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(理数)茂名市2008届高三第一次高考模拟考试


茂名市 2008 届高三第一次高考模拟考试 数学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页,共 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 钟。 注意事项:1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题 卡上。 2、每小题选了答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能作在本试题卷上。 参考公式: ①如果事件 A、B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) ②如果事件 A、B 相互独立,那么 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) ③如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 K 次 的概率 Pn ( K ) ? C n P (1 ? P )
k k
2

n?k

④球的表面积公式 S ? 4 ? R ,球的体积公式 V ?

4 3

? R ,其中 R 表示球的半径。
3

第一部分

选择题(共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 。 1、满足 A ? {1, 2 } ? {1, 2 , 3} 的集合 A 共有( A、2 个 B、4 个 ) C、8 个 ) D、-2 ) D、 y ? x ) D、2 ) D、3
3

D、16 个

2、若复数 z 1 ? 1 ? i , z 2 ? 2 ? xi ( x ? R ), z 1 z 2 ? 0 ,则 x=(

A、2 B、1 C、-1 3、下列函数中,在其定义域上既是单调函数,又是奇函数的是( A、 y ? x 4、直线 x ? A、1
?1

B、 y ? 2

x

C、 y ? log
2 2

2

x

3 y ? 2 ? 0 被圆 ( x ? 1) ? y ? 1 所截得的弦长为(

B、 2

C、 3

5、函数 y ? sin x ( 0 ? x ? ? ) 的图象与 x 轴所围成的面积是( A、0 6、函数 y ? | tan x | 是 A、周期为
?
2

B、1 ( )

C、2

的周期函数且图象是中心对称图形;

B、周期为 ? 的周期函数且图象是轴对称图形;

1

C、周期为

?
2

的周期函数且图象是轴对称图形;

D、周期为 ? 的周期函数且图象是中心对称图形; 7、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个 正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ( ) A、48 B、18 C、24 D、36
?x ? 0 ? 8、设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域为 D n ,记 D n 内的整点(即横坐标与纵坐 ? y ? ? nx ? 3 n ?

标均为整数的点)个数为 a n ( n ? N ) ,则 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ( A、18 B、20 C、22

?

) D、27

第二部分

非选择题(共 110 分)

二、填空题: (本大题共 7 小题,第 13,14,15 小题中任选 2 题作答,三题都答,则按 13, 14 题给分,每小题 5 分,共 30 分) 9、如图是一个几何体的三视图,根据图中尺寸(单位:cm),则它的体积是__________。 (结果保留整数)

10、从装有 3 个红球,2 个白球的袋中随机取出 2 个球,以 ? 表示取得 白球的个数,则 P(ξ=1)=________; E (? ) ? ________。 11、如图,程序框图所运行的功能是求____数列的前 ________项的和,其结果是____。 12、已知 a 与 b 夹角为 ? ,定义 a ? b 为 a 与 b 的“向量积”, a ? b 是 一 个 向 量 , 它 的 长 度 | a ? b |? a ? | b | sin ? 。 若 u ? ( 2 , 0 ) , u ? v ? (1, ? 3 ) , 则
| u ? ( u ? v ) | =________。

以下三题中选作 2 题: 13、已知圆 C : ?
? x ? 2 cos ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

(θ 为参数) ,A 是圆 C 与 y 轴异于原点的交点,若以原点

为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则过 A 点且与圆 C 相切的直线极坐标方 程是__________。

2

14、若不等式 2 x ? 1 ? x ? 1 ? a , ( x ? R ) 恒成立,则常数 a 的取值 范围是____。 15、如右图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,PA 是⊙O 切线,PB 交 AC 于点 E,交⊙O 于点 D。若 PA ? PE , ? ABC ? 60 , PD ? 1, BD ? 8 , 则 BC=____。 三、解答题: (本大题共 6 小题,合计 80 分,要求写出必要的推理过程,演算步骤) 16、 (本小题满分 12 分) 已知 A ( 3 , 0 ), B ( 0 , 3 ), C (cos ? , sin ? ) ,O 为坐标原点。 (1)若 AC ? BC ? ? 1 ,求 sin 2? 的值; (2)若 | OA ? OC |?
13 ,且 ? ? ( 0 , ? ) ,求 OB 与 OC 的夹角;
?

