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2015年全国高考文科数学试题及答案-湖南卷


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2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文科)
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5 页,时量 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.已知

(1 ? i) 2 ? 1

? i ( i 为虚数单位) ,则复数 z ? z
B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ?1 ? i

A. 1 ? i

2.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图 1 所示

若将运动员按成绩由好到差编为 1-35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在区 间[139,151]上的运动人数是 A.3 B.4 C.5
3

D.6

3.设 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.若变量 x, y 满足约束条件

则 z ? 2 x ? y 的最小值为

A.-1

B.0

C.1

D.2

5.执行如图 2 所示的程序框图,如果输入 n ? 3 ,则输出的 S ? A. B. C. D.

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6. 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线经过点(3,-4) ,则此双曲线的离心率为 a 2 b2
B.

A.

7 3

5 4

C.

4 3

D.

5 3

7. 若实数 a , b 满足 A. 2

1 2 ? ? ab ,则 ab 的最小值为 a b
B.2 C.2 2 D.4

8. 设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x ) 是 A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

9. 已知点 A, B, C 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上运动, 且 AB⊥BC, 若点 P 的坐标为 (2,0) , 则 | PA ? PB ? PC | 的最大值为 A.6 B.7 C.8 D.9

??? ? ??? ? ??? ?

10. 某工件的三视图如图 3 所示, 现将该工件通过切削, 加工 成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个 面落在原工件的一个面内,则原工件的利用率为(材料的 利用率= 新工件的体积/原工件的体积) A.

8 9?

B.

8 27?

C.

24

?

2 ?1

?

3

?

D.

8

?

2 ?1

?

3

?

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11. 已知集合 U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则 A ? (? U B) ? ________ 12. 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴建立极坐标系,若曲线 C 的极坐标方 程为 ? ? 2sin ? ,则曲线 C 的直角坐标方程为______ 13. 若直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? r ( r ? 0) 相交于 A, B 两点,且 ?AOB ? 120 ( O 为坐
2 2 2
?

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标原点) ,则 r ? ___________. 14. 若函数 f ( x) ?| 2x ? 2 | ?b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是____________ 15. 已知 ? ? 0 , 在函数 y ? 2sin ? x 与 y ? 2cos ? x 的图像的交点中, 距离最短的两个交点的距离 为 2 3 ,则 ? =________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖方法是:从装有 2 个红

B 的甲箱与装有 2 个红球 a1 , a2 和 2 个白球 b1 , b2 的乙箱中, 球A 各随机摸出 1 个球, 1, A 2 和 1 个白球
若摸出的 2 个球都是红球则中奖,否则不中奖。 (Ⅰ)用球的标号列出所有可能的摸出结果; (Ⅱ)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正 确吗?请说明理由。 17. (本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, a ? b tan A . (Ⅰ)证明: sin B ? cos A ; (Ⅱ)若 sin C ? sin A cos B ? 18.(本小题满分 12 分) 如图 4, 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,

3 ,且 B 为钝角,求 A, B, C . 4

E , F 分别是 BC, CC1 的中点.
(Ⅰ)证明:平面 AEF⊥平面 B1BCC1 ; (Ⅱ)若直线 AC 1 与平面 A 1 ABB 1 所成的角为 45°,求三棱锥

F ? AEC 的体积.
19. (本小题满分 13 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 an?2 ? 3Sn ? Sn?1 ? 3, n ? N .
*

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(Ⅰ) 证明: an?2 ? 3an ; (Ⅱ) 求 Sn 。 20.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 C1 : x2 ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 :

y2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点, C1 与 C2 a 2 b2

的公共弦的长为 2 6 .过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, B 两点,与 C2 相交于 C , D 两点,且 AC 与

??? ?

??? ? BD 同向。
(Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)若 | AC |?| BD | ,求直线 l 的斜率。 21.(本小题满分 13 分) 已知 a ? 0 , 函数 f ( x) ? ae x cos x( x ?[0, ??)) 。 记 xn 为 f ( x ) 的从小到大的第 n(n ? N * ) 个极 值点。 (Ⅰ)证明:数列 { f ( xn )} 是等比数列; (Ⅱ)若对一切 n ? N * , xn ?| f ( xn ) | 恒成立,求 a 的取值范围。

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参考答案
一、选择题: 1. D 6.D 2.B 7.C 3.C 8.A 4.A 9.B 5.B 10.A

