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2015届长春地区高三数学(理)一模Microsoft Word 文档


答案

长春市 2014—2015 学年新高三起点调研考试 数学(理科)试题答案及评分参考
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. C 2. A 3. D 4. B 5. C 7. B 8. B 9. C 10. B 11. D 12. B 简答与提示: 1. 【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性. 【试题解析】C 由题可得 x 2.
2

6. D

? 16 或 x2 ? 4 x ,则 x ? ?4,0,4 ,又当 x ? 4 时, A 集合出现重

复元素,因此 x ? 0 或 ? 4 . 故选 C. 【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数模的概念,另外对复平面上点与复数的对应也提出较高 要求. 【试题解析】A 由图可知: z1 ,则 z1 ? i ? 5 . ? i , z2 ? 2 ? i ,

z2

2?i

5

故选 A.

3.

【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念,同时也对函数单调性与函数极值做出考查. 【试题解析】D 由题可知,B、C 选项不是奇函数,A 选项 ,而 D 选项 y ? x3 单调递增(无极值) 既为奇函数又存在极值. 故选 D. 【命题意图】本题主要对向量的运算进行考查,同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求. 【试题解析】B 由 | m ? n |? 17 ,且 | m ? n | 故选 B.
2

4.

? | m ? n |2 ? 2m2 ? 2n2 ? 26 可知,

| m ? n |? 3 .
5.

【命题意图】本题考查了回归直线的特征,对解释变量的运算也有提及. 【试题解析】C 将 x

? ? x ? 1 可得 y ? 4.2 ,则 4m ? 6.7 ,解得 ? 3.2 代入回归方程为 y m ? 1.675 ,即精确到 0.1 后 m 的值为 1.7 . 故选 C.
? 1 ? 4? r 2 ? ? rl ? 8? ? 4 2? ? (8 ? 4 2)? . 故选 D. 2

6.

【命题意图】本题通过三视图考查几何体表面积的运算. 【试题解析】D 如图所示,该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和, 即S

7.

【命题意图】本题考查数列基本量的求法.

【试题解析】B 由题意, a1 ? a2 8.

? a3 ? a4 ? 20 , a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 36 ,

作差可得 8d ? 16 ,即 d ? 2 . 故选 B. 【命题意图】本题通过图像考查函数的奇偶性以及单调性. 【试题解析】B 由题可知,

f ( x) 为奇函数,且 sin x 存在多个零点导致 f ( x) 存在多个零点,故
故选 B.

f ( x) 的图像应为含有多个零点的奇函数图像.
9.

【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解. 【试题解析】C 由程序框图可知,从 n ? 1 到 n ? 15 得到 S ? C. 【命题意图】 本题考查指对幂三种基本初等函数的图像和充要条件 的概念等基础知识. 【试题解析】 B 如右图可知, “ “a ? b ? c” ? / “ x ? 1 ”,即“ a ? b ? c ”是“ x ? 1 ”的必要不 充分条件. 故选 B. 【命题意图】 本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置 关系等知识. 【试题解析】D 由题可知,点 B 的横坐标 x B

?3 ,因此将输出 n ? 16 .

故选

10.

x ? 1 ” ? “ a ? b ? c ” ,但

11.

?

p 时,满足 4

OB ? FB

,此时 ?

2p 2p ,故直线 AB (即直线 FB )的斜率的取值范围是 ? yB ? 2 2
故选 D.
y 1 -1 -3 1 3 x

[?2 2,0) (0,2 2] .
12.

【命题意图】本题借助分段函数考查函 数的周期性、对称性以及函数图像交点 个数等问题.

f ( x) 图像 的对称中心为 (1,0) , 根据② 可知 f ( x ) 图像的对称轴为 x ? ?1 ,结合③ 画出 f ( x) 和 g ( x) 的部分图像,如图所示, 据此可知 f ( x ) 与 g ( x ) 的图像在 [?3,3] 上有 6 个交点. 故选 B.
【试题解析】B 根据① 可知

O

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

e2 ? 1 2

14.

?12

15.

1 [ , 25] 2

16.

R3

简答与提示: 13. 【命题意图】本题考查利用微积分基本定理求解定积分的知识.
e 1 x2 e2 ? 1 ? ln x) 1 ? 【试题解析】计算可得 ? ( x ? )dx ? ( . ?1 x 2 2 ?e

14.

【命题意图】本题考查二项展开式系数问题. 【试题解析】 在 (x ?

15.

的系数为 ?12 . 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识. 【试题解析】由题可知,可行域如右图,目标函数 z 几何意义为区域内点到原点距离的平方,故 z 的取值范围是

2 2 3 1 )(1 ? x ) 4 的展开式中,x 2 项是 x ? C4 ( ? x ) ? C4 (? x)3 ? ?12 x 2 ,故 x 2 x x
y F(3,4)

? x2 ? y 2 的

1 [ , 25] . 2
16. 【命题意图】 本题考查正棱柱与球体等基本几何体体积的最值问题. 【试题解析】设三棱柱的高为 2t ,由题意可得,正三棱柱的体积

1
N

O 1

x

为V

?

