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高考数学一轮 知识点各个击破 第二章 函数、导数及其应用课件 文 新人教A版



第二章



函数、导数及其应用

第一节
第二节 第三节 第四节 第五节 第六节

函数及其表示
函数的定义域和值域 函数的单调性与最值 函数的奇偶性及周期性 函数的图象 二次函数与幂函数

第七节 第八节 第九节 第十节 第十一节 第十二节



指数与指数函数 对数与对数函数 函数与方程 函数模型及其应用 变化率与导数、导数的计算 导数的应用(一)

第十三节

导数的应用(二)

[知识能否忆起]

1.函数的概念
(1)函数的定义: 一般地,设A,B是两个非空 的数集,如果按照某种确

定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B 中都有 唯一 确定的数f(x)和它对应;那么就称f:A→B为从 集合A到集合B的一个函数.记作 y=f(x),x∈A .

(2)函数的定义域、值域:
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的 定义域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数 值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 .显然,值域是集合B 的子集. (3)函数的三要素: 定义域 、 值域 和 对应关系 . (4)相等函数:如果两个函数的 定义域 和 对应关系 完全

一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.

2.函数的表示法
表示函数的常用方法有:解析法 、 图象法 、列表法 . 3.映射的概念 设A,B是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应 关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯 一确定的元素y与之对应,那么称对应f:A→B为集合A到集 合B的一个映射. 4.分段函数[动漫演示更形象见光盘]
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若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间, 有着不同的 对应关系 ,这样的函数通常叫做分段函数.分
段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.

[小题能否全取]

1.(教材习题改编)设g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则f(x)等
于 A.-2x+1 C.2x-3 B.2x-1 D.2x+7 ( )

解析:f(x)=g(x+2)=2(x+2)+3=2x+7. 答案:D

?x2+1,x≤1, ? 2.(2012· 江西高考)设函数 f(x)=?2 则 f(f(3)) ?x,x>1, ? = ( )
1 A. 5 2 C. 3 B.3

13 D. 9 ?2? 2 13 ? ?2+1= . 解析: f(3)= ,f(f(3))= 3 3 9 ? ? 答案:D

3.已知集合A=[0,8],集合B=[0,4],则下列对应关系中,
不能看作从A到B的映射的是
1 A.f:x→y= x 8 1 C.f:x→y= x 2 1 B.f:x→y= x 4 D.f:x→y=x

(

)

解析:按照对应关系f:x→y=x,对A中某些元素(如x
=8),B中不存在元素与之对应. 答案:D

4.已知

?1? f?x?=x2+5x,则 ? ?

f(x)=____________.

1 1 1 5 解析:令 t=x,则 x= t .所以 f(t)= 2+ t . t 5x+1 故 f(x)= 2 (x≠0). x 5x+1 答案: 2 (x≠0) x

5.(教材习题改编)若f(x)=x2+bx+c,且f(1)=0,f(3)= 0,则f(-1)=________.
?1+b+c=0, ? 解析:由已知得? ?9+3b+c=0, ? ?b=-4, ? 得? ?c=3. ?

即 f(x)=x2-4x+3. 所以 f(-1)=(-1)2-4×(-1)+3=8.

答案:8

1.函数与映射的区别与联系 (1)函数是特殊的映射,其特殊性在于集合A与集合B只 能是非空数集,即函数是非空数集A到非空数集B的映射.

(2)映射不一定是函数,从A到B的一个映射,A、B若不
是数集,则这个映射便不是函数.

2.定义域与值域相同的函数,不一定是相同函数

如函数y=x与y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不
是相同函数;再如函数y=sin x与y=cos x,其定义域与值域 完全相同,但不是相同函数.因此判断两个函数是否相同, 关键是看定义域和对应关系是否相同. 3.求分段函数应注意的问题

在求分段函数的值f(x0)时,一定要首先判断x0属于定义
域的哪个子集,然后再代入相应的关系式;分段函数的值域 应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.

[例1] 有以下判断: ?1,x≥0, ? |x| (1)f(x)= 与 g(x)=? 表示同一函数; x ?-1,x<0 ? (2)函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个;

(3)f(x)=x2-2x+1 与 g(t)=t2-2t+1 是同一函数; ? ?1?? (4)若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f?2??=0. ? ? ??
其中正确判断的序号是________.

[自主解答]

|x| 对于(1),由于函数 f(x)= x 的定义域为
?1,x≥0, ? g(x)=? ?-1,x<0 ?

{x|x∈R,且 x≠0},而函数

的定义域是 R,

所以二者不是同一函数;对于(2),若 x=1 不是 y=f(x)定义 域的值,则直线 x=1 与 y=f(x)的图象没有交点,如果 x=1 是 y=f(x)定义域内的值,由函数定义可知,直线 x=1 与 y =f(x)的图象只有一个交点,即 y=f(x)的图象与直线 x=1 最 多有一个交点;对于(3),f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关

系均相同,所以 f(x)和 g(t)表示同一函数;对于(4),由于
? ?1? ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? f? ?=? -1?-? ?=0,所以 f?f?2??=f(0)=1. ? ? ?? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

综上可知,正确的判断是(2),(3).

[答案] (2)(3)

两个函数是否是同一个函数,取决于它们的定义域和 对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系 完全相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯 上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1, g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均表示同一函数.

1.试判断以下各组函数是否表示同一函数.

(1)y=1,y=x0;

(2)y= x-2· x+2,y= x2-4;
(3)y=x,y= 3 t3;

(4)y=|x|,y=( x)2.

解:(1)y=1 的定义域为 R,y=x0 的定义域为{x|x∈R,且 x≠0},故它们不是同一函数.

(2)y= x-2· x+2的定义域为{x|x≥2}. y= x2-4的定义域 为{x|x≥2,或 x≤-2},故它们不是同一函数. 3 3 (3)y=x,y= t =t,它们的定义域和对应关系都相同,

故它们是同一函数.
(4)y=|x|的定义域为 R,y=( x)2 的定义域为{x|x≥0},故它 们不是同一函数.

[例 2]

(1)已知

? 1? 1 ?x+ ?=x2+ 2,求 f x? x ?

f(x)的解析式;

(2)已知

?2 ? f?x+1?=lg ? ?

x,求 f(x)的解析式;

(3)已知 f(x)是二次函数, f(0)=0, 且 f(x+1)=f(x)+x+1, 求 f(x).

[自主解答]

(1)由于

? 1? 1 ? 1?2 2 f?x+ ?=x + 2=?x+ ? -2, x? x ? x? ?

所以 f(x)=x2-2,x≥2 或 x≤-2, 故 f(x)的解析式是 f(x)=x2-2(x≥2 或 x≤-2).

2 2 2 (2)令 +1=t 得 x= ,代入得 f(t)=lg , x t-1 t-1 又 x>0,所以 t>1, 2 故 f(x)的解析式是 f(x)=lg (x>1). x-1

(3)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由 f(0)=0,知 c=0,f(x)=ax2+bx, 又由 f(x+1)=f(x)+x+1, 得 a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,
?2a+b=b+1, ? 所以? ?a+b=1, ?

1 解得 a=b= . 2 1 2 1 所以 f(x)= x + x(x∈R). 2 2

函数解析式的求法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关 于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式(如例 (1));

(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次
函数),可用待定系数法(如例(3)); (3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法, 此时要注意新元的取值范围(如例(2));

(4)方程思想:已知关于 f(x)与

?1? f?x?或 ? ?

f(-x)的表达式,可

根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方 程组求出 f(x)(如 A 级 T6).

2.(1)已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式;
(2)设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根, 且 f′(x)=2x+2,求 f(x)的解析式.

解:(1)法一:设 t= x+1,则 x=(t-1)2(t≥1); 代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故 f(x)=x2-1(x≥1). 法二:∵x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1), 即 f(x)=x2-1(x≥1).

(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f′(x)=2ax+b=2x+2, ∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c. 又∵方程f(x)=0有两个相等实根, ∴Δ=4-4c=0,c=1,故f(x)=x2+2x+1.

[例3]

(2012· 广州调研考试)设函数f(x)= 若f(x)>4,则x的取值范围是

?2-x,x∈?-∞,1?, ? ? 2 ?x ,x∈[1,+∞?, ?

______.

[自主解答]

当x<1时,由f(x)>4,得2-x>4,即x<-2;

当x≥1时,由f(x)>4得x2>4,所以x>2或x<-2,
由于x≥1,所以x>2. 综上可得x<-2或x>2. [答案] (-∞,-2)∪(2,+∞)

若本例条件不变,试求f(f(-2))的值. 解:∵f(-2)=22=4. ∴f(f(-2))=f(4)=16.

求分段函数的函数值时,应根据所给自变量值的大 小选择相应的解析式求解,有时每段交替使用求值.若 给出函数值 (或函数值的范围)求自变量值(或自变量的取 值范围),应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检 验所求自变量值(或范围)是否符合相应段的自变量的取

值范围.

3.(2012· 衡水模拟)已知f(x)的图象如 图,则f(x)的解析式为________.

解析:由图象知每段为线段. 设
? 3? ? 3? f(x)=ax+b,把(0,0),?1,2?和?1,2?,(2,0)分别代入, ? ? ? ?

3 ? ?a= , 2 解得? ?b=0, ?

3 ? ?a=- , 2 ? ?b=3. ?

?3 ?2x,0≤x≤1, 答案:f(x)=? ?3-3x,1≤x≤2 ? 2

[典例]

(2011· 江苏高考)已知实数 a≠0,函数 f(x) 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值为

?2x+a,x<1, ? =? ?-x-2a,x≥1. ?

______.

[解析]

①当 1-a<1,即 a>0 时,a+1>1,由 f(1

-a)=f(1+a),得 2(1-a)+a=-(1+a)-2a,计算得 a 3 =- (舍去);②当 1-a>1,即 a<0 时,a+1<1,由 f(1 2 -a)=f(1+a),得 2(1+a)+a=-(1-a)-2a,计算得 a 3 3 =- ,符合题意.综上所述,a=- . 4 4

[答案]

3 - 4

[题后悟道]

解答本题利用了分类讨论思想,由于

f(x)为分段函数,要表示f(1-a)和f(1+a)的值,首先应
对自变量1-a和1+a的范围进行讨论,这样才能选取不 同的关系式,列出方程,求出a的值.得出结果后,应 注意检验.所谓分类讨论思想就是当问题所给的对象不 能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,

然后对每一类分别研究得出结论,最后综合各类结果得
到整个问题的解答.实质上,分类讨论是“化整为零, 各个击破,再积零为整”的解题策略.

?针对训练
(2013· 杭州模拟)设函数 f(a)+f(-1)=2,则 a=
? ? f(x)=? ? ?

x,x≥0, -x,x<0, (

若 )

A.-3

B.±3

C.-1

D.±1

解析:∵f(a)+f(-1)=2,且 f(-1)= 1=1, ∴f(a)=1,当 a≥0 时,f(a)= a=1,a=1;当 a<0 时,

f(a)= -a=1,a=-1.∴a=± 1.

答案:D

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.已知函数
?3x+2,x<1, ? f(x)=? 2 ?x +ax,x≥1, ?

若 f(f(0))=4a,则实

数 a=________.

解析: ∵f(0)=3×0+2=2, f(f(0))=f(2)=4+2a=4a, ∴a=2.

答案:2

2.若函数的定义域为{x|-3≤x≤6,且x≠4},值域为{y|

-2≤y≤4,且y≠0},试在下图中画出满足条件的一个
函数的图象.

解:本题答案不唯一,函数图象可画为如图所示.

3.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x) -x2+x.

(1)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
(2)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析式. 解:(1)因为对任意x∈R有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2 +x,所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2,又f(2)=3,

从而f(1)=1.
若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a.

(2)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,又有 且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,故对任意x∈R,有f(x) -x2+x=x0.在上式中令x=x0,有f(x0)-x+x0=x0.

又因为f(x0)=x0,所以x0-x=0,故x0=0或x0=1.
若x0=0,则f(x)=x2-x,但方程x2-x=x有两个不相同实 根,与题设条件矛盾,故x0≠0.若x0=1,则有f(x)=x2-x +1,易证该函数满足题设条件. 综上,所求函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+1.

[知识能否忆起]

1.常见基本初等函数的定义域

(1)分式函数中分母 不等于零 .
(2)偶次根式函数被开方式 大于或等于0 . (3)一次函数、二次函数的定义域均为 R . (4)y=ax,y=sin x,y=cos x,定义域均为 R .

(5)y=tan

? ? π ? ? ?xx≠kπ+ ,k∈Z? x的定义域为 ? 2 ? ? ?

.

(6)函数f(x)=x0的定义域为 {x|x≠0} .

(7)实际问题中的函数定义域,除了使函数的解析式
有意义外,还要考虑实际问题对函数自变量的制约.

2.基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是 R .

(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当a>0时,值域为 ? ? ? 4ac-b2? ? ? 4ac-b2? ? ?yy≥ ? ?yy≤ ? ;当a<0时,值域为 ? ? ? 4a ? ? 4a ? . ? ? k (3)y= (k≠0)的值域是 {y|y≠0} . x

(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是 {y|y>0} . (5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是 R . (6)y=sin x,y=cos x的值域是 [-1,1] .

(7)y=tan x的值域是 R .

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)若f(x)=x2-2x,x∈[-2,4],则f(x) 的值域为 ( )

A.[-1,8]
C.[-2,8]

B.[-1,16]
D.[-2,4]

答案:A

1 2.函数 y= 2 的值域为 x +2

(

)

A.R
? 1? ? ? ?yy≤ ? C.? 2? ? ?
2

? 1? ? ? ?yy≥ ? B.? 2? ? ? ? 1? ? ? ?y0<y≤ ? D.? 2? ? ?

1 1 1 解析:∵x +2≥2,∴0< 2 ≤ .∴0<y≤ . 2 x +2 2

答案:D

1 3.(2012· 山东高考)函数 f(x)= + ln?x+1? 为

4-x2的定义域 ( )

A.[-2,0)∪(0,2]

B.(-1,0)∪(0,2]

D.(-1,2] ?x+1>0, ?x>-1, ? ? 解析: x 满足?x+1≠1, 即?x≠0, ?4-x2≥0, ?-2≤x≤2. ? ?
解得-1<x<0 或 0<x≤2.

C.[-2,2]

答案:B

x-4 4. (教材习题改编)函数 f(x)= 的定义域为________. |x|-5
?x-4≥0, ? 解析:由? ?|x|-5≠0, ?

得 x≥4 且 x≠5.

答案: {x|x≥4,且x≠5}

5.(教材习题改编)若 x有意义,则函数 y=x2+3x-5 的值 域是________.

解析:∵ x有意义,∴x≥0. 又 y=x
2

? 3 ?2 9 +3x-5=?x+2? - -5, 4 ? ?

∴当 x=0 时,ymin=-5.

答案:[-5,+∞)

函数的最值与值域的关系 函数的最值与函数的值域是关联的,求出了函数的 值域也就能确定函数的最值情况,但只确定了函数的最

大(小)值,未必能求出函数的值域.
[注意] 求函数的值域,不但要重视对应关系的作用,

而且还要特别注意函数定义域.

[例 1] 义域;

lg?x2-2x? (1)(2012· 大连模拟)求函数 f(x)= 的定 9-x2

(2)已知函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(x)的定义域.

[自主解答]
?x2-2x>0, ? ? ?9-x2>0, ?

(1) 要 使 该 函 数 有 意 义 , 需 要

?x<0或x>2, ? 则有? ?-3<x<3, ?

解得-3<x<0 或 2<x<3, 所以所求函数的定义域为(-3,0)∪(2,3).

(2)∵f(2x)的定义域为[-1,1], 1 即-1≤x≤1,∴ ≤2x≤2, 2 故
?1 ? f(x)的定义域为?2,2?. ? ?

若本例(2)条件变为:函数f(x)的定义域是[-1,1],

求f(log2x)的定义域.
解:∵函数 f(x)的定义域是[-1,1], 1 ∴-1≤x≤1,∴-1≤log2x≤1,∴ ≤x≤2. 2 故
?1 ? f(log2x)的定义域为?2,2?. ? ?

简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不 等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成 的不等式(组)求解.

(3)对抽象函数:
①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x)) 的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定
义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.

2x-x2 1.(1)函数 y= 的定义域是________. ln?2x-1?
(2)(2013· 沈阳质检)若函数 y=f(x)的定义域为[-3,5], 则函数 g(x)=f(x+1)+f(x-2)的定义域是( )

A.[-2,3] C.[-1,4]

B.[-1,3] D.[-3,5]

?2x-x2≥0, ? 解析:(1)由?ln?2x-1?≠0, ?2x-1>0, ?

?0≤x≤2, ? ?x≠1, 得? ? 1 ?x>2. ?

?1 ? 所以函数的定义域为?2,1?∪(1,2]. ? ?

?-3≤x+1≤5, ? (2)由题意可得? ?-3≤x-2≤5, ?

解不等式组可得-1≤x≤4. 所以函数 g(x)的定义域为[-1,4].
?1 ? 答案:(1)?2,1?∪(1,2] ? ?

(2)C

[例2] 求下列函数的值域. (1)y=x2+2x(x∈[0,3]);
1-x2 (2)y= ; 1+x2

4 (3)y=x+x(x<0);

(4)f(x)=x- 1-2x.

[自主解答]

(1)(配方法)

y=x2+2x=(x+1)2-1, ∵y=(x+1)2-1 在[0,3]上为增函数, ∴0≤y≤15, 即函数 y=x2+2x(x∈[0,3])的值域为[0,15].
1-x2 2 (2)y= = -1, 1+x2 1+x2 ∵1+x2≥1, 2 ∴0< ≤2. 1+x2

2 ∴-1< 2-1≤1.即y∈(-1,1]. 1+x ∴函数的值域为(-1,1].
? 4? 4 (3)∵x<0,∴x+x=-?-x-x?≤-4, ? ?

当且仅当x=-2时等号成立. ∴y∈(-∞,-4]. ∴函数的值域为(-∞,-4].

1-t2 (4)法一:(换元法)令 1-2x=t,则 t≥0 且 x= , 2 1-t2 1 于是 y= -t=- (t+1)2+1, 2 2
? 1? 1 由于 t≥0,所以 y≤ ,故函数的值域是?-∞,2?. 2 ? ?

法二:(单调性法)容易判断 f(x)为增函数,而其定义域
?1? 1 1 应满足 1-2x≥0,即 x≤ ,所以 y≤f?2?= , 2 ? ? 2 ? 1? 即函数的值域是?-∞,2?. ? ?

求函数值域常用的方法 (1)配方法,多适用于二次型或可转化为二次型的 函数(例(1)).

(2)换元法(例(4)).
(3)基本不等式法(例(3)). (4)单调性法(例(4)).

(5)分离常数法(例(2)).
[注意] 求值域时一定要注意定义域的使用,同时 求值域的方法多种多样,要适当选择.

x-3 2.(1)函数 y= 的值域为________. x+1 (2)(2012· 海口模拟)在实数的原有运算中,我们定义

新运算“⊕”如下:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时, a⊕b=b2.设函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2], 则函数f(x)的值域为________. x-3 x+1-4 4 解析:(1)y= = =1- , x+1 x+1 x+1
4 4 因为 ≠0,所以 1- ≠1, x+1 x+1 即函数的值域是{y|y∈R,y≠1}.

(2)由题意知

?x-2,x∈[-2,1], ? f(x)=? 3 ?x -2,x∈?1,2], ?

当 x∈[-2,1]时,f(x)∈[-4;-1]; 当 x∈(1,2]时,f(x)∈(-1,6], 即当 x∈[-2,2]时,f(x)∈[-4,6].

答案:(1){y|y∈R,y≠1} (2)[-4,6]

[例 3]

(2012· 合肥模拟)若函数 f(x)=

2

x 2 ?2 ax ? a

?1

的定义域为 R,则 a 的取值范围为________.

[自主解答]

函数f(x)的定义域为R,所以2x2+2ax
2

-a-1≥0对x∈R恒成立,即 2 x
a≥0恒成立,

+2 ax-a

? 1 ,x2+2ax-

因此有Δ=(2a)2+4a≤0,解得-1≤a≤0. [答案] [-1,0]

求解定义域为R或值域为R的函数问题时,都是 依据题意,对问题进行转化,转化为不等式恒成立问 题进行解决,而解决不等式恒成立问题,一是利用判

别式法,二是利用分离参数法,有时还可利用数形结
合法.

4 3.(2013· 烟台模拟)已知函数 f(x)= -1 的定义域是 |x|+2 [a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],则满足条件的整数数 对(a,b)共有________个. 4 4 解 析 : 由 0≤ - 1≤1 , 即 1≤ ≤2 得 |x|+2 |x|+2 0≤|x|≤2, 满足整数数对的有(-2,0), (-2,1), (-2,2), (0,2),(-1,2)共 5 个.

答案:5

函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定,
但因函数千变万化,形式各异,值域的求法也各式各样, 因此求函数的值域就存在一定的困难,解题时,若方法适 当,能起到事半功倍的作用.求函数值域的常用方法有配 方法、换元法、分离常数法、基本不等式法、单调性法

(以上例2都已讲解)、判别式法、数形结合法等.

1.数形结合法 利用函数所表示的几何意义,借助于图象的直观 性来求函数的值域,是一种常见的方法,如何将给定

函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键.
[典例 1] 对 a, b∈R, 记
?a,a≥b, ? max|a, ? b|= ?b,a<b. ?

函 数 f(x) = max||x + 1| , |x - 2||(x ∈ R) 的 值 域 是 ________.

[解析]

1 ? ?|x+1|,x≥2, f(x)=? ?|x-2|,x<1, 2 ?