二、填空题: 11. {1,2,3} 14. (0,2) 三、解答题: 16.解: (Ⅰ)所有可能的摸出结果是 12. x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 15. 13. 2

? 2

{A1, a1},{A1, a2},{A1, b1},{A1, b2},{A2 , a1},{A2 , a2}, {A2 , b1},{A2 , b2},{B, a1},{B, a2},{B, b1},{B, b2}.
(Ⅱ)不正确。理由如下: 由(Ⅰ)知,所有可能的摸出结果共 12 种,其中摸出的 2 个球都是红球的结果为

{A1 , a1},{A1 , a2},{A2 , a1},{A2 , a2},
共 4 种,所以中奖的概率为 17.解: (Ⅰ)由 a ? b tan A 及正弦定理,得

4 1 1 2 1 ? ,不中奖的概率为 1 ? ? ? ,故这种说法不正确。 12 3 3 3 3 sin A a sin A ? ? ,所以 cos A b sin B

sin B ? cos A
(Ⅱ)因为

sin C ? sin A cos B ? sin[180? ? ( A ? B)] ? sin A cos B
? sin( A ? B) ? sin A cos B
? sin A cos B ? cos A sin B ? sin A cos B ? cos A sin B

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所以 cos A sin B ?

3 4
2

由(Ⅰ) sin B ? cos A ,因此 sin B ?

3 3 ? 。又 B 为钝角,所以 sin B ? ,故 B ? 120 。 4 2

由 cos A ? sin B ?

3 ? 知 A ? 30 。从而 C ? 180? ? ( A ? B) ? 30? 2

综上所述, A ? 30? , B ? 120? , C ? 30? 18. 解: (Ⅰ)如图 a ,因为三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 AE ? BB1 , 又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点,所以 AE ? BC 因此 AE ? 平面 B1BCC1 而 AE ? 平面 AEF ,所以,平面 AEF ? 平面 B1BCC1 (Ⅱ)设 AB 的中点为 D ,连结 A1D, CD 因为 ?ABC 是正三角形,所以 CD ? AB 又三棱柱 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 CD ? AA1 因此 CD ? 平面 A 1 与平面 A 1 ABB 1 ,于是 ?CA 1D 为直线 AC 1 ABB 1 所成的角
? 由题设, ?CA 1 D ? CD ? 1D ? 45 ,所以 A

3 AB ? 3 2 1 2 AA1 ? 2 2

AA1 ? 在 Rt ?AA 1D 中,

A1 D 2 ? AD 2 ? 3 ? 1 ? 2 ,所以 FC ?

故三棱锥 F ? AEC 的体积 V ? 19.解: (Ⅰ)有条件,对任意 n ? N ,有
*

1 1 3 2 6 S?AEC ?FC ? ? ? ? 3 3 2 2 12

an?2 ? 3Sn ? Sn?1 ? 3 ,

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因而对任意 n ? N , n ? 2 ,有
*

an?1 ? 3Sn?1 ? Sn ? 3
两式相减,得 an?2 ? an?1 ? 3an ? an?1 ,即 an?2 ? 3an , n ? 2 又 a1 ? 1, a2 ? 2 ,所以

a3 ? 3S1 ? S2 ? 3 ? 3a1 ? (a1 ? a2 ) ? 3 ? 3a1
故对一切 n ? N , an?2 ? 3an
*

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 0 ,所以

an ? 2 ? 3 ,于是数列 {a2n?1} 是首项 a1 ? 1 ,公比为 3 的等比数列; an

数列 {a2 n } 是首项 a2 ? 2 ,公比为 3 的等比数列,因此

a2n?1 ? 3n?1, a2n ? 2 ? 3n?1
于是

S2n ? a1 ? a2 ? ... ? a2n ? (a1 ? a3 ? ... ? a2n?1 ) ? (a2 ? a4 ? ... ? a2n ) ? (1 ? 3 ? ... ? 3n?1 ) ? 2(1 ? 3 ? ... ? 3n?1 ) ? 3(1 ? 3 ? ... ? 3n?1 )
? 3(3n ? 1) 2
3(3n ? 1) 3 ? 2 ? 3n?1 ? (5 ? 3n?2 ? 1) 2 2

从而 S2 n ?1 ? S2 n ? a2 n ?

n ?3 ?3 2 (5 ? 3 ? 1),当n是奇数, ? ?2 综上所述, Sn ? ? n ?3 (3 2 -1 ) ,当n是偶数. ? ?2

20.解:

