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高中物理竞赛全套教程讲座之一:5.机械振动和机械波


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第五讲

机械振动和机械波

§5.1 简谐振动
5.1.1、简谐振动的动力学特点
如果一个物体受到的回复力 F 回 与它偏离平衡位置的位移 x 大小成正比,方 向相反。即满足: F回 = K x 的关系,那么这个物体的运动就定义为简谐振动根

据牛顿第二是律,物体的加速度

a=

F回 K = m m ,因此作简谐振动的物体,其加速

度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比,方何相反。 现有一劲度系数为 k 的轻质弹簧,上端固定在 P 点,下端固定一个质量为 m 的物体,物体平衡时的位置记作 O 点。现把物体拉离 O 点后松 手,使其上下振动,如图 5-1-1 所示。 当物体运动到离 O 点距离为 x 处时,有 F回 = F mg = k ( x0 + x) mg
x

P

式中 x 0 为物体处于平衡位置时,弹簧伸长的长度,且有 kx0 = mg ,因此 F回 = kx 说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移 x 成正比。因回复力指 向平衡位置 O,而位移 x 总是背离平衡位置,所以回复力的方向与离开平衡位置 的位移方向相反,竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。 注意:物体离开平衡位置的位移,并不就是弹簧 伸长的长度。 图 5-1-1

A
O



0

x

5.1.2、简谐振动的方程
图 5-1-2
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由于简谐振动是变加速运动,讨论起来极不方便,为此。可引入一个连续 的匀速圆周运动,因为它在任一直径上的分运动为简谐振动,以平衡位置 O 为圆 心,以振幅 A 为半径作圆,这圆就称为参考圆,如图 5-1-2,设有一质点在参考 圆上以角速度 ω 作匀速圆周运动,它在开始时与 O 的连线跟 x 轴夹角为 0 ,那么 在时刻 t,参考圆上的质点与 O 的连线跟 x 的夹角就成为 = ωt + 0 ,它在 x 轴 上的投影点的坐标

x = A cos(ωt + 0 )

(2)

这就是简谐振动方程,式中 0 是 t=0 时的相位,称为初相:ωt + 0 是 t 时刻的相 位。 参考圆上的质点的线速度为 Aω ,其方向与参考圆相切,这个线速度在 x 轴 上的投影是 v = Aω cos(ωt + 0 ) 这也就是简谐振动的速度 参考圆上的质点的加速度为 Aω ,其方向指向圆心,它在 x 轴上的投影是
2

(3)

a = Aω 2 cos(ωt + 0 )

(4)

这也就是简谐振动的加速度 由公式(2)、(4)可得
a = ω 2 x

由牛顿第二定律简谐振动的加速度为
a= F k = x m m

因此有

ω2 =

k m
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(5)

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简谐振动的周期 T 也就是参考圆上质点的运动周期,所以

T=

2π m = 2π w k

5.1.3、简谐振动的判据 .
物体的受力或运动,满足下列三条件之一者,其运动即为简谐运动: ①物体运动中所受回复力应满足 ②物体的运动加速度满足 ③物体的运动方程可以表示为

F = kx ;
a = ω 2 x ;

x = A cos(ωt + 0 ) 。

事实上,上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本的,由它可以 导出另外两个条件②和③。

§5.2

弹簧振子和单摆

简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆,下面分别加以讨论。

5.2.1、弹簧振子
弹簧在弹性范围内胡克定律成立,弹簧的弹力为一个线性回复力,因此弹 簧振子的运动是简谐振动,振动周期

T = 2π
(1)恒力对弹簧振子的作用

m k 。

k

m
k

m
图 5-2-1

比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的 弹簧振子,如果 m 和 k 都相同(如图 5-2-1),则它们的振动

周期 T 是相同的,也就是说,一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。 如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子, 弹簧原长 l0 , 振子的质量为 m=1.0kg, 电梯静止时弹簧伸长 l =0.10m,从 t=0 时,开始电梯以 g/2 的加速度加速下降

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t = πs ,然后又以 g/2 加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长 l 随时间 t 变化的 图线。 由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动,而电梯是一个有加速度的非惯性系, 因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力 f。在匀速运动中,惯性力是一个恒力,不 会改变振子的振动周期,振动周期

T = 2π / ω = 2π / k m
因为 k = mg / l ,所以

l 2l l O
π


T = 2π l g = 0.2π ( s)
因此在电梯向下加速或减速运动的过 程中,振动的次数都为

T
图 5-2-2

t

n = t / T = π / 0.2π = 5(次)
当电梯向下加速运动时,振子受到向上的惯性力 mg/2,在此力和重力 mg 的 共同作用下,振子的平衡位置在
l1 = 1 mg / k = l / 2 2

