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必修② 第四章 圆与方程


中山市东升高中

高一数学◆必修 2◆导学案

编写:贺联梅

校审:汤建郎

§ 4.1 圆的标准方程
学习目标
1. 掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的 标准方程; 2. 会用待定系数法求圆的标准方程.

例 写出圆心为 A(2, ?3) ,半径长为 5 的圆的方程, 并判断点 M1 (5, ?7), M 2 (? 5, ?1) 是否在这个圆上.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P124~ P127,找出疑惑之处) 1.在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么? 圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是 什么呢? 小结 :点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r2 的关 系的判断方法: ⑴ ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外; ⑵ ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上; ⑶ ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内. 变式: ? ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3) C (2, ?8) ,求它的外接圆的方程

2.什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一条直线 都可用一个二元一次方程来表示,那么,圆是否也 可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什 么特征呢?

二、新课导学 ※ 学习探究 新 知 : 圆 心 为 A(a, b) , 半 径 为 r 的 圆 的 方 程
( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 叫做圆的 标准方程. 特殊:若圆心为坐标原点, 这时 a?b?0 ,则圆的方程就是 x2 ? y 2 ? r 2
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反思: 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出 关 于 a , b, r 的 方 程 组 , 求 a , b, r 或 直 接 求 出 圆 心 (a, b) 和半径 r . 2.待定系数法求圆的步骤: (1)根据题意设所求的 2 圆的标准方程为 ( x ? a) ? ( y ? b)2 ? r 2 ; (2) 根据已 知条件,建立关于 a , b, r 的方程组; (3)解方程组, 求出 a , b, r 的值,并代入所设的方程,得到圆的方 程. 例 2 已知圆 C 经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在直 线 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求此圆的标准方程.

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探究:确定圆的标准方程的基本要素?

※ 动手试试 ※ 典型例题
1

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第四章 圆与方程

练 1. 已知圆经过点 P(5,1) ,圆心在点 C (8, ?3) 的圆 的标准方程.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知 A(2, 4),B (? 4, 0),则以 AB 为直径的圆的方 程( ). A.( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 52 B.( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 52 C.( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 52 D.( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 52
2. 点 P(m2 ,5) 与 圆 的 x2 ? y 2 ? 24 的 位 置 关 系 是

( ). A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 3. 圆 心 在 直 线 x ? 2 上 的 圆 C 与 y 轴 交 于 两 点 C 的方程为( A( 0 ,? 4 ) B , (? 0 , ,则圆 2) ). A.( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 B.( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 C.( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 D.( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25
4. 圆关于 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 5 关于原点 (0, 0) 对称的圆

的方程
5. 过点 A(2, 4) 向圆 x2 ? y 2 ? 4 所引的切线方程

练 2.求以 C (1,3) 为圆心, 并且和直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程
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.

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课后作业
1. 已知圆的圆心在直线 2 x ? y ? 0 上,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 切于点 (2, ?1) ,求圆的标准方程.

三、总结提升 ※ 学习小结 一.方法规纳 ⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径. ⑵比较点到圆心的距离与半径的大小,能得出点与 圆的位置关系. ⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时,可大 大化简计算的过程与难度. 二.圆的标准方程的两种求法: ⑴根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解 方程组得到 a、b、r 得值,写出圆的标准方程. ⑵根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆 心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程.

2. 已知圆 x2 ? y 2 ? 25 求:⑴过点 A(4, ?3) 的切线 方程. ⑵过点 B(?5, 2) 的切线方程
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§ 4.1 圆的一般方程

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 (
) .
2

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学习目标
1. 在掌握圆的标准方程的基础上, 理解记忆圆的 一般方程的代数特征,由圆的一般方程确定圆的 圆心半径. 掌握方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示

心,

1 D2 ? E 2 ? 4F 为半径的圆; 2
D , 2

⑵当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时, 方程只有实数解 x ? ?

圆的条件; 2.能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆 的标准方程.能用待定系数法求圆的方程; 3.培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力

E D E ,即只表示一个点( - ,- );(3)当 2 2 2 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时, 方程没有实数解, 因而它不表 示任何图形 y??
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小结:方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P127~ P130,找出疑惑之处) 1.已知圆的圆心为 C (a, b) ,半径为 r ,则圆的标 准方程 ,若圆心为坐标 原点上,则圆的方程就是
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一定是圆 只有当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,它表示的曲 线才是圆,形如 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的方程称 为圆的一般方程
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思考: 1.圆的一般方程的特点?

