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2012年高考数学二轮复习课件:专题五 第一讲 空间几何体


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1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活 . 认识柱、 球及其简单组合体的结构特征, 中简单物体的结构. 中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形 长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合 的三视图,能识 长方体、 圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图 的三视图, .能画出简单空间图形(长方体 别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图. 别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间 .会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图, 图形的不同表示形式. 图形的不同表示形式. 4.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式 不要求记忆公式 . 不要求记忆公式). .了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式

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1.常以选择、填空题的形式全面考查线线、线面、面面等空间位置关系,且以符号语 . 常以选择、填空题的形式全面考查线线、 线面、面面等空间位置关系, 言叙述题目,难度适中.一方面要从文字语言、符号语言、 言叙述题目,难度适中.一方面要从文字语言、符号语言、图形语言三个角度熟练 地掌握各种判定定理、性质定理. 地掌握各种判定定理、性质定理.另一方面可以把条件放置在一个熟悉的几何体中 考查.有时候,局部满足条件,让其余条件动起来,在运动中考查等. 考查.有时候,局部满足条件,让其余条件动起来,在运动中考查等. 2.空间中的度量关系包括侧面积、表面积、体积等,常以熟悉的几何体为背景加以考 .空间中的度量关系包括侧面积、表面积、体积等, 难度不大.求体积有时候方法比较灵活.注意三棱锥的等体积转化, 查,难度不大.求体积有时候方法比较灵活.注意三棱锥的等体积转化,不规则几 何体则通过割补化归为规则几何体求解. 何体则通过割补化归为规则几何体求解.

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! 3.对空间想象能力的考查始终是立体几何试题的一个重要任务.每年都会有 .对空间想象能力的考查始终是立体几何试题的一个重要任务. 一个大题,主要是考查平行垂直的证明及面积体积的计算等,难度中等. 一个大题,主要是考查平行垂直的证明及面积体积的计算等,难度中等. 4.近几年,以立体几何为载体,考查函数、解析几何等的知识交汇点上的题 .近几年,以立体几何为载体,考查函数、 目时有出现,应引起足够的重视. 目时有出现,应引起足够的重视.

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1.柱体、锥体、台体、球的几何特征 .柱体、锥体、台体、

名称 棱柱

几何特征 底面可以是任意多边形); ①有两个面互相平行(底面可以是任意多边形 ; 有两个面互相平行 底面可以是任意多边形 其余各面都是平行四边形, ②其余各面都是平行四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行 底面); ①有一个面是多边形(底面 ; 有一个面是多边形 底面 其余各面是有公共顶点的三角形. ②其余各面是有公共顶点的三角形. ①两个不全等的底同互相平行; 两个不全等的底同互相平行; ②所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点 所有侧棱延长后交于一点 即原棱锥的顶点) 即原棱锥的顶点

棱锥

棱台

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名称 圆柱 圆台 球

几何特征 有两个互相平行的圆面(底面 底面); ①有两个互相平行的圆面 底面 ; 有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的 母线绕轴旋转一周形成的), ②有一个侧面是曲面 母线绕轴旋转一周形成的 ,且母线与底面垂直 有两个不全等的圆面(底面 互相平行; 底面)互相平行 ①有两个不全等的圆面 底面 互相平行; 有一个侧面是曲面, ②有一个侧面是曲面,可以看成母线绕轴旋转一周形成的 有一个曲面是球面; ①有一个曲面是球面; 有一个球心和一条半径长R,球是一个几何体(包括内部 包括内部), ②有一个球心和一条半径长 ,球是一个几何体 包括内部 ,可以看成半 圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的

