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2011届高三数学模拟复习调研测试题7


泸州市高 2011 级第一次教学质量模拟考试



学(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页.共 150 分.考试 时间 120 分钟. 第Ⅰ卷的答案涂在机读卡上,第Ⅱ卷的答案写在答题卡上.

注意事项:
1.

答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂、写在机读卡上. 2. 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把机题卡上对应题的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案,不能答在草稿子、试题卷上.

参考公式:
如果事件 A、B 互斥,那么
P ( A? B) ? P( A)? P( B)

.

如果事件 A、B 相互独立,那么 P ( A ? B ) ?

P ( A) ? P ( B )

.

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是
Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k n?k

球的表面积公式 S ? 4 ? R 2 ,其中 R 表示球的半径.

球的体积是 V ?

4 3

? R ,其中 R 表示球的半径.
3

第Ⅰ卷

(选择题

共 60 分)

一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 U ? R ,集合 A ? { x | ? 3 ? x ? 2} , B ? { x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ? A. ? 2.复数
3?i i ?

B. { x | 3 ? x ? 4}

C. { x | 0 ? x ? 3}

D. { x | ? 1 ? x ? 2}

A. ? 1 ? 3i

B. ? 1 ? 3i

C. 1 ? 3i

D. 1 ? 3i

3.下列四个图象所表示的函数,在点 x ? a 处有定义、有极限,但不连续的是
y y y

O

a

x

O

a

x

O

a

x

O

a

x

A.

B.

C.

D.

4. 设 2 a ? 5 b ? m ,且 A. ? 10

1 a

?

1 b

? 2

,则 m ?
10

B.

C.10

D. 100

5. 函数 f ( x ) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 的最小正周期是 A.
?
4

B.

?
2

C. 2 ?

D. ?

6.设 ? 、 ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是 A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? // ? ,则 l ? ? B.若 l // ? , ? // ? ,则 l ? ? D.若 l // ? , ? ? ? ,则 l ? ?

7. 设双曲线的一个焦点为 F, 虚轴的一个端点为 B, 如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直, 那么此双曲线的离心率为 A.
2

B.

3 ?1 2
1 4

C.

5 ?1 2

D.

3

8.已知数列 { a n } 是等比数列, a 2 ? 2, a 5 ?
32 3

,则 a1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? ? ? a n a n ? 1 ? n ? N ? ? 的取值范围是
16 32 , ) 3 3

A. [8,

)

B. [8,1 6 )

C. [ 4 , 8 )

D. [

9. 已知 S、A、B、C 是球 O 表面上的点,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC= 2 ,则球 O 的表面积等于 A. 4 ? C. 2 ? B. 3? D. ?

10.某企业生产 A、B 两种产品,A 产品的单位利润为 6 0 元, B 产品的单位利润为 80 元.两种产品都需要在加工车间和 装配车间进行生产.每件 A 产品在加工车间和装配车间各 需经过 0 .8 小时和 2.4 小时,每件 B 产品在两个车间都需经过 1 .6 小时.在一定时期中,加工 车间最大加工时间为 2 4 0 小时,装配车间最大生产时间为 2 8 8 小时.已知销路没有问题,在 此一定时期中,企业合理搭配生产 A 产品和 B 产品,可获得的最大利润是 A. 12000 元 B. 12600 元 C.12680 元 D.13600 元

11.设集合 I ? ?1, 2, 3, 4, 5? ,选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的 数,则不同的选择方法共有 A. 50 种 B. 49 种 C.48 种 D.47 种

12. 设 a , b ? [0, 1] ,则 S ( a , b ) ? A.
12 ? 5 3 2

a 1? b

?

b 1? a

? (1 ? a )(1 ? b )

的最小值为
13 ? 5 5 2

B.

12 ? 5 5 2

C.