2.求过三点 A(0,0), B(1,1), C (4, 2) 的圆的方程. 2.圆的标准方程与一般方程的区别?

※ 典型例题 例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程? 如果是,请求出圆的圆心及半径. ⑴ 4 x2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ;
⑵ 4x2 ? 4 y 2 ? 4x ? 12 y ? 11 ? 0 .

二、新课导学 ※ 学习探究 问题 1 .方程 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 表示什么图
形?方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 表示什么图形?

例 2 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4,3) ,端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y2 ? 4 运动,求线段 AB 的中点 M
2

的轨迹方程. 问题 2.方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 在什么条件 下表示圆?

新知:方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的轨迹. D E ⑴当 D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,表示以 (? , ? ) 为圆 2 2
3

※ 动手试试 练 1. 求过三点 A(0,0), B(1,1), C (4, 2) 的圆的方程, 并 求这个圆的半径长和圆心坐标.

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2 2

第四章 圆与方程

1. 若方程 x ? y ? x ? y ? m ? 0 表示一个圆,则有 ( ). 1 1 A. m ? 2 B. m ? 2 C. m ? D. m ? 2 2 2 2 2. 圆 x ? y ? 4x ? 1 ? 0 的 圆 心 和 半 径 分 别 为 ( ). A. (2, 0),5 B. (0, ?2), 5 C. (0,2), 5 D. (2, 2),5
2 3. 动圆 x2 ? y 2 ? (4 m ? 2) x ? 2my ? 4 m ? 4m? 1 ? 0 的圆心轨迹是( ). A. 2 x ? y ? 1 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0 4. 过点 C (?1,1),D (1, 3),圆心在 x 轴上的圆的方程 是 . 2 2 5. 圆 x ? y ? 4 x ? 5 ? 0 的点到直线 3x ? 4 y ? 20 ? 0 的距离的最大值为 .

练 2. 已知一个圆的直径端点是 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 试求此圆的方程.

课后作业
1. 设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 相 交于 A, B ,求弦 AB 的垂直平分线方程.

2. 求经过点 A(?2, ?4) 且与直线 l : x ? 3 y ? 26 ? 0 相 三、总结提升 切于点 B(8,6) 的圆的方程. ※ 学习小结 1 . 方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 中含有三个参变 数,因此必须具备三个独立的条件,才能确定一个 圆,还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转 化. 2.待定系数法是数学中常用的一种方法,在以前 也已运用过.例如:由已知条件确定二次函数,利用 根与系数的关系确定一元二次方程的系数等 . 这种 方法在求圆的方程有着广泛的运用, 要求熟练掌握. 3. 使用待定系数法的一般步骤:⑴根据题意,选 择 标准方 程或 一般方 程; ⑵根据 条件 列出关 于 a , b, r 或 D, E , F 的方程组; ⑶解出 a , b, r 或 D, E , F , 代入标准方程或一般方程.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

§ 4.2 直线、圆的位置关系

学习目标
1.理解直线与圆的几种位置关系; 2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求
4

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圆心到直线的距离; 3.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关 系.

新知 2: 如果直线的方程为 y ? kx ? m , 圆的方程为
( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,将直线方程代入圆的方程,

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P133~ P136,找出疑惑之处) 1.把圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 整理为圆 的一般方程 . 把 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0( D2 ? E 2 ? 4F ? 0) 整 理 为圆的标准方程为 . 2.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象 台的台风预报:台风中心位于轮船正西 70 km 处, 受影响的范围是半径为 30 km 的圆形区域.已知港口 位于台风中心正北 40 km 处,如果这艘轮船不改变 航线,那么它是否会受到台风的影响?

消去 y 得到 x 的一元二次方程式 Px2 ? Qx ? R ? 0 , 那么:⑴当 ? ? 0 时,直线与圆没有公共点; ⑵当 ? ? 0 时,直线与圆有且只有一个公共点; ⑶当 ? ? 0 时,直线与圆有两个不同的公共点;

※ 典型例题 例 1 用两种方法来判断直线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 与圆
( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 的位置关系.

