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【金版新学案】高中数学 模块质量检测(学生版) 新人教A版必修1


模块质量检测(一)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x| x≤4,x∈Z},则 A∩B=( ) A.(0,2) B.[0,2] C.{0,2} D.{0,1,2} 2.集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则 A∩

(?RB)=( ) A.{x|x>1} B.{x|x≥1} C.{x|1≤x≤2} D.{x|1<x≤2} x -x x -x 3.若函数 f(x)=3 +3 与 g(x)=3 -3 的定义域均为 R,则( ) A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 ? ?log3x,x>0, ? ?1?? 4.已知函数 f(x)=? x 则 f?f? ??=( ) ? ?9?? ? ?2 ,x≤0, A.4 C.-4 5.函数 y= 1 log0.5? 4x-3? B. 1 4

1 D.- 4 的定义域为( )

?3 ? A.? ,1? ?4 ?
C.(1,+∞)

?3 ? B.? ,+∞? ?4 ? ?3 ? D.? ,1?∪(1,+∞) ?4 ?

6.2log510+log50.25=( ) A.0 B.1 C.2 D.4 1?x-2 ? 3 7.设函数 y=x 与 y=? ? 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是( ) ?2? A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2 8.函数 f(x)=x +(3a+1)x+2a 在(-∞,4)上为减函数,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤-3 B.a≤3 C.a≤5 D.a=-3 9.函数 f(x)=log3x-8+2x 的零点一定位于区间( ) A.(5,6) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 10.如果某公司的资金积累量每年平均比上一年增长 16%,那么经过 x 年可以增长到原来的 y 倍,则函数 y=f(x) 的图象大致为图中的( )

11.函数 y=2 -x 的图象大致是(

x

2

)

12.函数 f(x)在(-1,1)上是奇函数,且在(-1,1)上是减函数,若 f(1-m)+f(-m)<0,则 m 的取值范围是( ? 1? A.?0, ? B.(-1,1) ? 2? 1? ? ? 1? C.?-1, ? D.(-1,0)∪?1, ? 2? ? ? 2? 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在题中的横线上) 2 2 13.若 a∈R,则集合 M={x|x -3x-a +2=0,x∈R}的子集的个数为________. 0 1 ? -4? 1 0 14.计算 2- + + - ? 1- 5? ,结果是________. 2 2 2-1 15.若函数 f(x)=mx -2x+3 只有一个零点,则实数 m 的取值是________. 2 -5m-3 16.当 x∈(0,+∞)时,幂函数 y=(m -m-1)x 为减函数,则实数 m 的值为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 2 17.(本小题满分 12 分)已知 A={x|x -3x+2=0},B={x|ax-2=0},且 A∪B=A,求实数 a 组成的集合 C.
2

)

?3-x , ? 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=? ? ?x-3,

2

x∈[-1,2], x∈? 2,5].

(1)在下图给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象;

(2)写出 f(x)的单调递增区间. 解析: (1)函数 f(x)的图象如下图所示:

(2)函数 f(x)的单调递增区间为[-1,0]和[2,5]. px2+2 5 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= 是奇函数,且 f(2)= . 3x+q 3 (1)求实数 p,q 的值; (2)判断 f(x)在(1,+∞)上的单调性.

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)对一切实数 x,y 都满足 f(x+y)=f(y)+(x+2y+1)x,且 f(1)=0, (1)求 f(0)的值; (2)求 f(x)的解析式; ? 1? (3)当 x∈?0, ?时,f(x)+3<2x+a 恒成立,求 a 的范围. ? 2? 21.(本小题满分 12 分)A、B 两城相距 100 km,在两地之间距 A 城 x km 处的 D 地建一核电站给 A、B 两城供电.为 保证城市安全,核电站与城市距离不得少于 10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数 λ =0.25.若 A 城供电量为 20 亿度/月,B 城为 10 亿度/月. (1)求 x 的范围; (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数; (3)核电站建在距 A 城多远,才能使供电费用最小?