?3 ? 由图象知函数的值域为?2,+∞?. ? ?

[答案]

?3 ? ? ,+∞? ?2 ?

[题后悟道]

利用函数所表示的几何意义求值域(最

值),通常转化为以下两种类型: y (1)直线的斜率: 可看作点(x, y)与(0,0)连线的斜率; x
y-b 可看作点(x,y)与点(a,b)连线的斜率. x-a
(2)两点间的距离: ?x-x1?2+?y-y1?2可看作点(x,

y)与点(x1,y1)之间的距离.

?针对训练
1.函数 y= ?x+3?2+16+ ?x-5?2+4的值域为______.

解析:函数 y=f(x)的几何意义为:平 面内一点 P(x,0)到两点 A(-3,4)和 B (5,2)距离之和就是 y 的值.由平面几 何知识,找出 B 关于 x 轴的对称点 B′ (5,-2).连接 AB′交 x 轴于一点 P 即为所求的点, 最小值 y=|AB′|= 82+62=10. 即函数的值域为[10,+∞).

答案:[10,+∞)

2.判别式法 a1x2+b1x+c1 对于形如 y= 2 (a ,a 不同时为零)的函数 a2x +b2x+c2 1 2 求值域,通常把其转化成关于 x 的一元二次方程,由判别 式 Δ≥0,求得 y 的取值范围,即为原函数的值域.

x2-x [典例 2] 函数 y= 2 的值域为________. x -x+1
[解析] 法一:(配方法) 1 ∵y=1- 2 , x -x+1 又x
2

? 1 ?2 3 3 -x+1=?x-2? + ≥ , 4 4 ? ?

1 4 1 ∴0< 2 ≤ ,∴- ≤y<1. 3 x -x+1 3
? 1 ? ∴函数的值域为?-3,1?. ? ?

法二:(判别式法) x2-x 由 y= 2 ,x∈R, x -x+1 得(y-1)x2+(1-y)x+y=0. ∵y=1 时,x∈?,∴y≠1. 又∵x∈R,∴Δ=(1-y)2-4y(y-1)≥0, 1 ∴- ≤y<1. 3
? 1 ? ∴函数的值域为?-3,1?. ? ?

[答案]

? 1 ? ?- ,1? ? 3 ?

[题后悟道]

本题解法二利用了判别式法,利用

判别式法首先把函数转化为一个系数含有y的二次方

程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,则在a(y)≠0时,若x∈R,
则Δ≥0,从而确定函数的最值;再检验a(y)=0时对应 的x的值是否在函数定义域内,以决定a(y)=0时y的值 的取舍.

?针对训练
mx2+4 3x+n 2.已知函数 y= 的最大值为 7,最小值为- 2 x +1 1,则 m+n 的值为 ( )

A.-1 C.6

B.4 D.7

解析:函数式可变形为(y-m)x2-4 3x+(y-n)=0,x ∈R, 由已知得 y-m≠0, 所以 Δ=(-4 3)2-4(y-m)· (y -n)≥0,即 y2-(m+n)y+(mn-12)≤0,① 由题意,知不等式①的解集为[-1,7],则-1、7 是方 程 y2-(m+n)y+(mn-12)=0 的两根,
?1+?m+n?+mn-12=0, ? 代入得? ?49-7?m+n?+mn-12=0 ? ?m=1, ? ? ?n=5. ? ?m=5, ? ,解得? ?n=1 ?



所以 m+n=6. 答案:C

求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰 当的方法,准确记忆常见函数的值域,熟练掌握各种

类型函数值域的求法,除前面介绍的几种方法外,还
有单调性法、导数法(以后还要讲解).

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.已知函数 f(x)=2 x+ 4-x,则函数 f(x)的值域为 (
A.[2,4] C.[4,2 5 ] B.[0,2 5 ] D.[2,2 5 ]

)

解析:∵x∈[0,4],∴可令 x=4cos

2

? π? θ,θ∈?0,2 ?, ? ?

则 y=2· 2cos θ+2sin θ=2 5sin(θ+φ),tan φ=2. π π 又 0≤θ≤ ,φ≤θ+φ≤ +φ, 2 2 1 故 cos φ≤sin(θ+φ)≤1,而 cos φ= , 5 ∴2≤y≤2 5.

答案: D

2. 若函数 f(x)=

2 ?a -1?x +?a-1?x+ 的定义域为 R, a+1
2 2

求实数 a 的取值范围.
解:由函数的定义域为 R,可知对 x∈R,f(x)恒有意义, 2 即对 x∈R,(a -1)x +(a-1)x+ ≥0 恒成立. a+1
2 2

①当a2-1=0,即a=1(a=-1舍去)时,有1≥0,对
x∈R恒成立,故a=1符合题意;

②当 a2-1≠0,即 a≠± 时,则有 1 ?a2-1>0, ? ? 2 2 2 ?Δ=?a-1? -4?a -1?×a+1≤0, ?

解得 1<a≤9.

综上,可得实数 a 的取值范围是[1,9].

[知识能否忆起]

一、函数的单调性 1.单调函数的定义
增函数 减函数 设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任 意两个自变量的值x1,x2 定 当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2), 当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2), 义 那么就说函数f(x)在区间D上 那么就说函数f(x)在区间D上 是增函数 是减函数

增函数

减函数

图象
描述 自左向右看图象 逐渐上升 自左向右看图象 逐渐 下降

2.单调区间的定义 若函数y=f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数 ,则称 函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, 区间D 叫

做y=f(x)的单调区间.

二、函数的最值 前 提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足

①对于任意x∈I,都有 ①对于任意x∈I,都有 f(x)≥M f(x)≤M ; 条 ; 件 ②存在x0∈I,使得 f(x0)=M 结 M为最大值 ②存在x0∈I,使得 f(x0)=M M为最小值



[小题能否全取] 1.(2012· 陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函 数的为
A.y=x+1 1 C.y=x B.y=-x3 D.y=x|x|

(

)

解析:由函数的奇偶性排除A,由函数的单调性排 除B、C,由y=x|x|的图象可知此函数为增函数,

又该函数为奇函数,故选D. 答案:D

2.函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则(

)

1 A.k> 2 1 C.k>- 2

1 B.k< 2 1 D.k<- 2

解析:函数 y=(2k+1)x+b 是减函数, 1 则 2k+1<0,即 k<- . 2

答案:D

1 3.(教材习题改编)函数 f(x)= 的最大值是 ( 1-x?1-x?
4 A. 5 3 C. 4 5 B. 4 4 D. 3
2

)

解析: ∵1-x(1-x)=x 1 4 ≤ . 1-x?1-x? 3

? 1? 2 3 3 -x+1= ?x-2? + ≥ ,∴ 4 4 ? ?

答案:D

4.(教材习题改编)f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区

间为________;f(x)max=________.
解析:函数f(x)的对称轴x=1,单调增区间为[1,4], f(x)max=f(-2)=f(4)=8. 答案:[1,4] 8

5. 已知函数 f(x)为 R 上的减函数, m<n, f(m)______f(n); 若 则 若
??1?? f??x??<f(1),则实数 ?? ??

x 的取值范围是______.

解析:由题意知 f(m)>f(n);
?1? ? ?>1,即|x|<1,且 ?x?

x≠0.

故-1<x<1 且 x≠0.

答案: >

(-1,0)∪(0,1)

1.函数的单调性是局部性质

从定义上看,函数的单调性是指函数在定义域的某
个子区间上的性质,是局部的特征.在某个区间上单调, 在整个定义域上不一定单调.

2.函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解 函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本 初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二 次函数、对数函数、指数函数等;如果是复合函数,应 根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单

函数的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函
数的单调区间. [注意] 单调区间只能用区间表示,不能用集合或

不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集
符号“∪”联结,也不能用“或”联结.

[例 1]

1 证明函数 f(x)=2x-x在(-∞,0)上是增函数.

[自主解答]

设 x1,x2 是区间(-∞,0)上的任意两个

自变量的值,且 x1<x2. 1 1 则 f(x1)=2x1- ,f(x2)=2x2- , x1 x2
? 1? ? 1? f(x1)-f(x2)=?2x1-x ?-?2x2-x ? ? ? 1? 2? ?1 1? =2(x1-x2)+?x -x ? ? 2 1?

? 1 ? =(x1-x2)?2+x x ? ? 1 2?

1 由于 x1<x2<0,所以 x1-x2<0,2+ >0, x1x2 因此 f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在(-∞,0)上是增函数.

对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的 单调性有两种方法:

(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、
判断)证明; (2)可导函数则可以利用导数证明.对于抽象函数单 调性的证明,一般采用定义法进行.

-2x 1. 判断函数 g(x)= 在 (1, +∞)上的单调性. x-1 解:任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2,

-2x1 -2x2 则 g(x1)-g(x2)= - x1-1 x2-1 2?x1-x2? = , ?x1-1??x2-1? 由于 1<x1<x2, 所以 x1-x2<0,(x1-1)(x2-1)>0, 因此 g(x1)-g(x2)<0,即 g(x1)<g(x2). 故 g(x)在(1,+∞)上是增函数.

[例 2]

(2012· 长沙模拟)设函数 y=f(x)在(-∞, +∞)

内 有 定 义 . 对 于 给 定 的 正 数 k , 定 义 函 数 fk(x) =
?f?x?,f?x?≤k, ? ? ?k,f?x?>k, ?

取函数 f(x)=2

-|x|

1 .当 k= 时,函数 fk(x) 2 ( )

的单调递增区间为

A.(-∞,0)
C.(-∞,-1)

B.(0,+∞)
D.(1,+∞)

[自主解答] -1 或 x≥1.

1 1 由 f(x)> ,得-1<x<1,由 f(x)≤ ,得 x≤ 2 2

所以 f 1
2

?2-x,x≥1, ? ?1 (x)=? ,-1<x<1, ?2 ?2x,x≤-1. ?

故 f 1 (x)的单调递增区间为(-∞,-1).
2

[答案]

C

若本例中f(x)=2-|x|变为f(x)=log2|x|,其他条件不 变,则fk(x)的单调增区间为________.
1 解析:函数 f(x)=log2|x|,k= 2 时,函数 fk(x)的图象如图所示,由 图示可得函数 fk(x)的单调递增区间 为(0, 2 ].
答案:(0, 2 ]

求函数的单调区间的常用方法

(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、
差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x) 的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数的正负确定函数的单调区间.

2.函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是
A.[1,2] C.[0,2]
解析:由于

(

)

B.[-1,0] D.[2,+∞)
?x2-2x,x≥2, ? f(x)=|x-2|x=? ?-x2+2x,x<2. ?

结合图象可知函数的单调减区间是[1,2].

答案:A

[例3]

(1)若f(x)为R上的增函数,则满足f(2-m)

<f(m2)的实数m的取值范围是________. (2)(2012· 安徽高考)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增

区间是[3,+∞),则a=________.

[自主解答] m<m2.

(1)∵f(x)在 R 上为增函数,∴2-

∴m2+m-2>0.∴m>1 或 m<-2.

a ? ?-2x-a,x<-2, (2)由 f(x)=? ?2x+a,x≥-a, 2 ?
? a ? 单调递增区间为?-2,+∞?,故 ? ?

可得函数 f(x)的

a 3=- ,解得 a=-6. 2

[答案]

(1)(-∞,-2)∪(1,+∞) (2)-6

单调性的应用主要涉及利用单调性求最值,进行 大小比较,解抽象函数不等式,解题时要注意:一是 函数定义域的限制;二是函数单调性的判定;三是等 价转化思想与数形结合思想的运用.

1 3.(1)(2013· 孝感调研)函数 f(x)= 在[2,3]上的最小值为 x-1 ________,最大值为________.
?1 ? 1 1 (2)已知函数 f(x)=a-x(a>0,x>0),若 f(x)在?2,2?上 ? ? ?1 ? 的值域为?2,2?,则 ? ?

a=__________.

1 解析:(1)∵f′(x)=- <0,∴f(x)在[2,3]上为减函 ?x-1?2 1 1 1 数,∴f(x)min=f(3)= = ,f(x)max= =1. 3-1 2 2-1

1 1 (2)由反比例函数的性质知函数 f(x)= a - x (a>0,x>0)在
?1 ? ? ,2?上单调递增, ?2 ?

1 ?1 ? ?1? 1 ?a-2=2, ?f? ?= , 所以? ?2? 2 即? ?f?2?=2, ?1-1=2, ? ?a 2
1 答案:(1) 2 1 2 (2) 5

2 解得 a= . 5

[典例]
?x2+1,x≥0, ? ? ?1,x<0, ?

(2012· 京 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) = 南 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的取

值范围是________.

[尝试解题]
?x2+1,x≥0, ? ? ?1,x<0 ?

法一:画出 f(x)= 的图象,

由图象可知,若 f(1-x2)>f(2x),
?1-x2>0, ? 则? ?1-x2>2x, ? ?-1<x<1, ? 即? ?-1- 2<x<-1+ ?

2,

得 x∈(-1, 2-1).

法二:当 x=-1 时,1-x2=0,2x=-2,则 f(0)=1, f(-2)=1,无解; 当-1<x≤0 时,1-x2>0,f(1-x2)>f(2x)化为(1-x2)2 +1>1,恒成立; 当 0<x≤1 时,1-x2≥0,2x>0,原不等式化为(1-x2)2 +1>(2x)2+1, 即(x+1)2<2,∴0<x< 2-1; 当 x<-1 或 x>1 时,1-x2<0,无解. 综上知-1<x< 2-1.

[答案]

(-1, 2-1)

1.解答本题有两大误区:
(1)误将 f(1-x2),f(2x)中的 x 当成分段函数 f(x)=
?x2+1,x≥0, ? ? ?1,x<0 ?

中的 x,从而造成失误;

(2)仅考虑函数单调性, 由 f(1-x2)>f(2x),得 1- x2>2x,却忽略了 1-x2>0 而失误.

2.解决分段函数的单调性问题时,应注意: (1)抓住对变量所在区间的讨论; (2)保证各段上同增(减)时,要注意上、下段间端

点值间的大小关系;
(3)弄清最终结果取并还是交.

?针对训练
(2012·山 西 四 校 联 考 ) 已 知 函 数 ??a-2?x,x≥2, ? ??1?x ??2? -1,x<2 ?? ? f(x) =

满 足 对 任 意 的 实 数 x1≠x2 , 都 有

f?x1?-f?x2? <0 成立, 则实数 a 的取值范围为 x1-x2
A.(-∞,2) C.(-∞,2]
? 13? B.?-∞, 8 ? ? ? ?13 ? D.? 8 ,2? ? ?

(

)

解 析 : 函 数 f(x) 是 R 上 的 减 函 数 , 于 是 有 ?a-2<0, ? 13 ?1? ? 由此解得 a≤ ,即实数 a 的取 2 8 ??a-2?×2≤?2? -1, ? ? ?
? 13? 值范围是?-∞, 8 ?. ? ?

答案:B

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.求函数f(x)= x2+x-6的单调区间. 解:设u=x2+x-6,y= u.
由x2+x-6≥0,得x≤-3或x≥2. 结合二次函数的图象可知,函数u=x2+x-6在 (-∞,-3]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的. 又∵函数y= u是递增的,∴函数f(x)= x2+x-6 在(-∞,-3]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的.

2.定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有

f(m+n)=f(m)· f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)试求f(0)的值; (2)判断f(x)的单调性并证明你的结论;
(3)设 A={(x,y)|f(x2)· 2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y f(y + 2)=1, a∈R}, A∩B=?, 若 试确定 a 的取值范围.

解:(1)在f(m+n)=f(m)· f(n)中,令m=1,n=0, 得f(1)=f(1)· f(0). 因为f(1)≠0,所以f(0)=1.

(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2. 在已知条件f(m+n)=f(m)· f(n)中,若取m+n=x2,m= x1,则已知条件可化为:f(x2)=f(x1)· 2-x1). f(x 由于x2-x1>0,所以0<f(x2-x1)<1. 为比较f(x2),f(x1)的大小,只需考虑f(x1)的正负即可. 在f(m+n)=f(m)· f(n)中,令m=x,n=-x, 则得f(x)· f(-x)=1. 因为当x>0时,0<f(x)<1, 1 所以当x<0时,f(x)= >1>0. f?-x?

又f(0)=1,所以综上可知,对于任意的x1∈R, 均有f(x1)>0. 所以f(x2)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0.

所以函数f(x)在R上单调递减.
(3)f(x2)· 2)>f(1),即x2+y2<1. f(y f(ax-y+ 2)=1=f(0),即ax-y+ 2=0. 由A∩B=?,得直线ax-y+ 2 =0与圆面x2+y2<1无公 2 共点,所以 2 ≥1,解得-1≤a≤1. a +1

[知识能否忆起]

一、函数的奇偶性
奇偶性 定 义 图象特点 如果对于函数f(x)的定义域内任 偶函数 意一个x,都有 f(-x)=f(x) , 关于 y轴 对称 那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任 奇函数 意一个x,都有 f(-x)=-f(x), 关于 原点对称 那么函数f(x)是奇函数

二、周期性
1.周期函数 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得 当x取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么 就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的 正数 ,那么这个 最小正数 就叫做f(x)的最小正周期.

[小题能否全取] 1.(2012· 广东高考)下列函数为偶函数的是
A.y=sin x C.y=ex B.y=x3 D.y=ln

(

)

x2+1

解析:四个选项中的函数的定义域都是 R.y=sin x 为奇 函数.幂函数 y=x3 也为奇函数.指数函数 y=ex 为非奇 非偶函数. f(x)=ln 令 =ln x2+1, f(-x)=ln 得 ?-x?2+1

x2+1=f(x).所以 y=ln x2+1为偶函数.

答案:D

2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a
+b 的值是 1 A.- 3 (
1 B. 3

)

1 1 C. D.- 2 2 解析:∵f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上偶函数,
1 ∴a-1+2a=0,∴a= ,且 f(-x)=f(x), 3 1 ∴b=0,∴a+b= . 3 答案:B

3.(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x +4)=f(x),则f(8)的值为 A.-1 C.1 B.0 D.2 ( )

解析:∵f(x)为奇函数且f(x+4)=f(x).
∴f(0)=0,T=4. ∴f(8)=f(0)=0. 答案:B

4.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=
________. 解析:法一:∵f(-x)=f(x)对于x∈R恒成立,∴| -x+a|=|x+a|对于x∈R恒成立,两边平方整理得 ax=0,对于x∈R恒成立,故a=0.

法二:由f(-1)=f(1),
得|a-1|=|a+1|,故a=0. 答案:0

5.(2011·广东高考)设函数f(x)=x3cos x+1.若f(a)=11, 则f(-a)=________. 解析:观察可知,y=x3cos x为奇函数,且f(a)= a3cos a+1=11,故a3cos a=10.则f(-a)=-a3cos a

+1=-10+1=-9.
答案:-9

1.奇、偶函数的有关性质: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必 要不充分条件;

(2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y
轴对称;反之亦然; (3)若奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0;

(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知,奇函数
在原点两侧的对称区间上的单调性相同;利用偶函数的 图象关于y轴对称可知,偶函数在原点两侧的对称区间 上的单调性相反. 2.若函数满足f(x+T)=f(x),由函数周期性的定

义可知T是函数的一个周期;应注意nT(n∈Z且n≠0)也
是函数的周期.

[例1]

(2013· 福州质检)设Q为有理数集,函数f(x)= ex-1 g(x)= x ,则函数h(x)=f(x)· g(x) e +1 ( )

?1,x∈Q, ? ? ?-1,x∈?RQ, ?

A.是奇函数但不是偶函数
B.是偶函数但不是奇函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是偶函数也不是奇函数

[自主解答]

∵当 x∈Q 时,-x∈Q,∴f(-x)=f(x)

=1;当 x∈?RQ 时,-x∈?RQ,∴f(-x)=f(x)=-1.综上 有, 对任意 x∈R, 都有 f(-x)=f(x), 故函数 f(x)为偶函数. ∵ e-x-1 1-ex ex-1 g(-x)= -x = x=- x=-g(x),∴函数 g(x)为奇 e +1 1+e 1+e 函数.∴h(-x)=f(-x)· g(-x)=f(x)· [-g(x)]=-f(x)g(x)= -h(x),∴函数 h(x)=f(x)· g(x)是奇函数.∴h(1)=f(1)· g(1) e-1 e 1-1 1-e = ,h(-1)=f(-1)· g(-1)=1× -1 = ,h(- e+1 e +1 1+e 1)≠h(1),∴函数 h(x)不是偶函数.


[答案]

A

利用定义判断函数奇偶性的方法 (1)首先求函数的定义域,定义域关于原点对称是函

数为奇函数或偶函数的必要条件;
(2)如果函数的定义域关于原点对称,可进一步判断 f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否对定义域内的每一个x恒 成立(恒成立要给予证明,否则要举出反例). [注意] 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-

x)与f(x)的关系,只有对各段上的x都满足相同的关系时,
才能判断其奇偶性.

1.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)= 1-x2+ x2-1;
(2)f(x)=3x-3-x;
4-x2 (3)f(x)= ; |x+3|-3

?x2+2,x>0, ? (4)f(x)=?0,x=0, ?-x2-2,x<0. ?

?x2-1≥0, ? 解:(1)∵由? ?1-x2≥0, ?

得 x=± 1,

∴f(x)的定义域为{-1,1}. 又 f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0, 即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

(2)∵f(x)的定义域为R,

∴f(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数.

?4-x2≥0, ? (3)∵由? ?|x+3|-3≠0, ?

得-2≤x≤2 且 x≠0.

∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2], 4-x2 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = = x , |x+3|-3 ?x+3?-3 ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. (4)f(x)的定义域为R,关于原点对称,当x>0时,f(-x)=

-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);
当x<0时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时,f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数.