3.直线与圆的位置关系有哪几种呢? 例 2 如 图 2, 已 知 直 线 l 过 点 M ?5 , 5 ? 且和圆

C : x 2 ? y 2 ? 25 相交,截得弦长为 4 5 ,求 l 的方程

4.我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?如何用 直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢?

二、新课导学 ※ 学习探究 新知 1:设直线的方程为 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆的方
程为 C : x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆的半径为 r , D E 圆心 (? , ? ) 到直线的距离为 d , 则判别直线与 2 2 圆的位置关系的依据有以下几点: ⑴当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; ⑵当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; ⑶当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交;
5

变式:求直线 x ? y ? 5 ? 0 截圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 所得的弦长.

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m 的值为(

).

A.0 或 2 B.2 C. 2 D.无解 ) 当直线 l 与圆 3 已 知 直 线 l 过 点 (? 2 , 0,

※ 动手试试
练 1. 直线 y ? x 与圆 x2 ? ? y ? 1? ? r 2 相切,求 r 的
2

x2 ? y 2 ? 2 x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围 是( ). A. (?2 2,2 2) B. (? 2, 2)
2 2 1 1 , ) D. ( ? , ) 4 4 8 8 2 2 4. 过点 M (2, 2) 的圆 x ? y ? 8 的切线方程为 . 2 2 5. 圆 x ? y ? 16 上的点到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距 离的最大值为 .
C. ( ?

值.

课后作业
1. 圆 x ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 l : x ? y ? 1
2

? 0 的距离为 2 的点的坐标.

练 2. 求圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴相 切的圆的方程.

三、总结提升 ※ 学习小结 判断直线与圆的位置关系有两种方法 ① 判断直线与圆的方程组是否有解 a. 有解 ,直线与圆有公共点 .有一组则相切 ;有两组 , 则相交 b 无解,则直线与圆相离 ② 如果直线的方程为 Ax ? By ? C ? 0 ,圆的方程
为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 则圆 心到 直线 的距离 . A2 ? B 2 ⑴如果 d ? r 直线与圆相交; ⑵如果 d ? r 直线与圆相切; ⑶如果 d ? r 直线与圆相离.

2. 若直线 4 x ? 3 y ? a ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 100 . ⑴相 交;⑵相切;⑶相离;分别求实数 a 的取值范围.

d?

Aa ? Bb ? C

§ 4.2 圆与圆的位置关系
学习目标
1.理解圆与圆的位置的种类; 2.利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两 圆的连心线长; 3.会用连心线长判断两圆的位置关系.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 直线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 A.相切 B.相离 C.过圆心 D.相交不过圆心 2. 若直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? m 相切,则

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学习过程
一、课前准备 (预习教材 P136~ P137,找出疑惑之处) 1.直线与圆的位置关系 , , . 2 .直线 x ? y ? 5 ? 0 截圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 6 ? 0 所得 的弦长 . 变式:若将这两个圆的方程相减,你发现了什么?

3.圆与圆的位置关系有几种,哪几种?

例 2 圆 C1 的 方 程 是 : x2 ? y 2 ? 2mx ? 4 y ? m2 4. 设圆两圆的圆心距设为 d. 当 d ? R ? r 时,两圆 当 d ? R ? r 时,两圆 当 | R ? r |? d ? R ? r 时,两圆 当 d ?| R ? r | 时,两圆 当 d ?| R ? r | 时,两圆
?5 ? 0 ,圆 C2 的方程是: x2 ? y 2 ? 2 x ? 2my ? m2 ?3 ? 0 , m 为何值时两圆⑴相切;⑵相交;⑶相离;

⑷内含.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究: 如何根据圆的方程,判断两圆的位置关系?
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新课: 两圆的位置关系利用圆的方程来判断.通常是 通过解方程或不等式和方法加以解决

※ 典型例题 例 1 已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0 ,圆 C2 : x2
? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0 , 试 判 断 圆 C1 与 圆 C2 的 关 系?

※ 动手试试 练 1. 已知两圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 0 与 x2 ? y 2 ? 4 y ? m 问 m 取何值时,两圆相切.

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4 5 2 5 B.1 C. D.2 5 5 3. 两圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 与 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 的公切线有( ). A.1 条 B.2 条 C.4 条 D.3 条 2 2 2 2 4. 两圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 0, x ? y ? 2 x ?12 ? 0 相 交于 A, B 两点,则直线 AB 的方程是 .

