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高考数学线性规划常见题型及解法大全


2015 年线性规划高考数学题型归类解析
线性规划问题是解析几何的重点,每年高考必有一道小题。 一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题

?2 x ? y ? 2 ? 例 1、 设变量 x、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 , 则 z ? 2x ? 3y ? x ? y ?1 ?
的最大值为 。 解析:如图 1,画出可行域,得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A(3,4)处,目标函数 z 最大值为 18 点评:本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可 行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为简单的送分 题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题

? x ? 1, ? 例 2、已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x 2 ? y 2 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

.

图1 书、 11

解析:如图 2,只要画出满足约束条件的可行域,而 x 2 ? y 2 表示 可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知 A(1,2)是满足条 件的最优解。 x ? y 的最小值是为 5。 点评:本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关 系几何意义的前提下,作出可行域,寻求最优解。 三、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。
2 2

图2 例 3、在约束条件 ? ?y ? 0
?x ? 0

? ?y ? x ? s ? y ? 2x ? 4 ?

下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数

C

z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是() A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8] 解析:画出可行域如图 3 所示,当 3? s ? 4 时, 目标函数 z ? 3x ? 2 y 在 B(4 ? s, 2s ? 4) 处 取 得 最 大 值 , 即 zmax ? 3(4 ? s) ? 2(2s ? 4) ? s ? 4 ?[7,8) ; 当 4 ? s ? 5 时 , 目标函数 z ? 3x ? 2 y 在点 E (0, 4) 处取得最大值,即 zmax ? 3 ? 0 ? 2 ? 4 ? 8 ,故 z ? [7,8] ,从而选 D;
点评:本题设计有新意,作出可行域,寻求最优解条件,然后转化为目标函数 Z 关于 S 的函 数关系是求解的关键。 四、已知平面区域,逆向考查约束条件。 例 4、已知双曲线 x ? y ? 4 的两条渐近线与直线 x ? 3 围成一个三角形 区域,表示该区域的不等式组是()
2 2

?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ?x ? y ? 0 ? ? ? ? (A) ? x ? y ? 0 (B) ? x ? y ? 0 (C) ? x ? y ? 0 (D) ? x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ? ? ? ? 2 2 解析:双曲线 x ? y ? 4 的两条渐近线方程为 y ? ? x ,与直线 x ? 3 围

1

成一个三角形区域(如图 4 所示)时有 ?

?x ? y ? 0 。 ?x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?

点评:本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 五、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题。 例 5 已知变量 x , y 满足约束条件 ?

?1 ? x ? y ? 4 。若目标函数 ??2 ? x ? y ? 2 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在点 (3,1) 处取得最大值,则 a 的取

值范围为 。 解析:如图 5 作出可行域,由 z ? ax ? y ? y ? ?ax ? z 其表示为 斜率为 ?a ,纵截距为z的平行直线系, 要使目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在点 (3,1) 处取得最大值。则直线 y ? ?ax ? z 过 A点且在直线 x ? y ? 4, x ? 3 (不含界线) 之间。 即 ?a ? ?1 ? a ? 1. 则 a 的取值范围为 (1, ??) 。 点评:本题通过作出可行域,在挖掘 ? a与 z 的几何意义的条件下,借助用数形结合利用各直 线间的斜率变化关系,建立满足题设条件的 a 的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基 本功,同时对几何动态问题的能力要求较高。 六、设计线性规划,探求平面区域的面积问题

?x ? y ? 2 ? 0 例6在平面直角坐标系中,不等式组 ? ? x ? y ? 2 ? 0 表示的平面 ?y ? 0 ?
区域的面积是()(A) 4 2 (B)4 (C) 2 2 (D)2

?x ? y ? 2 ? 0 解析:如图6,作出可行域,易知不等式组 ? ? x ? y ? 2 ? 0 表示 ?y ? 0 ?
的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2) ,B(2,0),C(-2,0).于 1 1 是三角形的面积为: S ? | BC | ? | AO |? ? 4 ? 2 ? 4. 从而选B。 2 2 点评:有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质;其次利用面 积公式整体或部分求解是关键。 七、研究线性规划中的整点最优解问题 例 7、某公司招收男职员 x 名,女职员 y 名,x 和 y 须满足约束条件

?5 x ? 11y ? ?22, ? 则 z ? 10 x ? 10 y 的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 ?2 x ? 3 y ? 9, ?2 x ? 11. ?
(D)95 解析:如图7,作出可行域,由 z ? 10 x ? 10 y ? y ? ? x ? 为斜率为 ?1 ,纵截距为
z ,它表示 10

z 的平行直线系,要使 z ? 10 x ? 10 y 最得最大值。当直线 z ? 10 x ? 10 y 10

11 9 通过 A( , ) z 取得最大值。因为 x, y ? N ,故A点不是最优整数解。于是考虑可行域内A点 2 2 附近整点B(5,4) ,C(4,4) ,经检验直线经过B点时, Z max ? 90. 点评:在解决简单线性规划中的最优整数解时,可在去掉限制条件求得的最优解的基础上, 调整优解法,通过分类讨论获得最优整数解。

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