的地方,同样,当电梯向下减速运动时,振子的平衡位置在
l 2 = 3 mg / k = 3l / 2 2

的地方。在电梯向下加速运动期间,振子正好完成 5 次全振动,因此两个阶段内 振子的振幅都是 l / 2 。弹簧的伸长随时间变化的规律如图 5-2-2 所示,读者可以 思考一下, 如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从 5T 时刻而是从 4.5T 时刻开始 的,那么 l ~ t 图线将是怎样的? (2 ) 弹簧的组合

k 设有几个劲度系数分别为 k1 、 2 …… k n 的轻弹簧串联起来,

组成一个新弹簧组,当这个新弹簧组在 F 力作用下伸长时,各弹簧的伸长为 x1 ,
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那么总伸长
x = ∑ xi
i =1 n

各弹簧受的拉力也是 F,所以有 xi = F / ki



x = F∑
i =1

n

1 ki

根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数

k =F/x
1/ k = ∑
i =1 n

即得

1 ki

如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组,那么各弹簧的伸长是 相同的。要使各弹簧都伸长 x ,需要的外力 F = ∑ ki x = x ∑ k i
i =1 i =1 n n

根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数 k=
n F = ∑ ki x i =1

m
图 5-2-3

导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后,在解题中要灵活地 应用,如图 5-2-3 所示的一个振动装置,两根弹簧到底是并联还是串联?这里我 们必须抓住弹簧串并联的本质特征:串联的本质特征是每根弹簧受力相同;并联 的本质特征是每根弹簧形变相同。由此可见图 5-2-3 中两根弹簧是串联。 当 m 向下偏离平衡位置 x 时,弹簧组伸长了 2 x ,增加的弹力为 F = 2xk = 2x k1k 2 k1 + k 2

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m 受到的合外力(弹簧和动滑轮质量都忽略)
ΣF = 2 × 2x k1k 2 4k k = 1 2 x k1 + k 2 k1 + k 2

所以 m 的振动周期

T = 2π

m(k1 + k 2 ) 4k1k 2 m(k1 + k 2 ) k1k 2

π
=

再看如图 5-2-4 所示的装置,当弹簧 1 由平衡状态伸长 l1 时,弹簧 2 由平衡 位置伸长了 l2 ,那么,由杆的平衡条件一定有(忽略杆的质量)

k l a = k l b
1 1 2 2

l 2 =

k1 a l1 k2 b
b a
1

2

k2

由于弹簧 2 的伸长,使弹簧 1 悬点下降 x′ = l2 a k1 a = l1 b k2 b 2
2

k1

m
图 5-2-4

因此物体 m 总的由平衡位置下降了

k a x1 = l1 + x′ = 1 2 + 1l2 k b 2
2

此时 m 所受的合外力 ΣF = k1l1 = 所以系统的振动周期 m(k1a 2 + k 2b 2 ) T = 2π k1k 2b 2 (3)没有固定悬点的弹簧振子 质量分别为 m A 和 mB 的两木块 A 和 B,用 k1k 2b 2 x1 k1a 2 + k 2b 2

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一根劲度系数为 k 的轻弹簧联接起来,放在光滑的水平桌面上(图 5-2-5)。现 在让两木块将弹簧压缩后由静止释放,求系统振动的周期。 想象两端各用一个大小为 F、方向相反的力将弹簧压缩,假设某时刻 A、B 各偏离了原来的平衡位置 x A 和 x B ,因为系统受的合力始终是零,所以应该有

mA x A = mB xB
A、B 两物体受的力的大小



FA = FB = ( x A + xB )k
由①、②两式可解得
FA = k m A + mB xA mB m A + mB xB mB



A
图 5-2-5

B

FB = k

由此可见 A、B 两物体都做简谐运动,周期都是

T = 2π

m A mB k ( m A + mB )

此问题也可用另一种观点来解释:因为两物体质心处的弹簧 是不动的,所以可以将弹簧看成两段。如果弹簧总长为 l0 ,左边 mB m A + mB l0 k 一段原长为 m A + mB ,劲度系数为 mB ;右边一段原长为 mA m A + mB l0 k m A + mB ,劲度系数为 mB ,这样处理所得结果与上述结 果是相同的,有兴趣的同学可以讨论,如果将弹簧压缩之后,不

O
θ

F

B

x mg

A

图 5-2-6

是同时释放两个物体,而是先释放一个,再释放另一个,这样两个物体将做什么 运动?系统的质心做什么运动?

