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二项分布 北师大版 选修2-3


离散型随机分布常见类型:

(1)超几何分布:
N件产品中,有M件次品,从中任取n件, 用X表示取出的n件产品中次品的件数,

那么:
C C P( X ? k ) ? C
k M n?k N ?M M N

, k为非负整数

【新课引入】

例 某射击运动员进行了 4 次射击,假设每次击中目标的 3 概率均为 4 ,且各次击中目标与否是相互独立的。用 X 表示 4 次射击中击中目标的次数,求 X 的分布列。
思考交流:如果将一次射击看成做了一次试验,思考下列问题

1、一共进行了多少次试验?每次试验有几个可能的结果? 2、如果将每次试验的两个可能的结果分别称为“成功” (击中目标)和“失败”(没击中目标),那么, 每次试验成功的概率是多少?它们相同吗?

3、各次试验是否相互独立?

3

1 3 4 观察:二项式 ( 4 ? 4 ) 的二项展开式: 1 3 4 0 1 4 1 1 3 3 2 1 2 3 2 3 1 3 3 4 3 4 ( ? ) ? C4 ( ) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( )( ) ? C4 ( ) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

4

三、新课:

(1)每次实验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“ 成功”

和“ 失败” ; (2)每次实验“ 成功” 的概率均为p,“ 失败” 的概率

均为1-p; (3)各次实验是相互独立的.
用X 表示这n次试验中成功的次数,则 k k n? k P ( X ? k ) ? Cn p(1 ? p) ( k ? 0,1, 2,? n)

若一个随机变量X的分布列如上所述,则称x服从参
数为n,p的二项分布。简记为

x~B(n,p)

试验成功的概率
k n

实验失败的概率
k n ?k

P( X ? k ) ? C p (1 ? p)

(其中k= 0,1,2,· · · ,n )
试验成功的次数 实验总次数

例1. 下列随机变量X 服从二项分布吗?如果服从二项分布,

其参数各是什么?

(1)掷n枚相同的骰子,X 为出现“ 1” 点的骰子数; 1 X 服从二项分布 其参数n ? n,p ? 6 (2)n个新生儿,X 为男婴的个数(假定生男生女是等可能的); 1 X 服从二项分布 其参数n ? n,p ? 2 (3)某产品的次品率为p,X 为n个产品中的次品数;

(4)女性患色盲的概率为0.25%,X为任取n个女人 中患色盲的人数.

例2、某公司安装了3台报警器,它们彼此 独立工作,且发生险情时每台报警器报警 的概率均为0.9.求发生险情时,下列事件 的概率: (1)3台都没有报警 (2)恰有1台报警

(3)恰有2台报警

(4)3台都报警

(5)至少有2台报警 (6)至少有1台报警
分析:令X为在发生危情时3台报警器中报警的台数, 那么X服从参数n=3,p=0.9的二项分布。

例3:某车间有5台机床,每台机床正常工作与否 彼此独立,且正常工作的概率为0.2.设每台机 床工作时需电力10KW,但因电力系统发生故障 只能提供30KW的电力,问此时车间不能正常工 作的概率有多大。
分析:我们将每台机床是否工作看成一次试验, 那么一共有5次试验,并且它们彼此是独立的; 在每次试验中,把正常工作看作“成功”, 不能正常工作看着“失败”, 那么每次试验“成功”的概率都是0.2 如果令X为5台机床中正常工作的台数, 那么X服从参数为n=5,P=0.2的二项分布。

练习

9 种植某种树苗,成活率为 ,现在种植这种树苗 10 4棵,试求: (2)全部死亡的概率; (1)全部成活的概率; 解: 用X 表示4棵树苗中成活的棵数,那么X 服从参数
9 为n ? 4,p ? 的二项分布,则它的分布列为 10 9 4? k k 9 k P ( X ? k ) ? C( ) (1 ? ) 4 10 10
4 4

9 4 6561 (1)全部成活的概率为 P ( X ? 4) ? C ( ) ? 10 104

(2)全部死亡的概率为

9 4 1 P ( X ? 0) ? C(1 ? ) ? 4 10 10
0 4

9 种植某种树苗,成活率为 ,现在种植这种树苗 10 4棵,试求: (4)至少成活2棵的概率. (3)恰好成活3棵的概率为
9 3 9 1 2916 P ( X ? 3) ? C ( )(1 ? ) ? 10 10 104
3 4

练习

(4)至少成活2棵的概率为

P ( X ? 2) ? P ( X ? 2) ? P ( X ? 3) ? P ( X ? 4)
9 2 9 2 9 1 3 9 3 4 9 4 ? C ( )(1 ? ) ? C4 ( ) (1 ? ) ? C4 ( ) 10 10 10 10 10
2 4

9963 ? 104

五、小结:

1.二项分布

(1)每次实验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“ 成

功” 和“ 失败” ; (2)每次实验“ 成功” 的概率均为p,“ 失败” 的概率 均为1-p;

(3)各次实验是相互独立的.

用X 表示这n次试验中成功的次数,则 k k n? k P ( X ? k ) ? Cn ( k ? 0,1, 2,? n) p(1 ? p)
若一个随机变量X的分布列如上所述,称X 服从参数 为n, p的二项分布,简记为X ? B( n, p).

2.利用二项分布解决实际问题

六、课堂检测
1.小王通过英语听力测试的概率是
么其中恰有1次获得通过的概率是 A. C. 解析:所求概率P= B. D. · ( )1· (1- )3-1= .

