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2012-2013学年度连云港市高二第二学期期末调研测试


2012~2013 学年度第二学期高二年级调研测试

数学试题(理科)
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) .本卷满分为 160 分, 考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的相应位置. 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答,在其它位置 作答一律无效. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡 相应 ... 位置上. ) 1.若集合 A ? ? 0, m ? , B ? ? 2, 3 ? , A I B ? ? 3 ? ,则实数 m ? ▲ .

2.已知“凡是 9 的倍数的自然数都是 3 的倍数”和“自然数 n 是 9 的倍数”,根据三段 论推理规则,我们可以得到的结论是 ▲ . 3.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A, B, C 三门由于上课时间相同,至多选一门,学 校规定每位同学选修 4 门,共有 ▲ 种不同选修方案。 (用数值作答) ▲ .

4.设在 12 个同类型的零件中有 2 个次品,抽取 3 次进行检验,每次抽取一个,并且取出 不再放回,若以 ? 表示取出次品的个数,则 ? 的期望值 E (? ) =
2

5.用反证法证明命题“若 x ? 1 ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ”时,假设命题的结论不成立的 正确叙述是“ 6. (2 x ? ▲ ”. ▲ (用数字作答)
3

1 6 ) 的展开式的常数项是 2x
2

7. 对于大于 1 的自然数 m 的 n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”, 仿此, 记 6 的“分 裂”中最小的数为 a ,而 6 的“分裂”中最大的数是 b ,则 a ? b ? ▲ .

8.设 a ? 0且a ? 1 ,
高二数学(理科) 第 1 页 (共 4 页)







?1 ? f ( x) ? loga (ax2 ? x) 在区间 ? , 6 ? 上是增函数,则 a 的取值范围是 ?2 ?





9.(1 ? mx)6 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ?? a6 x6 且 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 63 ,则实数 m 的 值为 ▲ . ▲ .
1

10.整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2), (4,1),(1,5),(2,4),…则第 61 个数对是

11.给出下列命题:①在区间 (0, ??) 上,函数 y ? x?1 , y ? x 2 , y ? ( x ? 1)2 , y ? x3 中有三个 是增函数;②若 logm 3 ? logn 3 ? 0 ,则 0 ? m ? n ? 1 ;③若函数 f ( x) 是奇函数,则

f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0) 对称; ④函数 f ( x) ? x ? x ? 2 ? x ? 1 有 2 个零点. 其
中正确命题的序号 为 .. 12.观察下列等式:
1 C5 ? C55 ? 2 3? 2 , 1 5 9 C9 ? C9 ? C9 ? 27 ? 23 ,

?

?





1 5 9 13 C13 ? C13 ? C13 ? C13 ? 211 ? 25 ,
1 5 9 13 17 C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? C17 ? 215 ? 27 ,

?? 由以上等式推测到一个一般的结论:
1 5 9 4 n?1 对于 n ? N , C4 n?1 ? C4 n?1 ? C4 n?1 ? ? ? C4 n?1 ?
*


2



13.设二次函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? c 的值域为 ?0, ??? ,则 u ?
2

1 4 ? 2 的最小值为 c ?1 a ? 4

▲ ▲ 步骤)


2

14.设不等式 x ? px ? p( p ? 1) ? 0 对任意正整数 x 都成立,则实数 p 的取值范围是 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.(解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算 15. (本题满分 14 分) 已知复数 z ? (a ? 4sin
2 2

? ) ? 2(cos? ? 1)i ,其中 a ? R? ,? ? (0 , ? ) , i 为虚数单

2 位,且 z 是方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个根.

(1)求 ? 与 a 的值;
高二数学(理科) 第 2 页 (共 4 页)

(2)若 w ? x ? yi ( x, y 为实数) ,求满足 w ? 1 ?

z 的点 ( x, y ) 表示的图形的面积. z?i

16. (本题满分 14 分) 某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到 红灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2 分钟. 设这名学生在路上遇到红灯的个 3

数为变量 ? 、停留的总时间为变量 X , (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2)这名学生在上学路上遇到红灯的个数至多是 2 个的概率. (3)求 X 的标准差 V ( X ) .

