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宿迁市2015~2016学年度第二学期高二期末考试数学文科试卷(含答案)


高二年级期末考试
数学(文科)
(考试时间 120 分钟,试卷满分 160 分)
注意事项: 1.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方. 2.答题时,请使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字迹工整,笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效.请保 持卡面清洁,不折叠,

不破损.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请把答案 直接填写在答题卡相应位置上 . ........ 1.若集合 A ? ??3 , 0 ,1, 2? , B ? ??1, 0 , 2? ,则 A ? B = ▲ . 2.写出命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? 0 ”的否定: ▲ . 3.设复数 z 满足 z ? i ? ?1 ? 5i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 在复平面内所表示的点位于 第 ▲ 象限. 2 ) ,则函数 f ( x) 的解析式为 ▲ . 4.已知幂函数 f ( x) 的图象过点 (2 , 2 5. “ x ? 1 ”是“ x ? x ”成立的
2

▲ 条件. (填“充分不必要” “必要不充分” “充要”

或“既不充分也不必要”) x ≥ 4, ? x ? 3, 6.已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( ?1) 的值为 ▲ ? f ( x ? 2), x ? 4



7.已知函数 f ( x) ? log3 x ? x ? 5 的零点 x0 ? (a, a ? 1) ,则整数 a 的值为

▲ .

2 8.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? (0,2) 时, f ( x) ? ln x ? x ? 1 ,则

当 x ? (?2,0) 时,函数 f ( x) 的表达式为 ▲
3 2



9.已知曲线 C : y ? x ? 2 x ? 1 ,则曲线 C 在 x ? 1 处的切线方程为 10.函数 y ? x x ? 3 的单调减区间为 ▲
11.计算 e
ln3 ? 2

▲ .



? log 5 25 ? (0.125) 3 的结果为 ▲ .

12.已知函数 f ( x) 是定义在 ? ?3,3? 上的偶函数,且在区间 ? ?3,0? 上是单调增函数,若

f (1 ? 2m) ? f (m) ,则实数 m 的取值范围是 ▲ .
高二数学(文科) 第 1 页 (共 9 页)

13.已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ? ax( x ? 2)( x ? a) (a ? 0) ,若函数 f ( x) 在 x ? ?2 处取 到极小值,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 14.观察下列等式:
12 ? 1 32 ? 2 ? 3 ? 4 52 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 7 2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 9 2 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 11 ? 12 ? 13

? 以上等式右侧中,1 出现 1 次,2 出现 1 次,3 出现 2 次,4 出现 3 次,?,则 2016 出 现的次数为 ▲ . 二、 解答题: 本大题共 6 小题, 15-17 题每小题 14 分, 18-20 题每小题 16 分, 共计 90 分. 请 在答题卡指定区域内作答 ,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .......... 15.已知 z 是复数,若 z ? i 为实数, z ? 2 为纯虚数. (1)求复数 z ; z2 ? z (2)求 . 1? i

16.已知命题 p :函数 f ( x) ? ? x2 ? 4ax ? 3 在区间 ? ??,1? 上是单调增函数;命题 q :函数

g ( x) ? lg( x2 ? 2ax ? a) 的定义域为 R,如果命题“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为假, 求实数 a 的取值范围.

高二数学(文科)

第 2 页 (共 9 页)

17.设等差数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,公差 d ? 0 . (1)若 a1 ? 1 ,且数列 ?

(2)证明: 1, 3, 2 不可能是等差数列 ?an ? 中的三项.

? Sn ? ? 是等差数列,求数列 ?an ? 的通项公式; ? an ?

18.某工厂生产 A , B 两种产品所得利润分别是 P (单位:万元)和 Q (单位:万元) ,它

4 1 3 3 2 t ? t , Q ? t ,今 3000 100 5 将 50 万元资金投入经营 A , B 两种产品,其中对 A 种产品投资为 x (单位:万元) , 设经营 A , B 两种产品的利润和为总利润 y (单位:万元) . (1)试建立 y 关于 x 的函数关系式,并指出函数的定义域; (2)当 x 为多少时,总利润最大,并求出最大利润.
们与投入资金 t (单位:万元)的关系有经验公式 P ? ?