[例2]

(1)(2012· 上海高考)已知y=f(x)+x2是奇函数,

且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________.
(2)(2012· 烟台调研)设偶函数 f(x)在(0, +∞)上为减函 f?x?+f?-x? 数, f(2)=0, 且 则不等式 >0 的解集为 x ( )

A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2)

[自主解答]

(1)∵y=f(x)+x2是奇函数,且x=1时,y

=2,∴当x=-1时,y=-2,即f(-1)+(-1)2=-2,得 f(-1)=-3,所以g(-1)=f(-1)+2=-1.
(2)∵f(x)为偶函数, f?x?+f?-x? 2f?x? ∴ = x >0. x ∴xf(x)>0.
?x>0, ? ∴? ?f?x?>0 ? ?x<0, ? 或? ?f?x?<0. ?

又 f(-2)=f(2)=0,f(x)在(0,+∞)上为减函数, 故 x∈(0,2)或 x∈(-∞,-2).[答案]

(1)-1

(2)B

本例(2)的条件不变,若n≥2且n∈N*,试比较f(-n), f(1-n),f(n-1),f(n+1)的大小. 解:∵f(x)为偶函数,所以f(-n)=f(n),

f(1-n)=f(n-1).
又∵函数y=f(x)在(0,+∞)为减函数,且0<n- 1<n<n+1, ∴f(n+1)<f(n)<f(n-1). ∴f(n+1)<f(-n)<f(n-1)=f(1-n).

函数奇偶性的应用 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式. 利用奇偶性关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式. (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数. 常常采用待定系数法:利用f(x)±f(-x)=0产生关于字母 的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值. (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称

的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单
调性相反.

2.(1)(2012· 徐州模拟)已知函数f(x)= 为奇函数,则a+b=________.

?x2+x,x≤0, ? ? 2 ?ax +bx,x>0 ?

(2)已知定义在R上的奇函数满足f(x)=x2+2x(x≥0), 若f(3-a2)>f(2a),则实数a的取值范围是________.

解析:(1)当x<0时,则-x>0,所以f(x)=x2+x,f(-x) =ax2-bx,而f(-x)=-f(x),即-x2-x=ax2-bx,

所以a=-1,b=1,故a+b=0.
(2)因为f(x)=x2+2x在[0,+∞)上是增函数,又因为f(x) 是R上的奇函数,所以函数f(x)是R上的增函数,要使 f(3-a2)>f(2a),只需3-a2>2a,解得-3<a<1. 答案:(1)0 (2)(-3,1)

(2012· 浙江高考)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x+1,则
[自主解答] 则
?3? f?2?=________. ? ?

依题意得,f(2+x)=f(x),f(-x)=f(x),

?3? ? 1? ?1? 1 3 ? ?=f?- ?=f? ?= +1= . f2 2 ? ? ? 2? ?2? 2

[答案]

3 2

1.周期性常用的结论: 对f(x) 定义域内任一自变量的值x:

(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;
1 (2) 若 f(x+a)= ,则 T=2a; f?x? 1 (3) 若 f(x+a)=- ,则 T=2a. f?x? 2.周期性与奇偶性相结合的综合问题中,周期性起

到转换自变量值的作用,奇偶性起到调节符号作用.

3.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒 有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.

(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式. 解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数.

(2)∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2],

∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8.
又∵f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

抽象函数是高中数学的难点,大多数同学感觉找不
着头绪,对抽象函数的研究往往要通过函数的性质来体 现,如函数的奇偶性、单调性和周期性.利用赋值法将 条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略.下面从 5个不同的方面来探寻一些做题的规律.

1.抽象函数的定义域 抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域,利 用代换法得到不等式(组)进行求解.
[典例 1] 已知函数 y=f(x)的定义域是[0,8], 则函 f?x2-1? 数 g(x)= 的定义域为________. 2-log2?x+1?

[解析]

?0≤x2-1≤8, ? 要使函数有意义,需使?x+1>0, ?2-log ?x+1?≠0, ? 2 则 1≤x<3,所以函数的定义域为[1,3).

?1≤x2≤9, ? 即?x>-1, ?x≠3, ?

[答案]

[1,3) 函数y=f(g(x))的定义域的求法, 常常通

[题后悟道]

过换元设t=g(x),根据函数y=f(t)的定义域,得到g(x)的范 围,从而解出x的范围.在求函数的定义域时要兼顾函数的

整体结构,使得分式、对数等都要有意义.

2.抽象函数的函数值 [典例2] 定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+

f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-2)=(
A.2 C.6 [解析] B.3 D.9

)

令x=y=0,得f(0)=0,令x=y=1,得f(2)

=2f(1)+2=6,由0=f(2-2)=f(2)+f(-2)-8得f(-2)

=2.
[答案] A

[题后悟道]

抽象函数求函数值往往要用赋值法,

需要结合已知条件,通过观察和多次尝试寻找有用的取
值,挖掘出函数的性质,特别是借助函数的奇偶性和函 数的周期性来转化解答. 3.抽象函数的奇偶性 函数的奇偶性就是要判断-x对应的函数值与x对应

的函数值之间的关系,从而得到函数图象关于原点或y轴
对称,结合函数的图形作出进一步的判断.

[典例3] 已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)+ f(x-y)=2f(x)· f(y),且f(0)≠0,求证:f(x)是偶函数. [证明] 取x=0,y=0,得2f(0)=2f 2(0) ,因为f(0)≠0,

所以f(0)=1;再取x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)· f(y)=

2f(y).所以f(y)=f(-y),所以函数f(x)是偶函数.
[题后悟道] 在利用奇偶函数的定义进行判断时,等

式中如果还有其他的量未解决,例如本题中的f(0),还需 要令x,y取特殊值进行求解.

4.抽象函数的单调性与抽象不等式 高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点, 常出现一些综合性问题,利用导数进行判断求解,并对 所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数

的范围,再根据单调性求解或证明抽象不等式问题.(结
合本节例2(2)学习). 5.抽象函数的周期性 有许多抽象函数都具有周期性,特别是在求自变量 值较大的函数值时,就要考虑寻找函数的周期,从而利

用周期把函数值转化为已知求出.

[典例 4]

1 已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)= 4

f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 f(2 014)=________.
[解析] 取 x=n,y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),

同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n), 联立,得 f(n+2)=-f(n-1),所以 f(n+3)=-f(n), f(n+6)=-f(n+3)=f(n),所以函数的周期为 T=6,故 f(2 1 014)=f(4)=-f(1)=- . 4 1 [答案] - 4

[题后悟道]

判断抽象函数的周期性时,给一个

变量赋值是关键,但由于函数的周期性是函数的整体
性质,因此另一个变量必须具有任意性. 从以上几种类型来看,解答抽象函数问题并不是 无计可施,只要我们善于观察、分析、掌握解题规律, 把抽象问题形象化、具体化,问题就可以化难为易、

迎刃而解.

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数, 且
?1? f(x)-g(x)=?2?x,则 ? ?

f(1),g(0),g(-1)之间的大小

关系是______________.

解析: 在

?1? f(x)-g(x)=?2?x 中, 用-x ? ?

替换 x, f(-x)-g(- 得

x)=2x,由于 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函 数, 所以 f(-x)=-f(x), g(-x)=g(x), 因此得-f(x)-g(x) 2-x-2x 2-x+2x =2x.于是解得 f(x)= ,g(x)=- ,于是 f(1) 2 2 3 5 =- ,g(0)=-1,g(-1)=- ,故 f(1)>g(0)>g(-1). 4 4

答案:f(1)>g(0)>g(-1)

2.关于y=f(x),给出下列五个命题:
①若f(-1+x)=f(1+x),则y=f(x)是周期函数; ②若f(1-x)=-f(1+x),则y=f(x)为奇函数;

③若函数y=f(x-1)的图象关于x=1对称,则y=f(x)
为偶函数; ④函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x =1对称; ⑤若f(1-x)=f(1+x),则y=f(x)的图象关于点(1,0)

对称.
填写所有正确命题的序号________.

解析:由f(-1+x)=f(1+x)可知,函数周期为2,①
正确;由f(1-x)=-f(1+x)可知,y=f(x)的对称中心 为(1,0),②错;y=f(x-1)向左平移1个单位得y=f(x), 故y=f(x)关于y轴对称,③正确;两个函数对称时, 令1+x=1-x得x=0,故应关于y轴对称,④错;由

f(1-x)=f(1+x)得y=f(x)关于x=1对称,⑤错,故正
确的应是①③. 答案:①③

3.已知 f(x)是偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,如果 f(ax+1)≤f(x-2)在 范围.
?1 ? x∈?2,1?上恒成立, 求实数 ? ?

a 的取值

解:由于 f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,则在(- ∞,0]上为减函数,由 f(ax+1)≤f(x-2),则|ax+1|≤|x-2|, 又
?1 ? x∈?2,1?,故|x-2|=2-x, ? ?

3 1 即 x-2≤ax+1≤2-x.故 x-3≤ax≤1-x,1-x≤a≤x-1,
?1 ? 在?2,1?上恒成立. ? ? ?1 ? ? 3? 由于?x-1?min=0,?1-x?max=-2,故-2≤a≤0. ? ? ? ?

[知识能否忆起]

一、利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线,首先:①确定函数 的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶 性、单调性、周期性);其次:列表(尤其注意特殊点、零 点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点);最后:描 点,连线.

二、利用基本函数的图象作图 1.平移变换

(1)水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)
的图象向 左 (+)或向 右 (-)平移 a个 单位而得到. (2)竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x) 的图象向上 (+)或向 下 (-)平移 b个 单位而得到. 2.对称变换

(1)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于 y轴 对称.
(2)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于 x轴 对称.

(3)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于 原点对称.
(4)要得到y=|f(x)|的图象,可将y=f(x)的图象在x轴 下方的部分以 x轴 为对称轴翻折到x轴上方,其余部分 不变. (5)要得到y=f(|x|)的图象,可将y=f(x),x≥0的部分 y轴 作出,再利用偶函数的图象关于 的对称性,作出x <0时的图象.

3.伸缩变换
(1)y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有

点的纵坐标变为 原来的A倍 , 横坐标 不变而得到.
(2)y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有 1 点的横坐标变为 原来的a倍 , 纵坐标 不变而得到.

[小题能否全取] 1.一次函数f(x)的图象过点A(0,1)和B(1,2),则下列各点 在函数f(x)的图象上的是 A.(2,2) B.(-1,1) ( )

C.(3,2)

D.(2,3)

解析:一次函数f(x)的图象过点A(0,1),B(1,2),则f(x) =x+1,代入验证D满足条件. 答案:D

2.函数y=x|x|的图象大致是

(

)

解析:函数y=x|x|为奇函数,图象关于原点对称. 答案:A

3.(教材习题改编)在同一平面直角坐标系中,函数f(x) =ax与g(x)=ax的图象可能是下列四个图象中的( )

解析:因a>0且a≠1,再对a分类讨论. 答案:B

4.(教材习题改编)为了得到函数y=2x-3的图象,只需把 函数y=2x的图象上所有的点向______平移______个 单位长度.

答案:右

3

5.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取
值范围是________.
解析:由题意 a=|x|+x 令
?2x,x≥0, ? y=|x|+x=? ?0,x<0, ?

图象

如图所示,故要使 a=|x|+x 只有一解则 a>0.

答案:(0,+∞)

1.作图一般有两种方法:直接作图法、图象变换法. 其中图象变换法,包括平移变换、伸缩变换和对称变换, 要记住它们的变换规律.

[注意] 对于左、右平移变换,可熟记口诀:左加右
减.但要注意加、减指的是自变量,否则不成立. 2.一个函数的图象关于原点(y轴)对称与两个函数的 图象关于原点(y轴)对称不同,前者是自身对称,且为奇( 偶)函数,后者是两个不同的函数对称.

[例1] 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|; (2)y=2x+2; (3)y=x2-2|x|-1.

[自主解答]

?lg x,x≥1, ? (1)y=? ?-lg x,0<x<1. ?

图象如图 1.

(2)将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图2.
?x2-2x-1,x≥0, ? (3)y=? 2 ?x +2x-1,x<0. ?

图象如图 3.

画函数图象的一般方法
(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟 悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征直接作出. (2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图 象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,

但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的
要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换 单位及解析式的影响.

1.作出下列函数的图象:
(1)y=|x-x2|;
x+2 (2)y= . x-1 ?x-x2,0≤x≤1, ? 解:(1)y=? ?-?x-x2?,x>1或x<0, ?
? ? 1 ?2 1 ?-?x-2? +4,0≤x≤1, ? ? ?? 即 y= 1?2 1 ??x- ? - ,x>1或x<0, ?? 2? 4

其图象如图1所示(实线部分).

?x-1?+3 3 3 (2)y= =1+ ,先作出 y=x的图象,再将其 x-1 x-1 x+2 向右平移 1 个单位, 并向上平移 1 个单位即可得到 y= x-1 的图象,如图 2.

[例2]

(2012· 湖北高考)已知定义在

区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所 示,则y=-f(2-x)的图象为 ( )

[自主解答] 法一:由 y=f(x)的图象知
?x?0≤x≤1?, ? f(x)=? ?1?1<x≤2?. ?

当 x∈[0,2]时,2-x∈[0,2], 所以 故
?1?0≤x≤1?, ? f(2-x)=? ?2-x?1<x≤2?, ?

?-1?0≤x≤1?, ? y=-f(2-x)=? ?x-2?1<x≤2?. ?

法二:当x=0时,-f(2-x)=-f(2)=-1;当x=1时, -f(2-x)=-f(1)=-1.观察各选项,可知应选B. [答案] B

“看图说话”常用的方法
(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而 得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决 问题. (2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题.

(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函
数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.

2.(1)如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB, 其中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0), (1,2),(3,1),则
? 1 ? ? f? ?f?3??的值等于_______. ? ?

(2)(2012· 东城模拟)已知函数对任意的x∈R有f(x)+f(-x)

=0,且当x>0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的图象大
致为 ( )

解析:(1)∵由图象知 f(3)=1,
? 1 ? 1 ? ∴ =1.∴f? ?f?3??=f(1)=2. f?3? ? ?

(2)∵对任意的 x∈R 有 f(x)+f(-x)=0,∴f(x)是奇函 数.f(0)=0,y=f(x)的图象关于原点对称,当 x<0 时,f(x) =-f(-x)=-ln(-x+1)=-ln(1-x),由图象知符合上 述条件的图象为 D.

答案:(1)2

(2)D

[例3]

(2011· 新课标全国卷)已知函数y=f(x)的周

期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图 象与函数y=|lg x|的图象的交点共有 ( )

A.10个
C.8个

B.9个
D.1个

[自主解答]

根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析

式可作图如下:

可验证当x=10时,y=|lg 10|=1;0<x<10时,|lg x|<1;

x>10时|lg x|>1.
结合图象知y=f(x)与y=|lg x|的图象交点共有10个.

[答案] A

若本例中f(x)变为f(x)=|x|,其他条件不变,试

确定交点个数.
解:根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析式可 作图如下:

由图象知共10个交点.

1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数,其性

质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于
图象研究,但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 2.利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究 方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点 的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交 点的横坐标.

3.已知函数f(x)=2-x2,g(x)=x.若f(x)*g(x)=min
{f(x),g(x)},那么f(x)*g(x)的最大值是________.(注 意:min表示最小值)
解析:画出示意图(实线部分), ?2-x2?x≤-2?, ? f(x)*g(x)=?x?-2<x<1?, ?2-x2?x≥1?, ? 其最大值为 1.

答案:1

[典例]

|x2-1| (2012· 天津高考)已知函数 y= 的图象 x-1

与函数 y=kx-2 的图象恰有两个交点, 则实数 k 的取值 范围是________.

[解析]

|x2-1| ?x+1,x≤-1或x>1, ? 因为函数 y= =? x-1 ?-x-1,-1<x<1, ?

所以函数 y=kx-2 的图象恒过点(0,-2),根据图象易知, 两个函数图象有两个交点时,0<k<1 或 1<k<4.

[答案]

(0,1)∪(1,4)

[题后悟道]

所谓数形结合思想,包含“以形助数”和

“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是 借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手 段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性 质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属 性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确 地阐明曲线的几何性质.解答本题利用了数形结合思想,本题 |x2-1| 首先作出y= 的图象,然后利用图象直观确定直线y=kx x-1 -2的位置.作图时应注意不包括B、C两点,而函数y=kx-2 的图象恒过定点A(0,-2),直线绕A点可以转动,直线过B、 C两点是关键点.

?针对训练 1.(2013· 长春第二次调研)设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x

-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则 实数a的取值范围是________.
解析:如图作出函数f(x)=|x+a|
与g(x)=x-1的图象,观察图象可 知:当且仅当-a≤1,即a≥-1时, 不等式f(x)≥g(x)恒成立,因此a的取值范围是[-1,+∞).

答案:[-1,+∞)

?|2x-1|,x<2, ? 2.已知函数f(x)= ? 3 ?x-1,x≥2, ?

若方程f(x)-a=0有

三个不同的实数根,则实数a的取值范围为

(

)

A.(1,3) C.(0,2)

B.(0,3) D.(0,1)

解析: 因为方程 f(x)-a=0 的根, 即是直线 x=a 与函数 ?|2x-1|,x<2, ? f(x)=? 3 ?x-1,x≥2 ?

的图象交点的横坐标, 画出函数

图象进行观察可以得知,a 的取值范围是(0,1).

答案:D

教师备选题(给有能力的学生加餐)

1.设D={(x,y)|(x-y)(x+y)≤0},记“平面区域D夹在直
线y=-1与y=t(t∈[-1,1])之间的部分的面积”为S, 则函数S=f(t)的图象的大致形状为 ( )

解析: 如图平面区域 D 为阴影部分, 当 t=-1 时,S=0,排除 D;当 t=- 1 1 时,S> Smax,排除 A、B. 2 4

答案:C

2.(2012· 深圳模拟)已知定义在区间
[0,1]上的函数y=f(x)的图象如图 所示,对于满足0<x1<x2<1的任 意x1、x2,给出下列结论: ①f(x2)-f(x1)>x2-x1;

②x2f(x1)>x1f(x2);
f?x1?+f?x2? ?x1+x2? ? ③ <f? ? 2 ?. 2 ? ?

其中正确结论的序号是________.(把所有正确结论的
序号都填上)

f?x2?-f?x1? 解析:①错误,①即为 >1,在(0,1)上不恒成 x2-x1 f?x1? f?x2? 立;由题图知,0<x1<x2<1 时, > ,②正确;图 x1 x2 象是上凸的,③正确.

答案:②③

[知识能否忆起] 一、常用幂函数的图象与性质
函数 特征 性质

y=x

y=x2

y=x3

y=x

1 2

y=x-1

图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}

函数 特征 y=x 性质
值域 奇偶性 单调性 公共点

y=x2

y= x3

y=x 2

1

y=x-1

R

{y|y≥0}

R

{y|y≥0}

{y|y≠0} 奇 (-∞,0)和 (0,+∞)减





奇 非奇非偶


(-∞,0]减 增 (0,+∞)增 增 (1,1)

二、二次函数 1.二次函数的定义

形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.
2.二次函数解析式的三种形式 ax2+bx+c(a≠0) ; (1)一般式:f(x)= a(x-m)2+n(a≠0) ; (2)顶点式:f(x)= (3)零点式:f(x)= a(x-x1)(x-x2)(a≠0) .

超链接

3.二次函数的图象和性质 [动漫演示更形象,见配套课件] a>0 a<0

图象

图象

b ①对称轴:x=- ; 2a 特点

2 ? b 4ac-b ? ? ②顶点:?- , ? 2a 4a ? ? ?

a>0 定义域
?4ac-b2 ? y∈? , 4a ?

a<0 x∈R
? 4ac-b2? ? ? y∈?-∞, 4a ? ? ?

值域

+∞

性 奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既非奇函数也非偶函数 质 b? ? b? - ? 时递 x∈ ?-∞,- ? 时递 x∈-∞, 2a? 2a? ? 单调性 ? ? b ? ? b ?- ,+∞? 减,x∈ ?-2a,+∞? 增,x∈ ? 2a ? ? ?

时递增

时递减

[小题能否全取] 1.若f(x)既是幂函数又是二次函数,则f(x)可以是 ( )

A.f(x)=x2-1
C.f(x)=-x2

B.f(x)=5x2
D.f(x)=x2

解析:形如f(x)=xα的函数是幂函数,其中α是常数. 答案:D

2. (教材习题改编)设

? ? 1 ? ? ?-1,1, ,3?, α∈ 则使函数 2 ? ? ? ?

y=xα )

的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为

(

A.1,3 C.-1,3
-1

B.-1,1 D.-1,1,3

1 解析:在函数 y=x ,y=x,y=x ,y=x3 中,只有函 2 数 y=x 和 y=x3 的定义域是 R,且是奇函数,故 α= 1,3.

答案:A

3.(教材习题改编)已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴
上方,则a的取值范围是
? 1? A.?0,20? ? ? ?1 ? C.?20,+∞? ? ? ? 1? B.?-∞,-20? ? ? ? ? 1 D.?-20,0? ? ?

(

)

?a>0, ? 解析:由题意知? ?Δ<0, ?

?a>0, ? 即? ?1-20a<0 ?

1 得 a> . 20

答案:C

? 4. (教材习题改编)已知点 M? ? ?

? 3 ? ,3?在幂函数 f(x)的图象上, 3 ?

则 f(x)的表达式为________. 解析:设幂函数的解析式为 y=x ,则 =-2.故 y=x 2.
答案:y=x-2


α

? 3=? ? ?