17. (本题满分 14 分) 设关于正整数 n 的函数

f (n) ? 1? 22 ? 2 ? 32 ? ?n(n ? 1)2

(1)求 f (1), f (2), f (3) ; (2)是否存在常数 a, b, c 使得 f (n) ? 立?并证明你的结论
王新敞
奎屯 新疆

n(n ? 1) (an 2 ? bn ? c) 对一切自然数 n 都成 12

18. (本题满分 16 分) 经市场调查:生产某产品需投入年固定成本为 3 万元,每生产 x 万件 ,需另投入流动 .. 成本为 W ? x ? 万元,在年产量不足 8 万件时,W ? x ? ? 8 万件时, W ? x ? ? 6 x ?

1 2 x ? x (万元) ,在年产量不小于 3

100 ? 38 (万元). 通过市场分析,每件 产品售价为 5 元时,生 .. x
高二数学(理科) 第 3 页 (共 4 页)

产的商品能当年全部售完. (1)写出年利润 L ? x ? (万元)关于年产量 x (万件 )的函数解析式; .. (注:年利润=年销售收入 ? 固定成本 ? 流动成本) (2)年产量为多少万件 时,在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少? ..

19. (本题满分 16 分) 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要 研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律。下图 是一个 11 阶杨辉三角: (1)求第 20 行中从左到右的第 4 个数; (2)若第 n 行中从左到右第 14 个数与第 15 个数的比为

2 ,求 n 的值; 3

(3)求 n 阶(包括 0 阶)杨辉三角的所有数的和; (4)在第 3 斜列中,前 5 个数依次为 1,3,6,10,15;第 4 斜列中,第 5 个数为 35。 显然,1+3+6+10+15=35。事实上,一般地有这样的结论:第 m 斜列中(从右上到左下) 前 k 个数之和,一定等于第 m+1 斜列中第 k 个数。试用含有 m、k (m, k ? N * ) 的数学公 式表示上述结论,并给予证明。
第0行 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 1 斜列 第1行 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 2 斜列 第2行 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 3 斜列 第3行 1 3 3 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 4 斜列 第4行 1 4 6 4 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 第 5 斜列 第5行 1 5 10 10 5 1 ? ? ? ? ? ? ? 第 6 斜列 第6行 1 6 15 20 15 6 1 ? ? ? ? ? ? 第 7 斜列 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 ? ? ? ? ? 第 8 斜列 第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 ? ? ? ? 第 9 斜列 第9行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ? ? ? 第 10 斜列 第 10 行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 ? ? 第 11 斜列 第 11 行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 ? 第 12 斜列 11 阶杨辉三角

高二数学(理科)

第 4 页 (共 4 页)

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? x2 ? x ? a ( x ? R, a ? R) . (1)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (2)当 a ? 2 时,求 f ( x ) 的单调区间; (3)若 f ( x) ? 10 对 x ? (?1,3) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

高二数学(理科)

第 5 页 (共 4 页)

2012~2013 学年度第二学期高二年级调研测试

数学试题(理科)
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) .本卷满分为 160 分,考 试时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的相应位置. 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答,在其它位置作 答一律无效. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡 相应 ... 位置上. ) 1.若集合 A ? ? 0, m ? , B ? ? 2, 3 ? , A I B ? ? 3 ? ,则实数 m ? 答案: 3 2.已知“凡是 9 的倍数的自然数都是 3 的倍数”和“自然数 n 是 9 的倍数”,根据三段论推理 规则,我们可以得到的结论是 答案:自然数 n 是 3 的倍数 3. 某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A, B, C 三门由于上课时间相同,至多选一门, 学校规定每位同学选修 4 门,共有 答案: 75 4.设在 12 个同类型的零件中有 2 个次品,抽取 3 次进行检验,每次抽取一个,并且取出 不再放回,若以 ? 表示取出次品的个数,则 ? 的期望值 E (? ) = 答案: ▲ . ▲ 种不同选修方案。 (用数值作答) ▲ . ▲ .

1 2
2

5.用反证法证明命题“若 x ? 1 ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ”时,假设命题的结论不成立的正 确叙述是“ ▲ ”.