高二数学(文科)

第 3 页 (共 9 页)

19.已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 1 , g ( x) ? 4x ? 4 ? 2x ? a ,其中 a ? R . (1)当 a ? 0 时,求函数 g ( x) 的值域; (2)若对任意 x ? [0,2] ,均有 f ( x) ≤ 2 ,求 a 的取值范围;
? f ( x ) , x ? a, 7 (3)当 a ? 0 时,设 h( x) ? ? ,若 h( x) 的最小值为 ? ,求实数 a 的值. 2 ? g ( x) , x ≤ a

20.已知函数 f ( x) ? ax2 ? x ln x ? 1 , a ? R ,其中 e 是自然对数的底数. (1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若 f ( x) 在区间 [1,5] 上为单调函数,求 a 的取值范围; (3)当 a ? ? e 时,试判断方程 f ( x) ? 1 ? ln x ?

3 x 是否有实数解,并说明理由. 2

宿迁市 2015~2016 学年度第二学期高二年级期末调研测试

文科数学参考答案及评分标准
一、填空题: 1. ?0, 2? ; 5 . 充 分 不 必要 8. f ( x) ? ? ln(? x) ? x 2 ? 1 9.7 x ? y ? 3 ? 0 13. a ? ?2 或 a ? 0 二、解答题: 15.(1)设 z ? x ? yi( x, y ? R) ??????????1 分 ??????3 分 2. ?x ? R , x 2 ≥ 0 ; 6 . 2 3.一 ; 4. f ( x ) ? x ? 2 7 .3
1

3 10.( ,3) 2
14. 1344

11.11

? 1? 12.? ?1, ? ? ?1, 2? 3? ?

因为 z ? i ? x ? ( y ? 1)i 为实数,所以 y ? 1 ? 0 ,所以 y ? ?1 , 高二数学(文科) 第 4 页 (共 9 页)

又因为 z ? 2 ? ( x ? 2) ? i 为纯虚数,所以 x ? 2 ? 0 ,所以 x ? 2 , ????? 6 分 所以 z ? 2 ? i , (2)因为 ????? 7 分 ????? 11 分

z 2 ? z (3 ? 4i) ? (2 ? i) (1 ?3i)(1 ?i) ? ? ? ?1? 2i , 1? i 1? i (1 ? i)(1 ? i)
z2 ? z ? ?1 ? 2i ? (?1) 2 ? (?2) 2 ? 5 . 1? i

所以

????? 14 分

16.因为函数 f ( x) ? ? x2 ? 4ax ? 3 在区间 ? ??,1? 上是单调增函数, 所以对称轴方程 x ? ?

4a 1 ≥ 1 ,所以 a ≥ , 2 ? (?1) 2

?????????3 分

又因为函数 g ( x) ? lg( x2 ? 2ax ? a) 的定义域为 R , 所以 ? ? (2a)2 ? 4a ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 , ???????????6 分 ?????8 分

又因为“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为假,所以命题 p, q 一真一假,

?a ≤ 0或a ≥1 ?0 ? a ? 1 ? ? 所以 ? 或? 1 , 1 a? a≥ ? ? ? 2 ? 2
所以 a ≥ 1 或 0 ? a ?

?????12 分

1 , 2
?????14 分

? ? 1 所以实数 a 的取值范围是 ?a 0 ? a ? , 或a ≥1? . 2 ? ?
17. (1)因为数列 ?

S2 S1 S3 ? Sn ? ? 是等差数列,所以 2ga ? a ? a , 2 1 3 ? an ?

????2 分

所以

2(2 ? d ) 3 ? 3d 2(2 ? d ) 4 ? 5d ? 1? ? , 即 , 1? d 1 ? 2d 1? d 1 ? 2d

????4 分 ????5 分

化简得 d 2 ? d ? 0, 因为 d ? 0 ,所以 d ? 1 . 所以 an ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n .