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=2a·4 -2 -1. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的零点; (2)若 f(x)有零点,求 a 的取值范围.

x

x

模块质量检测(二) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U=R,集合 M={x| |x-1|≤2}.则?UM=( )

A.{x|-1<x<3} B.{x|-1≤x≤3} C.{x|x<-1 或 x>3} D.{x|x≤-1 或 x≥3} 解析: |x-1|≤2 ∴-2≤x-1≤2 ∴-1≤x≤3 ∴?UM={x|x<-1 或 x>3}.故选 C. 答案: C 2.若集合 A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合 A∪B=( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{1,2} D.{0} 答案: A 3.设集合 A={2,4,6,8,10},B={1,9,25,49,81,100},下面的对应关系能构成从 A 到 B 的映射的是( 2 2 A.f:x→(2x-1) B.f:x→(2x-3) 2 2 C.f:x→x -2x-1 D.f:x→(x-1) 解析: 按照映射的定义检验. 答案: D 4.若 0<x<y<1,则( ) y x A.3 <3 B.logx3<logy3 ?1?x ?1?y C.log4x<log4y D.? ? <? ? ?4? ?4? 解析: 易知 f(x)=log4x 在(0,+∞)上单调递增,由 0<x<y<1 得 log4x<log4y.故选 C. 答案: C 2 3x 5.函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是( ) 1-x 1? ? ? 1 1? A.?-∞,- ? B.?- , ? 3? ? ? 3 3? 1 ? ? ? 1 ? C.?- ,1? D.?- ,+∞? ? 3 ? ? 3 ?

)

? ?1-x>0 1 解析: 由? ,解得- <x<1.答案为 C. 3 ? ?3x+1>0 答案: C 6.某城市为保护环境,维护水资源,鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每月用水不超过 8 吨,按每吨 2 元收 取水费;每月超过 8 吨,超过部分加倍收费,某职工某月缴费 20 元,则该职工这个月实际用水( ) A.10 吨 B.13 吨 C.11 吨 D.9 吨 解析: 设该职工该月实际用水为 x 吨,易知 x>8. 则水费 y=16+2×2(x-8)=4x-16=20, ∴x=9.故选 D. 答案: D 7.下列函数中在[1,2]内有零点的是( ) 2 3 A.f(x)=3x -4x+5 B.f(x)=x -5x-5 x C.f(x)=ln x-3x-6 D.f(x)=e +3x-6 解析: 对于 A、B、C 中的函数 f(1)·f(2)>0,只有 D 项中 f(1)·f(2)<0.故选 D. 答案: D x 8.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数),则 f(-1)=( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 0 解析: f(0)=2 +b=0 ∴b=-1 f(1)=2+2-1=3 ∴f(-1)=-3. 答案: D 9.若函数 f(x)=loga|x-2|(a>0,且 a≠1)在区间(1,2)上是增函数,则 f(x)在区间(2,+∞)上( ) A.是增函数且有最大值 B.是增函数且无最大值

C.是减函数且有最小值 D.是减函数且无最小值 解析: 在区间(1,2)上函数 y=loga|x-2|=loga(2-x)是增函数,因此 0<a<1,于是函数 f(x)在区间(2,+∞) 上为减函数,且不存在最小值.故选 D. 答案: D 3 10.设偶函数 f(x)满足 f(x)=x -8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( ) A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2} 解析: ∵f(x)为偶函数, 3 ∴当 x<0 时 f(x)=f(-x)=-x -8, 3 ?x -8 ? x≥0? ? ∴f(x)=? . 3 ? ?-x -8 ? x<0?
?? x-2? -8 ? ? 故 f(x-2)=? 3 ? ?-? x-2? -8
3

. ? x<2? 3 ∴当 x≥2 时,由(x-2) -8>0 得 x>4; 3 当 x<2 时,由-(x-2) -8>0 得 x<0. 故{x|f(x-2)>0}={x|x<0 或 x>4}.故选 B. 答案: B ? ?g? x? +x+4,x<g? x? , 2 11.设函数 g(x)=x -2(x∈R),f(x)=? ?g? x? -x x≥g? x? . ? ? 9 ? A.?- ,0?∪(1,+∞) B.[0,+∞) ? 4 ? ? 9 ? ? 9 ? C.?- ,+∞? D.?- ,0?∪(2,+∞) ? 4 ? ? 4 ? 2 解析: 令 x≥x -2,解得-1≤x≤2 2 ?x +x+2 ? x<-1或x>2? ? ∴f(x)=? 2 ? ?x -x-2 ? -1≤x≤2? 若 x<-1 或 x>2,f(x)=x +x+2 ∴f(x)>f(-1)=2 2 若-1≤x≤2,f(x)=x -x-2 9 ?1? 此时 f(x)min=f? ?=- 2? 4 ? f(x)max=f(2)=0 9 ∴- ≤f(x)≤0 4 9 综上可知:- ≤f(x)≤0 或 f(x)>2.故选 D. 4 答案: D 12.设函数的集合 ? ? 1 1 ? P=?f? x? =log2? x+a? +b?a=- ,0, ,1;b=-1,0,1 2 2 ? ? ?
? ? 1 1 ? 平面上点的集合 Q=?? x,y? ?x=- ,0, ,1;y=-1,0,1 2 2 ? ? ?
2

x≥2?

