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高中数学选修2-2 1.2.2 复合函数导数运算法则


任丘一中数学新授课导学案

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§1.2.2 复合函数的求导法则
编者:

组长评价: 教师评价:

学习目标
掌握复合函数的求导法则及利用导数求切线的斜率。 教学重点:复合函数求导

法则 教学难点:复合函数求导法则

学习过程
使用说明: (1)预习教材 P32~ P36,用红色笔画出疑惑之处,并尝试完成下列问题,总结规律方法; (2)用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容; (3)不做标记的为 C 级,标记★为 B 级,标记★★为 A 级。

预习案(20 分钟)
一.创设情景 (一)基本初等函数的导数公式表 原函数 导数

y?c
y ? f ( x) ? x n (n ? Q* )

y' ? 0
y ' ? nx n ?1

y ? sin x

y ' ? cos x
y ' ? ? sin x y ' ? a x ? ln a (a ? 0)

y ? cos x
y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? log a x

y' ? ex

f ( x) ? log a xf ' ( x) ?

f ( x) ? ln x

1 (a ? 0且a ? 1) x ln a 1 f ' ( x) ? x

- 1 -

人生最大的喜悦是每个人都说你做不到, 你却完成它了!

(二)导数的运算法则 导数运算法则 1. ? f ( x ) ? g ( x ) ? ? f ( x ) ? g ( x )
' ' '

2. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x)
' ' '

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x ) g ' ( x ) 3. ? ( g ( x) ? 0) ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?
(2)推论: ? cf ( x) ? ? cf ( x) (常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)
' '

'

二.新知导学 【知识点一】复合函数的概念 一般地, 对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) , 如果通过变量 u , y 可以表示成 那么称这个函数为函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的复合函数, 记作 思考:函数 y ? log 3 x ? 2 x ? 5 是由哪两个函数复合而成?
2

, 。

?

?

【知识点二】复合函数的求导法则(★) 复合函数 y ? f ? g ( x) ? 的导数和函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的导数间的关系为 即 y 对 x 的导数等于 即:若 y ? f ? g ( x) ? ,则 y? ? ? f ? g ( x) ??? ? f ? ? g ( x) ? ? g ?( x) ? ? 思考:函数 y ? ln ? 2 x ? 1? 的导数是什么? 【知识点三】函数在某点处切线的斜率和在该点处导数的关系(★) 函数 y ? f ? x ? 在点 P ? x0 , y0 ? 处切线的斜率 k ? 思考:点 P ? x0 , y0 ? 是不是要求一定是切点? 函数 f ? x ? ? x ,则 f ? x ? 的斜率为 3 的切线有几条?
3

- 2 -

任丘一中数学新授课导学案

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探究案(30 分钟)
三.典例探究 【典例一】复合函数求导运算 例 1-1:求下列复合函数的导数 (1) y ? ? 2 x ? 3?
3

(2) y ? log 3 x ? 2 x ? 5
2

?

?

(3) y ? cos ? 2 x ? 1?

(4) y ?

sin 2 x 2x ? 1

(5) y ?

2x ?1

(6) y ?

1

?1 ? 3x ?

4

【典例二】导数运算法则在切线中的应用 例 2-1:求下面问题中的切线方程

2 在点 ? ?2, ?1? 处的切线方程? x 1 (2)进过点 ? 2, 0 ? 且与曲线 y ? 相切的切线方程? x
(1)曲线 f ? x ? ?

- 3 -

人生最大的喜悦是每个人都说你做不到, 你却完成它了!

例 2-2:曲线 y ? x ? x ? 1?? 2 ? x ? 有两条平行于直线 y ? x 的切线,求此二切线之间的距 离?

例 2-3:函数 f ? x ? ? ax ? 2ax ? 2ax 上任意一点处切线的倾斜角都是锐角,求 a 的取
3 2

值范围?

四.我的疑惑
(把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面,先组内讨论尝试解决,能解决的划“√” ,不能解决 的划“×” )

(1) (2)

( ) ( )

分享收获
(通过解决本节导学案的内容和疑惑点, 归纳一下自己本节的收获, 和大家交流一下, 写下自己的所得)

- 4 -

任丘一中数学新授课导学案

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复合函数的求导法则随堂评价(15 分钟)
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为(
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ).

※ 当堂检测(时量:15 分钟 满分:30 分)计分:
1.求下列函数的导数 (1) y ? x
3

?x

2

? 4?

(2) y ? sin(? x ? ? ) (其中 ? , ? 均为常数) .

(3) y ? e

1? 3 x

(4) y ?

1 1 ? 2x 2

2.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程是(
4



A. 4 x ? y ? 3 ? 0

B. x ? 4 y ? 5 ? 0

C. 4 x ? y ? 3 ? 0

D. x ? 4 y ? 3 ? 0

3.求过曲线 y ? sin x 上点 P ?

?? 1? , ? ,且与过这个点的切线垂直的直线方程? ? 6 2?

4.求过点 P ? ?1, 2? 且与曲线 f ? x ? ? 3x ? 4 x ? 2 在点 M ?1,1? 处的切线平行的直线方
2

程?

- 5 -

人生最大的喜悦是每个人都说你做不到, 你却完成它了!

复合函数的求导法则课后巩固(30 分钟)
1.求下列函数的导数 (1) y ? ? 2 x ? 1?
5

(2) y ? x ln ? 2 x ? 5 ?

(3) y ? sin x ? sin 3x
3 3

2.曲线 f ? x ? ? x ? x ? 2 在点 P0 处的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 , P0 点的坐标为 则 ( )
3

A. ?1, 0 ?

B. ? 2,8 ?
2

C. ?1, 0 ? , ? ?1, ?4 ?
x?2

D. ? 2,8 ? , ? ?1, ?4 ? )

3.设 y ? ? 2 x ? a ? ,且 y? A.1 B.2
6

? 20 ,则 a 的值为(
D.4

C.3
3 2

4.求曲线 y ? x ? 6 x 在点 P ?1, 7 ? 处切线的方程?

3 5.求过点 M ? ?1, ?2 ? 且与曲线 y ? 2 x ? x 相切的直线方程?

- 6 -


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