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江西师大附中、临川一中2011届高三12月联考(理数)


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江西师大附中、临川一中 2011 届高三联考 理科数学试卷
2010.12 时间:120 分钟 总分:150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 A = {x ∈ N | 0 < x ? 1 < 4} , B = {x ∈ Z | x 2

? 5 x + 6 = 0} ,则下列结论中不正确的是 ( ) B. A ∩ B = B D. (CR A) ∩ B = ? ) A. C R A ? C R B C. A ∩ (C R B ) = ?

2.已知数列 {an } 的通项为 an = 3n + 8 ,下列各选项中的数为数列 {an } 中的项的是( A.8 3.函数 y = y 1 x -1 A B -1 C
x

B.16

C.32

D.36 ) y 1 x -1 D x -1 y 1 x

xa (0 < a < 1) 的图象的大致形状是( x
y 1

4.设函数 f ( x ) = x 3 + 3x ( x ∈ R ) ,若 0 ≤ θ ≤ m 的取值范围是( A. (0,1) )

π
2

时, f ( m sin θ ) + f (1 ? m ) >0 恒成立,则实数

B. (-∞,0)

1 C. (-∞,2)

D. (-∞,1)

B

5.如图,△ABC 中, GA + GB + GC = O , CA = a ,

CB = b . 若 CP = ma , CQ = nb . CG ∩ PQ = H , CG = 2CH ,则
A.2

1 1 + =( m n B.4

) C.6 D.8
C

Q H P

G

A

1 6.数列 {an } 满足 a1 = 1, a2 = , 并且 an (an ?1 + an +1 ) = 2an +1an ?1 ( n ≥ 2) ,则数列的第 2010 项为 2 ( )
A.

1 2100

B.

1 2
2010

C.

1 2010

D.

1 100

7.对于实数 x,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,例如:[π ] = 3,[?1.08] = ?2 .如果定义函数

f ( x ) = x ? [ x ] ,那么下列命题中正确的一个是(
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A. f (5) = 1 C.函数 f ( x ) 是周期函数 A.正三角形 C.正方形

B.方程 f ( x ) =

1 有且仅有一个解 3 D.函数 f ( x ) 是减函数


8.一个正四面体在平面上的射影不可能是(

B.三边不全相等的等腰三角形 D.邻边不垂直的菱形 )

9.若直线 3ax+5by+15=0 到原点的距离为 1,则 a 2 + b2 的取值范围为( A.[3,4] B.[3,5] C.[1,8] D.(3,5]

? 1 ? ? 10. 设函数 f ( x ) = ? 4 ? x 2 ? 0 ? ?
A.

( x ≤ 3) ( 3 < x < 2) ,则 ∫ 2010 f ( x )dx 的值为( ?1 ( x ≥ 2)


2+ 3 π 2+ 3 π 2+ 3 π 1+ 3 B. + C. + D. + 3 2 2 2 6 2 2 2 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) x-1 11.已知命题 p:|1- 3 |≤2,命题 q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),┒p 是┒q 的必要不充分条件, +
则实数 m 的取值范围是 . . 12.已知函数 f ( x ) = lg( x + x 2 + 1) + cos x 且 f ( ?2010) = a ,则 f (2010) =

π

13.在矩形 ABCD 中,AB = 4,BC = 3,沿对角线 AC 把矩形折成二面角 D-AC-B,并且 D 点在 平面 ABC 内的射影落在 AB 上.若在四面体 D-ABC 内有一球,当球的体积最大时,球的 半径是 .

14.若直线 y = kx + 1 和

x y + = 1 与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则 k = 2 4




15.选做题(考生注意:请在 A,B 两题中 任选做一题作答 若多做 则按 A 题记分) 选做题(考生注意: 任选做一题作答,若多做 选做题 , 两题中,任选做一题作答 若多做,则按 题记分) A.若集合 {x || x + 1 |< k ? | 2 ? k |} = φ ,则实数 k 的取值范围是

? x = 1+ t B. 已知直线 ? ? y = 4 ? 2t
为直径的圆的面积为 16. (本小题满分 12 分)

( t ∈ R ) 与圆 ?
.

