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海安高级中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题


2012-2013 学年第二学期期中考试试题卷
高一数学
2013.4

本试卷分填空题和解答题两部分.考生作答时,将答案答在答题卷上,在本试卷上答题 无效.本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前,考生先将自已的姓名、学校、考试号填写在答题卷规定区域内; 2. 填空题和解答题均使用 0.5 毫米的黑色中性

签字笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹 清楚,作图可用 2B 铅笔; 3. 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. 在 ?ABC 中,设角 A, B 所对边分别为 a, b ,若 2. 在等差数列 ?an ? 中,若 a11 ? 20, 则 S21 ?

sin A cos B ? ,则角 B ? a b




ax-1 1 3. 已知关于 x 的不等式 >0 的解集是(-∞,-1)∪?2,+∞?,则 a=________. ? ? x+1 4.已知等比数列 ?an ? 公比 q ? 0 ,若 a2 ? 3 , a2 ? a3 ? a4 ? 21,则 a3 ? a4 ? a5 ? ____. 5. 在△ABC 中,若 a= 5,b= 15,A=30° ,则边 c=________. 6.“远望巍巍塔七层,红灯向下成倍增,共灯三百八十一,试问塔顶几盏灯?” 答曰: 盏. .
开始
k ? 1, s ? 0
s ? s ? 3k
k ?k?2

7. 右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是

k ? 100



?2 x ? y ? 40 ? x ? 2 y ? 50 ? 8. 设动点 P ( x, y ) 满足 ? ,则 z ? 5 x ? 2 y 的最大值是 ?x ? 0 ?y ? 0 ?
9. a ? 0 , b ? 0 ,则 p ?





输出S

结束
第7 题图

b2 a 2 ? 与 q ? a ? b 的大小关系为 a b



10. 已知正项等比数列 ?an ? 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为 m n



11. ?ABC 中,已知 a ? b ? c cos B ? c cos A ,则三角形的 形状为_____________. 12.已知圆内接四边形 ABCD 中, AB ? 2, BC ? 6, AD ? CD ? 4, 则四边形 ABCD 的面积 为________.
1

13.设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,若

S 2n (n ? N ? ) 是非零常数,则称该数列为“和等比 Sn

数列”.若数列 ?C n ? 是首项为 C1 ,公差为 d ( d ? 0 )的等差数列,且数列 ?C n ? 是“和等 比数列” ,则 d 与 C1 的关系式为_________________. 14.已知圆心角为 120° 的扇形 AOB 的半径为 1, 为弧 AB 的中点, D, 分别在半径 OA, C 点 E OB 上.若 CD2+CE2+DE2= 26 ,则 OD+OE 的最大值是________. 9

二、解答题(本大题共 6 小题,满分 90 分) 15. (本题满分 14 分) 解关于 x 的不等式 ax2-(2a+1)x+2<0( a ? 0 ).

16.(本题满分 14 分) 在△ABC 中,A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,bcos B 是 acos C,ccos A 的等差中项. (1)求 B 的大小; (2)若 a+c= 10,b=2,求△ABC 的面积.

17.(本题满分 15 分) 对任意函数 f ( x), x ? D ,可按流程图构造一个数列发生器, 其工作原理如下:①输入数据 x0 ? D ,经数列发生器输出 输入

f ( x)
输出 打印

x1 ? f ( x0 ) ;②若 x1 ? D ,则数列发生器结束工作;若 x1 ? D ,
则将 x1 反馈回输入端再输出 x2 ? f ( x1 ) ,并且依此规律继续下去. 现定义 f ( x ) ?

4x ? 2 . x ?1

x1 ? D No 结束

Yes

49 (1)若输入 x0 ? ,则由数列发生器产生数列 {xn } , 65
请写出数列 {xn } 的所有项;

(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列,试求输入的初始数据 x0 的值; (3)若输入 x0 时,产生的无穷数列 {xn } 满足:对任意正整数 n ,均有 xn ? xn?1 ,求 x0 的 取值范围.

2

18.(本题满分 15 分) an 设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,数列{bn}满足 bn= (m∈N*). an+m (1)若 b1,b2,b8 成等比数列,试求 m 的值; (2)是否存在 m,使得数列{bn}中存在某项 bt 满足 b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差数列? 若存在,请指出符合题意的 m 的个数;若不存在,请说明理由.

19. (本题满分 16 分) 某单位有员工 1000 名,平均每人每年创造利润 10 万元。为了增加企业竞争力,决定 优化产业结构,调整出 x( x ? N* ) 名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利为

10(a ?

