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作业(6)解析几何参考答案


作业( 6) 解析几何参考答案
一、填空题 1.

5 2

2 2 2. y - x = 1 3.x2 +y2 +2x-4y=0 3 12

4. 2-1 10.-

5.8

6.2 3

7. 10

8.18

r />9. 2 x ? y ? 12 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0 14.[1,5]

b2 5 11. 12. 2 a 3

? 2 ? ? 2 ,1 ?

13. x+y-2=0 二、解答题

15. 解:∵点 A (3,2)关于 x 轴的对称点为 A ′(3,-2), y-6 x+1 ∴由两点式可得直线 A ′B 的直线方程为 = ,即 2x+y-4=0. -2-6 3+1 同理,点 B 关于 x 轴的对称点为 B ′(-1,-6), y-2 x-3 由两点式可得直线 AB ′的方程为 = ,即 2x-y-4=0. -6-2 -1-3 ∴入射光线所在的直线方程为 2x-y-4=0,反射光线所在的直线方程为 2x+y-4=0.

? F =0 ? 16. 解: (1)设圆 C 方程为 x +y +Dx+Ey+F =0, 则?4D+4E +F +32=0 ? ?(4+2 3)D+2E+F+32+16 3=0
2 2

解得 D=-8,E =F =0. 所以圆 C:(x-4)2 +y2 =16. (2)当斜率不存在时,l:x=2 被圆截得弦长为 4 3,符合题意; 当斜率存在时,设直线 l:y-6=k (x-2),即 k x-y+6-2k =0, |4k +6-2k| 4 因为被圆截得弦长为 4 3,所以圆心到直线距离为 2,所以 =2,解得 k =- , 2 3 1+k 4 所以直线 l:y-6=- (x-2),即 4x+3y-26=0. 故所求直线 l 为 x=2,或 4x+3y-26=0. 3 17. (1)由条件得 F ? ?1, 0 ? , A 0, 3 , k AF ? 3. 因为 AB ? AF , 所以 k AB ? ?

?

?

3 3 , AB : y ? ? x ? 3. 3 3

令 y ? 0, 得 x ? 3, 所以点 C 的坐标为 ? 3,0 ? .

? 3 y?? x? 3 ? 24 ? 3 2 x ? . x ? 0 由? 得 解得 (舍) 13 x ? 24 x ? 0, 2 1 2 2 13 x y ? ? ?1 ? 3 ? 4

所以点 B 的坐标为 ? ?

? 24 5 3 ? , ? ?. ? 13 13 ?

24 8 ? 13 ? . 因为 AB ? ? BC ,所以 ? ? 0, 且 ? ? BC 3 ? 24 5 13 (2)因为 △ ACF 是直角三角形, AB
所以 △ ACF 的外接圆的圆心为 D ?1,0 ? ,半径为 2.
2 所以圆 D 的方程为 ? x ? 1? ? y ? 4 . 2

因为 AB 为定值,所以当 △ PAB 的面积最大时点 P 到直线 AC 的距离最大. 过 D 作直线 AC 的垂线 m ,则点 P 为直线 m 与圆 D 的交点 .
2 直线 m : y ? 3 ? x ? 1? 与 ? x ? 1? ? y ? 4 联立得 x ? 2 (舍)或 x ? 0, 2

所以点 P 的坐标为(0,- 3 ) 18. 解:(1)圆与 x 轴的交点为(-2,0),(0,0) a2 a2 2 2 故 c=2, = 5+1 或 = 5-1<2 不可能,a =2 5+2,b =2 5-2, c c x2 y2 椭圆方程为 + =1. 2 5+2 2 5-2 (2)直线 2x+my+4=0 过圆心,从而 m=-1. (3)设 PQ:x+2y+n=0,与圆的方程联立得 5y2 +4(n-2)y+n2 -2n=0, 8 x1 x2 +y1 y2 = ,解得 n=1 或 n=4. 经检验,适合. 5 所以直线 PQ 的方程为 x+2y+1=0 或 x+2y+4=0. 19.解:⑴因为 O 点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为

1 2



………………………2 分

所以圆 O 的半径为 ( ⑵设直线 l 的方程为

1 2

)2 ? (

6 2 ) ? 2 ,故圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 2 ……………4 分 2

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,即 bx ? ay ? ab ? 0 , a b
ab a ?b
2 2

由直线 l 与圆 O 相切,得

? 2 ,即

1 1 1 ? ? , ……………6 分 a 2 b2 2

DE 2 ? a2 ? b2 ? 2(a2 ? b2 )(

1 1 ? 2 ) ≥8 , 2 a b

当且仅当 a ? b ? 2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 .………10 分

⑶设 M ( x1 , y1 ) , P( x2 , y2 ) ,则 N ( x1 , ? y1 ) , x12 ? y12 ? 2 , x22 ? y22 ? 2 , 直线 MP 与 x 轴交点 ( 直线 NP 与 x 轴交点 (
x1 y2 ? x2 y1 x y ? x2 y1 , 0) , m ? 1 2 , y2 ? y1 y2 ? y1 x1 y2 ? x2 y1 x y ? x2 y1 , 0) , n ? 1 2 , …………………14 分 y2 ? y1 y2 ? y1

mn ?

x1 y2 ? x2 y1 x1 y2 ? x2 y1 x12 y2 2 ? x2 2 y12 (2 ? y12 ) y2 2 ? (2 ? y2 2 ) y12 ? ? ?2, y2 ? y1 y2 ? y1 y2 2 ? y12 y2 2 ? y12
…………………16 分

故 mn 为定值 2. 20.


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