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2.柱体、锥体、台体的侧面展开图 柱体、锥体、 柱体

名称

侧面展开图

几何体与侧面展开图的关系

棱柱

展开图是若干个小平行四边形构成的图形(关系如左图 展开图是若干个小平行四边形构成的图形 关系如左图) 关系如左图

棱锥

展开图是共顶点的三角形构成的图形(关系如左图 展开图是共顶点的三角形构成的图形 关系如左图) 关系如左图

棱台

展开图是若干个小梯形构成的图形(关系如左图 展开图是若干个小梯形构成的图形 关系如左图) 关系如左图

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名称 圆柱 侧面展开图 几何体与侧面展开图的关系 展开图是矩形,矩形的长是底面圆周长, 展开图是矩形,矩形的长是底面圆周长,宽是 圆柱的母线长 展开图是扇形,扇形的半径是圆锥的母线长, 展开图是扇形,扇形的半径是圆锥的母线长, 弧长是圆锥的底面周长 展开图是扇环,扇环的上、 展开图是扇环,扇环的上、下弧长分别是圆台 的上、 的上、下底面周长

圆锥

圆台

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! 3.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积 柱体、锥体、台体、 柱体

名称 棱柱

体积 V棱柱=Sh (S为底面积,h为高)

表面积 S棱柱=S底面+S侧面

棱锥

1 V棱锥= Sh 3 (S为底面积,h为高)

S棱锥=S底面+S侧面

1 V棱台= h(S+ SS′+S′) 3 棱台 (S、S′为底面积,h为高)

S棱台=S底面+S侧面

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名称 圆柱 V 圆柱=πr2h

体积

表面积 S 圆柱=2πrl+2πr2 (r 为底面半径,l 为母线长) S 圆锥=πrl+πr2 (r 为底面半径,l 为母线长)

(r 为底面半径,h 为高) 1 2 V 圆锥= πr h 3 (r 为底面半径,h 为高)

圆锥

圆台

1 V 圆台= πh(r2+rr′+r′2) 3 (r、r′为底面半径,h 为高)

S 圆台=π(r+r′)l+πr2+πr′2



4 V 球= πR3(R 为球的半径) 3

S 球=4πR2(R 为球的半径)

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4.空间几何体的三视图和直观图 空间几何体的三视图和直观图 (1)空间几何体的三视图 空间几何体的三视图 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投 影围成的平面图形,反映了一个几何体各个侧面的特点.任意一个物体的长、 影围成的平面图形,反映了一个几何体各个侧面的特点.任意一个物体的长、宽、高一般指的是 物体占有空间的左右、前后、上下的最大距离. 物体占有空间的左右、前后、上下的最大距离. (2)空间几何体的直观图 空间几何体的直观图 空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法.对斜二测画法的规则可以记忆为: 平行要保持, 空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法.对斜二测画法的规则可以记忆为:“平行要保持,横长 不变,纵长减半” 不变,纵长减半”.

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[例1]

(2011·海口调研)给出下列命题:①底面是矩形

的平行六面体是长方体;②直角三角形绕着它的一边旋转 一周形成的几何体叫做圆锥;③四棱锥的四个侧面可以都 是直角三角形;④过半径为R的一条半径的中点的截面面 3 2 积最小为 πR .其中是真命题的个数是( 4 A.1 B.2 C.3 ) D.4

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命题③是真命题,如图,在四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,则可以得到四个侧面都是 直角三角形;命题④是真命题,当过半径为R的球的一条 半径的中点的截面与该条直径垂直时,截面圆半径最小, 等于 R
2

?R? -? 2 ?2= ? ?

3 3 2 2 R,所以面积最小为4πR .

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[评析 平行六面体、圆锥、棱锥以及球都是常见的几何体,应熟练掌握它们 评析] 平行六面体、圆锥、棱锥以及球都是常见的几何体, 评析 的结构特征和相关性质. 的结构特征和相关性质.

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(2011·哈尔滨质检 给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点, 哈尔滨质检)给出下列命题 哈尔滨质检 给出下列命题: 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点, 则这两点的连线是圆柱的母线; 则这两点的连线是圆柱的母线;②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线 是圆锥的母线;③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线 是圆锥的母线; 在圆台的上、下底面的圆周上各取一点, 是圆台的母线; 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 是圆台的母线;④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的. 其中正确的是( ) 其中正确的是 A.①② . B.②③ . C.①③ . D.②④ .