A.

练 2. 求经过点 M(2,-2), 且与圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 0 与
x2 ? y 2 ? 4 交点的圆的方程

5. 两圆 x2 ? y 2 ? 1 和 ? x ? 3? ? y2 ? 4 的外公切线方
2



.

课后作业
1. 已知圆 C 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 0 相外切,并且与直 线 x ? 3 y ? 0 相切于点 Q(3,- 3) ,求圆 C 的方程.

2.

求 过 两 圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 和 圆
2

三、总结提升 ※ 学习小结 1.判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定. (2)依据连心线的长与两半径长的和 r1 ? r2 或两半径 的差的绝对值的大小关系. 2.对于求切线问题,注意不要漏解,主要是根据 几何图形来判断切线的条数. 3.一般地,两圆的公切线条数为:①相内切时, 有一条公切线;②相外切时,有三条公切线;③相 交时,有两条公切线;④相离时,有四条公切线. 4.求两圆的公共弦所在直线方程,就是使表示圆 的两个方程相减消去二次项即可得到.

C2 : x ? 2 y? 2 y ?4 的 ? 0交 点 , 且 圆 心 在 直 线 l : 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上的圆的方程.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已 知 0 ? r ? 2 ? 1 , 则 两 圆 x2 ? y 2 ? r 2与
( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 的位置关系是( ). A.外切 B.相交 C.外离 D.内含 2 2 2 2. 两圆 x ? y ? 2 x ? 0 与 x ? y 2 ? 4 y ? 0 的公共弦 长( ).

§ 4.2.3 直线与圆的方程的应用
学习目标
1.理解直线与圆的位置关系的几何性质; 2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P138~ P140,找出疑惑之处)
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1.圆与圆的位置关系有 . 2.圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 5 ? 0 和圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ?7 ? 0 的位置关系为 .

3.过两圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? 0 和 x2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的交点的直线方程 .

变式:赵州桥的跨度是 37.4m.圆拱高约为 7.2m.求 这座圆拱桥的拱圆的方程

二、新课导学 ※ 学习探究 1.直线方程有几种形式? 分别是?

2.圆的方程有几种形式?分别是哪些?

例 2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求 证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一 半.

3.求圆的方程时,什么条件下,用标准方程? 什么条 件下用一般方程?

4.直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应 用.想想身边有哪些呢?

※ 动手试试 练 1. 求出以曲线 x2 ? y 2 ? 25 与 y ? x2 ? 13 的交点 为顶点的多边形的面积.

※ 典型例题 例 1 已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度 AB ? 20m ,拱 高 OP ? 4m ,建造时每间隔 4m 需要用一根支柱支撑, 求支柱 A2 B2 的高度(精确 0.01m)
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3 C. 3 D. 2 3 3. 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0

A.1

B.

的距离为 2 的点共有( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个
2 2

D.4 个 .

4. 圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4 关于直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 对称的圆的方程 练 2. 讨论直线 y ? x ? 2 与曲线 y ? 4 ? x 的交点 个数.
2 2 2

5. 求圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4 关于点 ? 2, 2? 对称的圆 的方程 .

课后作业
1. 坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.

三、总结提升 ※ 学习小结 1.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表 示相应的几何元素:点、直线、圆,然后通过对坐 标和方程的代数运算,把代数结果“翻译”成几何 关系,得到几何问题的结论,这就是用坐标法解决 几何问题的“三部曲”. 2.用坐标法解决几何问题的步骤:第一步:建立 适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中 的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;第 二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步:将 代数运算结果“翻译”成几何结论. 3.解实际问题的步骤:审题—化归—解决—反馈.

2. 机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某 车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块 不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的 半径.已知量球的直径为 2 厘米,并测出三个不同高 度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 一动点到 A(?4,0) 的距离是到 B(2,0) 的距离的 2 倍,则动点的轨迹方程( ). 2 2 A. ? x ? 4? ? y2 ? 4 B. ? x ? 4? ? y2 ? 16
D. x2 ? ( y ? 4)2 ? 16 y 2. 如果实数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 4x ? 1 ? 0 , 则 的最 x 大值为( ) C. x2 ? ( y ? 4)2 ? 4

§ 4.2.3 直线,圆的方程(练习)
学习目标
1.理解直线与圆的位置关系的几何性质; 2.利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.