? x = 2 cos θ + 2 ? y = 2sin θ

(θ ∈ [0,2π ]) 相交于 AB,则以 AB

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 已知函数 f ( x ) = ln( x + 2) ? x 2 + bx + c. 在点 x=1 处的切线与直线 3 x + 7 y + 2 = 0 垂直, f 且 (-1)=0,求函数 f(x)在区间[0,3]上的最小值。 17. (本小题满分 12 分)

已知: m = (2 cos x,1) , n = cos x, 3 sin 2 x , 函数 f ( x ) = m ? n +

(

)

2007 2007 + . 2 1 + cot x 1 + tan 2 x

(1)化简 f (x ) 的解析式,并求函数的单调递减区间; (2)在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 f ( A) = 2009, b = 1 ,△ABC 的面积为
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3 1005(a + c) ,求 的值. 2 sin A + sin C

18. (本小题满分 12 分) 如左图示,在四棱锥 A-BHCD 中,AH⊥面 BHCD,此棱锥的三视图如下: (1)求二面角 B-AC-D 的大小; (2)在线段 AC 上是否存在一点 E,使 ED 与面 BCD 成 45°角?若存在,确定 E 的位置;若 不存在,说明理由。

19. (本小题满分 12 分)

x>0 ? ? 已知不等式组 ? y>0 所表示的平面区域为 D n ,记 D n 内的整点个数为 ? y ≤ ?nx + 2009n ?

an (n ∈ N ? ) (整点即横坐标和纵坐标均为整数的点).
(1)数列 {an } 的通项公式 an ; (2)若 Sn = a1 + a2 + ? + an ,记 Tn =

2017036 ,求证: T1 + T2 + ?Tn < 2 . Sn

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20. (本小题满分 13 分) (1)若 x 2 ? bx + 1 = 0 (

1 ≤ x≤2) ,试求实数 b 的范围; 2
1 1 1 ? k x 2 + 2 , x ∈ [ , 2] x x 2

(2)设实数 k ? [0,1] ,函数 f ( x ) = x + 试求函数 f ( x ) 的值域。

21. (本小题满分 14 分) 现有甲,乙,丙,丁四名篮球运动员进行传球训练,由甲开始传球(即第一次传球是由 甲传向乙或丙或丁) ,记第 n 次传球球传回到甲的不同传球方式种数为 an . (1)试写出 a1 , a2 并找出 an ?1 与 an ( n ≥ 2 )的关系式; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)证明:当 n ≥ 2 时,

1 1 1 2 < . + ?+ a 2 a3 an 3

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2010 年师大附中、临川一中高三联考 年师大附中、 数学试题(理科答案) 数学试题(理科答案) 试题 答案
一.选择题 1.C

A = {?2, ?1, 0, 2,3, 4} , B = {2,3} , B ? A

2. C

3.D 当 x>0 时, y = a x 为减函数; 当 x<0 时, 4.D

y = ? a x 为增函数. 故选 D

f ′ (x)=3x2+3>0

f (x)在 x∈R 为增函数 因此 f (x)为奇函数
即 m(1-sinθ)<1 1 所以 m<1 1-sinθ

所以 f(msinθ)≥-f(1-m)=f(m-1),msinθ>m-1 π 0≤θ≤ 2 5.C 6 . C an ( an ?1 + an +1 ) = 2an +1an ?1 ? 1≥ sinθ≥0

1≥1- sinθ≥0 所以 m<

1 1 1 1 + = 2 (n ≥ 2) , ∴{ } 是 等 差 数 列 , 且 an +1 an ?1 an an

1 1 = 1, d = 1, 则数列的通项公式 an = 1 ,故第 2010 项为 n 2010 a1
7. C.显然 f (5) = 5 ? [5] = 0 ,这说明 f (5) = 1 是错误的;因为 f ( ) =

1 3

1 1 1 ?[ ] = , 3 3 3

4 4 4 1 1 f ( ) = ? [ ] = ,所以,“方程 f ( x) = 有且仅有一个解”的判断是错误的;这也说明函 3 3 3 3 3
数 f (x ) 不是减函数. 8.D a2 b2 2 2 9.B 子能由条件得25+ 9 =1,则 a + b 表示椭圆上的点到原点的距离的取值范围[3,5]。 10. A. 当 3 < x < 2 时,对应的面积是一个扇形与一个三角形面积的差:

π
3

?