5.2.2、单摆 . 、
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一个质量为 m 的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的 O 点,小球摆动至与 竖直方向夹 θ 角,其受力情况如图 5-2-6 所示。其中回复力,即合力的切向分力 为 F回 = mg sin θ 当 θ <5时, △OAB 可视为直角三角形, 切向分力指向平衡位置 A, 且 所以
F回 = mg x l sin θ = x l,

mg F回 = kx (式中 k = l )

说明单摆在摆角小于 5时可近似地看作是一个简谐振动,振动的周期为
T = 2π m l = 2π k g

在一些异型单摆中, l 和 g 的含意以及值会发生变化。 (1)等效重力加速度 g ′ 单摆的等效重力加速度 g ′ 等于摆球相对静止在平衡位置时, 指向圆心的弹力 与摆球质量的比值。 如在加速上升和加速下降的升降机中有 一单摆,当摆球相对静止在平衡位置时,绳子 中张力为 m( g ± a ) ,因此该单摆的等效重力加
T = 2π l g±a

O
θ

速度为 g ′ = g ± a 。周期为

图 5-2-7

再如图 5-2-7 所示,在倾角为 θ 的光滑斜 面上有一单摆,当摆球相对静止在平衡位置

a
O
α

A
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f = ma

mg
图 5-2-8

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时,绳中张力为 mg sin θ ,因此单摆的等效重力加速度为 g ′ = g sin θ ,周期为
T = 2π l g sin θ

又如一节车厢中悬挂一个摆长为 l 的单摆,车厢以加速度 a 在水平地面上运 动 (如图 5-2-8) 由于小球 m 相对车厢受到一个惯性力 f = ma , 。 所以它可以 “平 tga = a g ,此单摆可以在车厢中以 OA 为中心做简谐振动。当

衡”在 OA 位置,

2 2 小球相对静止在平衡位置 A 处时,绳中张力为 m a + g ,等效重力加速度

g ′ = a 2 + g 2 ,单摆的周期

T = 2π
(2)等效摆长 l ′

l a + g2
2

θ

l

单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距 离,而是指摆球的圆弧轨迹的半径。如图 5-2-9 中 的双线摆,其等效摆长不是 l ,而是 l sin θ ,周期 T = 2π l sin θ g

m
图 5-2-9

B D

再如图 5-2-10 所示,摆球 m 固定在边长为 L、 质量可忽略的等边三角形支架 ABC 的顶角 C 上, 三角支架可围绕固定的 AB 边自由转动,AB 边与 竖直方向成 a 角。 当 m 作小角度摆动时, 实际上是围绕 AB 的中

α
A

l′

m
C

α
图 5-2-10

aM
点 D 运动,故等效摆长
θ

N

M
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maM

mg

图 5-2-11

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l ′ = L cos 30 0 =

3 L 2

正因为 m 绕 D 点摆动,当它静止在平衡位置时,指向 D 点的弹力为 mg sin a , 等效重力加速度为 g sin a ,因此此异型摆的周期 T = 2π l′ 3L = 2π g′ 2 g sin a

(3)悬点不固定的单摆 如图 5-2-11,一质量为 M 的车厢放在水平光滑地面上,车厢中悬有一个摆 长为 l ,摆球的质量为 m 的单摆。显然,当摆球来回摆动时,车厢也将作往复运 动,悬点不固定。 由摆球相对于车厢的运动是我们熟悉的单摆,故取车厢为非惯性系,摆球受 到重力 mg,摆线拉力 N 和惯性力 maM 的作用,如图 分析摆球
N= mg cosθ maM sin θ

①(忽略摆球向心力) ②

回复力 分析车厢:

F = mg sin θ + maM cosθ

N sin θ = MaM



2 因为 θ 很小,所以可认为 sin θ = θ , cosθ = 1 , sin θ = 0

则由①、③式可得
aM = m gθ M

把它代入②
F = mg (1 + m )θ M

摆球偏离平衡位置的位移

x = θl

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所以

F=

mg ( M + m) x MI

因此摆球作简谐振动,周期
T = 2π ml ( M + m) g T = 2π l g l g ,因为此时 M 基本不动,一般

由周期表达式可知:当 Mm 时,

情况下,

T < 2π

§5.3
5. 3.1、简谐振动中的能量 . 、

振动能量与共振

以水平弹簧振子为例,弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构 成,在振动过程中,振子的瞬时动能为:
EK = 1 2 1 mv = mA 2ω 2 sin 2 (ωt + ) 2 2

振子的瞬时弹性势能为:
Ep = 1 2 1 kx = mω 2 A2 cos 2 (ωt + ) 2 2

振子的总能量为:
E = EK + E p = 1 1 mω 2 A 2 = kA2 2 2

简谐振动中,回复力与离开平衡位置的位移 x 的比值

F回 kx

1 2 kA k 以及振幅 A 都是恒量,即 2 是恒量,因此振动过程

x
中,系统的机械能守恒。 如以竖直弹簧振子为例,则弹簧振子的能量由振子的 动能、重力势能和弹簧的弹性势能构成,尽管振动过程中,系统的机械能守恒, 但能量的研究仍比较复杂。由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共同提供的,
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O
图 5-3-1

x

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1 2 kx 而且是线性力(如图 5-3-1),因此,回复力做的功 2 (图中阴影部分的面积)