学习过程
一、新课导学 ※ 学习探究 (预习教材 P124~ P140,找出疑惑之处) 一.圆的标准方程
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例 1 一个圆经过点 A(5,0) 与 B(-2,1) 圆心在直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 上,求此圆的方程 四 弦问题 主要是求弦心距(圆心到直线的距离) ,弦长,圆 心角等问题.一般是构成直角三角形来计算 交,截得的弦长为 4 5 ,求 l 的方程.

例 4 直线 l 经过点 ? 5,5? ,且和圆 x 2 ? y 2 ? 25 相

二.直线与圆的关系 例 2 求 圆

? x ? 2?

2

? ? y ? 3? ? 4 上 的 点 到
2

x ? y ? 2 ? 0 的最远、最近的距离

五.对称问题( 圆关于点对称,圆关于圆对称) 例 5 求圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4 关于点 ? 2, 2 ? 对称
2 2

的圆的方程.

三.轨迹问题 充分利用几何图形的性质 ,熟练掌握两点间的距离 公式、点到直线的距离公式. 例 3 求过点 A(4,0) 作直线 l 交圆 O : x2 ? y 2 ? 4 于 B,C 两点,求线段 BC 的中点 P 的轨迹方程

练习 1. 求圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4 关于直线 x ? 2 y ? 2 ? 0
2 2

对称的圆的方程

2. 由圆外一点 P(2,1) 引圆 O : x2 ? y 2 ? 4 的割线交
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第四章 圆与方程

圆于 A,B 两点,求弦 AB 的中点的轨迹.

3. 已知点 A ? ?1,1? 和圆 C: ( x ? 5)2 ? ( y ? 7)2 ? 4, 一 束光线从 A 点经过 x 轴反射到圆周 C 的最短路程是 ( ). C. 4 6 D.8 4. 设圆 x ? y ? 4 x ? 5 ? 0 的弦 AB 的中点 P (3, 1) , 则直线 AB 的方程为__________________. 5. 圆心在直线 y ? x 上且与 x 轴相切于点(1,0) 的圆的方程 __________ __________ ___ . A.10
2 2

B. 6 2 ? 2

3. 等腰 三角 形的顶 点是 A(4.2) 底 边一 个端 点是 B(3,5)求另一个端点的轨迹是什么?

课后作业
1. 从圆外一点 P (1,1) 向圆 x2 ? y 2 ? 1 引割线,交该圆 于 A, B 两点,求弦 AB 的中点的轨迹方程.

1 4 .已知圆 C 的圆心坐标是 (? ,3) , 且圆 C 与直线2.2. 已知圆的半径为 10 ,圆心在直线 y ? 2 x 上,圆 2 被直线 x ? y ? 0 截得的弦长为 4 2 ,求圆的方程. x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P, Q 两点 , 又 OP ? OQ, O 是坐 标原点,求圆 C 的方程.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知 M (3, 0)是圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 10 ? 0 内一 点,过 M 点的量长的弦所在的直线方程是( ). A x? y ?3? 0 B x? y ?3? 0 C 2x ? y ? 6 ? 0 D 2x ? y ? 6 ? 0
2. 若圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? r 2 上有且只有两点到直 线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离为 1,则半径 r 的取值范围 是( ). A. ? 4,6 ? B. ? 4,6 ? C. ? 4,6? B. ? 4,6?

§ 4.3 空间直线坐标系
学习目标
1.明确空间直角坐标系是如何建立;明确空间中的 任意一点如何表示; 2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐标

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P142~ P144,找出疑惑之处) 1.平面直角坐标系的建立方法,点的坐标的确定 过程、表示方法?

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2.一个点在平面怎么表示?在空间呢?

反思:求空间中点的坐标的步骤:建立空间坐标系 ?写出原点坐标 ?各点坐标. 讨论:若以 C 点为原点,以射线 BC , CD, CC ? 方向 分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,则各顶点 的坐标又是怎样的呢?

二、新课导学 ※ 学习探究 1.怎么样建立空间直角坐标系?

变式:已知 M (2, ?3, 4) ,描出它在空间的位置

2.什么是右手表示法?