D.1

第Ⅱ卷

(非选择题 共 90 分)

注意事项:(1)用 0.5 毫米黑色签字笔直接答在答题卡上,答在试题卷上无效.
(2)本卷共 10 个小题,共 90 分.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上.
13. ( x ? 2 ) 6 的展开式中 x 3 的系数是 (用具体数字作答). . 14.直线 x ? 3 y ? 0 与抛物线 y 2 ? 2 3 x 相交于两点 A、B,则 | A B |? 15. 已知三棱锥 S—ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA⊥底面 ABC,SA=3,那么直线 SB 与平面 SAC 所成角的正弦值 为 . 16. 设 S 是至少含有两个元素的集合,在 S 上定义了一个二元运算“*” (即对任意 a , b ? S ,对于有序元素对(a,b) ,在 S 中有唯一确定 的元素 a*b 与之对应).若对任意的 a , b ? S ,有 a*(b* a)=b,则 对任意 a , b ? S ,给出下列关系式: ①(a* b)* a = a; ③ b*(b* b)= b; 其中正确命题的序号是 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c , 且 A 为 锐 角 , 若
f ( A ) ? co s
2

② [ a*(b* a)] *(a*b)= a; ④(a* b)* [ b*(a* b)] = b. (写出所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

A 2

? sin

2

A 2

? 2 3 co s

A 2

sin

A 2

.

(Ⅰ)求 f ( A ) 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( A ) ? 3 , c ? 2 3 b ,求 sin B 的值. 18. (本小题满分 12 分) 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的 考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这 项考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 设各次考试成绩合格与否均互不影响. (Ⅰ) 求他不需要补考就可获得证书的概率;
2 3
1 2

,科目 B 每次考试成绩合格的概率均为

.假

(Ⅱ) 在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ? ,求 ? 的数学期望 E ? .

19.

(本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点. (Ⅰ)求证:AB1⊥面 A1BD; (Ⅱ)求二面角 B1-A1D-B 的大小; (Ⅲ)求点 A 到平面 A1B1D 的距离.

20.

(本小题满分 12 分) 已知动点 H 到直线 x ? 4 ? 0 的距离与到点(2,0)的距离之比为 2 . (Ⅰ) 求动点 H 的轨迹 E 的方程;

??? ??? ? ? OA ? OB

(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A、B,且 ?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由.
bn 1 ? an
2

21.

(本小题满分 12 分)
, 已 知 平 面 直 角 坐 标 系 下 的 一 列 点 Pn ( a n , b n )满 足 a n ? 1 ? a n b ? 1 n
1 3 * , )( n ? N ) 4 4

b ?? n1

,且

P1 (

.

(Ⅰ) 求点 P2 坐标,并写出过点 P1 , P2 的直线 L 的方程; (Ⅱ) 猜想点 Pn ( n ? 2 ) 与直线 L 的位置关系,并加以证明; (Ⅲ) 若 c1 ? 1 , c n ? 1 ? b n c n , S n ? c1 a 2 ? c 2 a 3 ? ? ? c n a n ? 1 ,求 lim S n 的值.
n? ?

22.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? 6 和函数 g ( x ) ?
k ?2 x (k ? 2) , 已知过点 ( ? 1, 2 )

的直线与曲线 f ( x ) 相切

于点 A ( m 1 , f ( m 1 )), B ( m 2 , f ( m 2 )) ,且 6 是 m 1 ? 3 与 m 2 ? 3 的等比中项.

(Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ)若函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? 4 ln x 在 ( , 4 ) 是增函数,求 k 的取值范围;
2
2 k ?1

1

(Ⅲ)设 t ?

?

1 | g ( x ? i) |

, k ? 2, k ? N

*

,求证: ln

1? t 1? k

? t?k

.

i ?1

泸州市高 2011 级第一次教学质量模拟考试


评分说明:

学(理工农医类)参考答案及评分意见

1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比 照评分参考制订相应的评分细则. 2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度.可视 影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 3. 解答右侧所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.

