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2017届高考数学一轮复习 必考部分 复数 算法 推理与证明 第3节 合情推理与演绎推理应用能力提升 文


第3节

合情推理与演绎推理

【选题明细表】 知识点、方法 归纳推理 类比推理 演绎推理 题号 3,7,8,10,11,15 2,4,6,9,13,14 1,5,12

基础对点练(时间:30 分钟) 1.(2016 烟台模拟)命题 “有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数” 是假命题,推理错误的原因是( C ) (A)使用了归纳推理 (B)使用了类比推理 (C)使用了“三段论”,但大前提错误 (D)使用了“三段论”,但小前提错误 解析:由题目可知满足“三段论”形式,但是大前提表述不正确而使结论错误. 2.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复 数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0? a=b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b=0? a=b”; ② “若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di? a=c,b=d” 类比推出 “若 a,b,c,d∈Q,则 a+b =c+d

? a=c,b=d”; ③若“a,b∈R,则 a-b>0? a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0? a>b”.其中类比结论正确 的个数是( C ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:①②正确,③错误,因为两个复数如果不是实数,不能比较大小.故选 C. 1 2 3 3.(2016 长沙校级二模)已知 2 ×1=2,2 ×1×3=3×4,2 ×1×3×5= 4×5×6,?,以此类推,第 5 个等式为( D ) 4 (A)2 ×1×3×5×7=5×6×7×8 5 (B)2 ×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9 4 (C)2 ×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 5 (D)2 ×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 1 2 3 解析:因为 2 ×1=2,2 ×1×3=3×4,2 ×1×3×5=4×5×6,?, 5 所以第 5 个等式为 2 ×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10.故选 D. 4.(2016 济南一模)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空 间内的下列结论( D ) ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行; ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行. (A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④ 解析:①垂直于同一个平面的两条直线互相平行,正确.

1

②垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,也可能是相交直线、异面直线,故不正确. ③垂直于同一个平面的两个平面不一定平行,也可能是相交平面,如墙角,故不正确. ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行,正确. 5.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信 息.设定原信息为 a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),传输信息为 h0a0a1a2h1,其中 h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2, ⊕运算规则为 0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.例如原信息为 111,则传输信息为 01 111,信 息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( C ) (A)11 010 (B)01 100 (C)10 111 (D)00 011 解析:对于选项 C,传输信息是 10 111,对应的原信息是 011,由题目中运算规则知 h0=0⊕1=1, 而 h1=h0⊕a2=1⊕1=0,故传输信息应是 10 110.故选 C. 6.已知等差数列{an}中,有 = ,则在等比数列{bn}中,会有类似的结

论: . 解析:由等比数列的性质可知 b1b30=b2b29=?=b11b20, 所以 答案: = = .

7.(2016 渭南一模)观察下列不等式: ① <1;② + < ;③ + + < ;?则第 5 个不等式为 .

解析:由① <1;

② + <

;

③ + +

<

;

归纳可知第 4 个不等式应为 + +

+

<2;

第 5 个不等式应为 + +

+

+

<

.

答案: + +

+

+
*

<

8.在平面内有 n(n∈N ,n≥3)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,若这 n 条 直线把平面分成 f(n)个平面区域,则 f(5)的值是 ,f(n)的表达式是 .

2

解析:由题意知,n 条直线将平面分成

+1 个平面区域,故 f(5)=16,f(n)=

.

答案:16 f(n)= 9.在圆中有结论:如图所示, “AB 是圆 O 的直径,直线 AC,BD 分别是圆 O 过 A,B 的切线,P 是圆 2 O 上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有 PO =PC·PD”.类比到椭圆:“AB 是椭圆的长轴,直线 AC,BD 分别是椭圆过 A,B 的切线,P 是椭圆上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有 .”