也就是系统瞬时弹性势能和重力势能之和, 所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能 表达式,式中 x 应指振子离开平衡位置的位移,则 E p 就是弹性势能和重力势能 之和,不必分开研究。 简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法,这种方法不涉及
Ep = 1 2 kx 2 ,

振子所受的力, 在力不易求得时较为方便, 将势能写成位移的函数, 即 k=
2E p

x2 。 另有

ω=

k = m

2E p

mx 2

也可用总能量和振幅表示为

ω=

2E p

mx 2

5.3.2、阻尼振动 . 、
简谐振动过程的机械能是守恒的,这类振动一旦开始,就永不停止,是一种 理想状态。实际上由于摩擦等阻力不可完全避免,在没有 外来动力的条件下,振动总会逐渐减弱以致最后停息。这 种振幅逐渐减小的振动,称为阻尼振动。阻尼振动不是谐 振动。 ①振动模型与运动规律 如图 5-3-2 所示,为考虑阻尼影响的振动模型,c 为阻尼器,粘性阻尼时, 阻力 R=-cv,设 m 运动在任一 x 位置,由 ΣF = mα x 有
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x c
R
图 5-3-2

M

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mα x = kx cv x 分为
a x + 2nv x + w 2 x = 0

(17)

式中

n=

c 2m

x

这里参考图方法不再适用,当 C 较小时,用微 分方程可求出振体的运动规律,如图 4-22 所示。 o ②阻尼对振动的影响 由图 5-3-3 可见,阻尼使振幅逐渐衰减,直 至为零。同时也伴随着振动系统的机械能逐渐衰 减为零。
c =n 愈大,即阻尼愈大,振幅衰减 此外, 2m

t

图 5-3-3

k

1cm

x

图 5-3-4

愈快。而增大质量 m 可使 n 减小。所以,为了减 小阻尼,单摆的重球及弹簧振子往往选用重球。 ③常量阻力下的振动 例 1、如图 5-3-4 所示,倔强系数为 250g/cm 的弹簧一端固定,另端连结一

质量为 30g 的物块,置于水平面上,摩擦系数

=

1 4 ,现将弹簧拉长 1cm 后静止

释放。试求:(1)物块获得的最大速度;(2)物块经过弹簧原长位置几次后才 停止运动。 解:振体在运动中所受摩擦阻力是与速度方向相反的常量力,并不断耗散系 统的机械能,故不能像重力作用下那样,化为谐振动处理。 (1)设首次回程中,物块运动至弹簧拉力等于摩擦力的 x 位置时,达最大 速度 。
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1 mg 4 = 0.03(cm) x= = kx = mg , k 250 g 30 g ×

再由能量守恒:
1 2 1 1 2 kx0 = mg (1 0.03) + k × 0.032 + mvmax 2 2 2

代入已知数据得
vmax = 485(cm / s )

′ (2)设物体第一次回程中,弹簧的最大压缩量为 x1 ,则
1 2 1 2 ′ ′ kx0 kx1 = mg ( x0 + x1 ) 2 2 2mg ′ ∴ x0 x1 = k

再设物体第一次返回中,弹簧的最大拉伸量为 x1 ,则
1 2 1 2 ′ ′ kx1 kx1 = mg ( x1 + x1 ) 2 2 2mg ′ ∴ x1 x1 = k

可见振体每经过一次弹簧原长位置,振幅减小是相同的,且均为
2mg = k 2 × 30 ×1000 × 1 4 = 3 (cm) 250 × 1000 50



1 = 16 0.04(cm) < 0.06cm 3 / 50

故物体经过 16 次弹簧原长位置后,停止在该处右方。

5.3.3 . .

——在周期性策动外力作用下的振动。 受迫振动——

例如:扬声器的发声,机器及电机的运转引起的振动。
1、振动模型及运动规律

如图 5-3-5 所示,为策动外力作用下的振动模型。其中,阻力 R=-cv,为常 见的粘性阻尼力。

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策动力 F=Hcospt,为简谐力时。 由 ΣF回 = ma x , ma x = H cos pt cvx kx 化为标 有 准标式

o

x c

α x + 2nv x + ω x = h cos pt
2

R
图 5-3-5

F = H cos pt M

式中

n=

c ω= 2m ,

k H h= m, m

由微分方程理论可求得振子的运动规律 (2)受迫振动的特性 在阻尼力较小的条件下,简谐策动力引起的振动规律如图 5-3-6 所示。在这 个受迫振动过程由两部分组成: 一部分是按阻尼系统本身的固有频率所作的衰减 振动,称为瞬态振动(图(a));另一部分按策动力频率所作的稳定振动(图 (b))。在实际问题中,瞬态振动很快消失,稳态振动显得更加重要。稳态振 动的频率与系统本身的固有频率无关,其振幅与初位相也不由初始条件确定,而 与策动频率 p 密切相关。