?????????????6 分 ????7 分

(2)证明:假设 1, 3, 2 分别为等差数列 ?an ? 中第 m, n, r 项, 高二数学(文科) 第 5 页 (共 9 页)

?1 ? a1 ? (m ? 1)d ? 则有 ? 3 ? a1 ? (n ? 1)d ? ? ???2 ? a ? (r ? 1)d 1 ?
解得 3 ? 1 ?

????10 分

n?m , r?m

????12 分

因为 m, n, r 为正整数,所以上式左端为无理数,右端为有理数,故等式不能成立, ??????????13 分 因此,假设不成立,所以 1, 3, 2 不可能为等差数列 ?an ? 中的三项.?????14 分 18. (1)由题意知,对 A 种产品投资为 x 时, B 种产品投资为 50 ? x ,
A 种产品所得利润 P ? ?

1 3 3 2 x ? x 3000 100
?????????????????2 分

4 B 种产品所得利润 Q ? (50 ? x) 5
所以 y ? P ? Q ? ?

1 3 3 2 4 x ? x ? (50 ? x) ???????????????5 分 3000 100 5
???????????????6 分

其中定义域是 ?x | 0 ≤ x ≤ 50? (2)由(1)知 y ? ?

1 3 3 2 4 x ? x ? (50 ? x) , ?x | 0 ≤ x ≤ 50? 3000 100 5

令 y ? f ( x) 所以 f ?( x) ? ?

1 2 6 4 1 x ? x? ?? ( x2 ? 60x ? 800) ?????8 分 1000 100 5 1000
???????????9 分

令 f ?( x) ? 0 ,所以 x ? 20 或 x ? 40

当 x ? ? 0, 20 ? 时, f ?( x ) ? 0 ,函数 y ? f ( x) 在 ?0,20? 上是减函数,???????10 分 当 x ? (20, 40) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 y ? f ( x) 在 (20, 40) 上是增函数,?????11 分 当 x ? ? 40,50? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 y ? f ( x) 在 ? 40,50? 上是减函数,?????12 分 所以当 x ? 40 时,函数 y ? f ( x) 取极大值 又因为 f (0) ? 40 ?

104 3

????13 分 ??????14 分

104 3

所以当 x ? 0 时,函数 y ? ?

1 3 3 2 4 x ? x ? (50 ? x) 取最大值 40 3000 100 5

????15 分

答:当 x ? 0 时,总利润最大,最大利润 40 万元.

???????????16 分

19. (1)当 a ? 0 时, g ( x) ? (2 x ? 2) 2 ? 4 ,?????????????????2 分 高二数学(文科) 第 6 页 (共 9 页)

因为 2 x ? 0 , 所以 g ( x) ≥ g (2) ? ?4 , g ( x) 的值域为 [ ?4, ?? ) (2)若 x ? 0 , a ? R 若 x ? (0,2] 时, f ( x) ≤ 2 可化为 ?2 ≤ x2 ? ax ? 1 ≤ 2

??????????4 分

??????????6 分 ????7 分

1 3 即 x 2 ? 1 ≤ ax ≤ x 2 ? 3 ,所以 x ? ≤ a ≤ x ? x x
因为 y ? x ?

1 1 3 在 (0, 2] 为递增函数,所以函数 y ? x ? 的最大值为 ,????8 分 2 x x
????9 分

3 3 3 因为 x ? ≥ 2 x? ? 2 3 (当且仅当 x ? ,即 x ? 3 取“=” ) x x x 3 所以 a 的取值范围是 a ?[ , 2 3] . 2
? f ( x), x ? a, (3)因为 h( x) ? ? ? g ( x), x ≤ a

??????????10 分

当 x ≤ a 时,h( x) ? 4 x ? 4 ? 2 x ?a , 令 t ? 2 x , t ? (0,2 a ] ,则 p (t ) ? t ?
2
a 当 x ≤ a 时,即 2 ≤

????11 分

4 2 4 t ? (t ? a ) 2 ? a , a 2 2 4
????12 分

2 , p(t ) ? [4 a ? 4,0) ; 2a

a a2 当 x ? a 时, h( x) ? x2 ? ax ? 1 ,即 h( x) ? ( x ? )2 ? 1 ? , 2 4

a a2 ? a , h( x) ?[1 ? , ??) . 4 2 1 7 a 2 15 7 a ? ?? , 若 4 ? 4 ? ? , a ? ? ,此时 1 ? 4 16 2 2 2
因为 a ? 0 ,所以 若1 ?