3 3 2 3 ( R t ? t 3 ) ,求导可得当 t ? R 时, V 2 3

取得最大值为 R .

3

三、解答题 17. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用,结合三角形面积的求法 综合考查学生的运算求解能力. 【试题解析】解:(1) 根据正弦定理

2b cos C ? 2a ? c 可化为 2sin B cos C ? 2sin A ? sin C 即 2sin B cos C ? 2sin( B ? C ) ? sin C 1 ? 整理得 2sin C cos B ? sin C ,即 cos B ? , B ? . 2 3 ABC 的面积 S ?

(5 分)

(2) 由△

1 3 3 ,可知 ac ? 3 ,而 a ? c ? 4 ac sin B ? 2 4
(10 分)

由余弦定理得 b 18.

? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? (a ? c) 2 ? 3ac ? 7 .

(本小题满分 12 分) 【命题意图】本题考查数列通项公式及其前 n 项和公式的求法,其中涉及错位相减法在数列求和问题 中的应用. 【试题解析】解:(1) 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 ,解得 a1 ? 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? 2 ? 2an ?1 ? 2 ,有 an ? 2an ?1 , 所以数列 {an } 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,有 an ? 2 .
n

(6 分)

(2) 由(1)知 bn ? log2 2 ? n ,有 an ? bn ? n ? 2
n

n

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ?
2 2

? n ? 2n ①
3

①?2 , 2Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ① -② ,得 ?Tn ? 2 ? 2 ? 整理得 Tn ? (n ? 1) ? 2 19.
n ?1

? n ? 2n?1 ②
(12 分)

? 2n ? n ? 2n?1
? 2.

(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解,通过分布列的计算,考查学生的数据处理能力. 【试题解析】解:(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为

1 1 1 1 3 3 13 P? ? ? ? ? ? ? . 8 8 2 2 8 8 32 1 1 1 P( X ? 400) ? ? ? 8 8 64 6 1 1 3 P( X ? 500) ? C2 ? ? ? 8 8 64 3 3 9 P( X ? 600) ? ? ? 8 8 64 8 1 1 1 P( X ? 700) ? C2 ? ? ? 8 2 64 24 1 1 3 P( X ? 800) ? C2 ? ? ? 2 8 64 1 1 16 P( X ? 1000) ? ? ? 2 2 64 综上可得 X 的分布列为: 400 X

(4 分)

(2) 由题意知某两人可获得优惠金额 X 的可能取值为 400,500,600,700,800,1000.

(8 分)

500

600

700

800

1000

P

1 64

6 64

9 64

8 64

24 64

16 64

(10 分)

X

的数学期望

EX ? 400 ?
20.

1 6 9 8 24 16 ? 500 ? ? 600 ? ? 700 ? ? 800 ? ? 1000 ? ? 775 . 64 64 64 64 64 64

(12 分) (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题以正方体为载体,考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计,考查了空间平 面的垂直关系,以及二面角等知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】 (1) 证明:因为几何体是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 截取三棱锥 B1 ? A 1 BC1 后所得,

? ? DA1 ? DC1 ? ? ? ? DM ? A1C1 ? A1M ? C1M ? ? ? ? ? BA1 ? BC1 ? ? ? ? ? BM ? A1C1 ? ? A1C1 ? 平面MBD ? A1M ? C1M ? ? ? 平面A1C1D ? 平面MBD .(6 分) ? ? ? ? ? ? ????????????????????DM BM ? M ? ? ? ???????????????????????????????????????????????????? A1C1 ? 平面A1C1D ? ? (2) 以 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, z 设 DA ? 1 , C1 D1 依题意知, A M 1 (1,0,1), B(1,1,0), C1 (0,1,1) ,
有A 1 B ? (0,1, ?1), AC 1 1 ? (?1,1,0) 设平面 A1 BC1 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,
A1

? ? y?z?0 ? n ? A1 B ? 0 有? 代入得 ? , ?? x ? y ? 0 ? ?n ? A1C1 ? 0
设 x ?1, 有 n ?1 ( ,) , 平面 ABCD 的一个法向量 m ? (0,0,1) ,

D x A B

C y

设平面 A1 BC1 与平面 ABCD 所成锐二面角大小为 ? ,有 cos? ? 所以平面 A1 BC1 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为 21.

n?m 3 , ? 3 | n || m |
(12 分)

3 . 3

(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题考查椭圆的离心率的有关运算,直线和椭圆的综合应用,考查学生的逻辑思维能 力和运算求解能力. 【试题解析】解:(1) 设 F (?c,0)(c

