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含参二次函数中绝对值问题的解题策略


?

3 2?  

中学数 学研 究 

2 0 1 5第 9期 

的结论 , 即后   ? k   恒 为定值.  

事 实上 , 在 以上 探 究 的过 程 中若 进 行 进 一 步 的  研 究就会 得 到另 一个结论 :   当A、  为 曲线  的顶点 时 , 若直

线C D与 曲线的 
对 称 轴交于 点 P, 则有O M? O P为定值.  



设直 线 C D与   轴交 于 点P( £ , 。 ) , 由c 、 。、  
2 ab   k  

P   三 点共线 知  c P   =   ,   即 —   薪 2   2  b 2  =  
卜  

以椭 圆为例 :  
L  

2 ab   k  
a 

如 图3 , 若 B、 A为 椭 圆 
— — — —  



整 理得 (   +   ) ( 。   矗 :+6   ) £=  

2  


+ 告 =l ( 0>b> 0 ) 的左右   ~
U 







 

 



2  

+6 。  

顶 点, C、 D分 别是 椭 圆上异 于  B、   的动 点.设 直 线 C D 交 

. 

(  一 k 2 ) ( a  : + 6   ) 口 , 解 得   =  {   。 , 在 推 广  
1中令  =  
X : 
M 

轴 于 点 P, C A与 D B交 于 点  
M, 则一 O P. O — Q =0  
. 

图3  

。_0 , 得 肘=  
。 .   。 : 。2

口 , O — M? — O P=  

证明 : 设 A( a , 0 ) , B( 一a , 0 ) , C A: y=k 1 (  ~  

。   0   ( L 定值 疋  阻   ) . ‘  

0 ) , D B: y=k   (   +Ⅱ ) , 将C A方程代 入椭 圆   +  
=1 ( a >b>0 )消 Y , 得( a 2 k  +b   ) . 9 C  一2 a  
a4 k   一 a2 b  :0


此结 论 即为 2 0 1 1年高 考 数 学 四川 卷 理 科 第 2 1   题 的推广 , 详见 文献[ 1 ] ,同 时本 文 也 给 出 了 文献 
『 1   1的 另 一 种 解 法.  

+  

因口与  c 是 该 方程 的两根 , 由 a?  c  

参考 文献 
[ 1 ] 蒋 明斌 . 2 0 1 1年 高 考数 学 四川 卷 理科 第 2 1题 的推 广  [ J ] . 数学通讯 ( 下 半月) 2 o  ̄ 2 ( z ) .  



篆 


一 
同理求  =  

一  
=  

含 参 二次 函数 中绝 对 值 问题 的解 题 策 略 
浙 江省绍兴 市柯桥 中学  ( 3 1 2 0 3 0 )   叶兴 炎 
二 次 函数是 高 中数 学 的基 础 内容 之 一 , 它 与 二  次 方程 、 二次 不 等式 之 间有 着 紧 密的联 系, 三个 “ ’ 二 

里 面 的数 或 式 的符 号 , 就 需 要 把 问题 分 段 , 分 类 讨 
论, 各 个 击破 , 从 而 实 现整 个 问题 的解 决. 分 类 讨论  体现 了化 整 为零 、 积零 为整 的思想 , 过程 往往 比较 繁 

次”是高 考 的热 点 , 含 参 的“ 二 次”问题 更是 高考 的  难 点. 绝对值 是 中学数 学的一个 重 要概念 , 它既有代  数形 式 , 又 有几 何背 景. 含 参数 的二次 函数 中的绝 对 
值 问题 , 形 式 新颖 、 综合 性强 、 思维 难度 大 , 要 求 学生  不仅 能深 刻理 解题 意 , 还 必须 具 备 较 好 的逻 辑 推 理 

琐, 考 验解 题者 的推 理 能力 与运算 基本 功.  
例 1  ( 2 0 1 4年 浙 江 丽 水 高 一期 末 试 题 改编 )  
已知 函数 厂 (  ) =一   +2   I   —a   I . 当 a >0时 , 若 

对任意的   ∈[ 0 , +o 。 ) , 不 等式 , (   一1 )≥ 2 f (  )   恒 成立 , 求 实数 a的取 值 范 围.  
解: 由题 意得 , 当 a>0时 ,   +2 x一1- I - 2   l   一  

能力 、 充足 的方法技 巧储 备 , 所 以对 学生而 言是 高 中   数 学 学 习的“ 拦路 虎” 。 本 文试 图通过 归纳 解决 此 类  问题 的常用解 题策 略 , 以期 成为 学 生的“ 伏 虎”手 段 
之 一.  

