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2015三角函数及解三角形高考题


2016 届文科人教版数学 解三角形



名:

沈金鹏 数学学院

院 、 系: 专

业: 数学与应用数学

2015 年 10 月 20 日

2011 三角函数集及三角形高考题
一.选择填空题 1.(2011 年北京高

考 9)在 ? ABC 中,若 b ? 5, ?B ?

?

1 ,sin A ? ,则 a ? 4 3

.

2.(2011 年浙江高考 5).在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则
sin A cos A ? cos 2 B ?

(A)-

1 2

(B)

1 2

(C) -1

(D) 1

3. (2011 年全国卷 1 高考 7) 设函数 f ( x) ? cos ? x(? ? 0) , 将 y ? f ( x) 的图像向右平移

个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于 1 (A) (B) 3 (C) 6 3 4.(2011 全国卷) ,设函数 (A)y= 在 单调递增,其图像关于直线 对称

? 3

(D) 9

(B)y=



单调递增,其图像关于直线

对称
π 对称 4 π 对称 2

π (C)y= f (x) 在(0, )单调递减,其图像关于直线 x = 2 π (D)y= f (x) 在(0, )单调递减,其图像关于直线 x = 2

5.(2011 年江西高考 14)已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 p ? 4, y ? 是角

? 终边上一点,且 sin ? ? ?

2 5 ,则 y=_______. 5

6. (2011 年安徽高考 9)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( x) ? f ( ) 对

?

6

x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的单调递增区间是 2
(A) ? k? ?

?

? ?

?
3

, k? ?

??

(k ? Z ) 6? ?

(B) ? k? , k? ?

? ?

??
2? ?

(k ? Z )

(C) ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

(D) ? k? ?

? ?

?

? , k? ? ( k ? Z ) 2 ?

7. (2011 四川高考 8)在△ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是 (A) (0, ] 6 二:解答题

?

(B) [ , ? ) 6

?

(C) (0, ] 3

?

(D) [ , ? ) 3

?

1.(2011 年北京高考 17)已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

?
6

) ? 1.

? ? ?? 上的最大值和最小值。 , ? 6 4? ?

? 2. ( 2011 年 浙 江 高 考 18 ) 已 知 函 数 f ( x) ? A sin ( x ? ? ) , x ? R , A ? 0 , 3 ? 0 ? ? ? . y ? f ( x) 的部分图像,如图所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点和最 2
低点,点 P 的坐标为 (1, A) .

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及 ? 的值; (Ⅱ)若点 R 的坐标为 (1, 0) , ?PRQ ?
2? ,求 A 的值. 3

3. ( 2011 年 山 东 高 考 17 ) 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? , cos B b sin C 1 (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S。 sin A 4

4.(2011 年安徽高考 16)在 ? ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3 ,b= 2 ,

1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,求边 BC 上的高.

5. ( 2011 年 全 国 卷 高 考 18 ) △ ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c. 己 知

a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B .
(Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A ? 750 , b ? 2, 求a,c .

6. ( 2011 年 湖 南 高 考 17 ) 在 ? ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c 且 满 足

c s i n A? a c o s C . (I)求角 C 的大小;
(II)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

7. (2011 年广东高考 16)已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)求 f (

5? ) 的值; 4

1 3

?
6

) , x? R .

(2)设 ? , ? ? ?0,

? 10 6 ? ?? , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. ? 2 13 5 ? 2?

8. (2011 年广东高考 18)已知函数 f ( x) ? sin( x ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最小值;
4 5 4 5

7? 3? ) ? cos( x ? ) ,x ? R. 4 4

(Ⅱ) 已知 cos(? ? ? ) ? ,cos(? ? ? ) ? ? ,0 ? ? ? ? ?

?
2

. 求证: [ f (? )]2 ? 2 ? 0 .

9.(2011 年江苏高考 17)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?
) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3

?

10.(2011 年辽宁高考 17) △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A= 2 a。 (I)求

b ; (II)若 c2 =b2+ 3 a2,求 B。 a

11. (2011 年湖北高考 17 )设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知

1 a? 1 ,b?2 ,c o sC? 4 (I) 求 ?ABC 的周长;
(II)求 cos(A?C ) 的值。

12. (2011 年浙江高考 18)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ? (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

1 4

2011 三角函数集及三角形高考题答案
一.选择填空题 1.(2011 年北京高考 9)在 ? ABC 中,若 b ? 5, ?B ?