????14 分

a2 7 a ?3 ? ? ,即 a ? ?3 2 ,此时 4 ? 4 ? 4 4 2

2

7 ?4?? , 2
????16 分

所以实数 a ? ?

1 . 2

20. (1)当 a ? 0 时,因为 f ( x) ? x ln x ? 1, 所以 f ?( x) ? ln x ? 1, 令 f ?( x) ? ln x ? 1 ? 0 ,解得 x0 ?

1 e

????2 分

当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是单调递减函数, 高二数学(文科) 第 7 页 (共 9 页)

1 e

当 x ? ( , ??)?? , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是单调递增函数, 所以当 x ?

1 e

1 1 1 时,函数 f ( x ) 有极小值,即 f ( ) ? ? ? 1 .?????????3 分 e e e
???????????????????????4 分

函数 f ( x ) 无极大值.

(2)若函数在区间 [1,5] 上是单调函数, 则 f ?( x) ? 2ax ? ln x ? 1≥ 0 恒成立,或 f ?( x) ? 2ax ? ln x ? 1 ≤ 0 恒成立,???5 分 当 f ?( x) ? 2ax ? ln x ? 1≥ 0 恒成立时,

ln x ? 1 恒成立, x ln x ? 1 ln x 令 h( x ) ? ? , h?( x) ? 2 , x x
即 2a ≥ ? 当 x ? ?1,5?? 即a≥?

h?( x )? 0 ,函数 h( x) 是单调递增函数,
????7 分

ln 5 ? 1 , 10 ln x ? 1 , x

当 f ?( x) ? 2ax ? ln x ? 1 ≤ 0 恒成立时,即 2a ≤ ?

1 由上可知 2a ≤ f (1) ? ?1 ,即 a ≤ ? , 2
综上, a ? ? ??, ? ? U ? ? 2

????9 分

? ?

1? ?

? ln 5 ? 1 ? , ?? ? 10 ? ?

????10 分

(3)因为 f ( x) ? ?ex2 ? x ln x ?1, 所以 ?ex ? x ln x ? ln x ?
2

3 ln x 3 x ,即 ?ex ? ln x ? ? 2 x 2
1 1 ,令 p?( x) ? 0 ,即 x ? , e x

????11 分

令 p( x) ? ?ex ? ln x , p?( x) ? ?e ?

当 x ? (0, )?? 时, p?( x) ? 0 ,函数 p ( x) 是单调递增函数, 当 x ? ( , ??)?? 时, p?( x) ? 0 ,函数 p ( x) 是单调递减函数, 所以当 x ?

1 e

1 e

1 1 时, p ( x) 取最大值, p ( ) ? ?1 ? 1 ? ?2 ? 0 ,所以 p( x) ? 2 .?13 分 e e

高二数学(文科)

第 8 页 (共 9 页)

令 q( x) ?

ln x 3 1 ? ln x ? , q?( x) ? ,令 q?( x) ? 0 ,即 x ? e , x 2 x2

当 x ? (0, e)? 时, q?( x) ? 0 ,函数 q( x) 是单调递增函数, 当 x ? (e, ??)?? 时, q?( x) ? 0 ,函数 q( x) 单调递减函数, 所以当 x ? e 时, q( x) 取最大值, q (e) ? 所以方程 f ( x) ? 1 ? ln x ?

1 3 ? ? 2, e 2

????15 分 ????16 分

3 x 无实根. 2

高二数学(文科)

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