高考中的三角函数
(解答题型)

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[导练感悟高考]
? π? 2π ?ωx+ ? ,ω>0的最小正周期T=10π= 1.解:(1)∵f(x)=2cos 6? ω, ?

1 ∴ω=5.
?1 π? (2)由(1)知f(x)=2cos?5x+6?, ? ? ? π? ? 5π? 5π? 16 6 ? 而α,β∈?0,2?,f?5α+ 3 ?=-5,f?5β- 6 ?=17, ? ? ? ? ? ? ?1? 5π? π? 6 ? ?5α+ ?+ ?=- , ∴2cos 5 3 ? 6? 5 ? ?

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?1? 5π? π? 16 2cos?5?5β- 6 ?+6?=17, ? ? ? ? ? π? 3 ?α+ ?=- ,cos 即cos 2? 5 ?

8 β=17,

3 4 15 于是sin α=5,cos α=5,sin β=17, 4 8 3 15 13 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=5×17-5×17=-85.

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2.解:(1)f(x)=m· n A = 3Asin xcos x+ 2 cos 2x
? =A? ? ? ? 3 1 ? sin 2x+2cos 2x? 2 ?

? π? =Asin?2x+6?. ? ?

因为A>0,由题意知A=6.
? π? (2)由(1)f(x)=6sin?2x+6?. ? ?

π 将函数y=f(x)的图像向左平移12个单位后得到

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? ? ? π ? π? π? y=6sin?2?x+12?+6?=6sin?2x+3?的图像; ? ? ? ? ? ?

1 再将得的到图像上各点横坐标缩短为原来的 2 倍,纵坐标不变,
? π? 得到y=6sin?4x+3?的图像. ? ? ? π? 因此g(x)=6sin?4x+3?. ? ? ? 5π? π ?π 7π? 因为x∈?0,24?,所以4x+3∈?3, 6 ?, ? ? ? ? ? 5π? 故g(x)在?0,24?上的值域为[-3,6]. ? ?

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3.解:(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z), 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. sin 2x 因为f(x)=(sin x-cos x) sin x =2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 =
? π? 2sin?2x-4?-1, ? ?

2π 所以f(x)的最小正周期T= 2 =π.

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(2)函数 y=sin x

? π 3π? 的单调递减区间为?2kπ+2,2kπ+ 2 ?(k∈Z). ? ?

π π 3π 由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,x≠kπ(k∈Z), 2 4 2 3π 7π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ (k∈Z). 8 8 所以
? 3π 7π? f(x)的单调递减区间为?kπ+ 8 ,kπ+ 8 ?(k∈Z). ? ?

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2 5 2 4. (1)由 0<A<π, A= , sin A= 1-cos A= . 解: cos 得 3 3 又 5cos C=sin B=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C 5 2 = cos C+ sin C.所以 tan C= 5. 3 3 5 1 (2)由 tan C= 5,得 sin C= ,cos C= . 6 6 5 于是 sin B= 5cos C= . 6 a c 由 a= 2及正弦定理 = ,得 c= 3. sin A sin C 1 5 设△ABC 的面积为 S,则 S= acsin B= . 2 2

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[热点透析高考]
例1:(1)∵f(x)=sin x+cos x, ∴f(-x)=cos x-sin x. ∵f(x)=2f(-x), ∴sin x+cos x=2(cos x-sin x),且cos x≠0, 1 ∴tan x=3, cos2 x-sin xcos x cos2x-sin xcos x 1-tan x 6 ∴ = = = . 1+sin2 x 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 11

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(2)由题知F(x)=cos2x-sin2x+1+2sin xcos x, ∴F(x)=cos 2x+sin 2x+1, ∴F(x)=
? π? 2sin?2x+4?+1. ? ?

? π? ∴当sin?2x+4?=1时,F(x)max= ? ?

2+1.

π π π 由-2+2kπ≤2x+4≤2+2kπ(k∈Z)得 π 3π 8+kπ≥x≥- 8 +kπ(k∈Z), 故所求函数F(x)的单调递增区间为
? 3π ? π ?- +kπ, +kπ?(k∈Z). 8 8 ? ?

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例 2: (1)∵f(x)=
? π? ?x+ ?, =2sin 3? ?

? π? 3sin?x+2?+sin x= ? ?

3cos x+sin

? x=2? ?

? 3 1 ? 2 cos x+2sin x?