5.3.4、共振—当策动力频率 p 接近于系统的固有频率 ω 时受迫振动振 . . 、
幅出现最大值的现象。 如图 5-3-7 所示的一组曲线, 描述了不同阻尼 系统的稳态振幅 A 随策动力频率 p 改变而引起的

c0 = 0
A

变化规律。由图可见:
1、当 p 接近 ω 时振幅最大,出现共振。 2、阻尼越小,共振越大。 3、 p → 0 时,振幅就是静力偏移,即

c1 < c2 < c3 A0 O

c1 c2 c3
ω

P

图 5-3-7

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H k 4、p>> ω 时,振体由于惯性,来不及改变运动,处于静止状态。 A0 =

§5.4

振动的合成

若一个物体同时受到两个或几个周期性策动力的作用,在一般情况下其中一 个力的存在不会对另外一个力产生影响, 这时物体的振动就是它在各个策动力单 独作用下产生的振动相互叠加后的振动, 由各策动力单独产生的振动来求它们叠 加后的振动,叫振动的合成。

4. 5. 4.1、

同方向、 同方向、同频率两简谐运动的合成

当一个物体同时参与同方向的两个振动时,它在某一时刻的位移应为同一时 刻两个振动的位移的代数和。当两振动的频率相同时,设此两振动的位移分别为
x x x

o

t

+

o

t

=

o

t

瞬态振动

静态振动

受迫振动

(a )

(b) 图 5-3-6

(c)

x1 = A1 cos(ωt + 1 ) x2 = A2 cos(ωt + 2 )
则合振动的位移应为

x = x1 + x2 = A1 cos(ωt + 1 ) + A2 cos(ωt + 2 ) = A1 cos ωt cos 1 A1 sin ωt sin 1 + A2 cos ωt cos 2 A2 sin ωt sin 2 = ( A1 cos 1 + A2 cos 2 ) cos ωt ( A1 sin 1 + A2 sin 2 ) sin ωt
= A cos cos ωt A sin sin ωt
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= A cos(ωt + )

上式中
A = ( A1 cos 1 + A2 cos 2 ) 2 + ( A1 sin 1 + A2 sin 2 ) 2 =
2 A12 + 2 A1 A2 cos( 2 1 ) + A2

tg =

A1 sin 1 + A2 sin 2 A1 cos 1 + A2 cos 2

根据以上结论,进一步可以看到 ①若 2 1 = 0或2kπ (k 为整数),则

cos( 2 1 ) = 1
A=
2 A12 + 2 A1 A2 + A2 = A1 + A2

即合振动的振幅达到最大值,此时合振动的初位相与分振动的初位相同(或相差

2kπ )
②若 2 1 = π 或 ( 2k + 1)π 则

cos( 2 1 ) = 1
2 A = A12 2 A1 A2 + A2 = A1 A2

即合振动的振幅达到最小值。此时合振动的初位相取决于 A1 和 A2 的大小。即当

A1 > A2 时,合振动的初位相等于 1 (1 + 2kπ ) ;当 A2 > A1 时,合振动的初位相等
于 2 (或 2 + 2kπ ) ;当 A2 = A1 时,则 A=0,物体不会发生振动。 ③一般情况下, 2 1 可以任意值,合振动的振幅 A 的取值范围为

A1 + A2 ≥ A ≥ A1 A2

4. 5. 4.2、

同方向、 同方向、频率相近的两振动的合成

设物体同时参与两个不同频率的简谐运动,例如

x1 = A1 cosω1t
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x2 = A2 cos ω 2t
为简单起见,我们已设 2 = 1 = 0 ,这只要适当地选取时间零点,是可以做到的。 如果再设 A1 = A2 = A ,则合振动

x = x1 + x2 = A(cosω1t + cos ω 2t )
= 2 A cos

ω1 ω 2
2

t cos

ω1 + ω 2
2

t

由于 ω1 和 ω 2 相差不多,则有( ω1 + ω 2 )比( ω1 ω 2 )大很多,由此,上一
2 A cos

ω1 ω 2
2

合振动可以看成是振幅为

t

ω1 + ω 2
(随时间变化)。角频率为
2

的振

动。这种振动称为“拍”。拍的位移时间图像

x
大致如图 5-4-1 所示。由图可见,振幅的变化
2 A cos
T

ω1 ω 2
2

o
t

t

周期 T ′ 为

变化周期的一半,即 图 5-4-1

1 2 2π T′ = 2π = 2 ω1 ω 2 ω1 ω 2

或拍频为

v′ =

1 ω1 ω 2 = = v1 v2 T′ 2π

ω ′ = ω1 ω 2

5.4.3、同频率相互垂直的两个简谐振动的合成
当一物体同时参与相互垂直的振动时

x = A1 cos(ωt + 1 ) y = A2 cos(ωt + 2 )
合振动的轨迹在直角坐标系中的方程为

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x 2 y 2 2 xy + 2 cos( 2 1 ) = sin 2 ( 2 1 ) A12 A2 A12 当 2 1 = 2 Kπ 时, ( K = 0,±1,±2 ) x 2 y 2 2 xy + 2 =0 A12 A2 A12
y= A2 x A1