一、

选择题

题 1 号 答 D 案 A C B D C C A A 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 1

1 2

1

B

B

C

二、填空题 13.160 14.12 15.
39 13

16. (2)(3)(4)

三、解答题 17.解:(Ⅰ) ∵ f ( A ) ? 2 3 sin (
? co s
2

?
2

?

A 2

) sin ( ? ? A 2 sin A 2

A 2

) ? co s (
2

?
2

?

A 2

) ? co s ( ? ?
2

A 2

)

A 2

? sin

2

A 2

? 2 3 co s

?

3 sin A ? cos A

, ................................................................................................... 2 分 分

? 2 sin ( A ?

?
6

) , ...................................................................................................... 4

∵0 ? A ?
?

?
2

,∴

?
6

? A?

?
6

?

2? 3



∴ f ( ) ? f ( A) ? f ( ) ,
6 2

?

∴ f ( A ) 的取值范围是 (1, 2] . .................................................................................. 6 分 (Ⅱ) ∵ f ( A ) ? 3 ,∴ sin ( A ? ∵0 ? A ? ∴A?
?
6

?
6

)?

3 2



?
2
?


?
3 5 6

,即 A ?
? ,

?
6

, .................................................................................... 8 分

∴B ?C ?

∵ c ? 2 3 b ,∴ sin C ? 2 3 sin B , ....................................................................... 9 分 ∴ sin ( ? ? B ) ? 2 3 sin B , ................................................................................ 10 分
6 5

∴ sin ? co s B ? co s ? sin B ? 2 3 sin B ,∴ 3 3 sin B ? cos B , ................... 11 分
6 6

5

5

∵ sin B ? cos B ? 1 ,
2 2

∴ sin B ?

7 14

. ........................................................................................................... 12 分

18.解:(Ⅰ)设“科目 A 第一次考试合格”为事件 A1,“科目 A 补考合格”为事件 A2;“科目 B 第一 次考试合格”为事件 B1,“科目 B 补考合格”为事件 B2. 不需要补考就获得证书的事件为 A1· 1,注意到 A1 与 B1 相互独立, ..................... 1 分 B 则 P ( A1 ? B1 ) ? P ( A1 ) ? P ( B1 ) . ....................................................................................... 2 分
? 2 3 ? 1 2 ? 1 3

.................................................................................................................. 4 分
1 3

∴ 该考生不需要补考就获得证书的概率为

. ....................................................... 5 分

(Ⅱ)由已知得, ? ? 2, 3, 4 ,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得

P (? ? 2) ? P ( A1 ? B1 ) ? P ( A1 ? A2 )
? 2 3 ? 1 2 ? 1 3 ? 1 3 ? 1 3 ? 1 9 ? 4 9 .

......................................................................... 6 分

P (? ? 3) ? P ( A1 ?B1 ?B 2 ) ? P ( A1 ?B1 ?B 2 ) ? P ( A1 ?A2 ?B1 )
? 2 3 ? 1 2 ? 1 2 ? 2 3 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 3 ? 2 3 ? 1 2 ? 1 6 ? 1 6 ? 1 9 ? 4 9 ,

..................................... 8 分

P (? ? 4) ? P ( A1 ?A2 ?B1 ?B 2 ) ? P ( A1 ?A2 ?B1 ?B 2 )
? 1 3 ? 2 3 ? 3? ? 1 2 4 9 ? 1 2 ? 4? 1 9 ? 1 3 ? ? 2 3 8 3 . ? 1 2 ? 1 2 ? 1 18 ? 1 18 ? 1 9 ,

............................................ 10 分

故 E? ? 2 ?

