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2009 华南理工自主招生试题及答案


赣峡鹭园

荷香流溢

2013

华南理工大学 2009 年保送生、自主招生选拔试题 《理科数学》试题 A
一.选择题 1)已知复数 z0

? x0 ? i ,且 ? x0 ? i ?
B、 ?

2

的幅角主值是

>? ,则满足 z ? 2 z0 ? 2 的 z 的幅角主值的取值范围是( 2
D、 ?



A、 ?

? ? 5? ? , ? ? 12 12 ?

?? ? ? , ? ?6 3?

C、 ?

? 3? 7? ? , ? ? 12 12 ?

? 5? 9? ? , ? ? 12 12 ?


2) b

? 0 是函数 f ? x ? ? x2 ? bx ? c 在 [0 , ? ?) 单调的(

A、充分而丌必要条件 C、充分必要条件 3)已知 a A、 ?2

B、必要而丌充分条件 D、既丌充分也丌必要条件 )

, b ? R , a 2 ? 2b2 ? 6 ,则 a ? b 的最小值为(
B、 ?
2n

2

5 3 3
2 n ?1

C、 ?3

D、 ?

7 2
n

4)在

?1 ? x ? ? x ?1 ? x ? ? ? ? x n ?1 ? x ? ? 2n ? 1?! B、 ? 2n+1?! C、 ? 2n+2 ?! A、 n!n! n !n ! n!? n ? 1?!
2

n

的展开式中, x 的系数为( D、



? 2n ? 2?! n!? n ? 1?!

5)已知圆 O : x 程为 bx ? ay

? y 2 ? r 2 ,点 P ? a , b? , ab ? 0 是圆 O 内一点。过点 P 的圆 O 的最短的弦在直线 l1 上,直线 l2 的方
) B、 l1 D、 l1

? r 2 ,那么(

A、 l1 // l2 ,且 l2 不圆 O 相交 C、 l1 // l2 ,且 l2 不圆 O 相离 6)已知 0 ? A、

? l2 ,且 l2 不圆 O 相切 ? l2 ,且 l2 不圆 O 相离


x?

?
2

,函数

f ? x ? ? 2 5 sin x cos x ? cos2 x ? 1的值域为(

??3 , 1? C、 ? ?1 , 3?
7)在三角形 ( )

??3 , 2? D、 ? ?2 , 3?
B、

? ??? ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ABC 中,向量 a ? AB ? AC , b ? 3AB ? 8 AC ? BC , c ? 4CB ? BA ,则下列结论一定成立的是

A、向量 a ? c 一定不向量 b 平行 C、向量 a ? b 一定不向量 c 平行

? ?

?

B、向量 b ? c 一定不向量 a 平行 D、向量 a ? b 一定不向量 c 平行

? ?

?

? ?

?

? ?

?

1

赣峡鹭园

荷香流溢

2013


8)已知 c 是椭圆

x2 y 2 2b ? c ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的半焦距,则 的取值范围是( 2 2a a b
B、 (

A、 ?

?1 ? , ? ?? ?2 ?

1 , 1] 2

C、 (

1 , 2

2]

D、 (

1 5 , ] 2 2

二.填空题 9)已知

A , B , C , D 是某球面上丌共面的四点,且 AB ? BC ? AD ? 2 , BD ? AC ? 2 , BC ? AD ,则此


球的表面积等于

10)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0 , b ? 0? 右焦点为 F a2 b2

,右准线 l 不两条渐近线分别交于 P

, Q 两点。若 ?PQF

是直角三角形,则双曲线的离心率 e 。 11)已知函数 则丌等式

?

f ? x ? 是定义在 ? 0 , ? ?? 上的增函数,且满足 f ? 3? ? 1 , f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? , x ? 0 , y ? 0 ,


f ? x ? ? f ? x ? 3? ? 3 的解集为

?x ? 1 ? 12)已知 ? x ? y ? 0 ,则 x ? 2 y 的最大值为 ? x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 6 ? 0 ?



13)甲、乙两人下围棋,下三盘棋,甲平均能赢二盘,某日,甲、乙进行五打三胜制比赛,那么甲胜出的概率为 三.设三角形



ABC 三个顶点的坐标分别为 A? 2 , 1? , B ? ?1 , 2? , C ? 3 , ?1? D , E
BE AD DM ? ? BC AB DE

分别为 AB

, BC 上的点,

M

是 DE 上一点,且

1)求点 M 的横坐标的取值范围; 2)求点 M 的轨迹方程。

四.已知函数

f ? x ? 是定义在 [?4 , ? ?) 的单调增函数,要使得对于一切
f ? cos x ? b 2 ? ? f ? sin 2 x ? b ? 3? 恒成立,求实数 b 的取值范围。
P

的实数 x 丌等式

五.如图,在正三棱锥 P ?

ABC 中,侧棱长为 3 ,底面边长为 2 , E 为 BC 的中点, EF ? PA 于 F



F
1)求证: EF 为异面直线 PA 不 BC 的公垂线; 3)求点 B 到面

C
A B E

APC 的距离。

2

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六.已知 a
2

荷香流溢

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? a ?1 ? 0 , b2 ? b ?1 ? 0 , a ? b ,设 a1 ? 1 , a2 ? b ,

2)求异面直线 PA 不 BC 的距离;

an?1 ? an ? an?1 ? 0 ? n ? 2? , bn ? an?1 ? a ? an
1)证明数列 2)求数列 3)设 c1

?bn ? 是等比数列;

?an ? 的通项;
n

? c2 ? 1 , cn?2 ? cn?1 ? cn ,证明:当 n ? 3 时有 ? ?1? ? cn ? 2 a ? cnb ? ? b n ?1 。

答案
1. A 8. D 2. A 9. 6π
5

3. C 10. 2

4. A 11.(3,
3+3 13 2

5. D

6.无答案 12. 7+2 5
5

7. C 13.
64 81

]

14.(1)x∈[7,3]

(2) (4x + 7y ? 5)2 =60x+80y-100, x∈[7,3]

3


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