解析:椭圆中的焦半径类比圆中的半径. 答案:PF1·PF2=PC·PD 10.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: 2 2 ①sin 13°+cos 17°-sin 13°cos 17°; 2 2 ②sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°; 2 2 ③sin 18°+cos 12°-sin 18°cos 12°; 2 2 ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos 48°; 2 2 ⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)选择②式,sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°=1- sin 30°= . (2)推广的三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α )= . 证明:sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α ) = + -sin α (cos 30°cos α +
2 2 2 2 2 2

sin 30°sin α ) = - cos 2α + + (cos 60°cos 2α +sin 60°sin 2α )- sin α cos α - sin α
2

=1- cos 2α + cos 2α + sin 2α - sin 2α - (1-cos 2α )

=1- cos 2α - + cos 2α = .

3

能力提升练(时间:15 分钟) 11.从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左右移动, 使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为( C )

(A)2 097 (B)1 553 (C)1 517 (D)2 111 解析:根据如题图所示的规则排列,设最上层的一个数为 a,则第二层的三个数为 a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为 a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这 9 个数之和为 a+3a+24+5a+80=9a+104. 由 9a+104=1 517,得 a=157,是自然数. 且 a 为表中第 20 行第 5 个数,符合,若 9a+104=2 097,a≈221.4 不合题意;若 9a+104=1 553,a=161,a 为表中第 21 行第一个数不合题意;若 9a+104=2 111,a=223,a 为表中第 28 行第 7 个数,不合题意. 12.设 f 为实系数三次多项式函数.已知五个方程式的相异实根个数如下表所述: f(x)-20=0 f(x)-10=0 f(x)=0 1 3 3 f(x)+10=0 f(x)+20=0 1 1

关于 f 的极小值α ,试问下列选项中正确的是( C ) (A)0<α <10 (B)-20<α <-10 (C)-10<α <0 (D)α 不存在 解析:f(x)分别向上向下平移 10 个单位和 20 个单位分别得到 f(x)+10,f(x)+20,f(x)-10,f(x)-20,由题意可近似画出 f(x)的草图,由图可以看出 f(x)极 小值α ∈(-10,0).

13.对于问题:“已知两个正数 x,y 满足 x+y=2,求 + 的最小值”,给出如下一种解法: 因为 x+y=2, 所以 + = (x+y)( + )= (5+ + ),

因为 x>0,y>0,所以 + ≥2

=4,

所以 + ≥ (5+4)= ,

4

当且仅当



时, + 取最小值 .

参考上述解法,已知 A,B,C 是△ABC 的三个内角,则 + 解析:A+B+C=π , 设 A=α ,B+C=β ,则α +β =π , =1,

的最小值为

.

参考题干中解法,则 + α =β 时等号成立. 答案:

= + =( + )(α +β ) = (10+ + )≥ (10+6)= ,当且仅当 = ,即 3

14.在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证: 你能得到怎样的猜想?并说明理由. 2 证明: 如图所示,由射影定理 AD =BD·DC,

=

+

.在四面体 ABCD 中,类比上述结论,

AB =BD·BC, 2 AC =BC·DC, 所以
2

2

=
2 2

=

=

.

又 BC =AB +AC , 所以 = = + .

猜想,在四面体 ABCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,AE⊥平面 BCD,则 证明:如图,连接 BE 并延长交 CD 于 F,连接 AF.

=

+

+

.

5

因为 AB⊥AC,AB⊥AD,AD∩AC=A, 所以 AB⊥平面 ACD. 所以 AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, 所以 = + .

因为 AB⊥平面 ACD, 所以 AB⊥CD; 因为 AE⊥平面 BCD, 所以 AE⊥CD, 又 AB 与 AE 交于点 A, 所以 CD⊥平面 ABF, 所以 CD⊥AF. 所以在 Rt△ACD 中 = + ,

所以

=

+

+

.

15.(2016 聊城模拟)下面四个图案,都是由小正三角形构成,设第 n 个图形中所有小正三角形 边上黑点的总数为 f(n).