4 9

............................................................................... 11 分
8

∴ 该考生参加考试次数的数学期望为 . .......................................................... 12 分
3

19.解法一:(Ⅰ)取 BC 中点 O,连结 AO. ∵△ABC 为正三角形,∴AO⊥BC.
? 正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∴平面 ABC⊥平面 BC B1C1,

∴AO⊥平面 BC B1C1, ..................................................................................... 1 分 连结 B1O,在正方形 B B1 C1C 中,O,D 分别为 BC,CC1 的中点, ∴B1O⊥BD, ..................................................................................................... 2 分 ∵B1O 是 AB1 在平面 B B1 C1C 的射影,
? A B1 ⊥ B D

. ................................................................................................. 3 分

在正方形 A B B1 A1 中, A B1 ⊥ A1 B ,
? A B1 ⊥

平面 A1 B D . ..................................................................................... 4 分

(Ⅱ)设 A B 1 与 A1 B 交于点 G , 在平面 A1 B D 中,作 G F ⊥ A1 D 于 F ,连结 B1 F , ...................................... 5 分 由(Ⅰ)得 A B1 ⊥ 平面 A1 B D ,∴ A B1 ⊥ A1 D , 故 A1 D ⊥平面 B1 F G ,
? B1 F ⊥ A1 D ? ∠ B1 F G



为二面角 B1 ? A1 D ? B 的平面角. .. 6 分

∵正三棱柱 ABC-A1B1C1, ∴ A1 B ? 2 2 , B D ? A1 D ? 5 , 连接 DG,则
GF A1 G ? DG A1 D G B1 FG ? 15 3 15 3 , DG ? 3

,∴ G F ? ,

30 5

, ................................. 7 分

在 Rt△GFB 中, ? tan ∠ B 1 F G ?
? ∠ B1 F G

为二面角 B1 ? A1 D ? B 的平面角的大小为 a rc tan

. ............ 8 分

(Ⅲ)在正三棱柱中, B 1 到平面 A C C 1 A1 的距离为 3 . ∵ V A ? A BD ? V B ? AA D ,
1 1 1

?

1 3

?

1 2

? 2? 2?

3 ?

2 3

3

, .......................................................................... 10 分

设点 A 到平面 A1 B1 D 的距离为 d . 在 △ A1 B1 D 中, B1 D ? A1 D ? 5 , B1 A1 ? 2 , ∴ S△A B D ? 2 .
1 1

∴ V A ? A BD ?
1

1 3

S△ A B D ? d ?
1 1

2 3

3

, ................................................................. 11 分

∴d ?

3



∴点 A 到平面 A1 B1 D 的距离为 3 . .............................................................. 12 分 解法二:(Ⅰ)取 BC 中点 O,连结 AO. ∵△ABC 为正三角形,∴AO⊥BC,
? 在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,平面 ABC⊥平面 BCC1B1,

∴AO⊥平面 BCC1B1, .................................................................................................................................. 1 分 取 C1B1 中点 O1,以 O 为原点, O B , O O1 , O A 的方向为 x, y, z 轴的正方
2 0 向建立空间直角坐标系,则 B (1,, , D ( ? 1, 0 ) , A1 (0,, 3 ) , A (0,, 3 ) , 0 0) 1,
B1 (1,, , 2 0) ???? ? ???? ???? ? A B1 ? (1,, 3 ) , B D ? ( ? 2, 0) , B A1 ? ( ? 1,, 3 ) . ............................. 2 2 ? 1, 2 ???? ???? ? ???? ???? ? ? A B1 ?B D ? ? 2 ? 2 ? 0 ? 0 , A B1 ?B A1 ? ? 1 ? 4 ? 3 ? 0 , ???? ? ???? ???? ? ???? ? A B1 ⊥ B D , A B1 ⊥ B A1 . ........................................................................... 3 ??? ?

???? ?

??? ?