则 f(x)的值域是(

)

? ? ?, ? ? ? ? ?, ? ?

则在同一直角坐标系中,P 中函数 f(x)的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是( A.4 B.6 C.8 D.10 1 ? 1? 解析: 当 a=- ,f(x)=log2?x- ?+b 2 ? 2? 1 ∵x> 2 ∴此时至多经过 Q 中的一个点 ?1 ? 当 a=0 时,f(x)=log2x 经过? ,-1?,(1,0) ?2 ?

)

? ? f(x)=log2x+1 经过? ,0?(1,1)
1 ?2

?

? 1 ? 当 a=1 时,f(x)=log2(x+1)经过?- ,0?(1,1) ? 2 ? 1 ? ? f(x)=log2(x+1)-1 经过?- ,-1?,(1,0) ? 2 ? 1 1 ?1 ? 当 a= 时,f(x)=log2(x+ )经过(0,-1)? ,0? 2 2 ?2 ? 1 ?1 ? f(x)=log2(x+ )+1 经过(0,0)? ,1?.故选 B. 2 ?2 ? 答案: B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.函数 f(x)=lg(x-2)的定义域是________. 解析: 由对数函数的性质可知 x-2>0. ∴定义域为{x|x>2}. 答案: {x|x>2} 1 14. lg 25+lg 2-lg 0.1=________. 2 1 1 1 ? 1 ?1 2 解析: 原式= lg 5 +lg 2-lg? ? =lg 5+lg 2- lg 2 2 10 ?10?2 1 1 3 =lg 10- ×(-1)=1+ = . 2 2 2 3 答案: 2 ?1?|2-x|-m 的图象与 x 轴有交点,则 m 的取值范围为________. 15.函数 y=? ? ?3? ?1?|2-x|-m=0 有解. 解析: 由题意,知? ? ?3? ?1?|2-x|,因为|2-x|≥0, 即 m=? ? ?3? ?1?|2-x|≤1.∴0<m≤1. 所以 0<? ? ?3? 答案: (0,1] 16.设 S 为实数集 R 的非空子集.若对任意 x,y∈S,都有 x+y,x-y,xy∈S,则称 S 为封闭集,下列命题: ①集合 S={a+b 3|a,b 为整数}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0∈S; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S? T? R 的任意集合 T 也是封闭集. 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号). 解析: 由于 a+b 3形式的数的加,减、乘运算后的结果形式仍然是 a+b 3形式,故①正确. 0 与 S 中任一元素的加减乘运算后的结果仍然属于 S.故②正确. 对于③,若集合 S={0},则 S 封闭,且 S 为有限集. 对于④,若集合 S={0},集合 T={0,1},则集合 T 不封闭. 答案: ①② 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|x<a}. (1)求 A∪B,(?RA)∩B; (2)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 解析: (1)A∪B={x|2<x<10},?RA={x|x<3 或 x≥7}, ∴(?RA)∩B={x|2<x<3 或 7≤x<10}. (2)如下图.
∴a>3.

18.(本小题满分 12 分)设 f(x)为定义在 R 上的偶函数,当 0≤x≤2 时,y=x;当 x>2 时,y=f(x)的图象是顶点 为 P(3,4)且过点 A(2,2)的拋物线的一部分. (1)求函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在右图的直角坐标系中直接画出函数 f(x)的图象. 2 解析: (1)当 x∈(2,+∞)时,设 f(x)=a(x-3) +4, ∵f(x)图象过 A(2,2), 2 ∴2=a(2-3) +4,解得 a=-2. 2 ∴f(x)=-2(x-3) +4(x>2). 当 x∈(-∞,-2)时,-x∈(2,+∞), 2 ∴f(-x)=-2(-x-3) +4 2 =-2(x+3) +4. ∵f(x)为偶函数, ∴f(-x)=f(x). 2 ∴f(x)=-2(x+3) +4. (2)图象如图.

x2+1 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= 是奇函数,且 f(1)=2. bx+c (1)求 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性. 解析: (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x) x2+1 x2+1 即 =- , -bx+c bx+c x2+1 x2+1 = -bx+c -bx-c 比较系数得:c=-c,∴c=0
1 +1 又∵f(1)=2,∴ =2,b=1 b+1 x2+1 1 ∴f(x)= ,即 f(x)=x+ .
2

x (2)任取 x1,x2∈(0,1),且 x1<x2

x

1? ? 1? ? 则 f(x1)-f(x2)=?x1+ ?-?x2+ ? x x

?