3 。 2

二.填空题 11. m≥9 p:-2≤x≤10,由┒p 是┒q 的必要不充分条件,得 q 是 p 的必要不充分条件,
?g(-2)≤0 令 g(x)=x2-2x+1-m2(m>0),得? ,得 m≥9 ?g(10)≤0

12. 2 cos 2010 ? a . 4 7 - 7 13. 6 当球的体积最大时,球与三棱锥 D -ABC 的各面相切,设球队半径为 R ,则 VD -ABC

1 = VO -ABC +VO -DAC + VO -DBA + VO -DAB = 3 R(S△ABC + S△DAC + S△DBC + S△DAB).由题设易知 AD⊥平面 DBC, 又 ∵BD ? 平面 DBC,∴AD⊥BD,∴△ABD 为直角三角形,∵AB = 4,AD = 3,∴BD =
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7 ,∴S△ABC

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=

1 1 3 7 AD·BD = ×3× 7 = .在△DAB 和△DBC 中,∵AD = BC,AB = DC,DB = DB, 2 2 2 3 7 1 3 7 3 7 ,VD -ABC = VA –DBC = ×3× = ,∴S△ABC = S△ADC = 2 2 2 3 7 )R = 3 7 4 7 - 7 , 解得 R = 2 6

∴△DAB≌△BCD,故 S△DBC =

1 3 7 3 7 6,∴ R(6 + 6 + + ),于是( 4 + 2 2 3 14.

1 . 2

15.A. k > 3

B.

16 π 5

三.解答题 解答题 16.解: f ′( x ) =

1 ? 2 x + b. 与直线 3 x + 7 y + 2 = 0 垂直的直线的斜率为 x+2

7 7 , 令f ′(1) = , 得b = 4 ,又 f(-1)=ln(2-1)-1-4+c=0,所以 c=5……2′ 3 3 f ′( x) = 1 3 2 3 2 ? 2 x + 4 ,由 f ′( x) = 0, 得x = ,当 x ∈ [0, ] 时,f′(x)≥ 0,f x+2 2 2

(x)单调递增;当 x ∈ (

3 2 ,3] 时,f′(x)≤ 0,f(x)单调递减。…………6′ 2

又 f(0)=ln2+5,f(3)=ln5+8,所以 f(x)在[0,3]最小值为 ln2+5。……12′ 17. (1)

f ( x) = 2 sin(2 x + ? ?

π
6

) + 2008

……3′

单减区间 ?kπ + (2) A =

π
6

, kπ +

π? ?

2π ? π , (k ∈ Z ) …6′ ? ∪ ? kπ + , kπ + 2? ? 2 3 ? ?
A

, c = 2, a = 3 ,…………9′ 3 1005(a + c) 1005a = = 2010……………12′ sin A + sin C sin A

π

N

18.解: (1)由 AH⊥面 BHCD 及三视图知:
B

M

D

AH=BH=HC=1, AB = BC = AC =

2,
H C

AD = 3 取 AC 的中点 M,过 M 作 MN∥CD 交
AD 于 N,则 ∠BMN 是所求二面角的平面角,……2′

BM =

6 1 1 3 6 , MN = , BN = AD = …… cos ∠BMN = , 2 2 2 2 3 6 ;……………6′ 3

所求二面角的平面角大小为 arccos

(2)假设在线段 AC 上存在点 E 合题意,记 E 在 HC 上的射影为 F,

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设 EF = x ( x ∈ [0,1] ) ,则 (注:也可用向量法)

x 1+ x2

= 1 ,矛盾。所以不存在点 E 合题意……12′

19.解: (1)当 x = 1,2, ? ,2007 ,2008 时,分别有 2008n,2007 n, ? , n 个整点, 故 a n = n + 2n + ? + 2008n = 2017036n …………6′ (2) S n = a1 + a 2 + ? + a n = 2017036(1 + 2 + ? + n) 易得: T1 + T2 + ?Tn < 2 …………12′

20.解: (1)因为 b = x + (2)令 x + .