3x ) 万元 (a ? 0) ,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x 0 0 . 500

(1) 若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润, 则最多调 整出多少名员工从事第三产业? (2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利 润,则 a 的取值范围是多少?

20.(本小题满分 16 分)
3 已知数列{an}满足对任意的 n∈N*,都有 a3+a3+?+an=(a1+a2+?+an)2 且 an>0. 1 2

(1)求 a1,a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式 an;
? 1 ? 1 (3)设数列?a a ?的前 n 项和为 Sn,不等式 Sn> loga(1-a)对任意的正整数 n 恒成立, 3 +2? ? n n

求实数 a 的取值范围.

3

2012-2013 学年第二学期期中考试试题卷
高一数学
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. 在 ?ABC 中,设角 A, B 所对边分别为 a, b ,若 2. 在等差数列 ?an ? 中,若 a11 ? 20, 则 S21 ? 2013.4

sin A cos B ? ,则角 B ? a b
。420



? 4

ax-1 1 3. 已知关于 x 的不等式 >0 的解集是(-∞,-1)∪?2,+∞?,则 a=________.2 ? ? x+1 4.已知等比数列 ?an ? 公比 q ? 0 ,若 a2 ? 3 ,a2 ? a3 ? a4 ? 21,则 a3 ? a4 ? a5 ? ____ 。 42 5. 在△ABC 中,若 a= 5,b= 15,A=30° ,则边 c=________. 2 5或 5
开始
k ? 1, s ? 0
s ? s ? 3k

6.“远望巍巍塔七层,红灯向下成倍增,共灯三百八十一,试问塔顶几盏灯?” 答曰: 盏。 3 ▲ . 7500

7. 右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是

k ?k?2

?2 x ? y ? 40 ? x ? 2 y ? 50 ? 8. 设动点 P ( x, y ) 满足 ? ,则 z ? 5 x ? 2 y 的最大值是 ?x ? 0 ?y ? 0 ?
100 9. a ? 0 , b ? 0 ,则 p ? 为 。p?q

k ? 100






输出S

结束
第7 题图

b2 a 2 ? 与 q ? a ? b 的大小关系 a b

10. 已知正项等比数列 ?an ? 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 ,则

1 4 ? 的最小值为 m n



3 2

11. ?ABC 中,已知 a ? b ? c cos B ? c cos A ,则三角形的 形状为_____________。 等腰或直角 12.已知圆内接四边形 ABCD 中, AB ? 2, BC ? 6, AD ? CD ? 4, 则四边形 ABCD 的面积 为________. 8 3 13.设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,若

S 2n (n ? N ? ) 是非零常数,则称该数列为“和等比 Sn
4

数列”.若数列 ?C n ? 是首项为 C1 ,公差为 d ( d ? 0 )的等差数列,且数列 ?C n ? 是“和等 比数列” ,则 d 与 C1 的关系式为_________________。 d ? 2C1 14.已知圆心角为 120° 的扇形 AOB 的半径为 1, 为弧 AB 的中点, D, 分别在半径 OA, C 点 E OB 上.若 CD2+CE2+DE2= 26 ,则 OD+OE 的最大值是________. 9

解析 在△COD 中,由余弦定理得 CD2=1+OD2-OD,同理在△EOC、△DOE 中,由 26 余弦定理分别得 CE2=1+OE2-OE,DE2=OE2+OD2+OD· OE,代入 CD2+CE2+DE2= 9 3?OD+OE?2 8 整理得 2(OD+OE)2-(OE+OD)- =3OD· OE, 由基本不等式得 3OD· OE≤ , 所 9 4
2 8 3?OD+OE? 4 以 2(OD+OE)2-(OE+OD)- ≤ , 解得 0≤OD+OE≤ , OD+OE 的最大值 即 9 4 3

4 是 . 3 答案 4 3

二、解答题(本大题共 6 小题,满分 90 分) 15. (本题满分 14 分) 解关于 x 的不等式 ax2-(2a+1)x+2<0( a ? 0 ). 解: 不等式 ax2-(2a+1)x+2<0, 即(ax-1)(x-2)<0.

? 1? ∵a>0,不等式可以化为 x-a (x-2)<0. …………………………4 分 ? ? 1 1 ①若 0<a< ,则 >2, 2 a ? 1? 此时不等式的解集为 2,a ;…………………………7 分 ? ? 1 ②若 a=2,则不等式为(x-2)2<0,不等式的解集为?;…………………………9 分 1 1 ?1 ? ③若 a>2,则a<2,此时不等式的解集为 a,2 .…………………………12 分 ? ? 综上所述,
1 1 当 0<a< 时,不等式的解集为?2,a?; ? ? 2 1 当 a= 时,不等式的解集为?; 2 1 ?1 ? 当 a>2时,不等式的解集为 a,2 。

?