3.什么是空间直角坐标系,怎么表示?

例 2 V ? ABCD 为正四棱锥, O 为底面中心,若 AB ? 2,VO ? 3 ,试建立空间直角坐标系,并确定各 顶点的坐标.

思考:坐标原点 O 的坐标是什么? 讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程

※ 动手试试 练 1. 建立适当的直角坐标系,确定棱长为 3 的正 四面体各顶点的坐标.

※ 典型例题 例 1 在长方体 OBCD ? D ?A?B ?C ? 中,OA ? 3, OC ? 4 OD? ? 2. 写出 D?, C , A?, B? 四点坐标.

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第四章 圆与方程

练 2. 已知 ABCD ? A?B ?C ?D ? 是棱长为 2 的正方体, E , F 分别为 BB? 和 DC 的中点,建立适当的空间直 角坐标系,试写出图中各中点的坐标

3. 已 知 ?ABC 的 三 个 顶 点 坐 标 分 别 为 A( 2 , 3 ,B1 ) ? , ( 4 C , 1 , ,则 2 )? , ABC ( 6的重心坐标 , 3, 7 ) 为( ). 7 7 14 7 A. (6, ,3) B. (4, , 2) C. (8, , 4) D. (2, ,1) 2 3 3 6 D 平 行 四 边 形 , 且 4. 已 知 A B C 为 A(4,1,3), B(2, ?5,1) , C (3,7, ?5) 则顶点 D 的坐标 .
2 2 5. 方程 ( x ? 2)2 ? (y ? 3) 的几何意义 ? (z ? 1) ? 36 是 .

课后作业
1. 在空间直角坐标系中,给定点 M (1, ?2,3) ,求它 分别关于坐标平面, 坐标轴和原点的对称点的坐标.

三、总结提升 ※ 学习小结 1.求空间直角坐标系中点的坐标时,可以由点向各 坐标轴作垂线,垂足的坐标即为在该轴上的坐标. 2.点关于坐标平面对称,则点在该坐标平面内两个 坐标不变,另一个变成相反数;关于坐标轴对称则 相对于该轴的坐标不变,另两个变为相反数;关于 原点对称则三个全变为相反数; 3.空间直角坐标系的建立要选取好原点,以各点的 坐标比较好求为原则, 另外要建立右手直角坐标系. 4.关于一些对称点的坐标求法 P( x, y, z ) 关于坐标平面 xoy 对称的点 P 1 ( x, y, ? z ) ; P( x, y, z ) 关于坐标平面 yoz 对称的点 P2 (? x, y, z ) ; P( x, y, z ) 关于坐标平面 xoz 对称的点 P 3 ( x, ? y, z ) ; P( x, y, z ) 关于 x 轴对称的点 P4 ( x, ? y, ? z ) ; P( x, y, z ) 关于 y 对轴称的点 P 5 (? x, y, ? z ) ; P( x, y, z ) 关于 z 轴对称的点 P 6 (? x, ? y, z ) ;

2. 设有长方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? ,长、宽、高分别 为 AB ? 4cm, AD ? 3cm, AA? ? 5cm, N 是 线 段 CC ? 的中点. 分别以 AB, AD, AA? 所在的直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系. ⑴求 A, B, C , D, A?, B?, C ?, D? 的坐标; ⑵求 N 的坐标;

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 关于空间直角坐标系叙述正确的是( ). A. P( x, y, z ) 中 x, y, z 的位置是可以互换的 B.空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组 是一种一一对应的关系 C.空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为 八个部分 D.某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置 可以相同 2. 已知点 A(?3,1, ?4) ,则点 A 关于原点的对称点的 坐标为( ). A.(1, ?3, ?4) B.(?4,1, ?3) C.(3, ?1, 4) D.(4, ?1,3)

§ 4.3.2 空间两点间的距离公式
学习目标
1. 通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距 离公式 2. 掌握空间直角坐标系中两点间的距离公式及推 导,并能利用公式求空间中两点的距离.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P145~ P146,找出疑惑之处) 1. 平面两点的距离公式?

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2. 我们知道数轴上的任意一点 M 都可用对应一个 实数 x 表示,建立了平面直角坐标系后,平面上任 意一点 M 都可用对应一对有序实数 ( x, y ) 表示.那 么假设我们建立一个空间直角坐标系时,空间中的 任意一点是否可用对应的有序实数组 ?x, y, z ? 表示 出来呢?