3 ?α ? ? ,得 α 3?

5.如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关于
直线x=1对称,则函数f(x)的最小值为________.
? a+2 ?- =1, 2 解析:由题意知? ?a+b=2, ?
?a=-4, ? 得? ?b=6. ?

则 f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5.

答案:5

1.幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会经过第一象限,一定不会

经过第四象限,是否经过第二、三象限,要看函数的
奇偶性; (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内; (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定 是原点.

2.与二次函数有关的不等式恒成立问题
?a>0, ? 2 (1)ax +bx+c>0,a≠0恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. ?

(2)ax

2

?a<0, ? +bx+c<0,a≠0恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. ?

[注意] 当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0 两种情况.

[例1]

已知幂函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3在(0,

+∞)上是增函数,则m=________.

[自主解答]

∵函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂

函数,
∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 当m=2时,-5m-3=-13,函数y=x-13在(0, +∞)上是减函数; 当m=-1时,-5m-3=2,函数y=x2在(0,+∞) 上是增函数. ∴m=-1.

[答案] -1

1.幂函数y=xα的图象与性质由于α的值不同而比较 复杂,一般从两个方面考查:

(1)α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象
限的图象上升;α<0时,图象不过原点,在第一象限的 图象下降.

(2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1时,曲线下凸;
0<α<1时,曲线上凸;α<0时,曲线下凸. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选

择适当的函数.借助其单调性进行比较,准确掌握各个
幂函数的图象和性质是解题的关键.

1.(1)如图给出4个幂函数大致的图象,则图象与函数对应 正确的是 ( )

A.①y=x ,②y=x2,③y=x ,④y=x-1 B.①y=x3,②y=x2,③y=x ,④y=x-1 C.①y=x2,②y=x3,③y=x ,④y=x- 1 D.①y=x ,②y=x ,③y=x2,④y=x-1
1 3 1 2 1 2 1 2

1 3

1 2

解析:由图①知,该图象对应的函数为奇函数且定义 域为R,当x>0时,图象是向下凸的,结合选项知选B. [答案] B

(2)(2013· 淄博模拟)若a<0,则下列不等式成立的是(
?1? A.2a>?2?a>(0.2)a ? ? ?1? C.?2?a>(0.2)a>2a ? ?
a ?1?a B.(0.2) > >2a

)

? ? ?2?

a ?1?a D.2a>(0.2) >

? ? ?2?

解析:若 a<0,则幂函数 y=xa 在(0,+∞)上是减函数,
a ?1?a a ?1?a 所以(0.2) > >0.所以(0.2) > >2a.

? ? ?2?

? ? ?2?

[答案]

B

[例2]

已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它

有最小值-1. (1)求f(x)解析式; (2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称,求g(x)解析式.

[自主解答]

(1)由于 f(x)有两个零点 0 和-2,

所以可设 f(x)=ax(x+2)(a≠0), 这时 f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a, 由于 f(x)有最小值-1,
?a>0, ? 所以必有? ?-a=-1, ?

解得 a=1.

因此 f(x)的解析式是 f(x)=x(x+2)=x2+2x.

(2)设点 P(x,y)是函数 g(x)图象上任一点,它关于原 点对称的点 P′(-x,-y)必在 f(x)图象上, 所以-y=(-x)2+2(-x), 即-y=x2-2x, y=-x2+2x, 故 g(x)=-x2+2x.

求二次函数的解析式常用待定系数法.合理选择解 析式的形式,并根据已知条件正确地列出含有待定系数 的等式,把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的 基本方法.

2.设f(x)是定义在R上的偶函数,当0≤x≤2时,y=x, 当x>2时,y=f(x)的图象是顶点为P(3,4),且过点

A(2,2)的抛物线的一部分.
(1)求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式; (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图; (3)写出函数f(x)的值域.

解: (1)设顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 y=a(x -3)2+4,将(2,2)代入可得 a=-2, 则 y=-2(x-3)2+4, 即 x>2 时,f(x)=-2x2+12x-14. 当 x<-2 时,即-x>2. 又 f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14, 即 f(x)=-2x2-12x-14. 所以函数 f(x)在(-∞,-2)上的解析式为 f(x)=-2x2-12x-14.

(2)函数f(x)的图象如图,

(3)由图象可知,函数f(x)的值域为(-∞,4].

二次函数的图象与性质

[例3] 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].

(1)当a=-2时,求f(x)的最值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6] 上是单调函数.

[自主解答]

(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-

2)2-1,由于x∈[-4,6].

所以f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,
故f(x)的最小值是f(2)=-1,又f(-4)=35,f(6)=15, 故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a, 所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-

a≥6,即a≤-6或a≥4.
故a的取值范围为(-∞,-6]∪[4,+∞).

本例条件不变,求当a=1时,f(|x|)的单调区间.
解:当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, 则 f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6], 且
?x2+2x+3,x∈?0,6], ? f(x)=? 2 ?x -2x+3,x∈[-6,0], ?

故 f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0].

解决二次函数图象与性质问题时要注意:
(1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相 互制约,常见的题型中这三者有两定一不定,要注意 分类讨论. (2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间

上二次函数最值问题的求法.

3.(2013· 泰安调研)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a

在x∈[0,1]时有最大值2,则a的值为________.
解析:f(x)=-(x-a)2+a2-a+1, 当 a>1 时,ymax=a; 当 0≤a≤1 时,ymax=a2-a+1; 当 a<0 时,ymax=1-a.
?a>1, ? 根据已知条件? ?a=2 ? ?0≤a≤1, ? 或? 2 ?a -a+1=2 ? ?a<0, ? 或? ?1-a=2, ?

解得 a=2 或 a=-1.

答案:2或-1

[例4] -1.

(2012·衡水月考)已知函数f(x)=x2,g(x)=x

(1)若存在x∈R使f(x)<b·g(x),求实数b的取值范围; (2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2 ,且|F(x)|在[0,1] 上单调递增,求实数m的取值范围.

[自主解答]

(1)存在 x∈R,f(x)<bg(x)?存在 x∈R,

x2-bx+b<0?(-b)2-4b>0?b<0 或 b>4. 故 b 的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞). (2)F(x)=x2-mx+1-m2,

Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4. 2 5 2 5 ①当 Δ≤0,即- ≤m≤ 时, 5 5 ?m ? 2 ≤0, 则必需? ?-2 5≤m≤2 5 5 5 ? 2 5 ?- ≤m≤0. 5

2 5 2 5 ②当 Δ>0, m<- 即 或 m> 时, 设方程 F(x)=0 的根 5 5 为 x1,x2(x1<x2). m 若 ≥1,则 x1≤0, 2

?m≥1, ? 即? 2 ?m≥2; ?F?0?=1-m2≤0 ?
m 若 ≤0,则 x2≤0, 2

?m≤0, ? 2 5 2 即? ?-1≤m≤- . 5 ?F?0?=1-m2≥0 ?
综上所述,m 的取值范围为[-1,0]∪[2,+∞).

二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二

次”,它们之间有着密切的联系,而二次函数又是“三
个二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因 此,有关“三个二次”的问题,数形结合,密切联系图 象是探求解题思路的有效方法.

4.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-
f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立, 求实数m的取值范围.

解:(1)由 f(0)=1,得 c=1.即 f(x)=ax2+bx+1. 又 f(x+1)-f(x)=2x, 则 a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 即 2ax+a+b=2x,
?2a=2, ? 所以? ?a+b=0, ? ?a=1, ? 解得? ?b=-1. ?

因此,f(x)=x2-x+1.

(2)f(x)>2x+m 等价于 x2-x+1>2x+m,即 x2-3x+1- m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数 g(x) =x2-3x+1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可. ∵g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1).

[典例]

设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],则

函数的最小值g(a)=________.

[解析]

∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为

直线 x=1, x=1 不一定在区间[-2, 而 a]内, 应进行讨论. 当-2<a<1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x =a 时,ymin=a2-2a;当 a≥1 时,函数在[-2,1]上单调递 减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,ymin=-1.
?a2-2a,-2<a<1, ? 综上,g(a)=? ?-1,a≥1. ?

[答案]

?a2-2a,-2<a<1, ? ? ?-1,a≥1 ?

[题后悟道]

1.求二次函数在闭区间上的最值主

要有三种类型:轴定区间定(见本节例3)、轴动区间定、

轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键是确定对称
轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区 间的关系进行分类讨论.

2.解答本题利用了分类讨论思想,由于区间未确

定,不能判定其对称轴x=1是否在[-2,a]内,从而
要分类讨论,分类讨论应遵循: (1)不重不漏; (2)标准要统一,层次要分明; (3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟,决不无原 则地讨论.

?针对训练

已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1)在区间 [2,3]上有最大值4,最小值1,则a=________,b=

________.

解析:g(x)=a(x-1)2+1+b-a, 当 a>0 时,g(x)在[2,3]上为增函数,
?g?3=4, ? ? 故? ?g?2=1 ? ? ?4a+1+b-a=4, ? ?? ?a+1+b-a=1 ? ?a=1, ? ?? ?b=0. ?

当 a<0 时,g(x)在[2,3]上为减函数,
?g?3=1, ? ? 故? ?g?2=4 ? ? ?4a+1+b-a=1, ? ?? ?a+1+b-a=4 ? ?a=-1, ? ?? ?b=3. ?

∵b<1,∴a=1,b=0.

答案:1 0

教师备选题(给有能力的学生加餐) 1.比较下列各组中数值的大小.
(1)3 3 ;
2 5

0.8, 0.7

(2)0.213,0.233;
2 ?5 3 5

(3) 4.1 ,3.8 ,(-1.4) ;(4)0.20.5,0.40.3.

解:(1)函数y=3x是增函数,故30.8>30.7. (2)y=x3是增函数,故0.213<0.233.
(3)4.1 >1,0<3.8 <1, 而(-1.4)
2 5 ? 2 5 3 5

<0, 4.1 >3.8 >(-1.4) . 故

2 5

?

2 5

3 5

(4)先比较0.20.5与0.20.3,再比较0.20.3与0.40.3,y=0.2x是减 函数,故0.20.5<0.20.3;y=x0.3在(0,+∞)上是增函数,故

0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3.

2.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是 ( )

b 解析:当- <0 时,ab>0,从而 c>0,可排除 A,C; 2a b 当- >0 时,ab<0,从而 c<0,可排除 B,选 D. 2a 答案:D

3.已知函数f(x)=ax2-2x+1. (1)试讨论函数f(x)的单调性;
1 (2)若 ≤a≤1,且 f(x)在[1,3]上的最大值为 M(a),最 3 小值为 N(a), g(a)=M(a)-N(a), g(a)的表达式; 令 求

1 (3)在(2)的条件下,求证:g(a)≥ . 2

解:(1)当 a=0 时,函数 f(x)=-2x+1 在(-∞,+∞)上为减 函数; 1 当 a>0 时, 抛物线 f(x)=ax -2x+1 开口向上, 对称轴为 x=a,
2

故函数

? ?1 ? 1? f(x)在?-∞,a?上为减函数,在?a,+∞?上为增函数; ? ? ? ?
2

1 当 a<0 时, 抛物线 f(x)=ax -2x+1 开口向下, 对称轴为 x=a, 故函数
? ?1 ? 1? f(x)在?-∞,a?上为增函数,在?a,+∞?上为减函数. ? ? ? ?

? 1 ?2 1 (2)∵f(x)=a?x-a? +1-a, ? ? ?1? 1 1 1 ? ?=1- . 由 ≤a≤1 得 1≤ ≤3,∴N(a)=f a a a 3 ? ?

1 1 当 1≤a<2,即 <a≤1 时,M(a)=f(3)=9a-5, 2 1 故 g(a)=9a+ -6; a 1 1 1 当 2≤a≤3,即 ≤a≤ 时,M(a)=f(1)=a-1, 3 2 1 故 g(a)=a+a-2.

?1 1? ? 1 ?a+a-2,a∈?3,2?, ? ? ∴g(a)=? ? ? ?9a+1-6,a∈?1,1?. a ? ?2 ?

?1 1? 1 ? , ?时,g′(a)=1- 2<0, (3)证明:当 a∈ 3 2 a ? ? ?1 1? ∴函数 g(a)在?3,2?上为减函数; ? ? ?1 ? 1 ? ,1?时,g′(a)=9- 2>0, 当 a∈ 2 a ? ? ?1 ? ∴函数 g(a)在?2,1?上为增函数, ? ? ?1? 1 1 ∴当 a= 时,g(a)取最小值,g(a)min=g?2?= . 2 ? ? 2

1 故 g(a)≥ . 2

[知识能否忆起]

一、根式
1.根式的概念 根式的概念 如果 xn=a ,那么x叫做 a的n次方根 符号表示 备注 n>1且 n∈N*

根式的概念

符号 表示

备注

当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是 一个负数 , 负数的 n 次方根是一个

n

零的 n 次方根 a 是零

当 n 是偶数时,正数的 n 次方根 有 两个 ,这两个数互为相反数

n 负数没有偶次 ± a (a>0) 方根

2.两个重要公式
?a , n n ? ? a ?a≥0?, ? (1) a =? ?|a|=? -a ?a<0?, ? ? ? n为奇数, n为偶数;

a (注意 a 必须使 n a有意义). (2)( a) =
n

n

二、有理数指数幂 1.幂的有关概念
am (a>0, n∈N*, n>1); (1)正分数指数幂: = a m, 且
(2)负分数指数幂:a n∈N ,且 n>1);
*
? m n

m n

n



1 a
m n



1 n am

(a>0,m,

(3)0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 没有意义.

2.有理数指数幂的性质 (1)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q); (2)(ar)s=ars (a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).

超链接

三、指数函数的图象和性质 [动漫演示更形象,见配套课件] 函数 y=ax(a>0,且a≠1) 0<a<1 a>1

图象

图象 在x轴 上方 ,过定点 特征

(0,1)

函数 定义域 值域 性 单调性

y=ax(a>0,且a≠1) R

(0,+∞)
减函数 增函数



函数 值变

当x=0时,y=1
当x<0时, y>1; 当x<0时, 0<y<1 ;

0<y<1 化规律 当x>0时,

当x>0时, y>1

[小题能否全取]
1.(教材习题改编)化简[(-2) ] -(-1)0 的结果为(
1 6 2

)

A.-9 C.-10
1

B.7 D.9

解析:原式=(26) 2 -1=7.

答案:B

2.(教材习题改编)函数 f(x)= 1-2x的定义域是(

)

A.(-∞,0]

B.[0,+∞)

C.(-∞,0)

D.(-∞,+∞)

解析:∵1-2x≥0,∴2x≤1,∴x≤0.

答案:A

3.已知函数f(x)=4+ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐

标是
A.(1,5) B.(1,4)

(

)

C.(0,4)

D.(4,0)

解析:当x=1时,f(x)=5. 答案:A

4.若函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数,则实数a的值

为________.
解析:∵a2-3a+3=1,∴a=2或a=1(舍). 答案:2 5.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则 实数a的取值范围是________.
解析:由题意知 0<a2-1<1,即 1<a2<2, 得- 2<a<-1 或 1<a< 2.

答案:(- 2,-1)∪(1, 2)

1.分数指数幂与根式的关系:
分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用分数 指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算,从而简 化计算过程. 2.指数函数的单调性是由底数a的大小决定的,

因此解题时通常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论.

指数式的化简与求值

[例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数).
( a .b ?1 ) .a .b (1) ; 6 . 5 ab
? 7? ? 10 ? ? 2 37 - ?2 ?0.5+0.1 2+?2 ? 3 -3π0+ . (2) 48 ? 9? ? 27 ?
2 3 ? 1 2 ? 1 2 1 3

[自主解答] =a
1 1 1 ? ? ? 3 2 6

(1)原式=
1 1 5 ? ? 2 3 6

a b · b a a b
1 6 5 6

?

1 3

1 2

?

1 2

1 3

· b

1 = . a

?25 ? 1 ?64 ? ? 2 1 37 5 9 ? ?2+ ? ? 3 -3+ = +100+ (2)原式= + 9? 0.12 ?27? 48 3 16 ?

37 -3+ =100. 48

指数式的化简求值问题,要注意与其他代数式的 化简规则相结合,遇到同底数幂相乘或相除,可依据

同底数幂的运算规则进行,一般情况下,宜化负指数
为正指数,化根式为分数指数幂.对于化简结果,形 式力求统一.

1.计算:
(1)(0.027)
? 1 3

? 1?- ? 7? 1 -?- ? 2+?2 ? 2 -( ? 7? ? 9?

2-1)0;

?1 ? ? 1 ( (2)? ? 2 · ?4 ?

4ab ?1 )3
1 ?3 2

.

0.1?2 ( a 3 b )

? 27 ? ? 1 ?1?- ?25? 1 解:(1)原式=?1 000? 3 -(-1)-2?7? 2+? 9 ? 2 -1 ? ? ? ? ? ?

10 5 = -49+ -1=-45. 3 3
4 .4 (2)原式= · · · · a a b b 100
1 2 3 2

3 2

?

3 2

3 2

?

3 2

4 0 0 4 = a·= . b 25 25

[例2]

(2012?四川高考)函数y=ax-a(a>0,且a≠1) ( )

的图象可能是

[自主解答]

法一:令y=ax-a=0,得x=1,即

函数图象必过定点(1,0),符合条件的只有选项C. 法二:当a>1时,y=ax -a是由y=ax 向下平移a个单 位,且过(1,0),排除选项A、B; 当0<a<1时,y=ax -a是由y=ax 向下平移a个单位, 因为0<a<1,故排除选项D. [答案] C

1.与指数函数有关的函数的图象的研究,往往 利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到 其图象.

2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利
用相应的指数型函数图象数形结合求解.

2.(1)(2012· 北京模拟)在同一坐标系中,函数 y=2 与 的图象之间的关系是 (

x

?1? y=?2?x ? ?

)

A.关于y轴对称
C.关于原点对称

B.关于x轴对称
D.关于直线y=x对称

(2)方程2x=2-x的解的个数是________.

?1? - 解析:(1)∵y=?2?x=2 x,∴它与函数 ? ?

y=2x 的图象关于 y

轴对称.

(2)方程的解可看作函数y=2x和y=2-x 的图象交点的横坐标,分别作出这两个

函数图象(如图).
由图象得只有一个交点,因此该方程只 有一个解. 答案:(1)A (2)1

指数函数的性质及应用

[例3]

?2? - 已知函数 f(x)=?3?|x| a.则函数 f(x)的单调 ? ?

递增区间为________,单调递减区间为________.

[自主解答]

令 t=|x|-a,则

?2? f(x)=?3?t, ? ?

不论 a 取何值,t 在(-∞,0]上单调递减,在[0,+ ∞)上单调递增, 又
?2? y=?3?t 是单调递减的, ? ?

因此 f(x)的单调递增区间是(-∞,0], 单调递减区间是[0,+∞).

[答案] (-∞,0]

[0,+∞)

9 在本例条件下, f(x)的最大值等于 , a=______. 若 则 4 9 9 ?2?-2 解析:由于 f(x)的最大值是 ,且 =?3? , 4 4 ? ?
所以 g(x)=|x|-a 应该有最小值-2, 从而 a=2.

答案:2

求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知
指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要 明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问 题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终 将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决.

3.(1)(2012·福州质检)已知a=20.2,b=0.40.2,c= 0.40.6,则 ( )

A.a>b>c
C.c>a>b

B.a>c>b
D.b>c>a

(2)(2012·上海高考)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常
数).若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取

值范围是________.

解析:(1)由0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知 0.40.2>0.40.6,即b>c;因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以 a>b.综上,a>b>c. (2)结合函数图象求解.因为y=eu是R上的增函数,所以 f(x)在[1,+∞)上单调递增,只需u=|x-a|在[1,+∞) 上单调递增,由函数图象可知a≤1.

答案:(1)A (2)(-∞,1]

[典例]

?1? ?1? x 函数 y=?4? -?2?x+1 在 x∈[-3,2]上的值 ? ? ? ?

域是________.

[常规解法]
??1? ? ?? ?x 1?2 3 ??2? -2? +4, ? ?

?1? ?1? ??1? ? ?1? x x x? 2 y= ?4? - ?2? +1= ??2? - ?2? x+1= ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

1 ?1?x 因为x∈[-3,2],所以 ≤?2? ≤8. 4 ? ?
?1? ?1? 1 3 x 当?2? = 时,ymin= ;当?2?x=8时,ymax=57. 2 4 ? ? ? ? ?3 ? 所以函数y的值域为?4,57?. ? ?

[答案]

?3 ? ? ,57? ?4 ?

1.解答本题可利用换元法,即令 为 y=t -t+1,其中
2

?1? t=?2?x,把函数化 ? ?

?1 ? t∈?4,8?,然后求在这个闭区间上的 ? ?

二次函数的最大值和最小值即可确定函数的值域.

2.对于含ax、a2x的表达式,通常可以令t=ax进行 换元,但换元过程中一定要注意新元的范围,换元后转 化为我们熟悉的一元二次关系.

[巧思妙解]
?1 ? ? ,8?.则 ?4 ?

因为 x∈[-3,2],若令

?1? t=?2?x,则 ? ?

t∈

y=t

2

? 1 ?2 3 -t+1=?t-2? + . 4 ? ?

1 3 当 t= 时 ymin= ;当 t=8 时,ymax=57.答案为 2 4
?3 ? ? ,57?. ?4 ?

?针对训练

若0<a<1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值
是14,则a的值为________.
解析:令 t=ax(0<a<1), 则原函数化为 y=(t+1)2-2(t>0). 因为 0<a<1,x∈[-1,1],所以 t=a 此时
? 1? f(t)在?a,a?上为增函数. ? ?
x

? 1? ∈?a,a?, ? ?