( a+1 )I 一4     —a l   l ≥ 0对任 意 的   ∈[ 0 ,+∞)  
恒成 立. 当 0≤   ≤ a时 , 即   +4  一2 n+1≥ 0对 

策 略一  质 朴有效 的分 类讨 论  解绝对 值 问题 的关 键 是 去 掉 绝对 值 符 号 , 转化 

任 意 的  ∈ [ 0 , a ]恒成 立. 记g ( x )=   +4  一 2 。+  
1  

为不含绝对值符号的问题. 但 如果不能确定绝对值 

1 , 则只需g ( 0 ) ≥0 , 得n≤÷ , 又 0> 0 , 则0<Ⅱ ≤  

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中学数 学研 究 

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当 口<   ≤ 1+0时 , 即   一4 x+1+6 a≥ 0对 

显示 函数 性质 , 在 进行 抽 象思 维 的 同时, 利用 图像 的  视 觉感 知 , 有助 于学 生对 问题 的理 解和分 析 , 准确 把  握 条件 中的定 性和定 量 关系 , 找 到 问题解 决 的途径.  

二 

任意的   ∈( 口 , 1+   ]恒 成 立.由前 分 析 知 n满 足 
1  

0 <   ≤  1


从 而 函数 h ( x )=  。一4 x+1+6 a在 

利用函数图像解题, 存在作 图不规范、 图形不精准等   缺点, 所 以在解题过程 中要注意细节, 以数助形, 防   止增 解 漏解 , 必要 时要 对 图形进 行推理 论 证 , 保 证解  答 的严 密性.   例3  ( 2 0 1 4年 浙 江 嘉 兴 高 三 自主 测 试 试 题 )  
已知 函数/   ) =0  一3 , g (  ) =6   一  +c   一   , 口 , 6 , c  
1  

∈( 口 , 1+0 ]上 单调递 减 , 则只需h ( 1+口 )≥ 0 , 即 

口  + 4 a一 2≥0 , 得 口≤一 2一 √ 石或 口≥√ 6— 2 , 又0  
>0 , 贝 0 口≥√ 6— 2 . 当   >1+0时, 即   + 2 0—3   ≥ 0对任 意 的  ∈ ( 口+1 , +∞ ) 恒 成立 , 记  (  )=   +2 0—3 , 贝 0 只 需  ( 口+1 )≥0即可 , 即0  + 4 口一  

∈尺, 且g ( 一3 -   )一g ( 1 ) =_ 厂 ( 0 ) .  
( 1 )试 求 6 , c所满足 的关 系式 ;  

2≥0 , 得 口≤一 2一 √ 6或 0≥√ 6—2 , 又 0>0 , 贝 0   o  
≥  一2 . 综上 , 口的取值 范 围是  一2≤ 0≤  1
二 
.  

( 2 ) 若 b=0 , 试 讨论 方 程  )+  I   一口 l   g ’ (  )  


例2 ( 2 0 1 4年 浙江 省 五 校联 盟 高 三 第 二 次联 
考 试 题 )设 函数_ 厂 (  )=   一 l   一0  一9   l( 口为 实 

0零 点 的情况.   解: ( 1 ) 6 , c所 满 足 的 关 

数) , 在 区间( 一∞ ,一3 )和 ( 3 , + ∞)上单 调递 增 ,  
则 实数 口的取 值 范 围为   解: 令 函数 g (  ) =   一  
-  

系 式为 b—c一1=0 .  

( 2 )原 方程 等价 于 n   一  
3 x =I   一0   l(  ≠0 ) .   当 0>0时, 作 函数 Y  =   口   一3 x , Y 2=l   一。I的 图  
0  i  

o  一9 , 由于 g (  )的 0 另 I 式△   =a  +3 6 >0, 故 函数 g (  )   有 两个零 点 , 设为   、   : , 且 
< 0 <   2 .   贝 0_ 厂 (  )  =   r 口 戈+9 (  ≤  l 或  ≥  2 ) ,  
如 
』   l  

像, 如图2 . 观 察 图 2, 并 注 意 

图2  

[ 2 x  一Ⅱ  一9 (  1   <   <  2 ) ,  

\  
图 1  

至 0 函数 Y  = 0   一3 x在 点 
(   , 0 )处 的切 线 斜 率 恰 为  3 , 所 以 两函数 图像 总 有 两交 点, 即 原 方程 有 两 个 零  点.当 口 =0时 , 原 方程 即为 一3 x=I   l , 又  ≠ 0 ,   所 以原 方程 无零 点. 当 o <0时 , 作 函数 Y 。: 0   一   3 x , Y :=I   —n   J的 图像 , 观察图 3 、 图4 、 图5可 知 :  