(6-17)



A2 合成结果仍为简谐振动(沿斜率为 A1 的直线作简谐振动)。

当 2 1 = ( 2 K + 1)π 时, ( K = 0,±1,±2 )
x2 y 2 + 2 =1 A12 A2

可见,当

2 1 =

π

3 或 π 2 2 时,合振动均为椭圆振动,但两者旋转方向不同。

§5.5 机械波
5.5.1、机械波 . . 、
机械振动在介质中的传播形成机械波,波传递的是振动和能量,而介质本身 并不迁移。 自然界存在两种简单的波: 质点振动方向与波的传播方向垂直时, 称为横波; 与传播方向一致时,叫纵波,具有切变弹性的介质能传播横波;具有体变弹性的 介质可传播纵波,固体液体中可以同时有横波和纵波,而在气体中一般就只有纵 波存在了。 在波动中,波上相邻两个同相位质点间的距离,叫做一个波长,也就是质点 作一个全振动时,振动传播的距离。由于波上任一个质点都在做受迫振动,因此

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它们的振动频率都与振源的振动频率相等, 也就是波的频率, 在波动中, 波长 λ 、 频率 f 与传播速度 v 之间满足
v = λf =

λ
T

(1)

注意:波速不同于振动质点的运动速度,波速与传播介质的密度及弹性性质 有关。

5.5.2、波动方程 . . 、
如图 5-5-1 所示,一列横波以速度 v 沿 x 轴正方向传播,设波源 O 点的振动 方程为: y = A cos(ωt + 0 )

y

v

O
在 x 轴上任意点 P 的振动比 O 点滞后时间 tp = x v ,即当 O 点相位为 (ωt + 0 ) 时,P 点的相位为

P

x

图 5-5-1

x l f = ω (t v ) + 0 ,由 ω = 2πf , v = λf , T ,P 点

振动方程为
x y = A cos ω (t ) + 0 v = A cos(2πft 0
2πx

λ 2π 2πx = A cos( t + 0 ) T λ

)

这就是波动方程,它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律。 当波向 x 轴负方向传播时,(2)式只需改变 v 的正负号。由波动方程,可以 (1)求某定点 x1 处的运动规律 将 x = x1 代入式(6-14),得
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y1 = A cos(

x 2π t + 0 2π 1 ) T λ

= A cos(ωt + 1 )

其中

1 = 0

2πx1

λ 为 x1 质点作简谐振动的初相位。

(2)求两点 x1 与 x 2 的相位差 将 x = x2 代入(2)式,得两点 x1 、 x 2 的相位差
= 1 2 = 2π x2 x1 = x2 x1

λ

λ
2



2k ( k

为整数),则 = 2kπ ,则该两点同相,它们的位移和速

度都相同。若

x2 x1 = ( 2k + 1)

λ
2

(k

为整数),则 = ( 2k + 1)π ,则该两点相位相

反,它们的位移和速度大小相同,速度方向刚好相反。 球面波的波动方程与平面波相比,略有不同,对于球面波,其振幅随传播距离的 增加而衰减,设离波源距离为 r1 处的振幅为 A1 ,离波源距离为 r2 处的振幅为 A2 。 则有

A1r1 = A2 r2
即振幅与传播的距离成反比 球面简谐波的方程为
y (r , t ) = A 2π cos(ωt r) r λ

式中 A 是与波源的距离为一个单位长度处的振幅。
3、波的叠加和干涉

当空间存在两个(或两个以上)振源发出的波时,空间任一点的扰动是各个 波在该点产生的扰动的矢量和,这叫做波的叠加原理。

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当有频率相同、振动方向相同的两列波在空间叠加时,会出现某些地方振动 增强,某些地方振动减弱的现象,叫做波的干涉,这样的两列波叫相干波。 设有两列相干波自振源 S1 、S 2 发出,两振源的位相相同,空间任一点 P 至 S1 的距离为 r1 ,至 S 2 的距离为 r2 (图 5-5-2),则两列波在 P 点产生的振动的相位 差为
= 2π r2 r1

λ

r1

P
r2

当 = k 2π ( k 为整数),即当波程差
r = r2 r1 = 2k

S1
d

λ
2 时,P 点的合振动加

{
S 2 r
图 5-5-2

强; 当 = ( 2k + 1)π ,即当波程差
r = r2 r1 = ( 2k + 1)