答案:假设 x ? 1且x ? ?1 6. (2 x ? 答案:-20
高二数学(理科) 第 6 页 (共 4 页)

1 6 ) 的展开式的常数项是 2x



(用数字作答)

7. 对于大于 1 的自然数 m 的 n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”, 仿此, 记 6 的“分裂” 中最小的数为 a ,而 6 的“分裂”中最大的数是 b ,则 a ? b ?
2

3





答案:42 8.设 a ? 0且a ? 1 ,若函数 f ( x) ? loga (ax2 ? x) 在区间 ? , 6 ? 上是增函数,则 a 的取值 2 范围是 答案: a ? 2 9.(1 ? mx)6 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ?? a6 x6 且 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 63 ,则实数 m 的 值为 答案:1 或-3 10.整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2), (4,1),(1,5),(2,4),…则第 61 个数对是 ▲ . 答案: (6, 6) 11.给出下列命题:①在区间 (0, ??) 上,函数 y ? x?1 , y ? x 2 , y ? ( x ? 1)2 , y ? x3 中有三个 是增函数;②若 logm 3 ? logn 3 ? 0 ,则 0 ? m ? n ? 1 ;③若函数 f ( x) 是奇函数,则
1

?1 ?

? ?









f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0) 对称;④函数 f ( x) ? x ? x ? 2 ? x ? 1 有 2 个零点.其
中正确命题的序号 为 .. 答案:③④ 12.观察下列等式:
1 C5 ? C55 ? 2 3? 2 ,

?

?





高二数学(理科)

第 7 页 (共 4 页)

1 5 9 C9 ? C9 ? C9 ? 27 ? 23 , 1 5 9 13 C13 ? C13 ? C13 ? C13 ? 211 ? 25 , 1 5 9 3 17 C1 C 1? ? 27 ? 1 25 , 7? C 1 ? 7 C ? 17 1C 7 1 7

……… 由以上等式推测到一个一般的结论:
1 5 9 4 n?1 对于 n ? N , C4 n?1 ? C4 n?1 ? C4 n?1 ? ? ? C4 n?1 ?
*





答案: 2

4 n ?1

? ? ?1? 22 n ?1
n

13.设二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4 x ? c 的值域为 ?0, ??? ,则 u ? ▲ 答案: .

1 4 ? 2 的最小值为 c ?1 a ? 4
2

2 3


14.设不等式 x2 ? px ? p( p ? 1) ? 0 对任意正整数 x 都成立,则实数 p 的取值范围是 ▲

答案:1- 2 ? p ? 1+ 2 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.(解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤) 15. (本题满分 14 分) 已知复数 z ? (a ? 4sin
2 2

? ) ? 2(cos? ? 1)i ,其中 a ? R? , ? ? (0 , ? ) , i 为虚数单

2 位,且 z 是方程 x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个根.

(1)求 ? 与 a 的值; (2)若 w ? x ? yi ( x, y 为实数) ,求满足 w ? 1 ?

z 的点 ( x, y ) 表示的图形的面积. z?i

解: (1)由方程 x +2x+2=0 得 x=-1±i

2

………………………………………2 分

? 2(cos? ? 1) ? 0
? z=-1+I
2

……………………………………………………………………4 分
2

又? z=(a -4 sin ? )+2( cos ? +1)i
高二数学(理科) 第 8 页 (共 4 页)

?a 2 -4sin 2 ? ? ?1 ?? ? 2(cos ? ? 1) ? 1

…………………………………………………………………… 6 分

, ? ? (0 , ? ) ? a ? (0,+ ? )

?? =

2? ,a= 2 3

…………………………………………………………………… 8 分 …………………………………………………… 10 分

(2)?

z ?1 ? i 10 ? ? z ? i ?1 ? 2i 5

? w ?1 ?

10 10 为半径的圆,………………………… 12 分 ,表示以 (1, 0) 为圆心, 5 5 10 2 2 ) ? ? 5 5
………………………… 14 分

? 面积为 ? (

16. (本题满分 14 分) 某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇 到红灯的概率都是

1 ,遇到红灯时停留的时间都是 2 分钟. 设这名学生在路上遇到红灯 3

的个数为变量 ? 、停留的总时间为变量 X , (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; (2)这名学生在上学路遇到红灯的个数至多是 2 个的概率. (3)求 X 标准差 V ( X ) . 解(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A,因为事件 A 等于 事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件 A 的概率为 P ? A? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?