17、 (本题满分 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面边长为 a 的正方形,侧 面 PAD 垂直底面 ABCD,且△PAD 为正三角形,E 为侧棱 PD 的中点。 (I)求证: AE ? 平面 PCD; (Ⅱ)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (Ⅲ)求直线 PB 与底面 ABCD 所成角的正弦值。

18、 (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? 6 ( a ? 0 ) 。
3

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间及极值; (2)若 x ? [ 0 ,1] 时,函数 y ? f ( x ) 的图象上点 ( x , f ( x )) 处的切线倾斜角为 ? ,求当
?
4 ?? ?

?
2

时,a 的取值范围。

3

19、 (本题满分 14 分) 某校为扩大教学规模,从今年起扩大招生,现有学生人数为 b 人,以后学生人数年增 长率为 4.9‰(即千分之 4.9) 。该校今年年初有旧实验设备 a 套,其中需要换掉的旧设备占 了一半。学校决定每年以当年年初设备数量的 10%的增长率增加新设备,同时每年换掉 x 套的旧设备。 (1)如果 10 年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番,那么每年应更换的旧 设备是多少套? (2)依照(1)更换速度,共需多少年能更换所有需要更换的旧设备? 下列数据供计算时参考:

20、 (本题满分 14 分) 已知一次函数 y ? kx ? b ( b ? 0 ) 的图象与抛物线 y ?
1 2 x 相交于两点 A ( x1 , y 1 ) ,
2

B ( x 2 , y 2 ) ,其中 x 2 ? 0 且 x1 x 2 ? ? 1, F ( 0 , b ) , AF ? t FB ,F 为抛物线的焦点。

(1)求 OA ? OB 的值; (2)当 t ?
3 2

时,求以原点为中心,F 为一个焦点且过点 B 的椭圆方程。

21、 (本题满分 14 分) 已知数列 { a n } 中 a 1 ? 1 ,且点 P ( a n , ? a n ? 1 )( n ? N , n ? 2 ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上, 数列 { b n } 的前 n 项和 S n 满足 S n ? n ? 2 n 。
2 ?

(1)求数列 { a n }, { b n } 的通项公式。 (2)若函数 f ( n ) ? 的最小值。 (3)若函数 g ( n ) ? ?
? a n ( n ? 2 k ? 1) ? bn ( n ? 2 k ) ( k ? N ) ,是否存在 k ? Z ,使得 g ( k ? 9 ) ? g ( k ) ,若存
?
?

1 n ? a1

?

1 n ? a2

?

1 n ? a3

?? ?

1 n ? an

( n ? N , n ? 2 ) ,求函数 f ( n )

?

在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由。

4

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1、B 2、D 3、D 4、C 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9、 457 cm
3

5、C

6、B

7、D

8、A

10、①0.6,②0.8(前空 2 分,后空 3 分)

11、求等差数列的前 10 项之和,结果是 100(前空 1 分,中空 2 分,后空 2 分) 12、 2 3 三、解答题 16、(1) AC ? (cos ? ? 3 , sin ? ) , BC ? (cos ? , sin ? ? 3 ) 由 AC ? BC ? ? 1 ,得 (cos ? ? 3 ) cos ? ? sin ? (sin ? ? 3 ) ? ? 1 化简得
s i n? ? c o s? ? 2 3 5 9

13、 ? sin ? ? 4

14、 a ?

3 2

15、 2 7

……2 分 ……3 分 …4 分 …………6 分 ……7 分

平方移项整理得 sin 2 ? ? ?

(2)? OA ? OC ? (cos ? ? 3 , sin ? )
? (cos ? ? 3 ) ? sin
2 2

? ? 13 ? cos ? ?
?
3

1 2

…8 分

? ? ? (0, ? )

?? ?