分 分

∴AB1⊥平面 A1BD; ........................................................................................ 4 分
(Ⅱ)设平面 A1B1D 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .
???? ? ????? A1 D ? ( ? 1, -1, 3 ) , A1 B1 ? (1, 0, - 3 ) . ? ???? ? ????? ? n ⊥ A1 D , n ⊥ A1 B1 , ???? ? ? n ?A1 D ? 0, ? ? x ? y ? 3 z ? 0, ? ? ? ? ????? ?? ............... 6 分 ? n ?A1 B1 ? 0, ? x ? 3 z ? 0, ? ?
? y ? ? 2 3 z, ? ?? ? x ? 3 z. ?

? 1) 令 z ? 1 得 n ? ( 3, 2 3, 为平面 A1B1D 的一个法向量. ......................... 7 分 由(Ⅰ)知 AB1⊥平面 A1BD, ???? ? ? A B1 ? (1,, 3 ) 为平面 A1BD 的法向量. ................................................. 8 分 2 ?

cos ? n

???? ? ???? ? n ?A B 1 ?4 3 6 ? ? , A B1 ? ? ???? ? ? 4 4?2 2 n ? A B1



? 二面角 B1-A1D-B 的大小为 a rc c o s

6 4

. .............................................. 9 分

? 1) (Ⅲ)由(Ⅱ)知, n ? ( 3, 2 3, 为平面 A1B1D 的一个法向量. ???? ? 2 ? ∵ A B1 ? (1,, 3 ) .

∴点 A 到平面 A1B1D 的距离 d ?

???? ? n ?A B 1 n

?

?4 3 4

?

3

.......................... 12 分

20.解:(Ⅰ) 设动点 H(x,y) ......................................................................................................... 1 分 ∴
|x?4| ( x ? 2) ? y
2 2

?

2

............................................................................................ 3 分

2 2 ∴动点 H 的轨迹 E 的方程为 x ? 2 y ? 8 , ........................................................ 4 分

(Ⅱ)假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点
??? ? ??? ? A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 且 O A ? O B

,

①当圆的切线不垂直 x 轴时,设该圆的切线方程为 y ? kx ? m , 与 x 2 ? 2 y 2 ? 8 联立方程得 (1 ? 2 k 2 ) x 2 ? 4 km x ? 2 m 2 ? 8 ? 0 , w ∴ ? ? 8(8 k 2 ? m 2 ? 4) ? 0 , ∴ x1 ? x 2 ? ?
4 km 1 ? 2k
2

, x1 x 2 ?

2m ? 8
2

1 ? 2k

2

, ................................................................... 6 分
m ? 8k
2 2

∴ y1 y 2 ? ( kx1 ? m )( kx 2 ? m ) ? k 2 x1 x 2 ? km ( x1 ? x 2 ) ? m 2 ? ∵ O A ? O B ,∴ x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 , ∴
2m ? 8
2

1 ? 2k

2

, ................... 7 分

??? ?

??? ?

1 ? 2k

2

?

m ? 8k
2

2

1 ? 2k

2

? 0



∴ 3 m 2 ? 8 k 2 ? 8 ? 0 ,∴ 8 k 2 ? 3 m 2 ? 8 , ................................................................. 8 分 ∴对任意 k,符合条件的 m 满足 ?
8 3
?3m 2 ? 8 ? 0 ? ?3m ? 8 ? m ? 4 ? 0 ?
2 2



∴m2 ?

,即 m ?

2 6 3

或m ? ?

2 6 3

, .............................................................. 9 分

∵直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切线, ∴所以圆的半径为 r ? ∴r2 ?
m
2 2

|m| 1? k
2



1? k

?

8(1 ? k )
2

3(1 ? k )
2

?

8 3

, ............................................................................. 10 分

∴所求的圆为 x 2 ? y 2 ?

8 3

,
2 6 3

此时该圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? ∴所求的圆为 x 2 ? y 2 ?
8 3

或m ? ?

2 6 3

,

,.................................................................................... 11 分
2 6 3

②当切线的斜率不存在时,切线 x ? ? 与椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 8 的两个交点为 ( 满足 O A ? O B ,
??? ? ??? ?
2 6 3

,
)

,?