,他连续测试3次,那
( A )

2.设随机变量ξ服从二项分布B(6, ),则P(ξ=3)=( A. C. 解析:P(ξ=3)= B. D. ×( )3×(1- )3= .

A)

3.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80,现有5人 接种了该疫苗,至少有3人出现发热反应的概率为 ________.(精确到0.01) 解析:P= (0.80)5≈0.94. 答案:0.94 ×(0.80)3×(0.20)2+ ×(0.80)4×0.20+

4. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培

训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可
以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培 训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培 训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立 的,且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选1名下岗人,求该人参加过培训的概率; (2)任选3名下岗人员,记ξ为3人中参加过培训的人数, 求ξ的分布列.

[课堂笔记] (1)任选1名下岗人员,设“该人参加过财会
培训”为事件A,“该人参加过计算机培训”为事件B,由题 设知,事件A与B互独立,且P(A)=0.6,P(B)=0.75. 法一:任选1名下岗人员,该人没有参加过培训的概率是 P1=P( )=P( )· P( )=0.4×0.25=0.1.

所以该人参加过培训的概率是P2=1-P1=1-0.1=0.9.

法二:任选1名下岗人员,该人只参加过一项培训的概率 是P3=P(A· )+P( · B)=0.6×0.25+0.4×0.75=0.45. 该人参加过两项培训的概率是

P4=P(A· B)=0.6×0.75=0.45.
所以该人参加过培训的概率是 P5=P3+P4=0.45+0.45=0.9. (2)因为每个人的选择是相互独立的,所以3人中参加过培 训的人数ξ服从二项分布B(3,0.9),

P(ξ=k)=
ξ P

即ξ的分布列为: ×0.9k×0.13-k,k=0,1,2,3,
0 1 0.027 2 0.243 3 0.729

0.001

5.某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为 击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比. (1)设X表示目标被击中的次数,求X的分布列;

.该目

标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6,

(2)若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次
或第二部分被击中2次”,求P(A). 【解】 X P (1)依题意知X~B(4, 0 1 2 ),即X的分布列为 3 4 ┄┄┄(6分)

(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2. Bi表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2.

依题意知P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,
A=A1 ∪ B1∪A1B1∪A2B2,┄┄┄┄┄┄(9分) 故所求的概率为 P(A)=P(A1 =P(A1)P( )+P( )+P( B1)+P(A1B1)+P(A2B2) )P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)

=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3 =0.28.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)

6.在甲、乙两个批次的某产品中,分别抽出3件进行质量检 验.已知甲、乙批次产品检验不合格的概率分别为 假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响. (1)求至少有2件甲批次产品不合格的概率; ,

(2)求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验
不合格件数多1件的概率.

解:(1)记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A.
由题意,事件A包括以下两个互斥事件: ①事件B:有2件甲批次产品检验不合格.由n次独立重 复试验中某事件发生k次的概率公式,得 P(B)= ;

②事件C:3件甲批次产品检验都不合格.由相互独立
事件概率公式,得 P(C)= .

所以,P(A)=P(B)+P(C)=

.

(2)记“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验 不合格件数多1件”为事件D.

由题意,事件D包括以下三个互斥事件:
①事件E:3件甲批次产品检验都不合格,且有2件乙批次产 品检验不合格. 其概率P(E)= ;

②事件F:有2件甲批次产品检验不合格,且有1件乙批次产
品检验不合格. 其概率P(F)= = ; ③事件G:有1件甲批次产品检验不合格,且有0件乙批次产

品检验不合格.
其概率P(G)= = . .

所以,P(D)=P(E)+P(F)+P(G)=

课后思考题:“三个臭皮匠能顶一个诸葛亮”吗?

刘备帐下以诸葛亮为首的智囊团共有5名谋士
(不包括诸葛亮),假定对某事进行决策时,每名谋 士贡献正确意见的概率为0.7,诸葛亮贡献正确意 见的概率为0.9.现为此事可行与否而分别征求智 囊团每名谋士的意见,并按智囊团中过半数人的 意见作出决策,这样作出正确决策的概率与诸葛 亮作出正确决策的概率谁大?

学生探究:已知诸葛亮贡献正确意见的概率为0.9,五位谋士贡献
正确意见的概率都为0.7, 每个人必须单独征求意见,符合独立重复 试验模型.由二项分布可求出谋士团体过半数人贡献正确意见的概率.

P( X ? k ) ? C ? 0.7 (1 ? 0.7)
k 3 k

n ?k

则三个人得出正确结论的概率为:
3 P ? 1 ? P(X ? 0)? 1 ? C0 0.3 ? 1 ? 0.027? 0.973 3

思考:

运用n次独立重复试验模型解题

实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛,规定5局3 胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛). ⑴试求甲打完5局才能取胜的概率. ⑵按比赛规则甲获胜的概率.
解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为 1 1 ,乙获胜的概率为 . 2 2 ⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验, 且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜 2 负 ∴甲打完 5 局才能取胜 1 2 1 2 1 3 2 的概率 P1 ? C 4 ? ( ) ? ( ) ? ? . 2 2 2 16

(2) 记事件 A ? “甲打完 3 局才能取胜” , 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . 事件 D =“按比赛规则甲获胜” ,则 D ? A ? B ? C , 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 故 P ( D) ? P ( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B) ? P (C ) 1 3 3 1 1 ? ? ? ? . 答: 按比赛规则甲获胜的概率为 . 8 16 16 2 2


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