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【数学】3.1.1《直线的倾斜角与斜率》课件


3.1.1《直线的倾斜角与斜率》

教学目的
? 使学生掌握倾斜角和斜率的概念,理解倾 斜角和斜率之间的关系,掌握经过两点的 直线的斜率公式,并会应用公式解题。 ? 教学重点:倾斜角和斜率的的意义,斜率 的公式及其应用。 ? 教学难点:斜率意义的理解。

问题引入
在平面直角坐标系中,点用坐标表示,直线如何 表示呢? 为了用代数方法研究直线的有关问题,首先探索 确定直线位置的几何要素,然后在坐标系中用代数方 法把这些几何要素表示出来. y P(x,y) l
O x

问题引入
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ,它的 位置由哪些条件确定?
y

l O

x

问题引入
我们知道,两点确定一条直线.一点能确定 一条直线的位置吗?已知直线 l 经过点P,直线 l 的位置能够确定吗?
y

l
O P

x

问题引入
过一点P可以作无数条直线l 1, l 2 , l 3 ,… 它们都经过点P (组成一个直线束),这些直线 区别在哪里呢? y
l O

P

x

问题引入
容易看出,它们的倾斜程度不同.怎样描述 直线的倾斜程度呢?
y

l O

P

x

直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时,我们取x轴作为基准, x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角(angle of inclination) .
当直线l与x轴平行或重合时, 规定它的倾斜角为 . 0? 直线的倾斜角 ? 的取值范围为:
O y l

x

0 ? ? ? 180?.
?

直线的倾斜角
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系? 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角, 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角, 倾斜程 度相同的直线其倾斜角相同. y l?? l 已知直线上的一个点不能 l? 确定一条直线的位置;同样已 知直线的倾斜角α.也不能确定 一条直线的位置. O x 但是,直线上的一个点和 这条直线的倾斜角可以唯一确 定一条直线.

确定直线的要素
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是: 直线上的一个定点以及它的倾斜角, 二者 缺一不可.
y

l
O P x

问题引入
日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度(比) ? 前进量

升 高 量 前进量

问题引入
例如,“进2升3”与“进2升2”比较,前者

3 3 ? 更陡一些,因为坡度(比) . 2 2

升 高

升高量 坡度(比) ? 前进量

?

前进

直线的斜率
如果使用“倾斜角”这个概念,那么这里的“坡 度(比)”实际就是“倾斜角α的正切”.

一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这 条直线的斜率(slope).
通常用小写字母k表示,即

k ? tan?

(? ? 90 )
?

倾斜角是90? 的直线有斜率吗? 倾斜角是90? 的直线的斜率不存在.

直线的斜率
如:倾斜角 ? ? 45? 时,直线的斜率 k ? tan 45? ? 1.

tan(180? ? ? ) ? ? tan ? . 当 ? 为锐角时,
? 如:倾斜角为 ? ? 135 时,由

k ? tan 135? ? ? tan 45? ? ?1 即这条直线的斜率为 ? 1.

倾斜角α不是90°的直线都有斜率,并且倾 斜角不同,直线的斜率也不同.因此,可以用斜 率表示直线的倾斜程度.

两点的斜率公式

已知直线上两点的坐标,如何计算直线的斜率? 给定两点P1 ( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2), 并且 x1 ≠x2,如何计算直线P1 P2的斜率k.

两点的斜率公式
设直线P1 P2的倾斜角为α ( α ≠90° ),当直线P1 P2的 方向(即从P1指向P2的方向) 向上时,过点P1作 x 轴的平行 线,过点P2作 y 轴的平行线, 两线相交于点 Q,于是点Q的 坐标为( x2,y1 ).

?

当 ? 为锐角时,? ? ?QP P2 , x1 ? x2 , y1 ? y2 . 1 在直角 ?P1 P2Q 中

| QP2 | y2 ? y1 tan? ? tan ?QP1 P2 ? ? | P1Q | x2 ? x1

两点的斜率公式

?

? ? 为钝角时, ? 180? ? ?QP1 P2 , x1 ? x2 , 当 y1 ? y2 . tan ? ? tan(180? ? ? ) ? ? tan?
在直角 ?P1 P2Q 中
| QP2 | y2 ? y1 y2 ? y1 tan? ? ? ?? | P1Q | x1 ? x2 x2 ? x1

y2 ? y1 tan? ? . x2 ? x1

两点的斜率公式

同样,当 P2 P1 的方向向上时,也有

y2 ? y1 tan? ? . x2 ? x1

两点的斜率公式

1.已知直线上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,运用 1 上述公式计算直线 AB? 斜率时,与 P , P2两点坐标的顺 1 序有关吗?

无关

2.当直线平行于y 轴,或与y 轴重合时,上述斜 率公式还适用吗?为什么?

不适用

两点的斜率公式
当直线 P2 P1 与 x 轴平行或重合时,上述式子还成 立吗?为什么? 成立

经过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )(x1 ? x2 ) 的直线的 1 斜率公式为:

y2 ? y1 tan? ? . x2 ? x1

典型例题
例1 如图 ,已知 A( 3,2), B(?4,1), C (0,?1) ,求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角.

解:直线AB的斜率 1? 2 1 k AB ? ? ; ?4?3 7 直线BC的斜率 ?1?1 ? 2 1 k BC ? ? ?? ; 0 ? ( ?4 ) 4 2 ?1? 2 ? 3 ? ? 1; 直线CA的斜率 kCA ? 0?3 ?3 由 k AB ? 0 及 kCA ? 0 知,直线AB 与CA的倾斜角均 为锐角;由 k BC ? 0 知,直线BC的倾斜角为钝角.

典型例题
例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率 分别为1,-1,2及-3的直线 l1 , l2 , l3 及 l4 . y A l l A1 的 解:取 l1上某一点为 坐标是 ( x1 , y1 ),根据斜率公式 A 有: y1 ? 0 x 1? , A x1 ? 0 l
3
3

1

1

2

4

即 x1 ? y1 .

l2
A4

设 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1 ,于是 A1的坐标是 (1,1) .过 原点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 . l2是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线,l3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 )的直线, l4 是过原点及 A4 ( x4 , y4 ) 的直线.

知识小结

倾斜角

斜率

两点间斜率公式


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