?

1 ,sin A ? ,则 a ? 4 3

.

【答案】

5 2 3
a b ? 1 ? 又 b ? 5, ?B ? ,sin A ? 所 以 sin A sin B 4 3

【 解 析 】: 由 正 弦 定 理 得

a 5 5 ? ,a ? 1 ? 3 s i n 3 4

2

2.(2011 年浙江高考 5).在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则
sin A cos A ? cos 2 B ?

(A)-

1 2

(B)

1 2

(C) -1

(D) 1

【答案】D
2 【解析】∵ a cos A ? b sin B ,∴ sin A cos A ? sin B ,

∴ sin A cos A ? cos B ? sin B ? cos B ? 1 .
2 2 2

3. (2011 年全国卷 1 高考 7) 设函数 f ( x) ? cos ? x(? ? 0) , 将 y ? f ( x) 的图像向右平移

个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于 1 (A) (B) 3 (C) 6 (D) 9 3 ? 【解析】 由题意将 y ? f ( x) 的图像向右平移 个单位长度后,所得的图像与原图像重合, 3 2? ? ? ? k ? (k ? Z ) ,解得 ? ? 6k ,又 ? ? 0 ,令 k ? 1 , 说明了 是此函数周期的整数倍,得 3 ? 3 得 ?min ? 6 .
4.(2011 全国卷) ,设函数

? 3

(A)y=



单调递增,其图像关于直线

对称

(B)y=



单调递增,其图像关于直线

对称

π π (C)y= f (x) 在(0, )单调递减,其图像关于直线 x = 对称 2 4 π π (D)y= f (x) 在(0, )单调递减,其图像关于直线 x = 对称 2 2 解析:本题考查三角函数的性质。属于中等题。 π ? 解法一:f(x)= 2 sin(2x+ )= 2 cos2x.所以 f(x) 在(0, )单调递减,其 2 2 π 图像关于直线 x = 对称。故选 D。 2

5.(2011 年江西高考 14)已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 p ? 4, y ? 是角

? 终边上一点,且 sin ? ? ?

2 5 ,则 y=_______. 5
y 2 5 对边 ?? ? y ? ?8 = 5 斜边 16 ? y 2

答案:—8. 解析:根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定 该 角为第四象限角。 sin ? ?

6. (2011 年湖南高考 9) 【命题意图】本题考查正弦函数的有界性,考查正弦函数的单调性. 属中等偏难题. 【 解 析 】 若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒 成 立 , 则 f ( ) ? sin(

?

?

?
3

6

6

? ?) ? 1 , 所 以

?
3

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z , ? ? k? ?

?

, k ? Z . 由 f ( ) ? f (? ) ,( k ? Z ), 可 知 2 6

?

n? sin(? ? ? ) ? sin(2? ? ? ) , 即 s i ?
x? f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 得 f ( x) ? ? s i n ( 2 k? ?

0 所 以 ? ? (2k ? 1)? ? ,

?

?
6

) 由 2 k? ? ,

?
2

剟2x ?

?

6

,k ?Z , 代 入
2k ?? 3? ,得 2

?
6

剟x

2? k? ? ,故选 C. 3

6

7. ( 2011 四川高考 8 )解析:由 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C 得 a 2 ? b2 ? c2 ? bc ,即 b2 ? c 2 ? a 2 1 ? , 2bc 2 1 ? ∴ cos A ? ,∵ 0 ? A ? ? ,故 0 ? A ? ,选 C. 2 3 二.解答题 1.【解析】 : (Ⅰ)因为 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

) ? 1 ? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

[高考资源网 KS5U.COM]

? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1 ? 3 sin 2x ? cos2x ? 2 sin( 2 x ?
为?

?
6

) 所以 f ( x) 的最小正周期

(Ⅱ)因为 ?

?
6

?x?

?
4

, 所以 ?

?
?
6

? 2x ? ??

?
6

?

f ( x) 取得最大值 2;当 2 x ?

?

2? ? ? ? . 于是,当 2 x ? ? , 即x ? 时, 3 6 2 6

? 2. ( 2011 年 浙 江 高 考 18 ) 已 知 函 数 f ( x) ? A sin ( x ? ? ) , x ? R , A ? 0 , 3 ? 0 ? ? ? . y ? f ( x) 的部分图像,如图所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点和最 2
低点,点 P 的坐标为 (1, A) .