所以

?1? ?1 ? f(t)max=f?a?=?a+1?2-2=14. ? ? ? ?

?1 ? 所以?a+1?2=16, ? ?

1 1 所以 a=- 或 a= . 5 3 1 又因为 a>0,所以 a= . 3 1 答案: 3

教师备选题(给有能力的学生加餐) ?1? ?1? a 1. 已知实数 a, 满足等式?2? =?3?b, b 下列五个关系式: ? ? ? ?

①0<b<a; ②a<b<0; ③0<a<b; ④b<a<0;⑤a=b 其中不可能成立的关系式有 ( )
A.1个 C.3个 B.2个 D.4个

解析:函数

?1? ?1? x y1=?2? 与 y2=?3?x 的图象如图, ? ? ? ?

?1? ?1? a 由?2? =?3?b 得 ? ? ? ?

a<b<0 或 0<b<a 或 a=b=0.

答案 :B

2.求函数 y=a2x-2ax-1(a>0,a≠1)的单调区间和值域.
解:y=(ax-1)2-2(a>0,a≠1),设 u=ax. ∵y=(u-1)2-2 在 u∈[1,+∞)时是关于 u 的增函数, 在 u∈(-∞,1)时是关于 u 的减函数, ∴当 ax≥1 时, 原函数的单调性与 u=ax 的单调性相同; 当 ax<1 时,原函数的单调性与 u=ax 的单调性相反. 若 a>1,ax≥1?x≥0;ax<1?x<0,

∴在[0,+∞)上,函数 y=a2x-2ax-1 是增函数; 在(-∞,0)上,函数 y=a2x-2ax-1 是减函数. 若 0<a<1,ax≥1?x≤0;ax<1?x>0, ∴在(0,+∞)上,函数 y=a2x-2ax-1 是增函数; 在(-∞,0]上,函数 y=a2x-2ax-1 是减函数. ∵ax>0,∴函数值域是[-2,+∞).

[知识能否忆起]

1.对数的概念
(1)对数的定义: 如果 ax=N(a>0且a≠1) ,那么数x叫做以a为底N的对 数,记作 x=logaN ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真 数.当a=10时叫常用对数.记作x= lg N ,当a=e时叫自 然对数,记作x=ln N .

(2)对数的常用关系式(a,b,c,d均大于0且不等于1):
①loga1= 0 . ②logaa= 1 . ③对数恒等式:alogaN= N . logcb ④换底公式: logab= . logca 1 推广:logab= ,logab· bc· cd= logad . log log logba

(3)对数的运算法则:

如果a>0,且a≠1,M >0,N>0,那么:
①loga(M·N)= logaM+logaN ;
M logaM-logaN ②loga = ; N ③logaMn= nlogaM (n∈R); n ④log amMn= logaM . m

2.对数函数的概念 (1)把y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数,其中x是自变 量,函数的定义域是 (0,+∞) . (2)函数y=logax(a>0,a≠1)是指数函数y=ax 的反函数, 函数y=ax与y=logax(a>0,a≠1)的图象关于 y=x 对称.

3.对数函数的图象与性质
y=logax a>1 0<a<1

图象

定义域:(0,+∞) 值域: R 性 过点 (1,0) ,即x= 1 时,y= 0

质 当x>1时, y>0
当0<x<1时, y<0

当x>1时, y<0
当0<x<1时,y>0

在(0,+∞)上是 增函数

在(0,+∞)上是 减函数

[小题能否全取]
1.(教材习题改编)设 A={y|y=log2x,x>1},B=
? ?1? ? ? ? x ?y|y=? ? ,0<x<1?,则 ? ? ? ?2? ? ? 1? A.?0,2? ? ? ?1 ? C.?2,1? ? ?

A∩B 为

(

)

?1 ? B.?2,+∞? ? ?

D.(0,2) ? 1 ? ? ? ?y| <y<1?, 解析:∵A={y|y>0},B= 2 ? ? ? ?
? 1 ? ? ? ?y| <y<1?. ∴A∩B=? 2 ? ? ?

答案:C

2.函数y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图象经过定点A, 则A点坐标是
? 2? A.?0,3? ? ? ?2 ? B.?3,0? ? ?

(

)

C.(1,0)

D.(0,1)

解析:当x=1时y=0.
答案:C

3.函数y=lg |x| A.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B.是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增

(

)

解析:y=lg |x|是偶函数,由图象知在(-∞,0)上 单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 答案:B

4.(2012· 江苏高考)函数 f(x)=

1-2log6x的定义域为

________. 1 解析:由 1-2log6x≥0,解得 log6x≤ ?0<x≤ 6,故 2

所求定义域为(0, 6 ]. 答案:(0, 6 ] 5.(2012·北京高考)已知函数f(x)=lg x,若f(ab)=1,
则f(a2)+f(b2)=________. 解析:由f(ab)=1得ab=10,于是f(a2)+f(b2)=lg a2 +lg b2=2(lg a+lg b)=2lg(ab)=2lg 10=2. 答案:2

1.在运用性质logaMn=nlogaM时,要特别注意条件,在

无M>0的条件下应为logaMn=nloga|M|(n∈N*,且n为偶数).
2.对数值取正、负值的规律: 当a>1且b>1,或0<a<1且0<b<1时,logab>0;

当a>1且0<b<1,或0<a<1且b>1时,logab<0.
3.对数函数的定义域及单调性: 在对数式中,真数必须大于0,所以对数函数y=logax

的定义域应为{x|x>0}.对数函数的单调性和a的值有关,因
而,在研究对数函数的单调性时,要按0<a<1和a>1进行分 类讨论.

对数式的化简与求值

[例1] 求解下列各题.
1 32 4 (1) lg - lg 8+lg 245=________; 2 49 3
1 1 (2)若 2 =5 =m,且a+b=2,则 m=________.
a b

[自主解答]

1 32 4 (1) lg - lg 8+lg 245 2 49 3

1 4 3 1 = ×(5lg 2-2lg 7)- × lg 2+ (lg 5+2lg 7) 2 3 2 2 5 1 = lg 2-lg 7-2lg 2+ lg 5+lg 7 2 2 1 1 1 1 = lg 2+ lg 5= lg(2×5)= . 2 2 2 2

(2)由 2a=5b=m 得 a=log2m,b=log5m, 1 1 ∴a+b=logm2+logm5=logm10. 1 1 ∵a+b=2, ∴logm10=2,即 m2=10. 解得 m= 10(∵m>0).

[答案]

1 (1) 2

(2) 10

对数式的化简与求值的常用思路

(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成
分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数 运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运 算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数

的积、商、幂再运算.

1.化简:
3 (1)lg +lg 70-lg 3- lg23-lg 9+1; 7
?lg 4-lg 60? ? ?3 - (2)? -45×2 11. ? ? lg 3+lg 5 ?

3 ×70 7 解: (1)原式=lg - lg23-2lg 3+1 3 =lg 10- ?lg 3-1?2 =1-|lg 3-1|=lg 3.
?lg (2)原式=? ? ?

4-?lg 4+lg 15??3 ? -210×2-11 ? lg 15 ?

?-lg 15? ?3 =? -2-1 ? lg 15 ? ? ?

3 =- . 2

对数函数的图象及应用

[例2] 致为

(1)(2013· 烟台调研)函数y=ln(1-x)的图象大 ( )

1 (2)(2012· 新课标全国卷)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 2 的取值范围是
? A.?0, ? ?

(
? B.? ? ? ? 2 ? ,1? 2 ?

)

2? ? 2? ?

C.(1, 2)

D.( 2,2)

[自主解答]

(1)由1-x>0,知x<1,排除选项A、

B;设t=1-x(x<1),因为t=1-x为减函数,而y=ln t 为增函数,所以y=ln(1-x)为减函数,可排除D选C.

(2)法一:构造函数 f(x)=4x 和 g(x)= logax,当 a>1 时不满足条件,当 0<a<1 时,
? ?1 ? 1? 画出两个函数在?0, ?上的图象, 可知, ? ? f 2? ? ?2 ? ?1 ? <g? ?,即 ?2 ? ? 值范围为? ? ?

1 2 2<loga ,则 a> ,所以 a 的取 2 2
? 2 ? ,1?. 2 ?

1 法二:∵0<x≤ ,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1,∴ 2
1 1 1 0<a<1,排除选项 C,D;取 a= ,x= ,则有 4 2 =2, 2 2

1 log 1 =1,显然 4x<logax 不成立,排除选项 A. 2
2

[答案]

(1)C

(2)B

若本例(2)变为:若不等式(x-1)2<logax在 x∈(1,2)内恒成立,实数a的取值范围为________. 解析:设f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当

x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成立,只需f1(x)
=(x-1)2在(1,2)上的图象在f2(x)=logax图象的下方 即可. 当0<a<1时,显然不成立; 当a>1时,如图,

要使x∈(1,2)时f1(x)=(x-1)2的图象在
f2(x)=logax的图象下方,只需f1(2)≤f2(2), 即(2-1)2≤loga2, 又即loga2≥1. 所以1<a≤2,即实数a的取值范围是(1,2].

答案: (1,2]

1.对一些可通过平移、对称变换能作出其图象 的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最 值)、零点时,常利用数形结合求解. 2.一些对数型方程、不等式问题的求解,常转

化为相应函数图象问题,利用数形结合法求解.

? 3 x , x ≤ 1, ? 2.已知函数 f(x)= ? log x , x ? 1, 则 y=f(1-x)的大致图象 ? 1 ? 3



(

)

? 31? x , x ≥ 0, ? 解析:由题意可得f(1-x)= ? log (1 ? x ), x ? 0 , 因此当x≥0 ? 1 ? 3

时,y=f(1-x)为减函数,且y>0;当x<0时,y=f(1-x)为 增函数,且y<0.

答案:C

对数函数的性质及应用

[例3]

已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).

(1)若f(x)定义域为R,求a的取值范围;

(2)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在, 求出a的值;若不存在,说明理由.

[自主解答]

(1)因为 f(x)的定义域为 R,

所以 ax2+2x+3>0 对任意 x∈R 恒成立. 显然 a=0 时不合题意,
?a>0, ? 从而必有? ?Δ<0, ? ?a>0, ? 即? ?4-12a<0, ?

1 解得 a> . 3

即a

?1 ? 的取值范围是?3,+∞?. ? ?

(2)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,a= -1,

这时f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0得-1<x<3,即函数定义域为(-1,3). 令g(x)=-x2+2x+3. 则g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又y=log4x在(0,+∞)上单调递增,

所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是
(1,3).

(3)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1, ?a>0, ? 因此应有?3a-1 ? a =1, ? 1 解得 a= . 2

1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值为 0. 2

研究复合函数y=logaf(x)的单调性(最值)时,应先 研究其定义域,分析复合的特点,结合函数u=f(x)及y =logau的单调性(最值)情况确定函数y=logaf(x)的单调 性(最值)(其中a>0,且a≠1).

3.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0且a≠1). (1)求f(x)的定义域;

(2)判断函数f(x)的单调性.
解:(1)由ax-1>0得ax>1,当a>1时,x>0; 当0<a<1时,x<0. ∴当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞); 当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).

(2)当a>1时,设0<x1<x2,则1<ax1<ax2, 故0<ax1-1<ax2-1, ∴loga(ax1-1)<loga(ax2-1). ∴f(x1)<f(x2).

故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.
类似地,当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.

[典例]
? 1 2

(2012· 大纲全国卷)已知 x=ln π,y= ( B.z<x<y )

log52,z=e ,则 A.x<y<z

C.z<y<x

D.y<z<x

[常规解法]

因为 ln π>ln e=1,log52<log55=1,所

1 ?1 1 以 x>y.故排除 A、B;又因为 log52<log5 5= ,e 2 = 2 e 1 > ,所以 z>y.故排除 C. 2

[答案]

D

本题在比较三个数的大小时利用中间值,进行第一 次比较时,中间值常选用的有0,1,由指数、对数式可知 x>1,0<y<1,0<z<1,再进一步比较y、z的大小,其中对 数logaN的符号判定可简记为“同正异负”,即a与N同时大

于1或同时大于0小于1,则logaN>0;反之,logaN<0.

?针对训练
1.(2013· 北京东城区综合练习)设 ln π,则
?1? a=log 1 3,b=?3?0.3,c= ? ?
2

(

)

A.a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b
解析:

D.b<a<c

?1? ? ? 0.3 ?1? 0 a=log 1 3<log 1 1=0,0<b=?3? < 3 =1,c=ln ? ? ? ?
2 2

π>ln e=1,故 a<b<c.

答案:A

2.设

?3? a=?2?0.1,b=ln ? ?

2 012π 1 sin ,c=log 1 ,则 a,b,c 3 2
3

的大小关系是

(

)

A.a>b>c C.b>a>c
解析:因为函数

B.a>c>b D.b>c>a
?3? y=?2?x 为增函数,所以 ? ? ?3? ? ? 0.1 ?3?0 a=?2? > 2 =1; ? ? ? ?

? 2π? 2 012π 2π 3 ?670π+ ?=sin = 因为 sin =sin <1,函数 y= 3? 3 3 2 ? ln x 为(0,+∞)上的增函数,

2 012π 3 所以 ln sin =ln <ln 1=0; 3 2 1 1 因为 1> > ,而函数 y=log 1 x 为(0,+∞)上的减函数, 2 3
3

1 1 所以 0=log 1 1<c=log 1 <log 1 =1. 2 3
3 3 3

所以 b<0<c<1<a,故选 B.

答案:B

教师备选题(给有能力的学生加餐) ? log 1 x , x ? 0, ? 2 1.设函数 f(x)= ? 若 f(m)<f(-m),则实 ? log 2 ( ? x ), x ? 0, ?
数 m 的取值范围是 ( )

A.(-1,0)∪(0,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

解析:当 m>0 时,f(m)<f(-m)?log 1 m<log2m?m>1;
2

当 m<0 时,f(m)<f(-m)?log2(-m)<log 1 (-m)?-
2

1<m<0.所以,m 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞).

答案:C

2.已知函数f(x)=|lg x|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则2a+b
的取值范围是
A.(2 2,+∞) C.(3,+∞) B.[2 2,+∞) D.[3,+∞)

(

)

解析:由于函数 f(x)在区间(0,1]上单调递减,在区间[1, +∞)上单调递增, 0<a<b, f(a)=f(b)时, 当 且 只能 0<a<1, b>1,故 f(a)=|lg a|=-lg a,f(b)=|lg b|=lg b.由 f(a)= f(b),得-lg a=log b,即 lg(ab)=0,故 ab=1.则 2a+ 2 b≥2 2ab=2 2,当且仅当 2a=b,即 a= ,b= 2时 2 取等号.

答案:B

2 1 27 3.化简:log3 · 5[4 2 log210-(3 3) 3 -7log72]. log 3

4

解:原式=log3 3 · 5[2log210-(3 3 ) 3 -7log72] log 3
?3 ? =?4log33-log33?· 5(10-3-2) log ? ? ?3 ? 1 ? -1?· 55=- . =4 log 4 ? ?

3 4

2

2

4.(2012· 上海徐汇二模)已知函数f(x)=3-2log2x,g(x) =log2x.

(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]· g(x)的值域;
(2)如果对任意的 x∈[1,4], 不等式 f(x2)· x)>k· f( g(x) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

解:(1)h(x)=(4-2log2x)· 2x=-2(log2x-1)2+2, log 因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2]. 故函数h(x)的值域为[0,2].

(2)由 f(x2)· x)>k· f( g(x)得 (3-4log2x)(3-log2x)>k· 2x, log 令 t=log2x,因为 x∈[1,4],所以 t=log2x∈[0,2], 所以(3-4t)(3-t)>k·对一切 t∈[0,2]恒成立, t

①当t=0时,k∈R;
?3-4t??3-t? 9 ②当 t∈(0,2]时,k< 恒成立,即 k<4t+ t - t 15 恒成立, 9 9 3 因为 4t+ t ≥12,当且仅当 4t= t ,即 t= 时取等号, 2 9 所以 4t+ t -15 的最小值为-3,即 k∈(-∞,-3).

[知识能否忆起]

1.函数的零点
(1)定义: 对于函数y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 成立的实数x叫 做函数y=f(x)(x∈D)的零点.

(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交

点间的关系:
方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交 零点 点?函数y=f(x)有 .

(3)函数零点的判定(零点存在性定理): 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 f(b)<0 ,那么,函数y=f(x)在区间 一条曲线,并且有 f(a)·

(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个
c 也就是方程f(x)=0的根.

2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数y= ax2+bx+c (a>0)的图象 (x 与x轴的交点 (x1,0) , 2,0) 零点个数 两个 (x1,0) 一个 无交点 零个 Δ=0 Δ<0

3.二分法 f(b)<0 的函数 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·

y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间
一分为二,使区间的两个端点逐步逼近 零点 ,进而 得到零点近似值的方法叫做二分法.

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法 求零点的是 ( )

答案:C

2.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=

bx2-ax的零点是
A.0,2 1 C.0,- 2 1 B.0, 2 1 D.2,- 2

(

)

∵2a+b=0,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1). 解析: 1 ∴零点为 0 和- . 2 答案:C

3.(教材习题改编)根据表格中的数据,可以判定方程ex -x-2=0的一个根所在的区间为 x -1 0 1 2 3 ( )

ex

0.37

1
2

2.72

7.39

20.09
5

x+2 1 A.(-1,0) C.(1,2)

3 4 B.(0,1) D.(2,3)

解析:设函数f(x)=ex-x-2,从表中可以看出f(1)·f(2) <0,因此方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为(1,2). 答案:B

4.用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的近似解,验证 f(2)· f(4)<0,给定精确度 ε=0.01,取区间(2,4)的中点 x1 2+4 = =3,计算得 f(2)· 1)<0,则此时零点 f(x 2 x0∈________(填区间).
解析:由 f(2)· f(3)<0 可知 x0∈(2,3).

答案:(2,3)

5.已知函数f(x)=x2+x+a在区间(0,1)上有零点,则实

数a的取值范围是________.
解析:∵函数f(x)=x2+x+a在(0,1)上有零点. ∴f(0)f(1)<0.即a(a+2)<0,解得-2<a<0. 答案:(-2,0)

1.函数的零点不是点: 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也 就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以函数 的零点是一个数,而不是一个点.在写函数零点时, 所写的一定是一个数字,而不是一个坐标.

2.对函数零点存在的判断中,必须强调:
(1)f(x)在[a,b]上连续; (2)f(a)· f(b)<0; (3)在(a,b)内存在零点. 这是零点存在的一个充分条件,但不必要. 3.对于定义域内连续不断的函数,其相邻两个零点 之间的所有函数值保持同号.

确定函数零点所在的区间

[例1]

(2012· 唐山统考)设f(x)=ex+x-4,则函数
( B.(0,1) D.(2,3) )

f(x)的零点位于区间 A.(-1,0) C.(1,2)

[自主解答] ∵f(x)=ex+x-4,∴f′(x)=ex+1>0.

∴函数f(x)在R上单调递增.f(-1)=e-1+(-1)-4=-
5+e-1<0,f(0)=-3<0,f(1)=e+1-4=e-3<0,f(2) =e2+2-4=e2-2>0,f(1)f(2)<0,故零点x0∈(1,2). [答案] C

利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时, 首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续不断, 再看是否有f(a)· f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)

内必有零点.

1.(2013· 衡水模拟)设函数 y=x 与 (x0,y0),则 x0 所在的区间是

3

?1? - y=?2?x 2 的图象交点为 ? ?

(

)

A.(0,1)

B.(1,2)
?1? - -?2?x 2,f(1)· f(2)<0,且 ? ?

C.(2,3)
解析:设函数 f(x)=x

D.(3,4)

3

f(x)为单

调函数,则 x0∈(1,2). [答案] B

判断函数零点个数

[例 2] 点的个数为

(1)(2012· 北京高考)函数 f(x)=x

1 2

?1? -?2?x ? ?

的零 )

(

A.0
C.2

B.1
D.3

(2)(2013· 京 东 城 区 模 拟 ) 已 知 函 数 f(x) = 北
?x+1,x≤0, ? ? ?log2x,x>0, ?

则函数 y=f(f(x))+1 的零点个数是

A.4 C.2
[自主解答]

B.3 D.1
(1)在同一平面直角坐
1 2

(

)

标系内作出 y1=x 与

?1 ?x y2=? ? 的图象如 ?2 ?

图所示,易知,两函数图象只有一个交点,因此函数 f(x) =x
1 2

?1 ? -? ?x 只有 ?2 ?

1 个零点.

(2)由 f(f(x))+1=0 可得 f(f(x))=-1, 又由
?1? f(-2)=f?2?=-1. ? ?

1 可得 f(x)=-2 或 f(x)= . 2 1 若 f(x)=-2,则 x=-3 或 x= ; 4 1 1 若 f(x)= ,则 x=- 或 x= 2, 2 2 综上可得函数 y=f(f(x))+1 有 4 个零点.

[答案]

(1)B

(2)A

判断函数零点个数的常用方法 (1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个 解就有几个零点. (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在

区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)· f(b)<0,还必须
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、 对称性)才能确定函数有多少个零点.

(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数
问题.先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中 交点的个数,就是函数零点的个数.

2.(2012· 湖北高考)函数 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点 个数为
A.4 C.6
2

(
B.5 D.7
2

)

π 解析: xcos x =0, x=0, x =kπ+ , x∈[0,4], 令 则 或 又 2 π 因此 xk= kπ+ (k=0,1,2,3,4),共有 6 个零点. 2

答案:C

函数零点的应用
[例3] (2011· 辽宁高考改编)已知函数f(x)=ex-x+a有零点,
∵f(x)=ex-x+a,

则a的取值范围是________. [自主解答]

∴f′(x)=ex-1.令f′(x)=0,得x=0.
当x<0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-∞,0)上是减函数; 当x>0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.