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[例 2]

(2011·安徽理,6)一个空间几何体的三视图 )

如图所示,则该几何体的表面积为(

A.48 C.48+8 17

B.32+8 17 D.50
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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! [分析 本题考查了三视图及简单几何体表面积的计算,题目难度适中,考查 分析] 本题考查了三视图及简单几何体表面积的计算,题目难度适中, 分析 了空间想象能力和逻辑思维能力及简单的计算能力. 了空间想象能力和逻辑思维能力及简单的计算能力. [答案 C 答案] 答案

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[解析]

由三视图知该几何体的直观图如图所示,该

几何体的下底面是边长为4的正方形;上底面是长为4、宽 为2的矩形;两个梯形侧面垂直于底面,上底长为2,下底 长为4,高为4;另两个侧面是矩形,宽为4,长为
2

42+12

1 = 17 .所以S表=4 +2×4+ ×(2+4)×4×2+4× 17 ×2 2 =48+8 17.

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已知一个空间几何体的三视图如图所示(其中“綈”与“┘”等均为直角符号),根据图中 已知一个空间几何体的三视图如图所示 其中“ 等均为直角符号 , 其中 标出的尺寸(单位 单位: 标出的尺寸 单位:cm),可得这个几何体的体积是 ,可得这个几何体的体积是________cm3.

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[解析]

由三视图知,该空间几何体为一底面是直角

梯形的四棱锥,且四棱锥顶点与底面直角顶点的连线垂直 于底面.由三视图的数据可知,底面梯形的两底长分别为4 和2,梯形的高和四棱锥的高都是2,因此底面梯形面积为S 1 1 = (2+4)×2=6,四棱锥的体积为V= ×6×2=4. 3 2

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[例3] 例

如图所示是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图. 如图所示是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! [分析 由三视图知该几何体是一个简单的组合体,它的下部是一个正四棱台, 分析] 由三视图知该几何体是一个简单的组合体,它的下部是一个正四棱台, 分析 上部是一个正四棱锥. 上部是一个正四棱锥. [解析 (1)画轴.如图所示,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz= 解析] 画轴. 解析 画轴 如图所示, 轴 轴 轴 = ° = 90°. ° (2)画底面.利用斜二测画法在平面 画底面. 内画出底面的ABCD,在z轴上截取 , 轴上截取O′, 画底面 利用斜二测画法在平面xOy内画出底面的 内画出底面的 , 轴上截取 等于三视图中相应的高度, 的平行线O′x′,Oy的平行线 使OO′等于三视图中相应的高度,过O′作Ox的平行线 等于三视图中相应的高度 作 的平行线 , 的平行线 O′y′,在平面x′O′y′内画出上底面 ,在平面 内画出上底面A′B′C′D′. 内画出上底面

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! (3)画正四棱锥顶点.在Oz上取点 ,使PO′等于三视图中相应的高度. 画正四棱锥顶点. 上取点P, 等于三视图中相应的高度. 画正四棱锥顶点 上取点 等于三视图中相应的高度 (4)成图.连结 成图. 成图 连结PA′,PB′、PC′、PD′,A′A,B′B,C′C,D′D,整理得到三视 , 、 、 , , , , , 图表示的几何体的直观图如图(2)所示 所示. 图表示的几何体的直观图如图 所示.

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! [评析 (1)本例首先考虑由三视图还原几何体,然后按几何体画直观图步骤画 评析] 本例首先考虑由三视图还原几何体, 评析 本例首先考虑由三视图还原几何体 出直观图. 出直观图. (2)由三视图想象几何体时,要充分结合正视图、侧视图和俯视图想象几何体 由三视图想象几何体时, 由三视图想象几何体时 要充分结合正视图、 的结构特征. 的结构特征.熟知一些基本几何体的三视图对想象组合体的结构是非常有 用的. 用的.

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(2011·临沂模拟 一几何体的三视图如下: 临沂模拟)一几何体的三视图如下 临沂模拟 一几何体的三视图如下:

(1)画出它的直观图 不必写步骤 ,并求其体积; 画出它的直观图(不必写步骤 并求其体积; 画出它的直观图 不必写步骤), (2)你能发现该几何体的哪些面互相垂直?试一一列出. 你能发现该几何体的哪些面互相垂直? 你能发现该几何体的哪些面互相垂直 试一一列出.