?

…………………………14 分

16.(本题满分 14 分)
5

在△ABC 中,A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,bcos B 是 acos C,ccos A 的等差中项. (1)求 B 的大小; (2)若 a+c= 10,b=2,求△ABC 的面积. 解 (1)由题意,得 acos C+ccos A=2bcos B.

由正弦定理,得 sin Acos C+cos Asin C=2sin Bcos B,…………………………4 分 即 sin(A+C)=2sin Bcos B. ∵A+C=π-B,0<B<π,∴sin(A+C)=sin B≠0. 1 π ∴cos B=2,∴B=3。 .…………………………7 分

a2+c2-b2 1 π (2)由 B=3,得 cos B= 2ac =2,…………………………11 分 即 ?a+c?2-2ac-b2 1 = ,∴ac=2. 2ac 2

1 3 ∴S△ABC=2acsin B= 2 ..…………………………14 分 17.(本题满分 15 分) 对任意函数 f ( x), x ? D ,可按流程图构造一个数列发生器, 其工作原理如下:①输入数据 x0 ? D ,经数列发生器输出 输入

f ( x)
输出 打印

x1 ? f ( x0 ) ;②若 x1 ? D ,则数列发生器结束工作;若 x1 ? D ,
则将 x1 反馈回输入端再输出 x2 ? f ( x1 ) ,并且依此规律继续下去. x1 ? D No Yes

4x ? 2 现定义 f ( x ) ? . 结束 x ?1 49 (1)若输入 x0 ? ,则由数列发生器产生数列 {xn } ,请写出数列 {xn } 的所有项; 65
(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列,试求输入的初始数据 x0 的值; (3)若输入 x0 时,产生的无穷数列 {xn } 满足:对任意正整数 n ,均有 xn ? xn?1 ,求 x0 的 取值范围. 解:(I) Q f ( x) 的定义域为 D = (- ? , 1) ? ( 1, +

) , \ f ( x0 ) =

11 D, 19

x2 = f ( x1 ) =

1 5

D , x3 = f ( x2 ) = - 1 D ,因此只有三项

11 1 , , ?1 ; 19 5

…………………………5 分 4x - 2 = x ,即 (II)要使该数列发生器产生一个无穷的常数数列,则有 xn = xn+ 1 ,则设 f ( x ) = x+ 1

6

x2 - 3x + 2 = 0, \ x = 1, x = 2 , x0 = 1或2 时,xn+ 1 = 即

4 xn - 2 = xn , 因此当 x0 ? 1 时, xn + 1

xn ? 1 ; x0 ? 2 时, xn ? 2 ( n ? N ). …………………………10 分
4x - 2 1 得, x<- 或1<x<2 , x+1 要使 xn<xn+1 ,则 xn<- 或1<xn<2 ,…………………………12 分 1
(III) 解不等式 x< 由于 f ( x ) = 4 -

6 ,若 x1<- ,则 x2 = f ( x1 )>4 不合题意;…………… ………14 分 1 x+ 1

当1<x1<2 时, x2 = f ( x)>x1 且1<x2<2 , 依次类推可得数列 {xn } 的所有项均满足 xn+1>xn , 综上所述, x0 ? (1, 2) 。…………………………15 分 18.(本题满分 15 分) an 设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,数列{bn}满足 bn= (m∈N*). an+m (1)若 b1,b2,b8 成等比数列,试求 m 的值; (2)是否存在 m,使得数列{bn}中存在某项 bt 满足 b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差数列? 若存在,请指出符合题意的 m 的个数;若不存在,请说明理由. 解 (1)因为 Sn=n2,所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1, 又当 n=1 时,a1=S1=1,适合上式,所以 an=2n-1(n∈N*)…………………………4 分 2n-1 1 3 15 所以 bn= ,则 b1= ,b = ,b = ,由 b2=b1b8, 2 2n-1+m 1+m 2 3+m 8 15+m 1 15 ? 3 ? 得 3+m 2= ? ? 1+m×15+m,解得 m=0(舍)或 m=9,所以 m=9. …………………………8 分 7 1 (2)假设存在 m, 使得 b1, 4, t(t∈N*, b b t≥5)成等差数列, 2b4=b1+bt, 2× 即 则 = 7+m 1+m 2t-1 36 + ,化简得 t=7+ .…………………………12 分 2t-1+m m-5 所以当 m-5=1,2,3,4,6,9,12,18,36 时,分别存在 t =43,25,19,16,13,11,10,9,8 适合题意,即 存 在这样 m,且符合题意的 m 共有 9 个.…………………………15 分 19. (本题满分 16 分) 某单位有员工 1000 名,平均每人每年创造利润 10 万元。为了增加企业竞争力,决定 优化产业结构,调整出 x( x ? N* ) 名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利为

10(a ?