图1 , 当   E( 一。 o,  1 ] 、 [   2 ,   +∞ )时 , 函数  )的 图像是 
位 于 同 一条 直 线 上 的两 条 射  线, 当   ∈(   。 ,   )时 , 函数 - 厂 (  )的 图像 是 抛 物 线 

(  )=2 x   一 n   ~ 9 的一部分, 与两支射线分别在 点  
A 、   处 相接 , 且 (   )=2 x  一口   一9:   +(   一  
口   1 — 9 )=   +g (  1 )=   >0 , 同理 h ( x 2 )>0 , 即  

2<口<0时 , 原方程 有 两个零 点 , o=一2时 , 原 方 

程 有 一个零 点 , n <一2时 , 原 方程 无零 点.  
  ●

‘  

/  

点A 、 B在  轴上方. 由. 厂 (  ) 在 区间( 一。 。 ,一3 )和  
( 3 , +∞ )上单调 递 增 , 得 0>0及 点 A比点 B低 , 从 
而 可知 函数 h (  )的对称 轴  =- “ 7 ->0且在 直 线  =  

|   。   \  


< ) ,   /  \  
图3  

/  
\  一  

B ( - 2   / |   O   \  
图4  

| o   \  

图5  

的左边. 所以函数- 厂 (  ) 在 区间( 一a 。 , 一 3 ) 和( 3 ,  

综上, 当口=0或 0<一 2时, 无零 点 ; 当0=一2   时, 一个 零 点 ; 当0>0或 一2<口<0时 , 两个 零 点.  

+ ∞ ) 上 单 调 递 增 , 等 价 于 』 等≤ 3 ,   由 g ( 一 3 ) :  



策 略三  化难 为 易的等 价 转化  问题 的求解 过程 , 其 实 质是 把 未 知 解 法 的 问题 
逐 步转 化到 已知 的 、 在 自己知识 范 围 内 的 问题 的 过 

3 ≤  l ,  

3 a >0知 一3≤  , 恒 成立 , 则 0≤ 1 2 . 综上 , 实数 n   的取值 范 围为 ( 0, 1 2 ] .  

程. 解形 如 l  

)   I ≤g ( x )的不 等 式 , 可 以等价 转 化 

策 略二  相 辅 相成 的数 形结 合 
方程 与 函数关 系 密切 , 方 程 问题 可 以转 换 为 函  

数 问题 来 求解 , 反之 亦 然. 函数 图像 能形 象 、 直 观地 

为解不等式 一g (  )≤l 厂 (  )≤g (   ) . 在解决一些含  参 二次 函数 的绝对 值 问题 时, 合 理 运 用 这个 方 法 可  以快速找 到解 题 的突 破 口.  

?

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例4  ( 2 0 1 3年 浙 江 温 州 高 三 期 中试 题 )偶 函  

+2, 所 以 ( 2 )≥ g ( 2) .当 口 >0 时 , 观 察 图 6司 知 ,  

数, (  )在 [ 0, +∞)上 为减 函数 , 不等 式 厂 ( O , X一1 )  


只 需令 X 2+2 a=   +。 , 得 △ =1—4 。>0, Ⅱ<  1

,  

>   2+   )恒成 立 , 则 。的取值 范 围是 (  

) .  

A . ( 一 2 , 2 , / 3 )  

B . ( 一 2 √ 3 , 2 )  

所 以 0 < 0 < 寺 . 当 n = 0 时 , A= ( 一 1 , 0 ) u( 0 ,  
1 ) , A   B . 当 一2≤ 0<0时, 观察 图 7可知 成立.  

C . ( 一 2 , / 3 , 2 √ 3 ) D . ( 一 2 , 2 )   解: 由   )为偶 函数  0  一1 )> - 厂 ( 2+x 2 )等  价于, ( 1   0  一1   1 )>   2+   ) . 又 由I 厂 (   )在 [ 0 ,   + ∞)上 为减 函数 , 等价 于 I Ⅱ  一1   I < 2+   恒 成 
立,  一  ( 2  +   )  <  0  一  1  <  2  +   。  即  

综 上, 实 数n 的 取 值 范 围 是一 2 ≤ 口< 亡 .  
另解 : 利用补集思想. A   B, 则C  B   C  A , 即  

I x l + 口   +   > 0 , 恒 成 立 , 则  
L   —C , / X +3 > 0  

f L △ 1  i  
1=  

一1 2 < 0,  

, 得 一 2 < 。 < 2 , 选 D .  
图6  


\  
、 

\ ’  
图7  

  i

2  

例5  ( 2 0 1 3年 江 苏 镇 江 高 三 模 拟 试 题 改编 )   已知 函数  )=l   一 Ⅱ  l + 4 ( 口∈R) . 若对 于 一切  ∈( 0 , +∞ ) , 不等 式_ 厂 (  )≥   恒成 立 , 求 口的取 值 
范 围.  

l   +口l +2 0≥ 0对任 意 的   ∈[ 2 , +。 。 )恒成 
+ 0 ≥ 0.  