6

, 即x ? ? 时, f ( x) 取得最小值—1. 6 6

?

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及 ? 的值; (Ⅱ)若点 R 的坐标为 (1, 0) , ?PRQ ?
2? ,求 A 的值. 3

2.(Ⅰ)解:由题意得, T ?
因为 P(1, A) 在 y ? A sin( 所以 sin(

2?

?

?6

?
3

3
x ? ? ) 的图像上

?
3

? ? ) ? 1.

又因为 0 ? ? ? 所以 ? ?

?
2



?
6

(Ⅱ)解:设点 Q 的坐标为( x0 , A ). 由题意可知

2? ,得 x0 ? 4 ,所以 Q(4, ? A) 3 6 3 2? 连接 PQ,在△PRQ 中,∠PRQ= ,由余弦定理得 3 x0 ? ?

?

?

cos ?PRQ ?
解得 A2=3。

RP2 ? RQ2 ? PQ2 A2 ? 9 ? A2 ? (9 ? A2 ) 1 ? ? 2RP.RP 2 2 3. 9 ? A2

又 A>0,所以 A= 3 。

3. ( 2011 年 山 东 高 考 17 ) 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? , cos B b sin C 1 (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若 cos B ? , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S。 sin A 4 cos A ? 2 cos C 2c ? a ? 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,由 及正弦定理可得 cos B b cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? , cos B sin B 即 sin A sin B ? 2 cos C sin B ? 2sin C cos B ? sin A cos B 则 sin A sin B ? sin A cos B ? 2sin C cos B ? 2 cos C sin B

sin( A ? B) ? 2sin(C ? B) ,而 A ? B ? C ? ? ,则 sin C ? 2sin A ,


另解 1:在 ?ABC 中,由

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? 可得 cos B b b cos A ? 2b cos C ? 2c cos B ? a cos B

sin C ?2。 sin A

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? b2 ? ? ? 由余弦定理可得 , 2c a a 2c
sin C c ? ? 2。 sin A a 另解 2:利用教材习题结论解题,在 ?ABC 中有结论
整理可得 c ? 2a ,由正弦定理可得

a ? b cos C ? c cos B, b ? c cos A ? a cos C, c ? a cos B ? b cos A .
cos A ? 2 cos C 2c ? a ? 可得 b cos A ? 2b cos C ? 2c cos B ? a cos B cos B b 即 b cos A ? a cos B ? 2c cos B ? 2b cos C ,则 c ? 2a , sin C c ? ? 2。 由正弦定理可得 sin A a 1 (Ⅱ)由 c ? 2a 及 cos B ? , b ? 2 可得 4


4 ? c2 ? a2 ? 2ac cos B ? 4a2 ? a2 ? a2 ? 4a2 , 则 a ? 1 , c ? 2 ,
S?

15 1 1 15 ac sin B ? ?1? 2 ? 1 ? cos 2 B ? ,即 S ? 。 4 2 2 4

4.(2011 年安徽高考 16)在 ? ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3 ,b= 2 ,

1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,求边 BC 上的高.

解:∵A+B+C=180°,所以 B+C=A, 又 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,∴ 1 ? 2cos(180? ? A) ? 0 , 即 1 ? 2 cos A ? 0 , cos A ?

1 , 2

又 0°<A<180°,所以 A=60°.

b sin A 2 sin 60? 2 a b sin B ? ? ? ? 在△ABC 中,由正弦定理 得 , a 2 3 sin A sin B
又∵ b ? a ,所以 B<A,B=45°,C=75°, ∴BC 边上的高 AD=AC?sinC= 2 sin 75? ? 2 sin(45? ? 30? )

? 2(sin 45? cos30? ? cos 45? sin30? )
? 2( 2 3 2 1 3 ?1 . ? ? ? )? 2 2 2 2 2

5. ( 2011 年 全 国 卷 高 考 18 ) △ ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c. 己 知

a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B .
(Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A ? 75 , b ? 2, 求a,c .
0

【思路点拨】第(I)问由正弦定理把正弦转化为边,然后再利用余弦定理即可解决。 (II)在(I)问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解. 【解析】(I)由正弦定理得 a ? c ? 2ac ? b …………………………3 分
2 2 2

由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B .
2 2 2

故 cos B ?