⑵如果 OP 是定长 r,那么 x ? y ? z ? r 2 表示什么 图形?

※ 典型例题 例 1 求点 P1(1, 0, -1)与 P2(4, 3, -1)之间的距离

3. 建立空间直角坐标系时, 为方便求点的坐标通常 怎样选择坐标轴和坐标原点?

二、新课导学 ※ 学习探究 1.空间直角坐标系该如何建立呢?
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z

变式:求点 A(0,0,0)到B(5,2, ?2) 之间的距离

D' A' O A B B'

C'

C

y

x

2.建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点 M 如何用坐标表示呢? 33.3.空间中任意一点 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) 与点 P 2 ( x2 , y2 , z2 ) 之间 的距离公式 P1 P2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2 . 注意:⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距 离公式形式上类似;⑵公式中 x1 , x2 , y1 , y2
z1 , z2 可交换位置; ⑶公式的证明充分应用矩形对角

例 2 在空间直角坐标系中, 已知 ?ABC 的顶点分别 1 5 ?ABC 是直 是 A(?1, 2,3), B(2, ?2,3), C( , ,3) .求证: 2 2 角三角形.

线长 ? a2 ? b2 ? c2 这一依据. 探究: ⑴点 M ( x, y, z ) 与坐标原点 o(0,0,0) 的距离?

※ 动手试试 练 1. 在 z 轴上,求与两点 A(?4,1, 7) 和 B (3,5, ?2) 等
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第四章 圆与方程

距离的点.

5.已知 ?ABC 的三点分别为 A(3,1, 2), B(4, ?2, ?2) , C (0,5,1) 则 BC 边上的中线长为 .

课后作业
1. 已知三角形的顶点为 A(1, 2,3), B(7,10,3) 和 C (?1,3,1) .试证明 A 角为钝角.

练 2. 试在 xoy 平面上求一点,使它到 A(1, ?1,5) , B(3, 4, 4) 和 C (4,6,1) 各点的距离相等.

三、总结提升 ※ 学习小结 1.两点间的距离公式是比较整齐的形式,要掌握这 种形式特点,另外两个点的相对应的坐标之间是相 减而不是相加. 2.在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆. 与之类似的是,在三维空间中,到定点的距离等于 定长的点的集合是以定点为球心,以定长为半径的 球. ※ 知识拓展 1.空间坐标系的建立,空间中点的坐标的求法. 2. 平 面 上 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 两 点 间 的 距 离 公 式
d ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 .
3.平面上圆心在原点的圆的方程 x2 ? y 2 ? r 2 .

2. 在河的一侧有一塔 CD ? 5m ,河宽 BC ? 3m ,另 侧有点 A , AB ? 4m ,求点 A 与塔顶 D 的距离.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 空间两点 A(3, ?2,5), B(6,0, ?1) 之间的距离 ( ) . A.6 B.7 C.8 D.9 2. 在 x 轴上找一点 P , 使它与点 P0 (4,1, 2) 的距离为
30 ,则点 P 为( ). A. (9, 0, 0) B. (?1,0,0) C. (9,0,0)(?1,0,0) D.都不是 3.设点 B 是点 A(2, ?3, 5) 关于 xoy 面的对称点,则

第四章 圆与方程 复习
学习目标
1. 掌握圆的标准方程、一般方程,会根据条件求出 圆心和半径,进而求得圆的标准方程;根据方程求 得圆心和半径;掌握二元二次方程表示圆的等价条 件;熟练进行互化. 2. 掌握直线和圆的位置关系, 会用代数法和几何法 判断直线和圆的位置关系;会求切线方程和弦长; 能利用数形结合求最值. 3. 掌握空间直角坐标系的建立,能用 ( x, y, z ) 表示 点的坐标;会根据点的坐标求空间两点的距离.

AB ? (

).

A.10 B. 10 C. 38 D.38 4.已知 A(3,5, ?7) 和点 B (?2, 4,3) ,则线段 AB 在坐 标平面 yoz 上的射影长度为 .