,C ( ,
2

1

3 ) 2

……9 分

设 OB 与 OC 的夹角为 ? ,则 cos ? ?
?
6

OB ? OC | OB | ? | OC |

?

3 2

…11 分

得? ?

所以 OB 与 OC 的夹角为

?
6

………12 分

17、证明: (1)在正△PAD 中,E 是 PD 的中点,所以 AE ? PD 。 又面 PAD ? 面 ABCD,面 PAD
CD ? 面 PAD。

……1 分
? AD,所以

? 面 ABCD=AD, CD
? CD

………2 分
? D ,

而 AE ? 面 PAD,所以 CD ? AE 。所以由 PD 有 AE ? 面 PDC。 (2)取 AD 中点 O,连结 PO, ∵△PAD 是正三角形,

……4 分

5

? PO ? AD ,且 PO ?

3 AD ? 2

3 2

a

……5 分 ………6 分 ………7 分 ……8 分

又面 PAD ? 底面 ABCD ? PO ? 面 ABCD ∴PO 是棱锥 P-ABCD 的高
? V P? ABCD ? 1 3 ? PO ? S 正方形 ?

1 3

ABCD

?

3 2

a ?a

2

?

3 6

a

3

…………9 分

(3)设 PB 与底面 ABCD 所成角为 θ。 由(2)知 PO⊥底面 ABCD,
PO ? 3 2 a ,连结 OB,则∠OBP 是 PB 与底面 ABCD 所成的角 θ。

…10 分

? BO ?

AB ? AO

2

?

1 .2 2 a ? ( )a ? 2
3 2 5 2

5 2

a

…11 分

? PB ?

PO

2

? OB

2

?

(

a) ? (
2

a)

2

?

2a

………12 分

? sin ? ?

PO PB

?

a 2 ? 2a

3

6 4

……14 分

18、解: (1)令 f ' ( x ) ? 0 即 f ' ( x ) ? 3 x ? a ? 0
2

得 x1 ? ?

3a , x2 ? 3

3a , 3

....2 分

当 x 变化时 f'(x)与 f(x)的变化情况如下表

……6 分 因 此 , f(x) 的 单 调 增 区 间 为 ( ?? , ?
3a , 3 3a 2 a 3a ) 极大值为 6 ? 9 3
2

3a 3

] 和[

3a , ?? ) , f ( x ) 的 单 调 减 区 间 为 3 2a 9
2

(?

极小值 6 ?

3a

…10 分 ……10 分

(2) f ' ( x ) ? 3 x ? a 依题意可得 tan ? ? f ' ( x ) ? 3 x ? a

6



?
4

?? ?

?
2

时, tan ? ? 3 x ? a ? 1
2

即 3 x ? a ? 1, 3 x ? 1 ? a 在区间
2 2

x ? [ 0 ,1] 上恒成立

…10 分

又 u ( x ) ? 3 x ? 1 在区间(0,1]上的最小值为-1
2

所以 a 的取值范围是(-∞,-1] 19、解:
) (1)设今年学生为 b 人,则 10 年后学生为 b (1 ? 4 . 9 % 。 ? 1 . 05 b ,
10

……12 分

…2 分 …3 分
2

由题设可知,1 年后的设备为 a ? (1 ? 10 %) ? x ? 1 . 1a ? x 。
2

2 年后的设备为 (1 . 1 a ? x ) ? (1 ? 10 %) ? x ? 1 . 1 a ? 1 . 1 x ? x ? 1 . 1 a ? x (1 ? 1 . 1) 。 3 年后的设备为 (1 . 1 a ? 1 . 1 x ? x ) ? (1 ? 10 %) ? x ? 1 . 1 a ? 1 . 1 x ? 1 . 1 x ? x
2
3 2