2 ? ,因此 B ? 45 2
? ?

.…………………………………6 分

(II) sin A ? sin(30 ? 45 )

? sin 30? cos 45? ? cos30? sin 45?

?

2? 6 4

…………………………………8 分



a ? b?

sin A 2? 6 ? ? 1? 3 sin B 2

c ? b?

sin C sin 60? ? 2? ? 6 .…………………………… sin B sin 45?

6. ( 2011 年 安 徽 高 考 17 ) 在 ? ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c 且 满 足

c s i n A? a c o s C . (I)求角 C 的大小;
(II)求 3 sin A ? cos( B ?

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小. 4 解析: (I)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C.
因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ? (II)由(I)知 B ?

?

?
4

3? ? A. 于是 4

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? ?0 ? A ? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3
2 sin( A ?

?

?

?
6

) 取最大值 2.

3 1 ? 7. (2011 年广东高考 16)已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? ) , x ? R . 3 6 5? (1)求 f ( ) 的值; 4
(2)设 ? , ? ? ?0,

综上所述, 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值为 2,此时 A ?

?

,B ?

5? . 12

? 10 6 ? ?? , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. ? 2 13 5 ? 2?

16.解: (1) f (

5? 1 5? ? ? ) ? 2sin( ? ? ) ? 2sin ? 2 4 3 4 6 4 ? 1 ? ? 10 5 (2) f (3? ? ) ? 2sin[ (3? ? ) ? ] ? 2sin ? ? ,即 sin ? ? 2 3 2 6 13 13

1 ? ? 6 3 f (3? ? 2? ) ? 2sin[ (3? ? 2? ) ? ] ? 2sin( ? ? ) ? ,即 cos ? ? 3 6 2 5 5
∵ ? , ? ? ?0,

? ?? , ? 2? ?
2

12 4 2 , sin ? ? 1 ? cos ? ? 13 5 12 3 5 4 16 ? ? ? ? ∴ cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 13 5 13 5 65
∴ cos ? ? 1 ? sin ? ?

8. (2011 年广东高考 18)已知函数 f ( x) ? sin( x ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期和最小值;
4 5

7? 3? ) ? cos( x ? ) ,x ? R. 4 4

4 ? . 求证: [ f (? )]2 ? 2 ? 0 . 5 2 7? 7? 3? 3? (Ⅰ)解析: f ( x) ? sin x cos ? cos x sin ? cos x cos ? sin x sin 4 4 4 4

(Ⅱ) 已知 cos(? ? ? ) ? ,cos(? ? ? ) ? ? ,0 ? ? ? ? ?

? 2 sin x ? 2 cos x ? 2sin( x ? ) , ∴ f ( x) 的 最 小 正 周 期 T ? 2? , 最 小 值 4 f (x ) ?? 2 . mi n 4 4 (Ⅱ)证明:由已知得 cos? cos ? ? sin ? sin ? ? , cos? cos ? ? sin ? sin ? ? ? 5 5

?

两式相加得 2cos ? cos ? ? 0 ,∵ 0 ? ? ? ? ? ∴ [ f (? )]2 ? 2 ? 4sin 2
?
4 ?2?0.

?

2

,∴ cos ? ? 0 ,则 ? ?

?

2



9.(2011 年江苏高考 17)在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?
) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3 解析:考察三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算能力,容 易题。

?

? ? (1)? sin( A ? ) ? 2 cos A,? sin A ? 3 cos A,? A ? 6 3 1 (2)? cos A ? , b ? 3c,? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 8c 2 , a ? 2 2c 3
由正弦定理得:
1 2 2c c 2 2 ? , ? sin C ? 。 ,而 sin A ? 1 ? cos2 A ? (也可 3 sin A sin C 3

以先推出直角三角形)

12. (2011 年浙江高考 18) (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2 C= ?

1 ,及 0<C<π 4

所以 sinC=

10 . 4
a c ? ,得 sin A sin C

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 c=4 由 cos2C=2cos2C-1= ?

1 ,J 及 0<C<π 得 4

cosC=±

6 4

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6 b-12=0 解得 所以 b= 6 或 2 6 b= 6 c=4 或 b= 6 c=4


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