1

? ?

2

?

1 ? ? =(x1-x2)?1- ? ? x1·x2? ∵0<x1<x2<1. 1 ∴x1-x2<0,1- <0 x1·x2 1 ? ? ∴(x1-x2)?1- ?>0,即 f(x1)>f(x2).

?

x1x2?

f(x)在(0,1)上为减函数.
20.(本小题满分 12 分)已知幂函数 y=xm -2m-3(m∈N )的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满 足(a+1)- <(3-2a)- 的 a 的取值范围. 3 3 解析: 函数在(0,+∞)上单调递减, 2 ∴m -2m-3<0,解得-1<m<3. * ∵m∈N ,∴m=1,2. 2 而 2 -2×2-3=-3 为奇数, 2 1 -2×1-3=-4 为偶数;∴m=1. 1 而 y=x- 在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数, 3 1 1 ∴(a+1)- <(3-2a)- 等价于 3 3 a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a, 或 a+1<0<3-2a, 2 3 解得 a<-1 或 <a< . 3 2 21.(本小题满分 12 分)某市有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同.甲家每张球 台每小时 5 元;乙家按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部分每张球台每小 时 2 元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,但不超过 40 小时.设 在甲家租一张球台开展 活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40). (1)求 f(x)和 g(x); (2)问:小张选择哪家比较合算?为什么? 解析: (1)f(x)=5x(15≤x≤40) ? ? 15≤x≤30? ?90 g(x)=? ?2x+30 ? 30<x≤40? ?
? ? ?15≤x≤30 ?30<x≤40 (2)由 f(x)=g(x)得? 或? ?5x=90 ?5x=2x+30 ? ? 即 x=18 或 x=10(舍). 当 15≤x<18 时,f(x)-g(x)=5x-90<0, ∴f(x)<g(x),即选甲家, 当 x=18 时,f(x)=g(x),即可以选甲家也可以选乙家. 当 18<x≤30 时,f(x)-g(x)=5x-90>0, ∴f(x)>g(x),即选乙家. 当 30<x≤40 时, f(x)-g(x)=5x-(2x+30) =3x-30>0, ∴f(x)>g(x),即选乙家. 综上所述:当 15≤x<18 时,选甲家; 当 x=18 时,可以选甲家也可以选乙家; 当 18<x≤40 时,选乙家. 1-x 22.(本小题满分 14 分)已知 f(x)=-x+log2 . 1+x ? 1 ?+f?- 1 ?的值; (1)求 f? ? ? ? ?2 011? ? 2 011? (2)当 x∈(-a,a](其中 a∈(-1,1),且 a 为常数)时,f(x)是否存在最小值?如果存在,求出最小值;如果不存 在,请说明理由. ? ? ?1-x>0 ?1-x<0 解析: (1)由题意得? 或? ?1+x>0 ?1+x<0 ? ? 解得:-1<x<1, ∴f(x)的定义域为(-1,1),
2 *

m

m

1+x 又 f(-x)=-(-x)+log2 1-x 1-x =-(-x+log2 )=-f(x), 1+x ∴f(x)为奇函数, ? 1 ?+f?- 1 ?=0. ∴f? ? ? ? ?2 011? ? 2 011? (2)f(x)在(-a,a]上有最小值, 设-1<x1<x2<1. 1-x1 1-x2 2? x2-x1? 则 - = . 1+x1 1+x2 ? 1+x1? ? 1+x2? ∵-1<x1<x2<1, ∴x2-x1>0,(1+x1)(1+x2)>0, 1-x1 1-x2 ∴ > , 1+x1 1+x2 1-x ∴函数 y= 在(-1,1)上是减函数, 1+x 1-x 从而得 f(x)=-x+log2 在(-1,1)上也是减函数, 1+x 又 a∈(-1,1), 1-a ∴当 x∈(-a,a]时,f(x)有最小值,且最小值为 f(a)=-a+log2 . 1+a


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