? ?

1? ? 3? ?

1? 1 4 ? 3 ? 3 27

??? ???4 分

(2)设这名学生在上学路遇到红灯的个数至多是 2 个为事件 B,这名学生在上学路上遇 到红灯的个数 ? ~ B(4, ) . 则由题意:

1 3

8 0 1 0 2 4 1 1 1 2 3 2 1 2 2 2 P( B) ? P(? ? 2) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ( ) ? 3 3 3 3 3 3 9
高二数学(理科) 第 9 页 (共 4 页)

∴这名学生在上学路遇到红灯的个数至多是 2 个的概率为

8 . 9

……………… 10 分 ……………… 12 分

1 8 , 3 9 32 ? X ? 2? ,∴ V ( X ) ? V (2? ) ? 4V (? ) ? , 9
(3)? ? ~ B(4, ) ,∴ V (? ) ? 4 ? (1 ? ) ? ∴ V (X ) ?

1 3

1 3

4 2 3

……………… 14 分

17. (本题满分 14 分) 设关于正整数 n 的函数

f (n) ? 1? 22 ? 2 ? 32 ? ?n(n ? 1)2

(1)求 f (1), f (2), f (3) ; (2)是否存在常数 a, b, c 使得 f (n) ? 立?并证明你的结论
王新敞
奎屯 新疆

n(n ? 1) (an 2 ? bn ? c) 对一切自然数 n 都成 12
……………… 3 分

解: (1) f (1) ? 4 , f (2) ? 22 , f (3) ? 70 (2)假设存在 a,b,c 使题设的等式成立,这时,n=1,2,3 得

? a ? b ? c ? 24, ? ?4a ? 3b ? c ? 44, 解得 : a ? 3, b ? 11, c ? 10. ? 9a ? 3b ? c ? 70. ?
于是,对 n=1,2,3 下面等式成立:

??????6 分

1 ? 2 2 ? 2 ? 3 2 ? ? n (n ? 1) 2 ?

n (n ? 1) (3n 2 ? 11n ? 10). 12

??? ???8 分

记 Sn ? 1? 2 2 ? 2 ? 32 ? ?n(n ? 1) 2 . 假设 n=k 时上式成立,即 S k ? 那么 S k ?1

k (k ? 1) (3k 2 ? 11k ? 10), ??? ???10 分 12 k (k ? 1) ? S k ? (k ? 1)( k ? 2) 2 ? (3k 2 ? 11k ? 10) ? (k ? 1)( k ? 2) 2 12 k (k ? 1) ? (k ? 2)( 3k ? 5) ? (k ? 1)( k ? 2) 2 12

(k ? 1)(k ? 2) (3k 2 ? 5k ? 12k ? 24) 12 (k ? 1)(k ? 2) ? [3(k ? 1) 2 ? 11(k ? 1) ? 10] 12 ?
高二数学(理科) 第 10 页 (共 4 页)

也就是说, 等式对 n=k+1 也成立 综上所述,当 a=3,b=11,c=10 时,题设的等式对一切自然数 n 成立 18. (本题满分 16 分)
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

??? ???13 分 ??? ???14 分

经市场调查:生产某产品需投入年固定成本为 3 万元,每生产 x 万件 ,需另投入流动 .. 成本为 W ? x ? 万元,在年产量不足 8 万件时,W ? x ? ? 8 万件时, W ? x ? ? 6 x ?

1 2 x ? x (万元) ,在年产量不小于 3

100 ? 38 (万元). 通过市场分析,每件 产品售价为 5 元时,生 .. x

产的商品能当年全部售完. (1)写出年利润 L ? x ? (万元)关于年产量 x (万件 )的函数解析式; .. (注:年利润=年销售收入 ? 固定成本 ? 流动成本) (2)年产量为多少万件 时,在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少? ..

? 1 2 ? x ? 4 x ? 3 (0 ? x ? 8) ? ? 3 L x)=5x-w-3= ? 解: (Ⅰ) ( ………………………………6 分 ? 35 ? x ? 100 ( x ? 8) ? x ?
⑴当 0 ? x ? 8 时 L( x) ? ?