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(Ⅰ)由 C1 : x2 ? 4 y 知其焦点 F 的坐标为 (0,1) ,因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点,所以

a 2 ? b2 ? 1



又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 , C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 x2 ? 4 y ,由 此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为 ( ? 6, ) ,所以

3 2

9 6 ? 2 ?1 2 4a b
联立①②得 a2 ? 9, b2 ? 8 ,故 C2 的方程为



y 2 x2 ? ?1 9 8
(Ⅱ)如图 b ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 )

因 AC 与 BD 同向,且 | AC |?| BD | ,所以 AC ? BD ,从而 x3 ? x1 ? x4 ? x2 ,即

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,于是

( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? ( x3 ? x4 )2 ? 4x3 x4
设直线 l 的斜率为 k ,则 l 的方程为 y ? kx ? 1 由?



? y ? kx ? 1, ?x ? 4 y
2

得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,而 x1 , x2 是这个方程的两根,所以
2

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x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4



? y ? kx ? 1, ? 由 ? x2 y 2 得 (9 ? 8k 2 ) x2 ? 16kx ? 64 ? 0 ,而 x3 , x4 是这个方程的两根,所以 ?1 ? ? 9 ?8
x3 ? x4 ? ? 16k 64 , x3 x4 ? ? 2 9 ? 8k 9 ? 8k 2


将④⑤代入③,得 16(k 2 ? 1) ?

162 k 4 ? 64 ,即 ? 2 2 (9 ? 8k ) 9 ? 8k 2

162 ? 9(k 2 ? 1) , 16(k ? 1) ? (9 ? 8k 2 )2
2

所以 (9 ? 8k 2 )2 ? 16 ? 9 ,解得 k ? ? 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? aeax sin x ? eax cos x

6 6 ,即直线 l 的斜率为 ? 4 4

? eax (a sin x ? cos x)

a 2 ? 1eax sin( x ? ? )
其中 tan ? ?

1 ? ,0 ? ? ? a 2

令 f ?( x) ? 0 ,由 x ? 0 得 x ? ? ? m? ,即 x ? m? ? ? , m ? N * 对 k ? N ,若 2k? ? x ? ? ? (2k ? 1)? ,即 2k? ? ? ? x ? (2k ? 1)? ? ? ,则 f ?( x) ? 0 ; 若 (2k ? 1)? ? x ? ? ? (2k ? 2)? ,即 (2k ? 1)? ? ? ? x ? (2k ? 2)? ? ? ,则 f ?( x) ? 0 因此,在区间 ((m ? 1)? , m? ? ? ) 与 (m? ? ? , m? ) 上, f ?( x ) 的符号总相反,于是
* 当 x ? m? ? ? (m ? N ) 时, f ( x ) 取得极值,所以

xn ? n? ? ? (n ? N * )
此时, f ( xn ) ? e
a ( n? ?? )

sin(n? ? ?) ? (?1)n?1 ea(n? ?? ) sin ? ,易知 f ( xn ) ? 0 ,而

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f ( xn?1 ) (?1)n? 2 ea[( n?1)? ?? ] sin ? ? ? ?ea? n ?1 a ( n? ?? ) f ( xn ) (?1) e sin ?
是常数,故数列 { f ( xn )} 是首项为 f ( x1 ) ? ea (? ?? ) sin ? ,公比为 ?e 的等比数列。
a?

? 3? 2a nx ? 34 (Ⅱ)对一切 n ? N , xn ?| f ( xn ) | 恒成立,即 n? ? 恒成立,亦即 ? e 4 2
*
nx ? 3?

2 e 4 ? 3? a n? ? 4
恒成立(因为 a ? 0 ) 设 g (t ) ?

e? e?(t ? 1) (t ? 0) ,则 g ?(t ) ? ,令 g ?(t ) ? 0 得 t ? 1 t t2

当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在区间(0,1)上单调递减; 当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在区间 (1, ??) 上单调递增。 因为 x1 ? (0,1) ,且当 n ? 2 时, xn ? (1, ??), xn ? xn?1 ,所以

[ g ( xn )]min

5? ? 4 ? ? min{g ( x1 ), g ( x2 )} ? min{g ( ), g ( )} ? g ( ) ? e 4 4 4 4 ?

?

因此, xn ?| f ( xn ) | 恒成立,当且仅当

2 4 ? ? e4 a ?
解得 a ?

2? ? ? 2? ? ? e 4 , ??) 。 e 4 。故 a 的取值范围是 [ 4 4

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