故f(x)min=f(0)=1+a.
若函数f(x)有零点,则f(x)min≤0, 即1+a≤0,得a≤-1.

[答案]

(-∞,-1]

若函数变为f(x)=ln x-2x+a,其他条件不变,求 a的取值范围.
1 解:∵f(x)=ln x-2x+a,∴f′(x)=x-2. 1 令 f′(x)=0,得 x= . 2 1 当 0<x≤ 时 f′(x)≥0,∴f(x)为增函数; 2

1 当 x> 时,f′(x)<0,∴f(x)为减函数. 2
?1? 1 ? ?=ln -1+a. ∴f(x)max=f 2 2 ? ?

1 若 f(x)有零点,则 f(x)max≥0,即 ln -1+a≥0. 2 1 ? ? ?1+ln 2,+∞?. 解得 a≥1-ln ,a 的取值范围为? ? 2

已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等 式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域 问题加以解决.

(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角
坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.

3.已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)是偶函数,
当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间[-1,3]上函数g(x)=f(x) -kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是______.
解析:由 f(x+1)=f(x-1)得,f(x+2)= f(x),则 f(x)是周期为 2 的函数.∵f(x)是 偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,∴当 x ∈[-1,0]时,f(x)=-x,易得当 x∈[1,2]时,f(x)=-x+2, 当 x∈[2,3]时,f(x)=x-2.

在区间[-1,3]上函数 g(x)=f(x)-kx-k 有 4 个零点, 即函数 y=f(x)与 y=kx+k 的图象在区间[-1,3]上有 4 个不同的交点. 作出函数 y=f(x)与 y=kx+k 的图象如
? 1? 图所示,结合图形易知,k∈?0,4?. ? ?

? 1? 答案:?0,4? ? ?

函数零点问题主要有四类:一是判断函数零点或方 程根的个数;二是利用函数零点确定函数解析式;三是 确定函数零点或方程根的取值范围;四是利用函数零点

或根的个数求解参数的取值范围.解决这些问题主要用
数形结合法.

1.函数零点个数的判断 函数零点的个数即为方程f(x)=0根的个数,可转化

为函数f(x)的图象与x轴交点的个数进行判断,也可转化
为两个函数图象的交点个数(如例2(1)). 2.利用函数零点求解函数解析式 由函数的零点利用待定系数法求函数的解析式,求 解时要结合函数的图象.

[典例 1] 如图所示为 f(x)=x3+
2 bx2+cx+d 的图象,则 x2+x2的值是 1

(

)

2 A. 3 8 C. 3 [解析]

4 B. 3 16 D. 9 由图象可知,函数图象与x轴交于三点,(-

1,0),(0,0),(2,0),故该函数有三个零点-1,0,2.

由f(0)=0,得d=0,故函数解析式可化为f(x)=x3+
bx2+cx=x(x2+bx+c),显然-1,2为方程x2+bx+c=0的 两根.

?-1+2=-b, ? 由根与系数的关系,得? ??-1?×2=c, ? ?b=-1, ? 解得? ?c=-2. ?

故 f(x)=x3-x2-2x.

由图象可知,x1,x2 为函数 f(x)的两个极值点, 又 f′(x)=3x2-2x-2, 故 x1,x2 为 f′(x)=0,即 3x2-2x-2=0 的两根, 2 2 故 x1+x2= ,x1·2=- . x 3 3 故 2 2 16 2 2 2 ? ?2-2×?- ?= . x1+x2=(x1+x2) -2x1·2= x
?3? ? ? ? ? ?

[答案]

3?

9

D

[题后悟道]

确定零点与三次函数的各个系数之间

的关系还可以根据零点写出函数解析式 f(x)=a(x-α)(x -β)(x-γ), 然后依据代数恒等式成立的条件——对应系 数相等,找出彼此之间的关系.本题所求的问题类似于 一元二次方程根与系数关系中的相关问题,要注意式子 的灵活变形.类似的变形有(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2, 1 1 x1+x2 + = 等. x1 x2 x1x2

3.零点取值范围的确定 函数零点的取值范围,即为方程f(x)=0的根的取

值范围,主要利用零点存在性定理解决,可结合函数
的图象和性质,根据图象上的一些特殊点灵活处理(如 本节例1). 4.由零点个数确定参数的取值范围 根据函数零点的个数确定函数解析式中参数的取

值范围,主要利用数形结合的方法,根据函数的极值
与区间的端点值构造参数所满足的不等式,通过解不 等式求解其取值范围.

[典例2] 已知函数f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数g(x) =f(x)-m在x∈[-2,5]上有3个零点,则m的取值范围为 ( A.(-24,8) B.(-24,1] )

C.[1,8]
[解析] +1)· (x-3),

D.[1,8)
f′(x)=3x2-6x-9=3(x

令 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=3. 当 x∈[-2,-1)时,f′(x)> 0, 函数 f(x)单调递增;当 x∈(-1,3)时,f′(x)< 0,函数 f(x) 单调递减;当 x∈(3,5]时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增.

所以函数 f(x)的极小值为 f(3)=-24, 极大值为 f(-1)=8; 而 f(-2)=1,f(5)=8,函数图象大致如图所示.故要使 方程 g(x)=f(x)-m 在 x∈[-2,5]上有 3 个零点, 只需函数 f(x)
?m<8, ? 在[-2,5]内的函数图象与直线 y=m 有 3 个交点. ? 故 ?m≥1, ?

即 m∈[1,8).

[答案]

D

[题后悟道]

解决此类问题主要依据函数图象的特征,

利用区间端点处的函数值、函数的极值等构造关于参数 的不等式.注意函数在区间的端点值对参数取值范围的 影响.如该题中f(-2)与f(5)这两个端点值决定着方程g(x) =f(x)-m在x∈[-2,5]上的零点个数,若m=8或- 24<m<1,则该方程有2个根;若m=-24,则该方程有1 个根;当m>8或m<-24时,则该方程没有实根. 总之,解决函数零点的有关问题主要利用数形结合

的数学思想,利用导数研究函数的有关性质,主要包括
函数的单调性与极值以及函数在区间端点处的函数值, 然后画出函数图象,结合函数图象的特征判断、求解.

教师备选题(给有能力的学生加餐) 1.对于定义域为D的函数f(x),若存在区间M=[a,b] ?D(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M 为函数f(x)的“等值区间”.给出下列四个函数: ①f(x)=2x; ②f(x)=x3; ③f(x)=sin x;

④f(x)=log2x+1. 则存在“等值区间”的函数是________.

(把正确的序号都填上)

解析:问题等价于方程f(x)=x在函数的定义域内是否存

在至少两个不相等的实根,由于2x>x,故函数f(x)=2x不
存在等值区间;由于x3=x有三个不相等的实根x1=-1, x2=0,x3=1,故函数f(x)=x3存在三个等值区间[-1,0], [0,1],[-1,1];由于sin x=x只有唯一的实根x=0,结合 函数图象,可知函数f(x)=sin x不存在等值区间;由于

log2x+1=x有实根x1=1,x2=2,故函数f(x)=log2x+1
存在等值区间[1,2]. 答案:②④

2.m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4. (1)有且仅有一个零点; (2)有两个零点且均比-1大.

解:(1)若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个
零点,

则等价于Δ=4m2-4(3m+4)=0,
即m2-3m-4=0, 解得m=4或m=-1.

(2)设两零点分别为 x1,2, x1>-1,2>-1,1≠x2. x 且 x x 则 x1+x2=-2m,x1·2=3m+4, x ?Δ=4m2-4?3m+4?>0, ? 故只需??x1+1?+?x2+1?>0, ??x +1??x +1?>0 ? 1 2 ?m2-3m-4>0, ? ??-2m+2>0, ?3m+4+?-2m?+1>0 ? ?m<-1或m>4, ? ??m<1, ?m>-5. ?

故 m 的取值范围是{m|-5<m<-1}.

[知识能否忆起]

1.几种常见的函数模型 函数模型 一次函数 模型 二次函数 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 函数解析式

模型

f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

函数模型

函数解析式

指数函数 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,

模型
模型 幂函数模

b≠0)

对数函数 f(x)=blogax+c (a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)



2.三种增长型函数模型的图象与性质 函数
在(0,+∞) 上的增减性 增长速度

y=ax(a>1) 增函数
越来越快

y=logax(a>1) y=xn(n>0) 增函数
越来越慢

增函数
相对平稳 随n值变化 而不同

随x增大逐 随x增大逐渐 图象的变化 渐表现为与 表现为与 x轴 y轴 平行 平行

[小题能否全取]

1.(教材习题改编)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当
x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下 列选项中正确的是 ( )

A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 解析:由图象知,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到 小依次为g(x)>f(x)>h(x).

答案:B

2.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧 时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图 象表示为图中的 ( )

解析:由题意h=20-5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.

答案:B

3. 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本, 某企业 1 2 一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)= x 2 +2x+20(万元).一万件售价是 20 万元,为获取最大利 润,该企业一个月应生产该商品数量为 ( )

A.36万件
C.22万件

B.18万件

D.9万件 1 解析:利润 L(x)=20x-C(x)=- (x-18)2+142,当 x= 2
18 时,L(x)有最大值.

答案:B

4.一种产品的成本原为a元,在今后的m年内,计划使 成本平均每年比上一年降低p%,成本y是经过年数 x(0<x≤m)的函数,其关系式y=f(x)可写成_______.

解析:依题意有y=a(1-p%)x(0<x≤m).
答案:y=a(1-p%)x(0<x≤m)

5.有一批材料可以建成200 m的围墙, 如果用此材料在一边靠墙的地方围

成一块矩形场地,中间用同样的材
料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成的 矩形最大面积为______________.(围墙厚度不计)
200-x 解析:设矩形的长为 x m,宽为 m,则 S= 4 200-x 1 x· = (-x2+200x). x=100 时, max=2 500 m2. 当 S 4 4

答案:2 500 m2

1.解答函数应用题的一般步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量

关系,初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语 言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学 模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论;

(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义.

以上过程用框图表示如下:

2.解函数应用题常见的错误 (1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面; (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件.

一次函数与二次函数模型
[例 1] 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家

科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二 氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的 处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与 1 2 月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:y= x - 2 200x+80 000, 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产 品价值为 100 元.

该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润; 如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单 位不亏损?
[自主解答] 设该单位每月获利为 S, 则 S=100x-y
?1 =100x-?2x2-200x+80 ? ? 000? ?

1 2 =- x +300x-80 000 2 1 =- (x-300)2-35 000, 2

因为 400≤x≤600, 所以当 x=400 时,S 有最大值-40 000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元,才能不亏损.

1.在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系 是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数 大于0)或直线下降(自变量的系数小于0),对一次函数模 型,主要是利用一次函数的图象与单调性求解. 2.有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面 积问题、利润问题、产量问题等.对二次函数模型,一

般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决.
3.在解决一次函数、二次函数的应用问题时,一定 要注意定义域.

1.(2012· 抚州质检)一块形状为直角三角形的铁皮,直 角边长分别为40 cm与60 cm,现将它剪成一个矩形, 并以此三角形的直角为矩形的一个角.问怎样剪, 才能使剩下的残料最少? 解:如图,剪出的矩形为 CDEF,
设 CD=x,CF=y, 则 AF=40-y. AF FE ∵△AFE∽△ACB,∴AC=BC, 40-y x 即 = . 40 60

2 ∴y=40- x.剩下的残料面积为 3 1 2 2 S= ×60×40-x· x -40x+1 200 y= 2 3 2 = (x-30)2+600. 3 ∵0<x<60, ∴当 x=30 时,S 取得最小值为 600,这时 y=20. ∴在边长 60 cm 的直角边 CB 上截 CD=30 cm,在边长 为 40 cm 的直角边 AC 上截 CF=20 cm 时,能使所剩残 料最少.

分段函数模型

[例 2]

(2012· 孝感统考)某公司生产一种产品,每年

需投入固定成本 0.5 万元,此外每生产 100 件这样的产 品,还需增加投入 0.25 万元,经市场调查知这种产品年 需求量为 500 件,产品销售数量为 t 件时,销售所得的
? 1 2? 收入为?0.05t-20 000t ?万元. ? ?

(1)该公司这种产品的年生产量为x件,生产并销 售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x), 求f(x); (2)当该公司的年产量为多少件时,当年所获得

的利润最大?

[自主解答]

1 (1)当 0<x≤500 时, f(x)=0.05x- x2 20 000

? ? x x2 19 1 ?0.25× ?=- +0.5 - + x- , 100 20 000 400 2 ? ?

1 当 x>500 时 , f(x) = 0.05×500 - ×5002 - 20 000
? ? x 1 ?0.25× ?=12- +0.5 x, 100 400 ? ?

1 19 1 ? 2 ?-20 000x +400x-2,0<x≤500, 故 f(x)=? ?12- 1 x,x>500. 400 ?

x2 19 1 1 (2)当 0<x≤500 时,f(x)=- + x- =- 20 000 400 2 20 000 345 (x-475) + , 32
2

345 故当 x=475 时,f(x)max= . 32 1 5 344 345 当 x>500 时,f(x)=12- x<12- = < , 400 4 32 32 故当该公司的年产量为 475 件时, 当年获得的利润最大.

1.很多实际问题中变量间的关系,不能用同一个 关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数, 如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数. 2.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规

律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律
分别找出来,再将其合到一起,要注意各段变量的范围, 特别是端点值.

2.某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超 过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过 部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已 知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨). (1)求y关于x的函数; (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元,分别求出甲、

乙两户该月的用水量和水费.

解:(1)当甲的用水量不超过 4 吨时,即 5x≤4,乙的用水量也 不超过 4 吨, y=1.8(5x+3x)=14.4x; 当甲的用水量超过 4 吨,乙的用水量不超过 4 吨,即 3x≤4, 且 5x>4 时, y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8. 当乙的用水量超过 4 吨,即 3x>4 时, y=2×4×1.8+3×[(3x-4)+(5x-4)]=24x-9.6.

?14.4x,0≤x≤4, ? 5 ? 4 4 所以 y=?20.4x-4.8,5<x≤3, ? ?24x-9.6,x>4. 3 ?

(2)由于 y=f(x)在各段区间上均单调递增, 当 当 当
? ?4? 4? x∈?0,5?时,y≤f?5?<26.4; ? ? ? ? ?4 4? ?4? x∈?5,3?时,y≤f?3?<26.4; ? ? ? ? ?4 ? x∈?3,+∞?时,令 ? ?

24x-9.6=26.4,

解得 x=1.5. 所以甲户用水量为 5x=5×1.5=7.5 吨, 付费 S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元); 乙户用水量为 3x=4.5 吨, 付费 S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元).

指数函数模型

[例 3]

(2012· 广州模拟)一片森林原来面积为 a,

计划每年砍伐一些树, 且每年砍伐面积的百分比相等, 当砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生 1 态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今年 4 2 为止,森林剩余面积为原来的 . 2

(1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?

(3)今后最多还能砍伐多少年?
[自主解答]
10

(1)设每年降低的百分比为 x(0<x<1).则

1 1 10 a(1-x) = a,即(1-x) = , 2 2 解得
?1 ? 1 x=1-? ? 10 . ?2 ?

(2)设经过 m 年剩余面积为原来的
m

2 ,则 2

?1 ? m ?1 ? 1 2 m 1 ? ? 10 =? ? 2 , = ,解得 m=5. a(1-x) = a,即 2 10 2 ?2 ? ?2 ?

故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,以后砍了 n 年,
2 则 n 年后剩余面积为 a(1-x)n. 2 2 2 n 1 n 令 a(1-x) ≥ a,即(1-x) ≥ , 2 4 4
?1 ? n ?1 ? 3 n 3 ? ? 10 ≥? ? 2 , ≤ ,解得 10 2 ?2 ? ?2 ?

n≤15.

故今后最多还能砍伐 15 年.

增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模 型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间) 和幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数,x为增长率, n为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算和开方

运算,要注意用已知给定的值对应求解.

3.某电脑公司2012年的各项经营收入中,经营电脑配 件的收入为400万元,占全年经营总收入的40%.该

公司预计2014年经营总收入要达到1 690万元,且计
划从2012年到2014年,每年经营总收入的年增长率 相同,2013年预计经营总收入为________万元.

400 解析:设年增长率为 x,则有 ×(1+x)2=1 690,1+x 40% 13 400 13 = ,因此 2013 年预计经营总收入为 × =1 10 40% 10 300(万元).

答案:1 300

对函数实际应用问题的考查,更多地以社会实 际生活为背景,设问新颖、灵活;题型主要以解答 题为主,难度中等偏高,常与导数、最值交汇,主

要考查建模能力,同时考查分析问题、解决问题的
能力.

“大题规范解答——得全分”系列之(一)
函数实际应用题答题模板 [课件演示更丰富,见配套光盘]
[典例] (2011 山东高考· 满分 12 分)
超链接

某企业拟建造如图所示的容器(不计厚 度,长度单位:米),其中容器的中间 为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器 80π 的容积为 立方米, l≥2r.假设该容器的建造费用仅 且 3 与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费

用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千

元.设该容器的建造费用为y千元.
(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r.

[教你快速规范审题]

1.审条件,挖解题信息
观察 中间为圆柱形,左右两端均为半球形的容器, ―→ 条件 球的半径为r,圆柱的母线为l,以及容器的体积
3 80π 可根据体积公式 4πr 利用表面积公式 2 ――――――→ +πr l= ―――――――――→ 3 3 求球及圆柱的表面积 建立关系式

S球=4πr2, S圆柱=2πrl

2.审结论,明解题方向
观察所求 求y关于r的函数表达式, ―→ 结论 并求该函数的定义域
球形部分的造价为4πr2c, 求总造价y,应求出球形部分 ―――――――――――――→ 及圆柱形部分各自的造价 圆柱型部分的造价为2πrl×3

3.建联系,找解题突破口
总造价y=球形部分的造价+圆柱型部分的造价, 应消掉l ―――→ 即y=4πr2c+2πrl×3 只保留r

4πr3 80π 80 4r 故可得 2 由 +πr l= ,解得l= 2- ―――→ 3 3 3r 3 建造费用

160π 由l≥2r可求r的范围 y= r -8πr2+4πcr2 ―――――――――→ 0<r ≤2 即定义域 ―→ 问题得以解决

1.审条件,挖解题信息
160π 观察条件 ―→ 建造费用y= -8πr2+4πcr2,定义域为?0,2] r

2.审结论,明解题方向
观察所求结论 ―→ 求该容器的建造费用最小时的r

建造费用最小,即y最小 ―――――――――――→ 当r为何值时,y取得最小值 问题转化为

3.建联系,找解题突破口
可利用导数 分析函数特点:含分式函数 ――――――――→ 研究函数的最值

8π[?c-2?r3-20] 160π y′=- 2 -16πr+8πcr= ,0<r≤2 r r2

求导数为零的点 ―――――――――→ 当r= 3 20 时,y′=0 ????????? ? c-2
讨论
3

20 与区间(0, 的关系, 2] c? 2 求极值



3

20 ≥2和0< c-2

3

20 <2两种情况讨论,并求得结论 c-2

[教你准确规范解题]
4πr3 (1)设容器的体积为V,由题意,知V= +πr2l, 3 80π 4πr3 80π 80 4r 又V= ,所以 +πr2l= ,解得l= 2- , ?(2分) 3 3 3 3r 3 由于l≥2r,因此0<r ≤2. ?(3分)

? 80 4r? 160π 8πr2 所以圆柱的侧面积为2πrl=2πr?3r2- 3 ?= - ,两端两 3r 3 ? ?

个半球的表面积之和为4πr2, 160π 所以建造费用y= r -8πr2+4πcr2,定义域为(0,2].?(5分)

160π (2) 由 (1) , 得 y′ = - 2 - 16πr + 8πcr = r 8π[?c-2?r3-20] ,0<r≤2. r2 由于 c>3,所以 c-2>0, 3 20 3 20 20 当 r3- =0 时,r= .令 =m,则 c-2 c-2 c-2 m>0. 8π?c-2? 所以 y′= (r-m)(r2+rm+m2). r2 ?(8 分) ?(6 分)

9 ①当 0<m<2,即 c> 时, 2 当 r=m 时,y′=0; 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2)时,y′>0, 所以 r=m 是函数 y 的极小值点, 也是最小值点. ?(10 分)

9 ②当 m≥2,即 3<c≤ 时, 2 当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点.?(11 分) 9 9 综上, 3<c≤ 时, 当 建造费用最小时 r=2; c> 时, 当 2 2 建造费最小时 r= 3 20 .?(12 分) c-2

[常见失分探因]
易忽视条件l≥2r,从而误认为r>0,导致定义域错 误.

易忽视导数为零的点与定义域的关系,即忽视对c
的取值的讨论而造成解题错误. 易忽视将问题“返本还原”,即没将函数的最小 值还原为建造费用最小而草率收兵.