∴f(x)的最小正周期为 2π. π (2)∵将 f(x)的图像向右平移6个单位,得到函数 g(x)的图像,
?? ? ? π? π? π? π? ?x- ?=2sin??x- ?+ ?=2sin?x+ ?. ∴g(x)=f 6? 3? 6? 6? ? ? ??

π ?π 7π? ∵x∈[0,π],∴x+6∈?6, 6 ?, ? ?
? π? π π π ?x+ ?=1,g(x)取得最大值 2. ∴当 x+6=2,即 x=3时,sin 6? ? ? π? π 7π 1 当 x+6= 6 ,即 x=π 时,sin?x+6?=-2,g(x)取得最小值-1. ? ?

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例 3:(1)∵A,B,C 为△ABC 的内角, π 6 且 A=3,cos B= 3 , 3 ∴C=π-(A+B),sin B= 3 , 3 2+ 3 ∴sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= . 6

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(2)由余弦定理得: c2=a2+( 6-1)b=b2+c2-2bccos A+( 6-1)b, 即b-c+ 6-1=0. 6+1 bsin C 又由正弦定理得c= sin B = 2 b,则b=2. 所以边b的长为2. 例4:(1)在△ABC中,由余弦定理得 AC2+BC2-AB2 82+52-AB2 cos C= = ,① 2AC· BC 2×8×5

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在△ABD中,由余弦定理得 AD2+BD2-AB2 72+72-AB2 cos D= = ,② 2AD· BD 2×7×7 由∠C=∠D得cos C=cos D, 解得AB=7,所以AB的长度为7米. (2)小李的设计使建造费用最低. 理由如下: 1 易知S△ABD=2AD· BDsin D, 1 S△ABC=2AC· BCsin C,

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因为AD· BD>AC· BC,且∠C=∠D, 所以S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC的形状建造环境标志费用较低. 因为AD=BD=AB=7,所以△ABD是等边三角形,∠D=60° . 1 故S△ABC=2AC· BCsin C=10 3, 所以所求的最低造价为 5 000×10 3=50 000 3≈86 600 元.

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创新预测 x 1.解:(1)∵f(x)=2cos 2- 3sin x
2

=1+cos x- 3sin

? π? x=1+2cos?x+3?, ? ?

∴最小正周期T=2π,f(x)的值域为[-1,3].

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? π? 1 ?α- ?= , (2)∵f 3? 3 ?

1 1 ∴1+2cos α=3,即cos α=-3. 2 2 ∵α为第二象限角,∴sin α= 3 . cos2 α-sin2α cos 2α ∴ = 1+cos 2α-sin 2α 2cos2α-2sin αcos α 1 2 2 -3+ 3 cos α+sin α 1-2 2 = 2cos α = 2 = 2 . -3

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?sin 2x=m, ? 2.解:(1)∵z1=z2,∴? ?λ=m- 3cos ?

2x.

∴λ=sin 2x- 3cos 2x, 若λ=0,则sin 2x- 3cos 2x=0,得tan 2x= 3. ∵0<x<π,∴0<2x<2π. π 4π ∴2x=3或2x= 3 . π 2π ∴x=6或 3 . (2)∵λ=f(x)=sin 2x- 3cos 2x
?1 =2? sin ?2 ? ? 3 ? 2x- 2 cos 2x? ?

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? =2?sin ?

π π? 2xcos 3-cos 2xsin3? ?

? π? =2sin?2x-3?, ? ?

1 又∵当x=α时,λ=2,
? ? π? 1 π? 1 ∴2sin?2α-3?=2,sin?2α-3?=4, ? ? ? ? ? ? 2π? π? 2 ∴cos?4α- 3 ?=1-2sin ?2α-3? ? ? ? ?

1 7 =1-2×16=8.

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2π 3.解:(1)由题意知 A=2,T=π,于是 ω= T =2, π 将 y=2sin 2x 的图像向左平移12个单位长度, 得 f(x)=2sin (2)依题意得
? ? π? π? 2?x+12?=2sin?2x+6?. ? ? ? ?

? ? π? π ? g(x)=2sin?2?x-4?+6? ? ? ? ?

? π? =-2cos?2x+6?. ? ?



? ? π? π? y=f(x)+g(x)=2sin?2x+6?-2cos?2x+6? ? ? ? ? ? π? 2sin?2x-12?. ? ?