(1)求出 f(2),f(3),f(4),f(5); (2)找出 f(n)与 f(n+1)的关系,并求出 f(n)的表达式. 解:(1)由题意有 f(1)=3, f(2)=f(1)+3+3×2=12. f(3)=f(2)+3+3×4=27. f(4)=f(3)+3+3×6=48. f(5)=f(4)+3+3×8=75. (2)由题意及(1)知,f(n+1)=f(n)+3+3×2n=f(n)+6n+3, 即 f(n+1)-f(n)=6n+3, 所以 f(2)-f(1)=6×1+3, f(3)-f(2)=6×2+3, f(4)-f(3)=6×3+3, f(n)-f(n-1)=6(n-1)+3, 将上面(n-1)个式子相加,得 f(n)-f(1)=6[1+2+3+?+(n-1)]+3(n-1)=6× +3(n-1)=3n -3.
2

6

又 f(1)=3,所以 f(n)=3n . 精彩 5 分钟 1.(2016 安阳模拟)我们知道,在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 a, 类比上述结论,在边长为 a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值( A (A) a (B) a (C) a (D) a )

2

解题关键:在正四面体内任取一点,将四面体分割成四个三棱锥. 解析:正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥,它们的体积之和为正四面体的体积,设点 到四个面的距离分别为 h1,h2,h3,h4,每个面的面积为 a ,正四面体的体积为 a ,
2 3

则有 × a (h1+h2+h3+h4)= a ,

2

3

得 h1+h2+h3+h4= a.故选 A.

2.(2016 揭阳一模)对任意的 a,b∈R,定义:min{a,b}= 各式中恒成立的个数为( B ) ①min{a,b}+max{a,b}=a+b; ②min{a,b}-max{a,b}=a-b; ③(min{a,b})·(max{a,b})=a·b; ④(min{a,b})÷(max{a,b})=a÷b. (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解题关键:按照新定义对各式是否恒成立作出判断. 解析:因为对任意的 a,b∈R,定义:min{a,b}=

max{a,b}=

则下列

max{a,b}= 所以 min{a,b}取 a,b 中的最小值,max{a,b}取 a,b 中的最大值. 所以 min{a,b},max{a,b}分别取出 a,b 中的一个最大值与一个最小值, 所以 min{a,b}+max{a,b}=a+b, (min{a,b})·(max{a,b})=a·b, 故①③成立; 若 a≤b,则有 min{a,b}-max{a,b}=a-b, 若 a>b,则 min{a,b}-max{a,b}=b-a≠a-b, 故②不一定成立;

7

若 a≤b,且 b≠0,则有(min{a,b})÷(max{a,b})=a÷b, 若 a>b,且 a≠0,(min{a,b})÷(max{a,b})=b÷a≠a÷b. 故④不一定成立.故选 B. 3.(2016 铜川模拟)观察以下等式: 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 3 1+2+3+4+5=15 1 =1 3 3 1 +2 =9 3 3 3 1 +2 +3 =36 3 3 3 3 1 +2 +3 +4 =100 3 3 3 3 3 1 +2 +3 +4 +5 =225 3 3 3 3 可以推测 1 +2 +3 +?+n = .(用含有 n 的式子表示,其中 n 为自然数) 解题关键:将左、右两列等式作对比,找出数字变化规律. 解析:由已知中的等式 3 2 1 =1 ; 3 3 2 1 +2 =(1+2) ; 3 3 3 2 1 +2 +3 =(1+2+3) ; 3 3 3 3 2 1 +2 +3 +4 =(1+2+3+4) ; 3 3 3 3 3 2 1 +2 +3 +4 +5 =(1+2+3+4+5) ; ?; 3 3 3 3 2 1 +2 +3 +?+n =(1+2+?+n) ; 即 1 +2 +3 +?+n =[
3 3 3 3

]

2

=

.

答案:

8


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