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(新课程)高中数学《2.1.1合情推理》课件 新人教A版选修1-2


2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
第1课时 归纳推理

【课标要求】 1.了解合情推理的含义,能利用归纳法进行简单的推理.

2.体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
【核心扫描】 1.对归纳推理的理解.(重点) 2.能利用归纳推理进行简单的推理.(重点)

自学导引



归纳推理的概念
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的 全部对象 都 具有这些特征的推理,或者由个别事实 概括出 一般结论 的推理.

想一想:1.归纳推理的结论一定正确吗? 提示 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结

论之间的联系不是必然性的,而是或然性的,结论不一定正

确.
2.归纳推理的前提条件是什么?归纳所得的结论有什么要求? 提示 有几个已知的特殊现象,结论是未知的一般现象,该结

论应该超越前提所包含的范围.

名师点睛
归纳推理 1.归纳推理的特点 (1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论,该 结论超越了前提所包含的范围. (2)归纳出的结论具有猜测性质,是否属实,还需逻辑证明和实 践检验,即结论不一定可靠.

(3)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜
想可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问 题.

2.归纳推理的一般步骤
(1)通过对有限资料进行观察、分析,发现某些相同性质.一般 地,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一 般性命题就越可能为真. (2)猜想:在以上基础上提出带有规律性的结论. (3)检验:检验猜想.

题型一

归纳推理在数列中的应用

【例 1】 根据下列条件,写出数列中的前 4 项,并归纳猜想它的 通项公式. (1)a1=3,an+1=2an+1; 1 (2)a1=a,an+1= ; 2-an (3)对一切的 n∈N*,an>0,且 2 Sn=an+1.

[思路探索] 根据已知条件和递推关系,先求出数列的前几项,然
后总结归纳其中的规律,写出其通项. 解 (1)由已知可得a1=3=22-1, a2=2a1+1=2×3+1=7=23-1, a3=2a2+1=2×7+1=15=24-1, a4=2a3+1=2×15+1=31=25-1. 猜想an=2n+1-1,n∈N*.

(2)由已知可得 a1=a, 1 1 a2= = , 2-a1 2-a 2-a 1 a3= = , 2-a2 3-2a 3-2a 1 a4= = . 2-a3 4-3a ?n-1?-?n-2?a 猜想 an= (n∈N*). n-?n-1?a

(3)∵2 Sn=an+1, ∴2 S1=a1+1, 即 2 a1=a1+1,∴a1=1. 又 2 S2=a2+1, ∴2 a1+a2=a2+1, ∴a2-2a2-3=0. 2 ∵对一切的 n∈N*,an>0,∴a2=3. 同理可求得 a3=5,a4=7, 猜想出 an=2n-1(n∈N*).

规律方法 虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的,但它所 具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程,对于数学的发 现是十分有用的,观察、实验,对有限的资料作出归纳整理,提 出带有规律性的猜想,是数学研究的基本方法之一.

2an 【变式 1】 (1)在数列{an}中,a1=1,an+1= ,n∈N*,猜想 2+an 这个数列的通项公式. 1? 1? (2)已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn,满足 Sn=2?an+a ?(n∈ ? n? N*),求出 a1,a2,a3,并推测 an 的表达式. 2a1 2 解 (1)在{an}中,a1=1,a2= =3, 2+a1 2a2 2 2a3 2 a3 = = ,a4= = ,?, 4 2+a2 2+a3 5 2 所以猜想{an}的通项公式 an= . n+1

1? 1? 1 ?a1+ ?得,a1= , (2)由 a1=S1=2 a1? a1 ? 又 a1>0,所以 a1=1. 1? 1? 当 n≥2 时,将 Sn=2?an+a ?, ? n? 1 ? 1? ? Sn-1= ?an-1+a ?的左右两边分别相减得 ? 2? n-1? 1 ? 1 ? 1? 1? ? an=2?an+a ?-2?an-1+a ?, ? ? n? n -1 ? ?
? 1 ? 1 ? 整理得 an-a =-?an-1+a ?, ? n-1? n ?

1 所以 a2- =-2,即 a2+2a2+1=2, 2 a2 又 a2>0,所以 a2= 2-1. 1 同理 a3-a =-2 2, 3 即 a2+2 2a3+2=3, 3 又 a3>0,所以 a3= 3- 2. 可推测 an= n- n-1.

题型二 归纳推理在几何中的应用 【例2】 在平面内观察,凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对 角线,凸六边形有9条对角线??由此猜想凸n边形有几条对 角线,并给出证明. [思路探索] 通过前几项的对角线的条数之间的联系,猜想凸n

边形的对角线条数.