————————[教你一个万能模板]———————— 第 认真分析题目所 一 给的有关材料, 步 弄清题意,理顺 问题中的条件和 审 结论,找到关键 ―→ 第 二 步 建立 文字

可先用文字
语言描述问 题中所涉及

的关键量之
间的数量关 系,这是解

―→

清 量,进而明确其
题 中的数量关系(等 意 量或大小关系)

数量

关系 决问题的一 式 把钥匙

第 将文字语言所表达 三 的数量关系转化为 步 数学语言,建立相 应的数学模型(一般 转 要列出函数式、三 ―→ 化 角式、不等式、数 为 数 列、概率以及利用 学 几何图形等进行分 模 析),转化为一个数 型 学问题

第 四 步 解 决 数 学 问 题

利用所学数学知识 解决转化后的数学 问题(常利用导数、

基本不等式解决,
本题是利用导数解 决的函数最值),得

―→

到相应的数学结论

第 五 用问题的数学结论 步 ,还原为实际问题

把所得到的关于应

第 六 步

查看关键点,易错

点,如本题函数关
系式的求解是否正 ―→ 确;定义域是否正 确;导数的求解及 分类是否准确等

本身所具有的意义 返 本 (如本题应还原建 还 造费用最小时r的 原 值)

―→
反 思 回 顾

教师备选题(给有能力的学生加餐) (2012· 浙江金华阶段性检测)某民营企业生产A,B两种产 品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,

其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,
其关系如图2(注:利润与投资单位:万元).

(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资x(万元)的函数
关系式; (2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产

品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得
最大利润,其最大利润为多少万元.

解:(1)当投资为 x 万元,设 A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元, 由题意可设 f(x)=k1x,g(x)=k2 x. 1 1 5 5 由图知 f(1)= ,故 k1= .又 g(4)= ,故 k2= . 4 4 2 4 1 5 从而 f(x)= x(x≥0),g(x)= x(x≥0). 4 4

(2)设 A 产品投入 x 万元, 则 B 产品投入(10-x)万元, 设企业利润为 y 万元. 1 5 y=f(x)+g(10-x)= x+ 10-x(0≤x≤10). 4 4 令 t= 10-x,则 10-t2 5 1? 5?2 65 y= + t=- ?t-2? + (0≤t≤ 10). ? 4 4 4? 16 ? ? 5 65 当 t= 时,ymax= ,此时 x=3.75,10-x=6.25. 2 16 即当 A 产品投入 3.75 万元, 产品投入 6.25 万元时, B 企业获 65 得最大利润为 万元. 16

[知识能否忆起]

一、导数的概念

(1)定义:
称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 Δy f?x0+Δx?-f?x0? = lim Δx 为函数y=f(x)在x= lim Δx→0 Δx Δx→0

Δy x0 处的导数, 记作 f′(x0)或 y′| x ? x , f′(x0)=lim 即 0 Δx→0 Δx = lim f?x0+Δx?-f?x0? Δx Δx→0 .

(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y

=f(x)上点 (x0,f(x0)) 处的 切线的斜率 (瞬时速度就是位
移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为 y-f(x0) =f′(x0)(x-x0) . 2.函数f(x)的导函数 f?x+Δx?-f?x? 称函数f′(x)= Δx→0 为f(x)的导函数. lim Δx

二、基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax 导函数 f ′(x)= 0 f′(x)= nxn-1 f′(x)= cos x f′(x)= -sin x f′(x)= axln a x f′(x)= e

f(x)=ex f(x)=logax
f(x)=ln x

f′(x)=

1 xln a

1 f′(x)= x

三、导数的运算法则
1.[f(x)±g(x)]′= 2.[f(x)· g(x)]′= f′(x)±g′(x) ; f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ;
(g(x)≠0).

? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? 3.? ′= ?g?x?? ? ? [g?x?]2

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)若f(x)=xex,则f′(1)= ( )

A.0
C.2e

B.e
D.e2

解析: ∵f′(x)=ex+xex,∴f′(1)=2e.

答案:C

2.曲线y=xln x在点(e,e)处的切线与直线x+ay=1垂 直,则实数a的值为
A.2 1 C. 2 B.-2 1 D.- 2

(

)

解析:依题意得 y′=1+ln x,y′ |x=e=1+ln e=2,所 1 以-a×2=-1,a=2.

答案:A

1 2 3.(教材习题改编)某质点的位移函数是 s(t)=2t - gt (g= 2
3

10 m/s2),则当 t=2 s 时,它的加速度是

(

)

A.14 m/s2 C.10 m/s2

B.4 m/s2 D.-4 m/s2

解析:由v(t)=s′(t)=6t2-gt,a(t)=v′(t)=12t-g,得
t=2时,a(2)=v′(2)=12×2-10=14(m/s2). 答案:A

4.(2012· 广东高考)曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切线 方程为________.
解析:∵y′=3x2-1,∴y′ |x=1=3×12-1=2. ∴该切线方程为 y-3=2(x-1),即 2x-y+1=0.

答案:2x-y+1=0

5.函数y=xcos x-sin x的导数为________. 解析:y′=(xcos x)′-(sin x)′

=x′cos x+x(cos x)′-cos x
=cos x-xsin x-cos x =-xsin x. 答案:-xsin x

1.函数求导的原则 对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本 原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特 别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首 先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.

2.曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0, y0)的切线”的区别与联系

(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,
切线斜率为k=f′(x0)的切线,是唯一的一条切线. (2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P 点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线 可能有多条.

利用导数的定义求函数的导数

[例1] 用定义法求下列函数的导数.
4 (1)y=x2; (2)y= 2. x

[自主解答]

Δy f?x+Δx?-f?x? (1)因为 = Δx Δx

?x+Δx?2-x2 = Δx x2+2x·Δx+?Δx?2-x2 = =2x+Δx, Δx Δy 所以 y′=lim =lim (2x+Δx)=2x. → 0 Δx Δx Δx→ 0 4Δx?2x+Δx? 4 4 (2)因为 Δy= 2- 2=- 2 2 , x ?x+Δx? x ?x+Δx?

2x+Δx Δy =-4·2 2, Δx x ?x+Δx?
? 2x+Δx ? Δy 8 ? ? 所以lim =lim -4·2 2? =- 3. Δx Δx→ 0 ? x x ?x+Δx? ? Δx→ 0 ?

根据导数的定义,求函数y=f(x)在x=x0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
Δy f?x0+Δx?-f?x0? (2)求平均变化率 = ; Δx Δx Δy (3)计算导数 f′(x0)=lim Δx→0 Δx.

1.一质点运动的方程为s=8-3t2. (1)求质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度;

(2)求质点在t=1时的瞬时速度(用定义及导数公式两
种方法求解).
解:(1)∵s=8-3t2, ∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2, Δs v = =-6-3Δt. Δt

(2)法一(定义法):质点在 t=1 时的瞬时速度 Δs v=lim =lim (-6-3Δt)=-6. Δt→0 Δt Δt→0

法二(导数公式法):质点在t时刻的瞬时速度 v=s′(t)=(8-3t2)′=-6t.

当t=1时,v=-6×1=-6.

导数的运算

[例2]

求下列函数的导数.

ex+1 (1)y=x2sin x; (2)y= x ; e -1 [自主解答] (1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x

+x2cos x.
?ex+1?′?ex-1?-?ex+1??ex-1?′ (2)y′= ?ex-1?2 ex?ex-1?-?ex+1?ex -2ex = = x . ?ex-1?2 ?e -1?2

求导时应注意:
(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行 化简可减少运算量. (2)对于商式的函数若在求导之前变形,则可以避 免使用商的导数法则,减少失误.

2.求下列函数的导数. (1)y=ex· ln
? 1 1? 2 x; (2)y=x?x + + 3?; x x? ?

解:(1)y′=(ex· x)′ ln 1? 1 x? =e ln x+e ·=e ?ln x+x?. x ? ? 1 2 3 2 (2)∵y=x +1+ 2,∴y′=3x - 3. x x
x x

(3)(理)设 u=3-x,则 y= 3-x由 y=u 与 u=3-x 复合而成. 故 y′=f′(u)· u′(x)=(u )′(3-x)′ 1 ?1 1 ?1 = u 2 (-1)=- u 2 2 2 3-x 1 =- = . 2 3-x 2x-6
1 2

1 2

导数的几何意义

[例3]

(1)(2011· 山东高考)曲线y=x3+11在点P(1, ( )

12)处的切线与y轴交点的纵坐标是

A.-9

B.-3

C.9 D.15 (2)设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))
处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 处切线的斜率为( 1 A.- 4 ) B.2 C.4 1 D.- 2

[自主解答]

(1)y′=3x2,故曲线在点 P(1,12)处的

切线斜率是 3,故切线方程是 y-12=3(x-1),令 x=0 得 y=9. (2)∵曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y= 2x+1,∴g′(1)=k=2. 又 f′(x)=g′(x)+2x, ∴f′(1)=g′(1)+2=4,故切线的斜率为 4.

[答案] (1)C

(2)C

若例3(1)变为:曲线y=x3+11,求过点P(0,13)且与 曲线相切的直线方程. 解:因点 P 不在曲线上,设切点的坐标为(x0,y0), 由 y=x3+11,得 y′=3x2, 2 ∴k=y′|x=x0=3x0. 3 y0-13 x0+11-13 又∵k= ,∴ =3x2. 0 x0 x0-0
∴x3=-1,即 x0=-1. 0 ∴k=3,y0=10. ∴所求切线方程为 y-10=3(x+1), 即 3x-y+13=0.

导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要 体现在以下几个方面: (1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导

数值:k=f′(x0);
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1) =k;
(3)已知切线过某点 M(x1,f(x1))(不是切点)求切点, f?x1?-f?x0? 设出切点 A(x0, 0)), f(x 利用 k= =f′(x0)求解. x1-x0

3.(1)(2012· 新课标全国卷)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1) 处的切线方程为________.
1 (2)(2013· 乌鲁木齐诊断性测验)直线 y= x+b 与曲线 2 1 y=- x+ln x 相切,则 b 的值为 2
A.-2 1 C.- 2 B.-1 D.1

(

)

解析:(1)y′=3ln x+1+3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜 率为4,所以切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3. ? ? 1 (2)设切点的坐标为?a,-2a+ln a?,依题意,对于曲线 y ? ?
1 1 1 1 1 1 =- x+ln x,有 y′=- +x,所以- +a= ,得 a= 2 2 2 2
? 1? 1.又切点?1,-2? ? ?

1 1 1 在直线 y= x+b 上,故- = +b,得 2 2 2

b=-1.

答案:(1)y=4x-3 (2)B

[典例]
3

(2012· 杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与
2

15 曲线 y=x 和 y=ax + x-9 都相切,则 a 等于( 4 25 21 A.-1 或- B.-1 或 64 4

)

7 25 C.- 或- 4 64

7 D.- 或 7 4

[尝试解题]

设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,x3), 0

2 所以切线方程为 y-x3=3x0(x-x0), y=3x2x-2x3, 即 0 0 0 又(1,0)

3 在切线上,则 x0=0 或 x0= , 2
15 当 x0=0 时, y=0 与 y=ax + x-9 相切可得 a=- 由 4
2

25 , 64
3 27 27 15 2 当 x0= 时,由 y= x- 与 y=ax + x-9 相切可得 2 4 4 4 a=-1.

[答案]

A

1.在解答本题时有两个易误点: (1)审题不仔细,未对点(1,0)的位置进行判断,误认为 (1,0)是切点;

(2)当所给点不是切点时,无法与导数的几何意义联系.
2.解决与导数的几何意义有关的问题时,应注意: (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键; (2)基本初等函数的导数、(理)复合函数的导数和导数的 运算法则要熟练掌握.

?针对训练

1.(2013· 广州模拟)已知曲线C:f(x)=x3-ax+a,若过

曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线,它们的倾
斜角互补,则a的值为
27 A. 8 C.2 B.-2 27 D.- 8

(

)

解析:设切点坐标为(t,t3-at+a).由题意知,f′(x) =3x2-a, 切线的斜率为 k=y′|x=t=3t2-a.① 所以切线方程为 y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t).② 将点(1,0)代入②式得-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t),解 3 得 t=0 或 t= . 2 3 27 分别将 t=0 和 t= 代入①式, k=-a 和 k= -a, 得 2 4 27 由题意得它们互为相反数,得 a= . 8 答案:A

2.已知曲线y=3x-x3及点P(2,2),则过点P的切线条数 为________. 解析:∴设 A(x0,y0)为切点,
2 x=x0=3-3x0 . ∵y′=3-3x ,∴y′ 2
? ? ?

∵kAP=y′|x=x0, 3x0-x3-2 0 2 ∴ =3-3x2,即 x3-3x0+2=0, 0 0 x0-2 解得 x0=1 或 x0=1± 3. 故切线有 3 条.

答案:3

教师备选题(给有能力的学生加餐) b 设函数 f(x)=ax-x,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切
线方程为 7x-4y-12=0.

(1)求f(x)的解析式; (2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直

线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定
值,并求此定值.

7 解:(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3,当 x=2 时,y 4 b 1 ? ?2a-2=2, 1 b = .又 f′(x)=a+ 2,则? 2 x ?a+b=7, ? 4 4
?a=1, ? 解得? ?b=3. ?

3 故 f(x)=x-x. 3 (2)证明:设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知曲 x

线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 即
? 3? ? 3? y-?x0-x ?=?1+x2?(x-x0). ? ? 0? 0?

? 3? y-y0=?1+x2?· (x-x0), ? 0?

6 令 x=0 得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标 x0
? 6? 为?0,-x ?. ? 0?

令 y=x 得 y=x=2x0, 从而得切线与直线 y=x 的交点坐标 为(2x0,2x0). 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三 1? 6 ? 角形面积为 ?-x ?|2x0|=6. 2? 0 ? 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围 成的三角形的面积为定值,此定值为 6.

[知识能否忆起] 1.函数的单调性 在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内

都不恒等于0.
f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为 f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为 增函数 . 减函数 .

2.函数的极值
(1)函数的极小值: 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近 其它点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左 侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0 ,则点a叫做函数y=f(x)的

极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

(2)函数的极大值: 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的 其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左

侧 f′(x)>0 ,右侧 f′(x)<0 ,则点b叫做函数y=f(x)的极
大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统 称为极值.

3.函数的最值

(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最
大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最 f(b) 小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调 递减,则 f(a) 为函数的最大值, f(b) 为函数的最小值.

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时 取得极值,则a等于 ( )

A.2
C.4

B.3
D.5

解析: ∵f′(x)=3x2+2ax+3,f′(-3)=0, ∴a=5.

答案:D

1 2 2.(2012· 辽宁高考)函数 y= x -ln x 的单调递减区间为 2 ( )

A.(-1,1] C.[1,+∞)

B.(0,1] D.(0,+∞)

1 2 解析:函数 y= x -ln x 的定义域为(0,+∞), 2 1 ?x-1??x+1? y′=x-x= ,令 y′≤0,则可得 0<x≤1. x

答案:B

3.(2012· 陕西高考)设函数f(x)=xex,则
A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点

(

)

解析:求导得f′(x)=ex+xex=ex(x+1),令f′(x)=ex(x
+1)=0,解得x=-1,易知x=-1是函数f(x)的极小 值点. 答案:D

x3 2 4.函数 f(x)= +x -3x-4 在[0,2]上的最小值是 3 ________.

解析:f′(x)=x2+2x-3,f′(x)=0,x∈[0,2], 17 得 x=1.比较 f(0)=-4,f(1)=- , 3 10 17 f(2)=- .可知最小值为- . 3 3
17 答案:- 3

5.已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函

数,则a的最大值是________.
解析:f′(x)=3x2-a在x∈[1,+∞)上f′(x)≥0, 则f′(1)≥0?a≤3. 答案:3

1.f′(x)>0与f(x)为增函数的关系:f′(x)>0能推出f(x)
为增函数,但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞,+ ∞)上单调递增,但f′(x)≥0,所以f′(x)>0是f(x)为增函数 的充分不必要条件.

2.可导函数的极值点必须是导数为0的点,但导数为
0的点不一定是极值点,即f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0 处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处 有y′|x=0=0,但x=0不是极值点.此外,函数不可导的点 也可能是函数的极值点. 3.可导函数的极值表示函数在一点附近的情况,是 在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区

间上的情况,是对函数在整个区间上的函数值的比较.

运用导数解决函数的单调性问题

[例 1]

ln x+k (2012· 山东高考改编)已知函数 f(x)= ex

(k 为常数, e=2.718 28?是自然对数的底数), 曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行.

(1)求k的值; (2)求f(x)的单调区间.

[自主解答]

ln x+k (1)由 f(x)= , ex

1-kx-xln x 得 f′(x)= ,x∈(0,+∞), x xe 由于曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与 x 轴平行,所以 f′(1)=0,因此 k=1.

1 (2)由(1)得 f′(x)= x(1-x-xln x),x∈(0,+∞), xe 令 h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,h(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0. 又 ex>0,所以 x∈(0,1)时,f′(x)>0; x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为 (1,+∞).

求可导函数单调区间的一般步骤和方法

(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求f′(x),令f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实 数根; (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标 和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用

这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;
(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符 号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.

1.已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然

对数的底数).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数,若

存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex, ∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex. 令 f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0, ∵ex>0,∴-x2+2>0,解得- 2<x< 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(- 2, 2).

(2)若函数f(x)在R上单调递减,
则f′(x)≤0对x∈R都成立, 即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0对x∈R都成立. ∵ex>0,∴x2-(a-2)x-a≥0对x∈R都成立. ∴Δ=(a-2)2+4a≤0,即a2+4≤0,这是不可能的.

故不存在a使函数f(x)在R上单调递减.

运用导数解决函数的极值问题

[例2]

(2012· 江苏高考)若函数y=f(x)在x=x0处取

得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已 知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个 极值点. (1)求a和b的值;

(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极
值点.

[自主解答]

(1)由题设知f′(x)=3x2+2ax+b,且

f′(-1)=3-2a+b=0, f′(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.

(2)由(1)知f(x)=x3-3x.因为f(x)+2=(x-1)2(x+2),
所以g′(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,于是函数g(x) 的极值点只可能是1或-2.

当x<-2时,g′(x)<0;当-2<x<1时,g′(x)>0,
故-2是g(x)的极值点. 当-2<x<1或x>1时,g′(x)>0,故1不是g(x)的 极值点. 所以g(x)的极值点为-2.

求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域;

(2)求方程f′(x)=0的根;
(3)用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成 若干个小开区间,并形成表格; (4)由f′(x)=0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这 个根处取极值的情况.

2.设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x),若函数 y 1 =f′(x)的图象关于直线 x=- 对称,且 f′(1)=0. 2 (1)求实数a,b的值;

(2)求函数f(x)的极值.

解:(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1, 故f′(x)=6x2+2ax+b,
? a?2 a2 从而f′(x)=6?x+6? +b- , 6 ? ?

a 即y=f′(x)关于直线x=- 对称. 6 a 1 从而由题设条件知- =- ,即a=3. 6 2 又由于f′(1)=0,即6+2a+b=0, 得b=-12.

(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1, 所以f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2), 令f′(x)=0, 即6(x-1)(x+2)=0, 解得x=-2或x=1, 当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 即f(x)在(-∞,-2)上单调递增; 当x∈(-2,1)时,f′(x)<0, 即f(x)在(-2,1)上单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 即f(x)在(1,+∞)上单调递增. 从而函数f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=21, 在x=1处取得极小值f(1)=-6.

运用导数解决函数的最值问题

[例3]

已知函数f(x)=(x-k)ex.

(1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. [自主解答] (1)f′(x)=(x-k+1)ex. 令f′(x)=0,得x=k-1.

f(x)与f′(x)的情况如下:
x f′(x) f(x) (-∞,k-1) - ↘ k-1 0 -ek-1 (k-1,+∞) + ↗??

所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区

间是(k-1,+∞).
(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增, 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k; 当0<k-1<1,即1<k<2时, 由(1)知f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调

递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;
当k-1≥1时,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减, 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.

本题条件不变,求f(x)在区间[0,1]上的最大值.
解:当 k-1≤0,即 k≤1 时,函数 f(x)在[0,1]上单 调递增. 所以 f(x)在[0,1]上的最大值为 f(1)=(1-k)e. 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时, 由(1)知 f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上 单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最大值为 f(0)和 f(1) e 较大者.若 f(0)=f(1),所以-k=(1-k)e,即 k= . e-1

e 当 1<k< 时函数 f(x)的最大值为 f(1)=(1-k)e,当 e-1 e ≤k<2 时,函数 f(x)的最大值为 f(0)=-k, e-1 当 k-1≥1 时, k≥2 时, 即 函数 f(x)在[0,1]上单调递减. 所以 f(x)在[0,1]上的最大值为 f(0)=-k. e 综上所述,当 k< 时,f(x)的最大值为 f(1)=(1-k)e. e-1 e 当 k≥ 时,f(x)的最大值为 f(0)=-k. e-1

求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值;

(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);
(3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大 的一个为最大值,最小的一个为最小值.

3. (2012· 重庆高考)已知函数f(x)=ax3+bx+c在点x

=2处取得极值c-16.
(1)求a,b的值; (2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.
解:(1)因 f(x)=ax3+bx+c,故 f′(x)=3ax2+b, 由于 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16,
?f′?2?=0, ? 故有? ?f?2?=c-16, ?

?12a+b=0, ? 即? ?8a+2b+c=c-16, ?

?12a+b=0, ? 化简得? ?4a+b=-8, ?

解得 a=1,b=-12.

(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c; f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2. 当x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上为 增函数;

当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,故f(x)在(-2,2)上为减函数;

当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上为增函

数.
由此可知f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x) 在x1=2处取得极小值f(2)=c-16. 由题设条件知16+c=28,得c=12. 此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,

f(2)=-16+c=-4,
因此f(x)在[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.

导数是解决函数问题的重要工具,利用导数解决
函数的单调性问题、求函数极值、最值及解决生活中 的最优化问题,是高考考查的热点,在解答题中每年 必考,常与不等式、方程结合考查,试题难度较大, 因此对该部分知识要加大训练强度,提高解题能力.

“大题规范解答——得全分”系列之(二) 导数的应用问题答题模板
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[课件演示更丰富,见配套光盘] [典例] (2012北京高考· 满分13分)已知函数f(x)=

ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c) 处具有公共切线,求a,b的值; (2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并 求其在区间(-∞,-1]上的最大值.