2 6 3

或 (?

2 6 3

,?

2 6 3

)



综上, 存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点
??? ? ??? ? A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 且 O A ? O B

. ............................................................................ 12 分

21.解:(Ⅰ)∵ P1 ( , ) ,∴ a1 ?
4 4

1 3

1 4

, b1 ?

3 4

,

3

∴ b2 ?

4 4 ? 1 2 5 1? ( ) 4

, a 2 ? a1 b 2 ?

1 4

?

4 5

?

1 5

,

∴ P2 坐标为( ,

1 4 5 5

) ........................................................................................... 2 分 ,

∴过点 P1 , P2 直线 L 的方程为 x+y=1,.................................................................. 4 分 (Ⅱ) 由 P2 坐标为( , ∴点 P3 ? L , 猜想点 Pn ( n ? 3, n ? N ) 在直线 L 上, 以下用数学归纳法证明: 当 n=3 时,点 P3 ? L , ............................................................................................. 5 分 假设当 n=k(k ? 2)时,命题成立,即点 Pk ? L , ∴ a k + b k =1, ............................................................................................................. 6 分 则当 n=k+1 时, a k ? 1 + b k ? 1 = a k b k ? 1 + b k ? 1 = (1 ? a k ) ?
bk 1 ? ak
2

1 4 5 5

)得 a 3 ?

1 6

, b3 ?

5 6

,

?

bk 1 ? ak

? 1 , ............................................................................ 7



∴点 Pn ? L ( n ? 3) , ....................................................................................... 8 分 (Ⅲ) 由 a n ? 1 ? a n b n ? 1 , b n ? 1 ? ∴ a n ?1 ? a n ∴ ∴{
1 a n ?1 ? 1 an

bn 1 ? an
2

, a k + b k =1,∴ a n ? 0, a n ? ? 1 ,
? an 1 ? an

bn 1 ? an
2

? an

1 ? an 1 ? an
2



?1,

1 an

}

是等差数列,∴
1 n?3 , bn ? n?2 n?3

1 an

?

1 a1

? n ?1 ? n ? 3

, .................................................. 9 分

∴ an ?



∵ c n ?1 ? bn c n , ∴ cn ?
c2 c1 ? c3 c2 ? c4 c3 3 ( n ? 2 )( n ? 4 ) ?? ? cn c n ?1 ? 3 ? c1 ? 1
3 4 ? 4 5 ? 5 6 ?? n ?1 n?2 ?1 ? 3 n?2

, .................... 10 分

∴ c n a n ?1 ?

2 n?2

(

?

1 n?4

)

.......................................................... 11 分

∴ S n ? c1 a 2 ? c 2 a 3 ? ? ? c n a n ? 1
? 3 2 [( 1 3 ? 1 5 )?( 1 4 ? 1 6 )?( 1 5 ? 1 7 )?? ? ( 1 n ?1 ? 1 n?3 )?( 1 n?2 ? 1 n?4 )]

?

3 2

[(

1 3

?

1 4

?

1 n?3
3 2 1

?
7

1 n?4
?

)] ,
1 ? 1 n?4 )] ? 7 8

∴ lim S n ? lim
n? ?

n? ?

[(

12

n?3 1

)]

?

3 2

[(

7 12

? lim

n? ?

n?3

? lim

n? ?