=2

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由2

? π? 2sin?2x-12?= ? ?

? π? 6,得sin?2x-12?= ? ?

3 2.

π π π ∵0<x<π,∴-12<2x-12<2π-12. π π π 2π ∴2x-12=3或2x-12= 3 , 5 3 ∴x=24π或x=8π,
?5π ∴所求交点坐标为?24, ? ? ?3π 6?或? 8 , ? ? ? 6?. ?

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4.解:(1)f(x)=( 3sin ωx+cos ωx)cos ωx 3 1 1 = 2 sin 2ωx+2cos 2ωx+2
? π? 1 =sin?2ωx+6?+2. ? ?

6k-1 5π π 据题意,2ω· +6=kπ,k∈Z,ω= 20 ,k∈Z, 3 1 1 ∵0<ω<2,∴当k=1时,ω=4.
?1 π? 1 从而f(x)=sin?2x+6?+2, ? ?

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1 π 1 π 3 故a=2,2kπ+2≤2x+6≤2kπ+2π,k∈Z,
? 2π 8 ? 单调递减区间是?4kπ+ 3 ,4kπ+3π?,k∈Z. ? ?

(2)2sin Acos B-cos Bsin C=sin Bcos C,2sin Acos B= 1 π sin(B+C),cos B=2,∴B=3.
?1 π? 1 2 ? A+ ?+ ,0<A< π, f(A)=sin 2 6? 2 3 ? ? 3? π 1 π π 3 ?1, ?. 2? 6<2A+6<2,1<f(A)<2,f(A)∈?

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π ? ?x≠kπ+2?k∈Z?, ? 5.解:(1)由 f(x)的解析式可知?2x≠kπ+π?k∈Z?, ? 2 ? ?2x≠kπ+x?k∈Z?, π ? ?x≠kπ+2?k∈Z?, ? 即?x≠kπ+π?k∈Z?, ? 2 4 ? ?x≠kπ?k∈Z?. 故函数 f(x)的定义域为
? D=? ? ? π kπ π x|x≠kπ+2,x≠ 2 +4,x≠kπ,k∈Z?. ?

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sin xsin 2x cos xcos 2x f(x)= sin 2x sin x - 3cos 2x cos 2x-cos x sin xsin 2x = - 3· 2x cos sin 2xcos x-cos 2xsin x sin xsin 2x = - 3cos 2x sin?2x-x? =sin 2x- 3cos
? π? 2x=2sin?2x-3?. ? ?

π π 5 令2x0-3=2kπ+2,得x0=kπ+12π(k∈Z), 因为x0∈D,所以x=x0时,f(x)取得最大值f(x0)=2.

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b2+c2-a2 4a2+c2-a2 1?3a (2)由余弦定理得,cos A= 2bc = =4? c + 4ac ? 1 4×2 3a c 3 ·= 2 , c a

c? ?≥ a?

3a c 当且仅当 c =a时取等号,即c= 3a时等号成立. π π π 因为A为△ABC的内角,所以0<A≤6,则-3<2A-3≤0,所 以-
? π? 3<2sin?2A-3?≤0, ? ?

故f(A)的取值范围为(- 3,0].

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6.解:(1)设相遇时小艇航行距离为 S 海里,则 S= 900t2+400-2· 20· 30t· cos?90° -30° ? = 900t -600t+400=
2

? 1?2 900?t-3? +300 ? ?

1 故当 t=3时,Smin=10 3,v=30 3,即小艇以每小时 30 3海里的速度航行,相遇时距离最小.

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(2)若轮船与小艇在B处相遇,由题意可得: (vt)2=202+(30t)2-2· (30t)· 20· cos(90° -30° ) 400 600 化简得v = t2 - t +900
2

?1 3?2 =400? t -4? +675, ? ?

1 1 1 由于0<t≤ 2 ,即 t ≥2,所以当 t =2时,v取得最小值10 13 ,即 小艇航行速度的最小值为10 3海里/小时.

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400 600 1 (3)由(2)知 v = t2 - t +900,令 t =μ(μ>0),
2

于是有 400μ2-600μ+900-v2=0,小艇总能有两种不同的航 行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根,
??600?2-1 600?900-v2?>0, ? ∴? ?900-v2>0, ?

解得 15 3<v<30,所以 v 的取值范围为(15 3,30).

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