[教你快速规范审题]

1.审条件,挖解题信息
观察 曲线y=f?x?与曲线y=g?x?在它们的交点 ―→ 条件 ?1,c?处有公共切线
? 两曲线在x=1处的纵坐标 ?f?1?=g?1?, ――――――――――――→ ? ?f′?1?=g′?1? 及导数相同 ?

2.审结论,明解题方向
需要建立 观察所求结论 ―→ 求a,b的值 ―――――――――→ 关于a,b的方程组
?f?1?=g?1?, ? 将? ?f′?1?=g′?1? ?

用a,b表示即可

3.建联系,找解题突破口
?f?1?=g?1?, ? 解方程组? ?f′?1?=g′?1? ?

先求f′?x?和g′?x? ―――――――→

? f′?x?=2ax, 将x=1代入 ?a+1=b+1, ―――――→ ? ?a=b=3 2 ?2a=3+b, g′?x?=3x +b ?

1.审条件,挖解题信息
可消掉一个参数,使f?x?与g?x?含有同一个参数 观察条件 ―→ a =4b ――――――――――――――――――――――→
2

1 2 f?x?=ax +1?a>0?,g?x?=x + a x 4
2 3

2.审结论,明解题方向
观察所求结论 ―→ 求函数f?x?+g?x?的单调区间及其在区间?-∞,-1]上的最大值

f?x?+g?x?含x3 ――――――→ 应利用导数解决 及参数a

3.建联系,找解题突破口

问题转化为求函数h?x?=f?x?+g?x? 由h′?x?>0和h′?x?<0 ――――――――――→ 1 2 确定单调区间 3+ax2+ =x a x+1的导数

4

a? ? a ? ? 单调递增区间为? ?? , ? ? 和 ? ? , ?? ? , 2? ? 6 ? ? ? a a? 单调递减区间为? ? , ? ? ? 2 6?

??????????

a a 讨论? 及 ? 2 6 与区间(-?,-1]的关系,求最值

a a2 ①当-1 ? - ,即0 ? a ? 2时,h( x )max=h(-1)=a- , 2 4 a a ? a? ②当- ? -1 ? - ,即2 ? a ? 6时,h( x )max=h ? ? ?=1, 2 6 ? 2? a ? a? ③当-1 ? - ,即6 ? a时,h( x )max=h ? ? ?=1 6 ? 2?

[教你准确规范解题]
(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b, 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具 有公切线,
?f?1?=g?1?, ? 所以? ?f′?1?=g′?1?. ? ?a+1=b+1, ? 即? ?2a=3+b, ?

?(2 分)

解得 a=b=3.

?(3 分)

(2)设 h(x)=f(x)+g(x), 1 2 ∵a =4b,∴h(x)=f(x)+g(x)=x +ax + a x+1. 4
2 3 2

1 2 则 h′(x)=3x +2ax+ a ,令 h′(x)=0, 4
2

a a 解得 x1=- ,x2=- . 2 6 由 a>0,得 h(x)与 h′(x)的变化情况如下:

?(5 分)

x h′(x) h(x)

? a? ?-∞,- ? 2? ?

a - 2

? a a? ?- ,- ? 6? ? 2

a - 6

? a ? ?- ,+∞? ? 6 ?

+ ?

0

- ?

0

+ ?


∴ 函 数 h(x) 的 单 调 递 增 区 间 为
? a ? ? a a? ?- ,+∞?,单调递减区间为?- ,- ?. 6? ? 6 ? ? 2

? a? ?-∞,- ? 2? ?

?(7 分)

a ①当-1≤- ,即 0<a≤2 时,函数 h(x)在区间(-∞, 2 -1]上单调递增, h(x)在区间(-∞, -1]上的最大值为 h(- a2 1)=a- ; 4 ?(8 分)

a a ②当- <-1<- ,即 2<a<6 时,函数 h(x)在区间 2 6
? ? a ? a? ?-∞,- ?上单调递增,在区间?- ,-1?上单调递减, 2? ? ? 2 ?

在区间(-∞,-1]上的最大值为

? a? h?-2?=1; ? ?

?(10 分)

? a? a ③当-1≥- , a≥6 时, 即 函数 h(x)在区间?-∞,-2? 6 ? ? ? a a? 上 单 调 递 增 , 在 区 间 ?-2,-6? 上 单 调 递 减 , 在 区 间 ? ? ? a ? ?- ,-1?上单调递增, ? 6 ? ? a? 1 1 ?- ?-h(-1)=1-a+ a2= (a-2)2>0, 又因为 h 2 4 4 ? ? ? a? 所以 h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为 h ?-2? = ? ? 1.? (12分) a2 综上所述:当 a∈(0,2]时,最大值为 h(-1)=a- ;当 4 ? a? a∈(2,+∞)时,最大值为 h?-2?=1. ?(13 分) ? ?

[常见失分探因] 易忽视条件“在它们的交点?1,c处具有公切线”的 双重性而造成条件缺失,不能列出关于a,b的方程组, 从而使题目无法求解.
a? ? a ? ? 易将单调递增区间写成并集 “? ??, ? ? ? ? ? , ?? ? 或 2? ? 6 ? ? a? ? a ? ? “? ??, ? ? 或 ? ? , ?? ? 而导致错误 2? ? 6 ? ?

易忽视对a的分类讨论或分类不准确造成解题错误.

————————[教你一个万能模板]———————— 第一步: 求函数f(x) 的导数f′(x)) 第二步: 给定区间上 的单调区间 第三步: 给定区间上 的极值

―→ 求函数f(x)在 ―→ 求函数f(x)在

第四步: 求函数f(x)

第六步: 第五步: ―→ 比较函数f(x) 反思回顾,查看 关键点,易错点

在给定区
间上的端 点值

的各极值与端 ―→ 和解题规范.如本
点值的大小, 确定函数f(x) 的最大值和最 小值 题的关键点是确

定函数f(x)的单调
区间;易错点是 忽视对参数a的讨 论

教师备选题(给有能力的学生加餐) 1.(2012· 重庆高考)设函数f(x)在R上可导,其导函数为

f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列
结论中一定成立的是 ( )

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)

解析:由图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2<x<1时,
f′(x)<0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0. 由此可以得到函数在x=-2处取得极大值,在x=2处取得 极小值. 答案:D

1 2.(2012· 山西联考)已知函数f(x)=(2-a)ln x+x+ 2ax(a∈R).
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)求f(x)的单调区间.
1 解:(1)∵当a=0时,f(x)=2ln x+x, 2 1 2x-1 f′(x)=x- 2= 2 (x>0), x x ? ?1 ? 1? ∴f(x)在?0,2?上是减函数,在?2,+∞?上是增函数. ? ? ? ? ?1? ∴f(x)的极小值为f?2?=2-2ln 2,无极大值. ? ?

2-a 1 ?2x-1??ax+1? (2)f′(x)= x - 2+2a= (x>0). 2 x x ? ?1 ? 1? ①当a>0时,f(x)在 ?0,2? 上是减函数,在 ?2,+∞? 上是 ? ? ? ? 增函数; ? ? 1 ? 1? ②当-2<a<0时,f(x)在 ?0,2? 和 ?-a,+∞? 上是减函 ? ? ? ? ?1 1? 数,在?2,-a?上是增函数; ? ? ③当a=-2时,f(x)在(0,+∞)上是减函数; ?1 ? ? 1? ④当a<-2时,f(x)在 ?2,+∞? 和 ?0,-a? 上是减函数, ? ? ? ? ? 1 1? 在?-a,2?上是增函数. ? ?

[例1] 已知函数f(x)=x2ln x-a(x2-1),a∈R. (1)当a=-1时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若当x≥1时,f(x)≥0成立,求a的取值范围.

[自主解答]

(1)当a=-1时,f(x)=x2ln x+x2-1,

f′(x)=2xln x+3x. 则曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=3, 又f(1)=0,所以切线方程为3x-y-3=0.
(2)f′(x)=2xln x+(1-2a)x=x(2ln x+1-2a),其 中x≥1. 1 当a≤ 时,因为x≥1,所以f′(x)≥0,所以函数 2 f(x)在[1,+∞)上单调递增,故f(x)≥f(1)=0.

1 a? 1 当a> 时,令f′(x)=0,得x=e 2 2

若x∈[1,e e
a? 1 2

a?

1 2

),则f′(x)<0,所以函数f(x)在[1,
a? 1 2

)上单调递减.所以当x∈[1,e

)时,f(x)≤f(1)=

0,不符合题意.
? 1? 综上a的取值范围是?-∞,2?. ? ?

利用导数解决参数问题主要涉及以下方面:

(1)已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值
范围:一般先分离参数,再转化为求函数在给定区间上的 最值问题求解. (2)已知函数的单调性求参数的取值范围:转化为 f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题. (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围:利用函 数的单调性、极值画出函数的大致图象,数形结合求解.

1 2 x 1.设函数f(x)= x +e -xex. 2 (1)求f(x)的单调区间;

(2)若当x∈[-2,2]时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m的
取值范围. 解:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),
∵f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex), 若x=0,则f′(x)=0; 若x<0,则1-ex>0,所以f′(x)<0;

若x>0,则1-ex<0,所以f′(x)<0.

∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,
即f(x)的单调减区间为(-∞,+∞). (2)由(1)知,f(x)在[-2,2]上单调递减. 故[f(x)]min=f(2)=2-e2, 所以m<2-e2时,不等式f(x)>m恒成立. 故m的取值范围为(-∞,2-e2).

利用导数证明不等式问题
[例2] ln x 已知f(x)=ax-ln x,x∈(0,e],g(x)= x ,

其中e是自然常数,a∈R. (1)讨论a=1时,函数f(x)的单调性和极值; 1 (2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+ . 2 1 x-1 [自主解答] (1)∵f(x)=x-ln x,f′(x)=1-x= x ,

∴当0<x<1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减; 当1<x<e时,f′(x) >0,此时f(x)单调递增. ∴f(x)的极小值为f(1)=1.

1-ln x (2)证明:由(1)知[f(x)]min=1.又g′(x)= , x2 ∴当0<x<e时,g′(x)>0,g(x)在(0,e]上单调递增. 1 1 ∴[g(x)]max=g(e)= < . e 2 1 ∴[f(x)]min-[g(x)]max> . 2 1 ∴在(1)的条件下,f(x)>g(x)+ . 2

在本例条件下,是否存在正实数a,使f(x)的最小

值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
解:假设存在正实数a,使f(x)=ax-ln x(x∈(0, 1 ax-1 e])有最小值3.因为f′(x)=a-x= x ,
? ?1 ? 1? 1 当0< a <e时,f(x)在 ?0,a? 上单调递减,在 ?a,e? 上 ? ? ? ?

单调递增,

?1? 所以[f(x)]min=f?a?=1+ln ? ?

a=3,a=e2,满足条件;

1 当a≥e时,f(x)在(0,e]上单调递减, [f(x)]min=f(e)=ae-1=3, 4 a= (舍去),所以,此时a不存在. e 综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时f(x)有最 小值3.

利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒 成立的基本方法是构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根 据函数的单调性,确定函数的最值证明h(x)>0.

2.已知f(x)=xln x. f?x?+k (1)求g(x)= x (k∈R)的单调区间; (2)证明:当x≥1时,2x-e≤f(x)恒成立. k 解:(1)g(x)=ln x+x,
x-k ∴令g′(x)= 2 =0得x=k. x ∵x>0,∴当k≤0时,g′(x)>0. ∴函数g(x)的增区间为(0,+∞),无减区间;

当 k>0 时 g′(x)>0 得 x>k;g′(x)<0 得 0<x<k, ∴增区间为(k,+∞),减区间为(0,k).

(2)证明:设h(x)=xln x-2x+e(x≥1),
令h′(x)=ln x-1=0得x=e, h(x),h′(x)的变化情况如下:

x h′(x) h(x)

1 -1 e-2

(1,e) - ?↘

e 0 0

(e,+∞) + ↗?

故h(x)≥0.即f(x)≥2x-e.

利用导数研究生活中的优化问题

[例3]

某物流公司购买了一块

长AM=30米,宽AN=20米的矩形地 块AMPN,规划建设占地如图中矩形

ABCD的仓库,其余地方为道路和停
车场,要求顶点C在地块对角线MN上,顶点B、D分别 在边AM、AN上,假设AB的长度为x米.

(1)要使仓库的占地面积不少于144平方米,求x的
取值范围; (2)要规划建设的仓库是高度与AB的长度相同的长 方体建筑,问AB的长度为多少时仓库的库容量最 大.(墙地及楼板所占空间忽略不计)
[自主解答] (1)依题意得△NDC 与△NAM 相似,所

DC ND x 20-AD 2 以AM=NA , 即 = , AD=20- x, 故 矩形 ABCD 30 20 3 2 2 的面积为 20x- x (0<x<30). 3

2 要使仓库的占地面积不少于 144 平方米,则 20x- 3 x2≥144, 化简得 x2-30x+216≤0, 解得 12≤x≤18.

2 3 (2)由(1)知仓库的体积 V=20x - x (0<x<30), V′ 令 3
2

=40x-2x2=0,得 x=0 或 x=20. 当 0<x<20 时,V′>0,当 20<x<30 时,V′<0, 8 000 所以当 x=20 时 V 取最大值,且最大值为 ,即 3 AB 的长度为 20 米时仓库的库存容量最大.

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各个量之间的关系,建立数学

模型,写出函数关系式y=f(x);
(2)求出函数的导函数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点处的函数 值的大小,最大(小)者为最大(小)值.

3.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到有关部门的关 注,据有关统计数据显示,从上午 6 点到中午 12 点,车 辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段 的时刻 t 之间关系可近似地用如下函数给出: 629 ? 13 32 ?-8t -4t +36t- 4 ,6≤t<9, ? y=?1 59 ?8t+ 4 ,9≤t≤10, ? 2 ?-3t +66t-345,10<t≤12, 求从上午 6 点到中午 12 点, 通过该路段用时最多的时刻.

解:①当6≤t<9时, 32 3 y′=- t - t+36 8 2 3 =- (t+12)(t-8). 8 令y′=0,得t=-12(舍去)或t=8. 当6≤t<8时,y′>0, 当8<t<9时,y′<0, 故t=8时,y有最大值,ymax=18.75.

1 59 ②当9≤t≤10时,y= t+ 是增函数, 8 4 故t=10时,ymax=16.

③当10<t≤12时,y=-3(t-11)2+18, 故t=11时,ymax=18. 综上可知,通过该路段用时最多的时刻为上午8点.

[典例]

(2012· 山西四校联考)已知函数f(x)=x3+

ax2-a2x+m(a>0).
(1)若a=1时函数f(x)有三个互不相同的零点,求实 数m的取值范围;

(2)若对任意的a∈[3,6],不等式f(x)≤1在[-2,2]上
恒成立,求实数m的取值范围.

[解]

(1)当a=1时f(x)=x3+x2-x+m.

∵函数f(x)有三个互不相同的零点,

∴x3+x2-x+m=0即m=-x3-x2+x有三个互不相 等的实数根.

令g(x)=-x3-x2+x,
则g′(x)=-3x2-2x+1=-(3x-1)· (x+1),

∴g(x)在(-∞,-1)和
? 1? ?-1, ?上为增函数, 3? ?

?1 ? ? ,+∞? ?3 ?

上均为减函数,在

∴[g(x)]极小值=g(-1)=-1,
?1? 5 ? ?= , [g(x)]极大值=g 3 ? ? 27 ? 5? ∴m的取值范围是?-1,27?. ? ?

(2)∵f′(x)=3x +2ax-a 且a>0,

2

2

? a? ?x- ?(x+a), =3 3? ?

a ∴当x<-a或x> 时,f′(x)>0; 3 a 当-a<x< 时,f′(x)<0. 3 ∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-a)和
? a? ?-a, ?. 递减区间为 3? ? ?a ? ? ,+∞? ?3 ?

,单调

a 当a∈[3,6]时, ∈[1,2],-a≤-3.又x∈[-2,2], 3 ∴[f(x)]max=max{f(-2),f(2)}, 又f(2)-f(-2)=16-4a2<0, ∴[f(x)]max=f(-2)=-8+4a+2a2+m. 又∵f(x)≤1在[-2,2]上恒成立, ∴[f(x)]max≤1即-8+4a+2a2+m≤1, 即当a∈[3,6]时,m≤9-4a-2a2恒成立. ∵9-4a-2a2在[3,6]上的最小值为-87, ∴m的取值范围是(-∞,-87].

[题后悟道]

所谓转化与化归思想方法,就是在研

究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换
使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂 的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过 变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换 转化为已解决的问题.解答本题利用了转化与化归思想, 第(1)问中把函数的零点问题转化为g(x)=-x3-x2+x与y =m图象的交点;第(2)问中把问题转化为求f(x)在[-2,2]

的最大值,利用最大值小于等于1,进一步转化为m≤9-
4a-2a2在a∈[3,6]恒成立,从而可求m的范围.

?针对训练
1 3 设函数 f(x)= x +x2+x, g(x)=2x2+4x+c.当 x∈[- 3 3,4]时,函数 f(x)与 g(x)的图象有两个公共点,求 c 的取值 范围. 1 3 解:设f(x)=g(x),则有 x +x2+x=2x2+4x+c,所 3
1 3 以c= x -x2-3x. 3 1 3 设F(x)= x -x2-3x,则F′(x)=x2-2x-3,令 3 F′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.

当x变化时,F′(x),F(x)的变化情况如表所示:
x F′(x) F(x) (-3,- -1 (-1,3) 3 (3,4) 4 1) + - + 0 0 极 20 -9 ?↗ 大 ↘? 极小值 ↗ - 3 值 -3

由表可知F(x)在[-3,-1],[3,4]上是增函数,在[-
1,3]上是减函数.

5 当 x=-1 时,F(x)取得极大值 F(-1)= ;当 x=3 3 时,F(x)取得极小值 F(3)=-9,而 F(-3)=-9,F(4) 20 =- . 3 如果函数 f(x)与 g(x)的图象有两个公共点,则函数 20 5 F(x)与 y=c 有两个公共点,所以- <c< 或 c=-9. 3 3

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.已知向量
?1 ? 3 3 ? ,y0?,x0, m=(x0,-1),n= 2 ,y0 成等 4 ? ?

差数列,2, x0,y0 成等比数列.

(1)求证:m⊥n;
(2)若存在不为零的实数 k 与 t,使得 a=(t2-3)m+n,b =tm-kn,且 a⊥b,|a|≤ 37,试讨论函数 k=f(t)的单 调性,并求出函数的极值.

3 3 3 3 解:(1)由x0, ,y0成等差数列得x0+y0= ,① 4 2 由2, x0,y0成等比数列得x0=2y0,② 3 由①与②可得x0= 3,y0= , 2 所以m=(
?1 3,-1),n=? , ?2 ? ?1 ? 3-1)· , ?2 ?

3? ? , 2? ?

因为m· n=( 所以m⊥n.

3 3 3? ? = - =0, 2 2? 2 ?

(2)由(1)得|m|=2,|n|=1, 因为|a|≤ 37 ,m⊥n,所以|a|2=(t2-3)2|m|2+2(t2-

3)· n+|n|2=4(t2-3)2+1≤37, m· 所以0≤t2≤6,所以- 6≤t≤ 6. 又a· b=t(t2-3)|m|2-k(t2-3)m· n+tm· n-k|n|2=4t(t2-3) -k=0, 所以k=f(t)=4t(t2-3)(- 6 ≤t≤ 6 ),k′=f′(t)=

[4t(t2-3)]′=12t2-12,令12t2-12=0,得t=± 1.

当t变化时,f′(t),f(t)的变化情况如下表:
(- 6, -1 (-1,1) 1 (1, 6) -1) 0 0 f′(t) + - + 极大 极小 f(t) ?↗ ↘? ?↗? 值8 值-8 t
因此 f(t)的单调递增区间为(- 6,-1),(1, 6);f(x) 的单调递减区间为(-1,1).f(t)的极大值为 8,极小值 为-8.

2.设函数f(x)=ln x-p(x-1),p∈R. (1)当p=1时,求函数f(x)的单调区间; (2)设函数g(x)=xf(x)+p(2x2-x-1),对任意x≥1都有

g(x)≤0成立,求p的取值范围.
解:(1)当p=1时,f(x)=ln ∞). 1 所以f′(x)= -1. x 1 由f′(x)=x-1>0得0<x<1,由f′(x)<0得x>1. 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1, +∞). x-x+1,其定义域为(0,+

(2)由函数g(x)=xf(x)+p(2x2-x-1)=xln x+p(x2-1)

(x>0),得g′(x)=ln x+1+2px.
由(1)知,当p=1时,f(x)≤f(1)=0, 即不等式ln x≤x-1成立. 1 ①当p≤- 时,g′(x)=ln x+1+2px≤(x-1)+1+ 2
2px=(1+2p)x≤0, 即函数g(x)在[1,+∞)上单调递减,从而g(x)≤g(1)= 0,满足题意;

? 1? 1 ②当- <p<0时,若x∈?1,-2p?,则ln x>0,1+2px>0, 2 ? ?

从而g′(x)=ln x+1+2px>0,即函数g(x)在

? 1? ?1,- ? 2p? ?



? 1? 单调递增,从而存在x0∈ ?1,-2p? 使得g(x0)>g(1)=0,不 ? ?

满足题意;

③当p≥0时,由x≥1知g(x)=xln x+p(x2-1)≥0恒成立, 此时不满足题意.
? 1? 综上所述,实数p的取值范围为?-∞,-2?. ? ?


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