n?4

. .................................................................... 12 分

22. 解:(Ⅰ)∵ f ( x ) ? x 2 ? ax ? 6 ,∴ f ?( x ) ? 2 x ? a , 设点 ( m , f ( m )) 在曲线 f ( x ) 上, ∴点 ( m , f ( m )) 处的切线方程为点 y ? ( m 2 ? am ? 6) ? (2 m ? a )( x ? m ) , ............ 1 分 ∵切线过点 ( ? 1, 2 ) 与曲线 f ( x ) 相切于点 A ( m 1 , f ( m 1 )), B ( m 2 , f ( m 2 )) , ∴ 2 ? ( m 2 ? am ? 6) ? (2 m ? a )( ? 1 ? m ) ,即 m 2 ? 2 m ? 8 ? a ? 0 , ∴ m1 ? m 2 ? ? 2, m1 m 2 ? 8 ? a , ............................................................................... 2 分 ∵ 6 是 m 1 ? 3 与 m 2 ? 3 的等比中项, ∴( m 1 ? 3 ) m 2 ? 3 )=6,即 m1 m 2 ? 3( m1 ? m 2 ) ? 3 ? 0 , ................................. 3 分 ( ∴ 8 ? a ? 3 ? ( ? 2) ? 3 ? 0 , ∴ a ? 5 , ................................................................................................................ 4 分 (Ⅱ)∵ h ( x ) ? x 2 ? 5 x ? 6 ? ∴ h ?( x ) ? 2 x ? 5 ?
3 2

k ?2

? 4 ln x 4 x ? 0

在 ( , 4 ) 是增函数,
2 1 2

1

x k ?2 x
2

?

在 ( , 4 ) 上恒成立,............................................. 5 分

∴ k ? ? 2 x ? 5 x ? 4 x ? 2 在 ( , 4 ) 上恒成立, 设 m ( x ) ? ? 2 x 3 ? 5 x 2 ? 4 x ? 2 ,∴ m ?( x ) ? ? 6 x 2 ? 10 x ? 4 , ................................. 6 分 设 m ?( x ) ? ? 6 x 2 ? 1 0 x ? 4 ? 0 ,则 x ? ?
1 2
1 3

1

2

,或 x ? 2 ,

∴ m ( x ) ? ? 2 x 3 ? 5 x 2 ? 4 x ? 2 在 ( , 2 ) 上是增函数, [ 2, 4 ) 上是减函数, ∴当 x=2 时, m ( x ) 有最大值为 14, .................................................................... 7 分 ∴ k 的取值范围是 [14, ?? ) ,................................................................................. 8 分
2 k ?1

(Ⅲ)∵ t ?

?

1 | g ( x ? i) |
1 k ?2 1

?

1 k ?2

(| x ? 1 | ? | x ? 2 | ? | x ? 3 | ? ? | x ? ( 2 k ? 1) |



i ?1

又∵ t ? ∴ 2t ?
?
? ? ?

(| x ? ( 2 k ? 1) | ? | x ? 2 k | ? ? ? | x ? 1 |)



k ?2

[(| x ? 1 | ? | x ? ( 2 k ? 1) |) ? (| x ? 2 | ? | x ? 2 k |) ? ? ? (| x ? ( 2 k ? 1) | ? | x ? 1 |)

1 k ?2
1 k ?2 2 k ?2 2 k ?2

[(| x ? 1 ? x ? 2 k ? 1 |) ? (| x ? 2 ? x ? 2 k |) ? ? ? (| x ? 2 k ? 1 ? x ? 1 |)
( 2 k ? 2 ( k ? 1) ? ? ? 2 ) ? 2 k ( k ? 1)

.............. 9 分

, .................................................................................................. 10 分 , .......................................................................................... 11 分

k (k ? 2) ? 2k

∴t ? k ? 0 , 设 u ( x ) ? ln(1 ? x ) ? x , ......................................................................................... 12 分 ∴ u ?( x ) ?
1 1? x ?1 ? ? x 1? x

,

当 x ? 0 时, u ?( x ) ? 0 ,∴ u ( x ) 在 (0, ? ? ) 上递减, .......................................... 13 分 ∵ t ? k ? 0 ,∴ u ( t ) ? u ( k ) , ∴ ln(1 ? t ) ? t ? ln(1 ? k ) ? k ,

∴ ln

1? t 1? k

? t?k

. ................................................................................................... 14 分


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