学习过程
一、课前准备 (复习教材 P124~ P152,找出疑惑之处)
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复习知识点 1.圆的方程 ⑴标准式:圆心在点 (a, b) ,半径为 r 的圆的标准方 程为 当圆心在坐标 原点时,圆的方程为 . ⑵一般式: . ⑶圆的一般式方程化为标准式方程为 . ⑷ 是求圆的方程的常用方法.
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学案

2.点与圆的位置关系有 判断的依据为:



3.直线与圆的位置关系有 判断的依据为:



小结:用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择, 一般地,已知圆上三点时用一般式方程 ,已知圆心或 半径关系时,用标准方程. 例 2 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上与直线 4 x ? 3 y ? 12 ? 0 距离 最短的点是.

4.圆与圆的位置关系有 判断的依据为:



5.空间直角坐标系 ⑴空间直角坐标系中点的坐标可以用一对有序实 数对 表示. ⑵空间两点间的距离公式,如果 P 1 ( x1 , y1 , z1 ) ,
P2 ( x2 , y2 , z2 ) , 则两点间的距离为 PP 1 2 ?

.

⑶点 M (a, b, c) 关于坐标平面, 坐标轴及坐标原点的 对称点的坐标 ⑴关于坐标平面 xoy 对称的点 ; ⑵关于坐标平面 yoz 对称的点 ; ⑶关于坐标平面 xoz 对称的点 ; ⑷关于 x 轴对称的点 ; ⑸关于 y 对轴称的点 ; ⑹关于 z 轴对称的点 .

※ 动手试试 练. 求过直线 2 x ? y ? 4 ? 0 和圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ?1 ? 0 的交点,且满足下列条件之一的圆的方程. ⑴过原点;⑵有最小面积.

※ 典型例题 例 1 求经过 P(?2, 4), Q(3, ?1) 两点,并且在 x 轴上截 得的弦长等于 6 的圆.

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第四章 圆与方程

坐标原点到直线 l 的距离最大值为 . 2 2 2 5. 若 圆 O1 : ( x? a) 始 终 平 分 圆 ? ( y ? b) ? b ? 1 O2 : ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 的周长,则实数 a , b 的关系 是 .

课后作业
1. 讨论两圆:C1 :16 x2 ? 16 y 2 ? 16x ? 32 y ? 61 ? 0 与 1 C2 : ( x ? sin ? )2 ? ( y ? 1)2 ? 的位置关系. 16

三、总结提升 ※ 学习小结 1.确定圆的方程,一般用待定系数法,如果条件与 圆心和半径有关,通常选择圆的标准方程;如果已 知点的坐标,条件与圆心无直接关系,一般选用圆 的一般方程. 2. 已知点 A(a,0), B(0, b)(其中 a , b 均大于 4) ,直线 2.直线与圆的位置关系可以根据方程组解的情况来 AB 与圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 相切 判断,但利用圆心到直线的距离与圆的半径比较来 ⑴求证: (a ? 4)(b ? 4) ? 8 ; 判断更方便. 3.直线与圆相交,求弦长,或求与弦长有关系的问 ⑵求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. 题,利用平面几何中的垂径定理往往非常简单. 4.过一点作圆的切线,应首先判断点是否在圆上, 如果点在圆上,可直接利用公式写现圆的切线方 程;如果点在圆外,必有两条切线,如果关于斜率 k 的方程只有一解,则另一条切线必为斜率不存在 的直线,务必要补上. 5.学习过程中要注意数形结合思想的运用,充分利 用图形的性质减少运算量、 节省时间, 提高准确度, 事半功倍.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 圆 x2 ? y 2 ? ax ? 2 y ? 1 ? 0 关 于 直 线 x ? y ? 1 对
称 的 圆 方 程 是 x2 ? y 2 ? 1 ? 0 , 则 实 数 a 的 值 是 ( ). A.0 B.1 C.2 D. ?2 2 2 2. 圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上 的 点 到 直 线 x ? y ? 2 的距离最大值是( ). A.2 B. 1 ? 2 C. 2 ?
2 2

D. 1 ? 2 2

3. 方程 1 ? x2 ? kx ? 2 有唯一解,则实数 k 的取值 范围是( ). A. k ? ? 3 B. k ? (?2, 2)
k ? ?2 或 k ? 2 k ? ?2 或 k ? 2 或 k ? ? 3 C. D. 4. 如果直线 l 将圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 0 平分,那么
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