3x ) 万元 (a ? 0) ,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x 0 0 . 500

(1) 若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润, 则最多调 整出多少名员工从事第三产业? (2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利 润,则 a 的取值范围是多少? 解: (1)由题意得: 10(1000 ? x)(1 ? 0.2x 0 0) ≥10 ? 1000 , …………………………4 分 即 x2 ? 500 x ≤0,又 x ? 0, 所以 0 ? x ≤ 500. 即最多调整 500 名员工从事第三产业.…………………………………………7 分
7

(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 10(a ? 总利润为 10(1000 ? x)(1 ? 则 10(a ?

3x ) x 万元,从事原来产业的员工的年 500

1 x) 万元, 500

3x ) x ≤10(1000 - x)(1 ? 0.2 x 0 0) 恒成立,………………………………10 分 500 3x2 2 x2 1 2 所以 ax ? 所以 ax ≤ x , ≤1000 ?2 x ? x ? ? 1000 ? x , 500 500 500 2x 1000 即a≤ ……………………………………12 分 ? ? 1 恒成立, 500 x 2 x 1000 2 1000 ? 4, 因为 x? ≥2 500 x 500 x 2 x 1000 当且仅当 ,即 x ? 500 时等号成立. ? 500 x 所以 a ≤ 5 , 又a > 0, 所以 0 ? a ≤ 5 , (0,5] . 即 a 的取值范围为 …………………………………………16 分
20.(本小题满分 16 分)
3 已知数列{an}满足对任意的 n∈N*,都有 a3+a3+?+an=(a1+a2+?+an)2 且 an>0. 1 2

(1)求 a1,a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式 an;
? 1 ? 1 (3)设数列?a a ?的前 n 项和为 Sn,不等式 Sn> loga(1-a)对任意的正整数 n 恒成立, 3 ? n n+2?

求实数 a 的取值范围.
3 解:(1)当 n=1 时,有 a1=a2, 1 由于 an>0,所以 a1=1. 当 n=2 时,有 a3+a3=(a1+a2)2, 1 2 将 a1=1 代入上式,由于 an>0,所以 a2=2. …………………………4 分 (2)由于 a3+a3+?+a3=(a1+a2+?+an)2,① 1 2 n 3 则有 a1+a3+?+a3+a3+1=(a1+a2+?+an+an+1)2.② 2 n n ②-①,得 a3+1=(a1+a2+?+an+an+1)2-(a1+a2+?+an)2, n 由于 an>0,所以 a2+1=2(a1+a2+?+an)+an-1.③ n 同样有 a2=2(a1+a2+?+an-1)+an(n≥2),④ n 2 ③-④,得 a2+1-an=an+1+an, n 所以 an+1-an=1, 由于 a2-a1=1,即当 n≥1 时都有 an+1-an=1, 所以数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列. 故 an=n。. …………………………10 分(若归纳出通项给 2 分,第三题可以继续做) ) (3)由(2)知 an=n. 1 ? 1 1 1?1 则 = =2 n-n+2 ,…………………………12 分 anan+2 n?n+2? ? ? 1 1 1 1 所以 Sn= + +?+ + a1a3 a2a4 an-1an+1 anan+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ?1-3?+ ?2-4?+ ?3-5?+?+ ?n-1-n+1?+ ?n-n+2? ? 2? ? 2? ? 2? 2? ? 2? ? 1 1 1 ? 3 1? 1 1 ? 1? =2 1+2-n+1-n+2 =4-2 n+1+n+2 .…………………………14 分 ? ? ? ?

8

1 ∵Sn-1-Sn= >0, ?n+1??n+3? ∴数列{Sn}单调递增. 1 所以(Sn)min=S1= . 3 1 要使不等式 Sn> loga(1-a)对任意正整数 n 恒成立, 3 1 1 只要 > loga(1-a).∵1-a>0,∴0<a<1. 3 3 1 ? 1? ∴1-a>a,即 0<a<2.所以,实数 a 的取值范围是 0,2 .…………………………16 分 ? ?

9


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