? 1 . 1 a ? x (1 ? 1 . 1 ? 1 . 1 )
3 2

…… 10 年后的设备为
a ? 1 .1
10

? x (1 ? 1 . 1 ? 1 . 1 ? ? ? 1 . 1 )
2 9

? 2 .6 a ? x ?
? 2 . 6 a ? 16 x

1 ? (1 ? 1 . 1 )
10

1 ? 1 .1

由题设得

2 . 6 a ? 16 x 1 . 05 b

? 2? 1 2 a ?

a b

,解得 x ?
a ? 16 。
2

1 32

a。

…10 分 ………13 分

(2)全部更换旧设备还需

32 1 16 am

答:(1)每年更换旧设备为 20、解: (1)由 y ?
1 2

。(2)按此速度全部更换旧设备还需 16 年。…14 分

x ? OA ? OB ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? x1 x 2 ?
2

1 4

( x1 x 2 ) ? ? 1 ?
2

1 4
)

? ?

3 4

…4 分

(2)当 t ?

3 2

时, x 1 ? ?

3 2
x
2

x2 ?

2 3

? B(

2 1 , ) 3 3

F (0,

1 2

………7 分

设椭圆方程为

y ? a2

2

a2?

1 4

?1

……9 分

7

且过点 B,?

1 9a
2

? 3( a
2

2 ? 1 4 )

?1

即 36 a ? 37 a ? 1 ? 0
4 2

?a

2

?
2

1 36

.或 a ? 1
2

……12 分
2
2

又? a ?

1 4

? 0 4 3 x
2

故a ? 1 ,a ?
?1

1 4

?

3 4

所求方程 y ?
2

……14 分

21、解: (1)点 P ( a n , ? a n ?1 )( n ? N , n ? 2 ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,
? a n ? a n ?1 ? 1 ? 0
?

即 a n ?1 ? a n ? 1

又 a1 ? 1

? ∴数列 { a n } 是以 a 1 ? 1 为首项,1 为公差的等差数列,通项公式为 a n ? n ( n ? N ) …2 分

当 n=1 时, b1 ? S 1 ? 3 当 n ? 2 时,由 ?
? Sn ? n 2 ? 2n ? s n ?1 ? ( n ? 1 )
2

? 2 ( n ?1)

可得 b n ? 2 n ? 1 ,
?

又 2 ? 1 ? 1 ? 3 ? b1

? { b n } 的通项公式为 b n ? 2 n ? 1( n ? N )
1 n ? a1

……4 分
1 n ? an

(2)当 n ? N , n ? 2 时,由函数 f ( n ) ?

?

1 n ? a2

?

1 n ? a3

?? ?

?

1 n ?1

?

1 n? 2

?

1 n?3

?? ?

1 2n

………5 分
1 2n
? 1 n ?1 ?

? f ( n ? 1) ?

1 n?2

?

1 n ? 3
1 2n ? 1

?

1 n ? 4
1

?? ?

?

1 2n ? 1
1 ?

?

1 2n ? 2
1 ? 0

………6 分

? f ( n ? 1) ? f ( n ) ?

?

2n ? 2

2n ? 1

2n ? 2

…7 分

∴函数 f(n)单调递增, f ( n ) 的最小值为 f ( 2 ) ?

7 12

………9 分

(3)当 k 为奇数时 k+9 为偶数,所以 g ( k ) ? a k ? k , g ( k ? 9 ) ? b k ? 9 ? 2 ( k ? 9 ) ? 1 ? 2 k ? 19 …10 分 由 g (k ? 9) ? g (k ) 得 2 k ? 19 ? k
? k ? ? 19 不合题意,舍去

...11 分

8

当 k 为偶数时,k+9 为奇数,所以 g ( k ) ? b k ? 2 k ? 1
g (k ? 9) ? ak ? 9 ? k ? 9

由 g (k ? 9) ? g (k )

得 k ? 9 ? 2k ? 1

得 k=8 符合题意

.......13 分 ………14 分

故存在 k=8 使得 g ( k ? 9 ) ? g ( k ) 。

9


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