λ
2 时,P 点的合振动减弱,可见 P 点振动的强弱由波

程差 r = r2 r1 决定,是 P 点位置的函数。 总之, 当某一点距离两同位相波源的波程差等于零或者 是波长的整数倍时,该点振动的合振幅最大,即其振动总 是加强的;当某一点距离两同位波源的波程差等于半波长 或半波长的奇数倍时,该点振动的合振幅最小,即其振动 总是削弱的。
4、波的反射、折射和衍射
C1 C2

i

i

r

图 5-5-3

当波在传播过程中遇到的两种介质的交界面 时,一部分返回原介质中,称为反射波;另一部 分将透入第二种介质继续传播,称为折射波,入

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图 5-5-4

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射波的传播方向与交界面的法线成 i 角,( i 叫入射角),反射波的传播方向与 交界面的法线成 i′ 角( i′ 叫反射角)。折射波的传播方向与法线成 γ 角( γ 叫折 射角),如图 5-5-3,则有

i = i′
sin i c1 = sin r c2

c 式中 c1 为波在入射介质中的传播速度, 2 为波在折射介质中的传播速度, 1) (
式称为波的反射定律,(2)式称为波的折射定律。 弦上的波在线密度不同的两种弦的连结点处要发生反射,反射的波形有所不 同。 设弦上有一向上脉冲波,如图 5-5-4,传到自由端以后反射,自由端可看成 新的振源,振动得以继续延续下去,故反身波仍为向上的脉冲波,只是波形左右 颠倒。当弦上有向上脉冲波经固定端反射时,固 定端也可看成新的“振源”,由牛顿第三定律, 固定端对弦的作用力方向与原脉冲对固定端的 作用力方向相反,故反射脉冲向下,即波形不仅 左、右颠倒,上、下也颠倒,这时反射波可看成 入射波反向延伸的负值(如图 5-5-5),将周期 图 5-5-5

波看成一系列连续脉冲,周期波经自由端或固定端的反射也可由此得出。 波在传播过程中遇到障碍物时,偏离原来的传播方向,传到障碍物“阴影” 区域的现象叫波的衍射。 当障碍物或孔的尺寸比波长小, 或者跟波长相差不多时, 衍射现象比较明显;当障碍物或孔的尺寸比波长大的时候,衍射现象仍然存在, 只是发生衍射的部分跟直进部分相比,范围较小,强度很弱,不够明显而已。此
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外,在障碍物或小孔尺寸一定的情况下,波长越长,衍射现象越明显。

5.5.3、驻波 . . 、
驻波是频率相同、振幅相同、振动方向一致、传播方向相反的两列简谐波叠 加的结果,如图 6-5-6,设弦上传递的是连续的周期波,波源的振动方程为 y0 = A cos ωt 向左传播的入射波表达式为
y1 = A cos(ωt + 2π

λ

x)

5 λ 设波源到固定端的距离为 4 ,则入射波传到反射点时的相位为

ωt +



λ

x = ωt



5 5 ( λ ) = ωt π λ 4 2

考虑到入射波和反射波在连接点的振动相位相反,即入射波在反射时产生了

π 的相位突变,故反射波在反射点的相位为
ωt π π = ωt π
反射波在原点 P 的相位为
5 2 7 2

ωt π π = ωt 6π
因而,反射波的波动方程为
y2 = A cos(ωt 6π 2π

7 2

5 2

λ

x ) = A cos(ωt



λ

x)

合成波为:
y = y1 + y 2 = A cos(ωt + = 2 A cos( 2π 2π

λ

x ) + A cos(ωt



λ

x)

λ

x ) cos ωt

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合成波的振幅为

2 A cos(



λ

x)

与 x 有 关,振幅最大处为波腹,振幅最小处为波

节。波腹的位置为


y

λ

x=k

x = kπ
k = 0,±1,±2

λ
2

DA E

B F

O

x

如图 5-6-6 中的 D、 、 等处。 E F 波节的位置为
2π 1 x = ( k + )π λ 2

图 5-5-6
λ

λ
2
2A

1 λ x = (k + ) 2 2 即
k = 0,±1,±2

波节 波腹 波节 波腹

图 5-5-7

如图 5-5-7 中的 O、 、 等处。 A B

λ
相邻两波节(或波腹)之间的间距为 2 。 不同时刻驻波的波形如图 5-6-7 所示,其中实线表示 t = 0 、T、2T……时的
1 1 3 9 t= T t= T T T 8 、 8 时的波形。 2 、 2 ……时的波形;点划线表示 波形;点线表示

5.5.4、多普勒效应 . . 、
站在铁路旁边听到车的汽笛声,发现当列车迎面而来时音调较静止时为高, 而列车迅速离去时音调较静止时为低,此外,若声源静止而观察者运动,或者声 源和观察者都运动,也会发生收听频率和声源频率不一致的现象,这种现象称为 多普勒效应。下面分别探讨各种情况下多普勒频移的公式: (1)波源静止观察者运动情形 如图 5-5-8 所示, 静止点波源发出的球面波波面是同心的, 若观察者以速度 vD
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趋向或离开波源,则波动相对于观察者的传播速度变为 c′ = c + vD 或 c′ = c vD , 于是观察者感受到的频率为
f′= c′

