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2007新知杯上海市初中数学竞赛


2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛
一、填空题(第 1~5 小题,每题 8 分,第 6~10 小题,每题 10 分,共 90 分)
1. 已知-1<2x<1,则

2 ? 1 的取值范围为______。 x 2. 在面积为 1 的 ?ABC 中,P 为边 BC 的中点,点 O 在边 AC 上,且 AQ=2QC,连接 AP、 BQ 交于点 R,则 ?ABR 的面积是______。 3. 在 ?ABC 中,∠C=90° ∠A 、 ∠B 、 ∠C 的对边顺次为 a、b、c,若关于 x 的方程 b c(x 2 +1)- 2 2bx -a(x 2 -1)=0 的两根的平方根和为 10,则 的值为______。 a

4. 数 x1 、 x 2 …… x100 满足如下条件:对于 k=1、2……100。 x k 比任何其余 99 个数的和小 k,则 x 25 的值为______。 5. 已知实数 a、 c, b≠0, b、 且 若实数 x1 , x 2 ,y1 、y 2 满足 x1 + ax 2 =b,x 2 y1 ? x1 y 2 = a ,
2 2

x1 y 2 + ax 2 y 2 = c ,则 y1 + ay 2 的值为_______。
2 2

6. 如图,设 P 是凸四边形 ABCD 内一点,过 P 分别作 AB、BC、CD、DA 的垂线,垂线分别为 E、F、G、H。已知 AH=3,HD=4,DG=1,GC=5,CF=6,FB=4,且 BE-AE=1,则四边形 ABCD 的周 长为______。
C G D H P F

7. 如图, ?ABC 的 面积为 1,点 D、G、E 和 F 分别在 边 AB、 BC 上, AC、 BD<DA,DG∥BC,DE∥AC,GF∥AB,则 DEFG 面积的最大可能值为_____.
A

A

E

B

D

G

B

8.

E

F

C

不超过 1000 的正整数 x,使得 x 和 x+1 两者的数字和都是奇数,

则满足条件的正整数 x 有_____个。 9. 已知 k 为不超过 50 的正整数,使得对任意正整数 n, 2 × 3
6n

+ k × 2 3n +1 ? 1 都能被 7
1

整除,则这样的正整数 k 有______个。 10. 使得

p ( p + 1) + 2 是完全平方数的所有质数 p 为______。 2

二、 (20 分)
如图,在 Rt?ABC 中,∠C=90°,BC=2,AC=X,点 F 在边 AB 上,点 G、H 在边 BC 上,四边 形 EFGH 是一个边长为 y 的正方形,且 AE=AC。 (1) 求 y 关于 x 的函数解析式。 (2) 当 x 为何值时,y 取到最大值?并求出 y 的最大值。

2

三、
求满足下列条件的正整数 n 的所有可能值,对这样的 n,能找到实数 a、b 使得函数

f ( x) =

1 2 x + ax + b 对任意整数 x, f (x) 都是整数。 n

3

四、 (20 分)
在一个盒子里有红、黄、黑三种颜色的小球共 88 个,已知从中任意取出 24 个。就可以保证 至少有 10 个小球是同色的,问在满足上述条件下,无论各种颜色的小球如何分配,至少要 从盒子里任意取出多少个小球,才能保证至少有 20 个小球是同色的?

4


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