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多面体欧拉定理2


《七桥问题》 七桥问题》
18世纪, 18世纪,东普鲁士的哥尼 世纪 斯堡(现今叫加里宁格勒, 斯堡(现今叫加里宁格勒, 在波罗的海南岸) 在波罗的海南岸)是一座景致 迷人的城市, 迷人的城市,普勒格尔河横贯 其境,并在这儿形成两条支流,把整座城市分割成4 其境,并在这儿形成两条支流,把整座城市分割成4个区 见投影):河的两岸( ):河的两岸 ),河中的岛 河中的岛(

域(见投影):河的两岸(A和B),河中的岛(C)和两 条支流之间的半岛( )。当时有七座桥横跨普勒格尔河 条支流之间的半岛(D)。当时有七座桥横跨普勒格尔河 及其支流,把河岸、半岛和河心岛连接起来。 及其支流,把河岸、半岛和河心岛连接起来。有趣的桥群 和哥城4区的迷人景色吸引了众多的游客, 和哥城4区的迷人景色吸引了众多的游客,有人在游览时 提出这样的问题:能否从某个地方出发, 提出这样的问题:能否从某个地方出发,穿过所有的桥各 一次后再回到出发点? 一次后再回到出发点?

班级:高二、 班级:高二、

授课: 授课: 张同庆



再研究下面几个多面体

(5)凹多面体 )

(6)五棱锥 )

(7)“屋顶” ) 屋顶”

(8)截顶正方体 )

F 多面体 (4)凹多面体 ) 6 6 (5)五棱锥 ) (6)“屋顶” ) 屋顶” 9 (7)截顶正方体 7 )

V 6 6 9 10

E 10 10 16 15

以上几种多面体对于无限多多面体来 无异是沧海一粟, 说,无异是沧海一粟,能否找到一系 列或无限多个证据来说明上述猜想 呢?

研究n棱柱和n棱锥(n=3,4,5,··· )

多面体 n棱柱 棱柱 n棱锥 棱锥

F n+2 n+1

V 2n n+1

E 3n 2n

棱柱“ 截顶” 对 n棱柱“ 装顶 ” 、 “截顶 ” 后是否还成 棱柱 装顶” 立呢? 立呢?

(7)“屋顶” ) 屋顶”

F′ = F +n?1 V′ =V +1 E′ = E+n

(8)截顶正方体 )

思考: 思考:有无不符 合此“猜想” 合此“猜想”的情 况呢? 况呢?


对欧拉定理再认识: 对欧拉定理再认识:
简单多面体中,一条棱对应两个顶点, 两个面。 简单多面体中,一条棱对应两个顶点,一条棱对应 两个面。 1、 如果一个简单多面体有F个面,每个面都有n条边,那么它 如果一个简单多面体有F个面,每个面都有n条边, 有多少条棱? 有多少条棱?

2、如果一个简单多面体有V个顶点,每个顶点有m条棱,那么 、如果一个简单多面体有V个顶点,每个顶点有m条棱, 这个多面体有多少条棱? 这个多面体有多少条棱?



我的收获: 我的收获:

——不积小流无以成江河 不积小流无以成江河

1、如何记忆欧拉定理? 、如何记忆欧拉定理?
顶点,face面部 面部,edge边缘); 边缘); ①V+F-E=2(英文写法 - (英文写法:vertex顶点 顶点 面部 边缘 特例(正四面体) ②特例(正四面体)

2、如何求欧拉示性数? 、如何求欧拉示性数?
①简单多面体:f(p)=2; 简单多面体: ; 其它多面体: ②其它多面体:定V、F、E的数目 、 、 的数目

3、点、棱数与面、棱数间的规律: 、 棱数与面、棱数间的规律:
简单多面体中,一条棱对应两个顶点, 两个面。 ① 简单多面体中,一条棱对应两个顶点,一条棱对应 两个面。 如果一个简单多面体有F个面,每个面都有n条边, ② 如果一个简单多面体有F个面,每个面都有n条边,则它有 nF/2条棱 条棱. nF/2条棱. 如果一个简单多面体有V个顶点,每个顶点有m条棱, ③如果一个简单多面体有V个顶点,每个顶点有m条棱,则这个 多面体有mV/2条棱. mV/2条棱 多面体有mV/2条棱.

mV nF =E= 2 2
顶点数
的 棱 数 为 m 从 一 点 出 发

棱数
面 是 n 边 形

面数

1、课本P69习题:2 习题: 2、铜的单晶体的外形是简

单多面体, 单多面体,单晶铜有三角形 和八边形两种晶面, 和八边形两种晶面,若铜的 个顶点, 单晶有24个顶点,每个顶点 处都有三条棱, 处都有三条棱,计算单晶铜 的两种晶面的数目。 的两种晶面的数目。 3、思考讨论:为什么正多 思考讨论: 面体只有5种?


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