λ

=

c ± vD

λ

c vD
c
D c

c c vD D

从而它与波源频率 f 之比为 f ′ c ± vD = f c (2)波源运动观察者静止情形

S c c

c

图 5-5-8

若波源以速度 vS 运动,它发出的球面波不再同心。图 5-5-9 所示两圆分别是 时间相隔一个周期 T 的两个波面。它们中心之间的距离为 vS T,从而对于迎面而 来或背离而去的观察者来说,有效的波长为

λ ′′ = λ vS T = (c vS )T
观察者感受到的频率为
f′= c c cf = = λ ′′ (c vS )T c vS

λ ′ = λ + vsT λ

λ λ ′ = λ vsT

D

D

因而它与波源频率 f 之比为
f′ c = f c vS

图 5-5-9

(3)波源和观察者都运动的情形 此处只考虑波的传播方向、波源速度、观察者速度三者共线的特殊情况,这 时有效波速和波长都发生了变化,观察者感受到的频率为
f′= c′ c ± vD c ± vD = = f λ ′′ (c vS )T c vS

从而它与波源频率 f 之比为
f ′ c ± vD = f c vS
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下举一个例 单行道上,有一支乐队,沿同一个方向前进,乐队后面有一坐在车上的旅行 者向他们靠近。此时,乐队正在奏出频率为 440HZ 的音调。在乐队前的街上有 一固定话筒作现场转播。旅行者从车上的收音机收听演奏,发现从前面乐队直接 听到的声音和从广播听到的声音混合后产生拍,并测出三秒钟有四拍,车速为 18km/h,求乐队前进速度。(声速=330m/s)。 解:先考虑车上听到的频率,连续两次应用多普勒效应,有

f1 =

c f0 c + v乐

f 2 = (1 +

v车 ) f1 c ( f 2 为旅行者听到乐队的频率)



f2 =

c + v车 f0 c + v乐

收音机得到频率为

f3 =

c f0 c v乐
4 HZ 3

旅行者听到广播频率为

f4 =

c + v车 f3 c

又拍频为

f 4 f3 =

综上得: v乐 =2.98m/s

5.5.5.声波 . . .
机械振动在空气中的传播称为声波。声波作用于人耳,产生声音感觉。人耳 可闻声波频率是 16~20000 H Z 。频率超过 20000 H Z 的声波叫超声波。超声波具 有良好的定向性和贯穿能力。 频率小于 16 H Z 的声波称为次声波。 在标准情况下, 声波在空气中的速度为 331m/s。 (1)声波的反射—声波遇障碍物而改变原来传播方向的现象。 回声和原来的声波在人耳中相隔至少 0.1 秒以上,人耳才能分辨,否则两种 声音将混在一起,加强原声。

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室内的声波,经多次反射和吸收,最后消失,这样声源停止发声后,声音还 可在耳中继续一段时间,这段时间叫交混回响时间。交混回响时间太长,前后音 互相重叠,分辨不清;交混时间太短,给人以单调不丰满的感觉,这种房间不适 于演奏。 (2)声波的干涉——两列同频率同振幅的声波在媒质中相遇而发生的波干 涉现象。 (3)声波的衍射——声波遇障碍物而发生的波衍射现象。由于声波波长在 17cm—17m 之间,与一般障碍物尺寸可相比拟,可绕过障碍物进行传播。而可 见光的波长在 0.4—0.8 m ,一般障碍物不能被光绕过去。这就是“闻其声而不 见其人”的缘由。 (4)共鸣——声音的共振现象 音叉和空气柱可以发生共鸣。 在一个盛水的容器中插入一根玻璃管,在管口上方放一个正在发声的音叉, 当把玻璃管提起和放下,以改变玻璃管中空气柱的长度时,便可以观察到空气柱
1 L = ( n + )λ n ,式中 L 与音叉发生共鸣的现象。在这个实验中发生共鸣的条件是:

为玻璃管的长度, λ 为音叉发出声波的波长,n 为自然数。
5、乐音噪声——好听、悦耳的声音叫乐音,嘈杂刺耳的声音叫噪声。乐音

是由作周期性振动的声源发出的,嘈声是由做无规则非周期性振动的声源产生 的。
6、音调、响度与音品为乐音三要素。

音调—基音频率的高低,基频高则称音调高。人们对音调的感觉客观上也取 决于声源振动的频率,频率高,感觉音调高。
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响度—声音的强弱。声源振幅大、声音的声强(单位时间内通过垂直于声波 传播方向的单位面积的能量)也大,人感觉到的声音也大。 音品—音色,它反映了不同声源发出的声音具有不同的特色。音品由声音所包含 的泛音的强弱和频率决定。

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