立 .  + I 。 l ≤   : + 2 。 , f L   : +   + 3 a ≥ 0 , 只 需  
一  

解: 即不 等式 I   一Ⅱ  I ≥   一4对任 意 的   ∈  
( 0 ,+∞ ) 恒 成立. 先 考 虑“ I   一   I <   一4在  ∈   ( 0 ,+O 0) 上 有解 的 0的取值 范 围” , 即  +   一1<  

。 <   一 —


f 2   + 2 + 3 a ≥ 0 , 得n ≥ 一 2 . 4≠  , 先 考虑A:  
L 2 ‘ 一 2 + 0 ≥ 0.  

( 2 j , 即   一   +0 l   I + 2 a≥0对任 意 的   ∈R恒 成立.  
I   + 。 l≤  : + 2 。


+1有解. 必须  +— 4 —

1<   一— 4




+1 并 
A 

f   : +   + 3 a ≥ 0 , 只需   l x‘ 一   + 0 ≥ 0.  
斗  斗 

注意到   >0 , 得  >4 . 当   >4时 , 函数 y=  +  


{ L  三 △1 卜     4   a  0   0  ≥   1 ≠   有 n < ÷ .
, =  一  ≤  .  

1∈ ( 4 , +。 。 ) , 函数 Y=  一  。 _+1∈ ( 4, +O 0) ,  

综上, 实数 0的取值范围是 一 2≤o<÷.  
含 参 二次 函数 中绝 对值 问题是 三个 “ 二次” 、 绝 

从 而 可知 n的取 值 范 围为 0 >4 . 所 以原命题 中 C , / 的  

取值 范 围为 ( 一。 。, 4 ] .  
策 略四  随机 应 变的方 法技 巧 

对值 、 参数 与不 等 式等 内容交 汇 的产物 , 是 综合考 查  高 中数 学知识 的 一种 重 要题 型 , 在各 类模 拟考 、 高 考  中频频 出现. 解 题 的关键 是分 析 问题 , 根 据 类型选 用   相应 的手 段 , 甚 至 一题 多解.当然 , 积极 应 用 分 类 讨 
论、 数形结 合 、 转化 化 归等 思想 与方 法 , 通 过 对 问题  的剖析 、 解决 、 反思, 进 而巩 固、 提 高对这 些思想 方 法 

解 决数 学 问题 , 不仅 需 要扎 实 的基 本 功和 必 要 
的训练 , 同时还应该 掌握 一些解 题 的方法 技巧. 这 些 

技 巧 的获 得 , 需 要 学 生在 学 习 中细 心 观 察 、 留心 积  累, 并针 对 问题特 点 , 选 用 合 适 的方 法 , 通 过 解题 实 
践 得 到巩 固与提 高.   例6 ( 2 0 1 4年 浙 江 杭 州 高 三 二 模 试 题 )设 集  合A={  l   一 I   +口l +2 . a<0 , 0∈R} , B={   I   <2 } . 若A≠   且A  

. 
— —

的理 解 , 加 强逻 辑推 理 、 分 析解 决 问题 的能 力 , 是 解 
决 此类 问题 的根本 之路.  

, 则 实数 。的取值 范 围  

参 考文献 
[ 1 ] 张久 鹏. 解一类绝对值不 等式恒成立 问题 的通 法 [ J ] . 【 } J  
学数学月刊 , 2 0 1 0 ( 3 ) : 3 4— 3 5 .  

解: 利 用取 特殊值 缩 小 口的取 值 范 围. 由题 意可 
知2   A, 贝 0   2  一 l   2+口I +2 n≥0, l   2+口I ≤2 ( 2  
+口 ) , n+2≥0 , 0≥~2 . 集合 A = {  l   +2 a <I  

+0   I ,   ∈R} , 记_ 厂 (  ) =   +2 a , g (  )=I   +n   I ,   贝 4 八2 )=4 . +2 a =2 ( f | +2 ) , g ( 2 ) =l   2+ⅡI =0  


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