1 1 ? 5? ,又 ≤ x ≤ 2 可得: b 的范围是: ?2, ? ……5′ x 2 ? 2?

1 5 = t , 则 t ≥ 2 , f ( x) = g (t ) = t ? k t 2 ? 2 , t ∈ [2, ] ……………7′ x 2 5 于是,只须求 g (t ) 在 t ∈ [ 2, ] 的取值范围. 2

当 k <0 时, f ( x ) = g (t ) 是关于 t 的严格递增函数,则 f ( x ) = g (t ) 的值域是

5 5 ? 17 k [ g (2), g ( )] ,即函数 f ( x) 的值域为 [2 ? 2k , ] ……………10′ 2 2 2k 2 (k ? 1)t ? t 2 ? k 2 (t 2 ? 2) 2 t 当 k >1 时, k ? 1 > 0 f ( x ) = g (t ) = =- 2 2 t+k t ?2 1+ k 1? 2 t
2

观察知 g (t ) 在 t ∈ [ 2, ] 上关于 t 的严格递减函数, f ( x ) = g (t ) 的值域是 [ g ( ), g ( 2)] 即函 .故

5 2

5 2

数 f ( x ) 的值域为 [

5 ? 17 k ,2 ? 2k ] 。………………13′ 2

21..解: (1) a1 =0, a 2 =3,……2′ 丙, 丁的不同传球方式种数分别为 bn ,c n , d n 则 a n ?1 + bn ?1 + c n ?1 + 记第 n 次传球球传到乙,

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d n ?1 = 3 n ?1 ( n ≥ 2 ),且 bn ?1 + c n ?1 + d n ?1 = a n 故 a n?1 + a n = 3 n ?1 ……5′
(2)a n =- a n ?1 + 3
n ?1



an a 1 1 a n ?1 1 a n 1 1 a n ?1 1 1 = ? ? n ?1 + 即 n ? = ? ( n ?1 ? ) , 1 ? = ? 故 又 n 3 3 3 3 4 3 3 4 4 4 3 3

an 1 1 1 3 n + 3(?1) n ? = ? ? (? ) n ?1 ,化得: a n = …………9′ 4 3 4 3n 4
(3)ⅰ.当 n ( n ≥ 3 )为奇数时, 则 n ? 1 为偶数

1 a n ?1
=4?

+

1 4 4 3 n ?1 + 3 n = n ?1 + n = 4 ? n ?1 n an 3 + 3 3 ? 3 3 ? 3 + 3 ? 3 n ? 3 ? 3 n ?1 ? 9

3 n ?1 + 3 n 3 n ?1 + 3 n 1 1 < 4 ? n ?1 n = 4( n ?1 + n ) n ?1 n n 3 ?3 + 2×3 ? 9 3 ?3 3 3 ( 1 1 1 1 + ) +?+ ( + ) a 2 a3 a n ?1 a n
<

1 1 1 + ?+ = a 2 a3 an

4[(

1 1 + 3)+ 2 3 3

?+ (

1 3
n ?1

+

1 )] 3n

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 2 3 =49 < 1 3 1? 3

…………11′ ⅱ.当 n 为偶数时, 则 n + 1 为奇数,由ⅰ.知:

1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 1 1 1 1 2 3 + ?+ < ( + )? + ( + )=49 < 1 a 2 a3 an a 2 a3 a n a n +1 3 1? 3
综上知:当 n ≥ 2 时,

1 1 1 2 + ?+ < . …………14′ a 2 a3 an 3

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