解 凸四边形有 2 条对角线,凸五边形有 5 条对角线,比凸四边 形多 3 条,凸六边形有 9 条对角线,比凸五边形多 4 条,?? 于是猜想凸 n 边形的对角线条数比凸(n-1)边形多(n-2)条对角 1 线, 由此凸 n 边形的对角线条数为 2+3+4+5+?+(n-2)=2n(n -3)(n≥4,n∈N*). 证明如下:设凸 n 边形有 f(n)条对角线,则由条件可得 f(n)=f(n-1)+(n-2)(n≥4),且 f(4)=2, 所以 f(n)=(f(n)-f(n-1))+(f(n-1)-f(n-2))+?+(f(5)-f(4)+ 1 f(4))=(n-2)+(n-3)+?+3+2=2n(n-3)(n≥4,n∈N*).

规律方法 归纳推理的一般步骤: 首先,通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);然

后,把这种相似性推广为一个明确表述的一般性命题(猜想);最后,
对所得出的一般性命题进行检验.在数学上,检验的标准是能否 进行严格的证明.

【变式2】 平面内有n(n≥1)条直线,任意两条直线不平行,任意三

条直线不过同一点,用f(n)表示这n条直线把平面分成的区域
的个数,试猜想f(n)的表达式(用n表示),给出证明. 解 如图所示,f(1)=2, f(2)=4=f(1)+2, f(3)=7=f(2)+3, f(4)=11=f(3)+4, f(5)=16=f(4)+5,

由此猜想f(n)=f(n-1)+n.

将 f(2)-f(1)=2, f(3)-f(2)=3, f(4)-f(3)=4, f(5)-f(4)=5,? f(n)-f(n-1)=n 相加, n2+n+2 得 f(n)=f(1)+2+3+?+n= . 2

题型三 归纳推理的应用 【例3】 观察如图所示的“三角数阵” 1 2 2 ????第1行 ????第2行

3 4 3
4 7 7 4

????第3行
????第4行 ????第5行

5 11 14 11 5 …………

记第n行的第2个数为an(n≥2,n∈N*),请仔细观察上述“三角数阵”

的特征,完成下列各题:
(1) 第 6 行 的 6 个 数 依 次 为 ________ 、 ________ 、 ________ 、 ________、________、________; (2)依次写出a2、a3、a4、a5; (3)归纳出an+1与an的关系式.

(1)观察数阵,总结规律:除首末两数外,每行的数等于 它上一行肩膀上的两数之和,得出(1)的结果. (2)由数阵可直接写出答案. (3)写出a3-a2,a4-a3,a5-a4,从而归纳出(3)的结论.

[规范解答] 由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它

上一行的肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数.
(1)6,16,25,25,16,6 (2)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11 (3)∵a3=a2+2, a4=a3+3,a5=a4+4 (4分) (8分)

由此归纳:an+1=an+n.

(12分)

【题后反思】 对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、每列数 的特征,又要对上、下行,左、右列间的关系进行研究,找到规

律,问题即可迎刃而解.

【变式3】 将全体正整数排成一个三角形数阵,根据以下规律,数

阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是________.

解析

2×3 第 2 行最右边的数为 3= ; 2

3×4 第 3 行最右边的数为 6= 2 ; 4×5 第 4 行最右边的数为 10= 2 ; ?? ?n-1?n 故猜想第 n-1 行最右边的数为 2 ,∴第 n 行从左到右的第 3 ?n-1?n 1 2 个数是 2 +3=2(n -n+6). 答案 1 2 2(n -n+6)

方法技巧 归纳推理在数式中的应用 【示例】 (2012·汕头模拟)观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4 +5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,?可以得出的一 般结论是 ( ).

A.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=n2
B.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-1)=n2 D.n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-1)=(2n-1)2 [思路分析] 观察数式的结构特点,提炼出数式的变化规律, 运用归纳推理写出一般结论.

解析

通过观察可以发现:第一个式子的第一个数是1,第二个式

子的第一个数是2,?故第n个式子的第一个数是n;第一个式子中
有1个数,第二个式子中有3个数相加,?故第n个式子中有2n-1 个数相加;第一个式子的结果是1的平方,第二个式子的结果是3 的平方,?第n个式子的结果应该是2n-1的平方,故可以得到n+ (n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2.

答案 B

归纳推理从个别到一般的推理,通过归纳猜想出结
论.一般来说,归纳推理发现真理的过程是以观察和实验作为基 础的,从具体问题→实验观察→经验归纳(归纳推理)→形成一般命 题→结论猜想→证明.


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