? 0) ,则根据椭圆性质得 3 3 M ? a ? c, m ? a ? c, 而 M ? m ? a 2 ,所以有 a 2 ? c 2 ? a 2 ,即 a 2 ? 4c 2 , a ? 2c , 4 4 c 1 ? . 因此椭圆的离心率为 e ? (4 分) a 2 x2 y2 2 2 ? ?1. (2) 由(1)可知 a ? 2c , b ? a ? c ? 3c ,椭圆的方程为 4c 2 3c 2 根据条件直线 AB 的斜率一定存在且不为零,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) ,

? y ? k ( x ? c) ? 并设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则由 ? x 2 消去 y 并整理得 y2 ? ?1 ? 2 2 ? 4c 3c 2 2 2 2 2 (4k ? 3) x ? 8ck x ? 4k c ?12c2 ? 0
8ck 2 6ck , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c) ? 2 , 2 4k ? 3 4k ? 3 4ck 2 3ck , 2 ). 所以 G (? 2 4k ? 3 4 k ? 3 3ck ck 2 4k 2 ? 3 因为 DG ? AB ,所以 , xD ? ? . ? k ? ? 1 4k 2 ? 3 4ck 2 ? 2 ? xD 4k ? 3 由 Rt ?FGD 与 Rt ?EOD 相似,所以 4ck 2 ck 2 3ck (? 2 ? 2 )2 ? ( 2 )2 2 S1 GD 3 4k ? 3 ? 9 ? 9 ? 9 . ? ? 4k ? 3 4 k ? 2 2 ck S2 OD k2 (? 2 ) 2 4k ? 3 S 令 1 ? t ,则 t ? 9 ,从而 S2 9 2S S 2S1S2 2 2 9 ? ? ? ,即 2 1 2 2 的取值范围是 (0, ) . 2 2 1 1 41 41 S1 ? S 2 S1 ? S2 t? 9? t 9
从而有 x1 ? x2

??

(6 分)

(10 分)

(12 分)

22.

(本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识,具体涉及到导数的运算,用导数来研究函数的单调 性、极值等,以及函数与不等式知识的综合应用,考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解:(1) 因为 x

f ?( x) ?

(ax 2 ? 2ax ? 1)e x (1 ? ax 2 )2

(2 分)

1 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,所以 f ?( ) ? 0 , 3 3 1 2 9 即 a ? a ? 1 ? 0, a ? . 9 3 5 9 9 2 5 9 1 5 2 而当 a ? 时, ax ? 2ax ? 1 ? ( x ? 2 x ? ) ? ( x ? )( x ? ) , 5 5 9 5 3 3 1 9 可验证: x ? 是函数 f ( x ) 的一个极值点. 因此 a ? . (4 分) 3 5 (?4 x 2 ? 8 x ? 1)e x (2) 当 a ? ?4 时, f ?( x) ? (1 ? 4 x 2 )2 ?


f ?( x) ? 0 得 ?4 x2 ? 8x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 ? f ?( x ) 、 f ( x) 的变化是
1? 5 2 (1 ? 5 1 , ) 2 2

1 5 ,而 x ? ? . 2 2
1 5 ( ,1 ? ) 2 2

所以当 x 变化时,

x
f ?( x )

1 (??, ? ) 2

1 5 (? ,1 ? ) 2 2

1?

5 2

(1 ?

5 , ??) 2

?

?

0

?

?

0

?

f ( x)
因此

极小值

极大值

5 1 1 5 , ) , ( ,1 ? ); 2 2 2 2 1 1 5 5 f ( x) 的单调减区间是 (??, ? ) , (? ,1 ? ) , (1 ? , ??) ; 2 2 2 2 (ax 2 ? 2ax ? 1)e x (3) 当 a 取正实数时, f ?( x) ? , (1 ? ax 2 )2 2 令 f ?( x) ? 0 得 ax ? 2ax ? 1 ? 0 ,
f ( x) 的单调增区间是 (1 ?
当a

(9 分)

? 1 时,解得 x1 ?

f ( x) 在 (??, x1 ) 和 ( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减,
但是函数值恒大于零,极大值

a ? a2 ? a a ? a2 ? a , x2 ? a a

.

f ( x1 ) ,极小值 f ( x2 ) ,并且根据指数函数和二次函数的变化速

ex ex ?0. ? ?? ,当 x ??? 时, f ( x) ? 度可知当 x ??? 时, f ( x) ? 1 ? ax 2 1 ? ax 2 因此当 f ( x2 ) ? m ? f ( x1 ) 时,关于 x 的方程 f ( x) ? m 一定总有三个实数根,结论成立; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 的单调增区间是 (??, ??) ,无论 m 取何值,方程 f ( x) ? m 最多有
因此所求 a 的取值范围是 (1, ??) . 一个实数根,结论不成立. (12 分)


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