1 2 1 x ? 4 x ? 3 ? ? ( x ? 6) 2 ? 9 3 3

?当x ? 6时Lmax1 ? 9 ………………………………………………………………10 分
⑵当 x ? 8时L(x)=35 ? x ? 当且仅当 x ?

100 100 ? 35 ? ( x ? ) ? 35 ? 2 100 ? 15 x x

100 即x=10时等号成立,? L max2 ? 15 ……………………………………14 分 x

? Lman1 ? Lmax 2 ?当总产量达到 10万件时利润最大 ……………………………16 分
19. (本题满分 16 分) 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要 研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律。下图 是一个 11 阶杨辉三角: (1)求第 20 行中从左到右的第 4 个数; (2)若第 n 行中从左到右第 14 个数与第 15 个数的比为

2 ,求 n 的值; 3

(3)求 n 阶(包括 0 阶)杨辉三角的所有数的和; (4)在第 3 斜列中,前 5 个数依次为 1,3,6,10,15;第 4 斜列中,第 5 个数为 35。
高二数学(理科) 第 11 页 (共 4 页)

显然,1+3+6+10+15=35。事实上,一般地有这样的结论:第 m 斜列中(从右上到左下) 前 k 个数之和,一定等于第 m+1 斜列中第 k 个数。试用含有 m、k (m, k ? N * ) 的数学公 式表示上述结论,并给予证明。

3 解: (1) C20 ? 1140 .

…………4 分

(2)由

13 Cn 2 14 2 ? ? ? , 解得n ? 34. 14 3 n ? 13 3 Cn
2 n n ?1

…………8 分

(3) 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2

? 1.

…………12 分 …………14 分

m?1 m?1 m?1 m (4) Cm ? ? ? Cm ?1 ? Cm ? k ?2 ? Cm? k ?1 .

m?1 m?1 m?1 m m?1 m?1 证明: Cm ? ?? Cm ? ?? Cm ?1 ? Cm ?k ? 2 ? Cm ? Cm ? k ?2 m m?1 m?1 m m?1 m ? Cm ?1 ? Cm?1 ? ?? Cm?k ?2 ? ? ? Cm?k ?2 ? Cm?k ?2 ? Cm?k ?2 ? 右式 ……16 分

20. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? x ? x ? a ( x ? R, a ? R) .
2

(1)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (2)当 a ? 2 时,求 f ( x ) 的单调区间; (3)若 f ( x) ? 10 对 x ? (?1,3) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

高二数学(理科)

第 12 页 (共 4 页)

解: (1)i)当 a=0 时:f(x)=x + x ∵f(-x)=(-x)+ ? x =x + x =f(x)
2

2

? 函数 f(x)为偶函数…………………………………………………3 分 ii)当 a ? 0 时:
∵f(1)=1+ 1 ? a ,f(-1)=1+ 1 ? a 若 f(1)=f(-1),则 1+ 1 ? a =1+ 1 ? a 从而 a=0,舍去; 若 f(1)=-f(-1),则 1 ? a + 1 ? a =-2 从而 a ? ? f(-1),? 函数 f(x)为非奇非偶函数………………………………………6 分 ? f(1) ? ± (2)当 a=2 时: f(x)=x + x ? 2 = ?
2

? x 2 +x-2 (x ? 2)
2 ? x ? x ? 2( x ? 2)

1 1 ,增区间为( ,+ ? ) ;……………………………10 分 ? 原函数的减区间为(- ? , ) 2 2 (3)∵x ? (-1,3)

? f(x)<10 可变为 x 2 -10<a-x< 10-x 2
即?

?a ? x 2 +x-10
2

(*)
1 2

? a ? ? x ? x ? 10(**)
2

对(*) :令 g(x)= x +x-10,其对称轴为 x ? ?

? gmax ? g (3) ? 2? a ? 2
对②令 h( x) ? ? x ? x ? 10 ? ?( x ? ) ?
2



1 2

41 4
④ ……………………………16 分

?hmin ? h(3) ? 4 ?a ? 4
由③、④知: 2 ? a ? 4

高二数学(理科)

第 13 页 (共 4 页)


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