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[解析]

由三视图可知,几何体为高为6 cm,底面为直角

12 三角形,且斜边长为5,斜边上高为 的直三棱锥. 5 在三棱锥P-ABC中,PC=6,AC=5,过B作BH⊥AC则 12 BH= ,其直观图如图所示. 5 1 1 12 ∴VP-ABC= × ×5× ×6=12(cm3). 3 2 5
(2)互相垂直的面分别为:面PAC⊥面ABC, 互相垂直的面分别为: 互相垂直的面分别为 ⊥ , 面PBC⊥面ABC,面PBC⊥面PAB. ⊥ , ⊥

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[例4] (2011·江苏无锡调研 如图所示,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱 1=8.若 例 江苏无锡调研)如图所示 江苏无锡调研 如图所示,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA 若 侧面AA 水平放置时, 的中点,当底面ABC水平 侧面 1B1B水平放置时,液面恰好过 、BC、A1C1、B1C1的中点,当底面 水平放置时 液面恰好过AC、 、 水平 放置时,液面高为多少?(直三棱柱是指侧棱与底面垂直的三棱柱 放置时, 液面高为多少? 直三棱柱是指侧棱与底面垂直的三棱柱) 直三棱柱是指侧棱与底面垂直的三棱柱

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[分析 侧面 1B1B水平放置时,水的形状可视为侧棱与底面垂直的四棱柱,利用两种放置水的体 分析] 侧面AA 水平放置时, 分析 水平放置时 水的形状可视为侧棱与底面垂直的四棱柱, 积不变求得高. 积不变求得高. [解析 当侧面 1B1B水平放置时,水的形状为四棱柱形,底面 解析] 当侧面AA 水平放置时, 为梯形. 解析 水平放置时 水的形状为四棱柱形,底面ABFE为梯形. 为梯形

3 设△ABC的面积为S,则S梯形ABFE= S, 4 3 V水= S·AA1=6S. 4 当底面ABC水平放置时,水的形状为三棱柱形,设水面 高为h,则有V水=Sh,∴6S=Sh,∴h=6. 故当底面ABC水平放置时,液面高为6.
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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! [评析 本题解答的关键是利用两种放置方法中水的体积不变建立关于所求高 评析] 评析 的等式求解.解答中计算侧面AA 的等式求解.解答中计算侧面 1B1B水平放置时液体的体积是直接利用柱 水平放置时液体的体积是直接利用柱 体的体积公式,其体积的计算也可利用间接法: 体的体积公式,其体积的计算也可利用间接法:V液体=V柱A1B1C1-ABC 柱 -V柱C1GH-CEF. 柱 -

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(2011·安徽合肥 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这个几何体的体积是 安徽合肥)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示 安徽合肥 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示, ( )

A.3

5 B. 2

C.2

3 D. 2
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[解析]

由三视图知,该几何体为一个横放的直三棱

柱,其底面是边长分别为 3、1、2的直角三角形,侧棱长 1 3 为 3,所以体积为 ×1× 3× 3= ,故选D. 2 2

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[例5]

(2011·盐城六校联考)如图所示,已知正四棱锥S

-ABCD中,底面边长为a,侧棱长为 2a. (1)求它的外接球的体积; (2)求它的内切球的表面积.

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! [分析 外接球球心到各顶点的距离相等,内切球球心到各面的距离相等,两 分析] 外接球球心到各顶点的距离相等,内切球球心到各面的距离相等, 分析 球心都在正四棱锥的高线上. 球心都在正四棱锥的高线上. [解析 (1)如图所示,连结 、BD交于点 1,连结 1,则SO1⊥平面 解析] 如图所示, 交于点O 连结SO 解析 如图所示 连结AC、 交于点 ABCD.

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设外接球球心为O,则O在高SO1上.连结OA,则 1 2 有|OA|=|OS|,在Rt△SAO1中,|AO1 |= |AC|= a, 2 2 6 又|SA|= 2a,∴|SO1 |= a. 2 6 在Rt△OAO1中,OO1=SO1-SO= a-|OA|, 2 又|AO1 |2+|OO1 |2=|OA|2,

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2 2 6 ∴( a) +( a-|OA|)2=|OA|2, 2 2 6 解得|OA|= a, 3 6 所以正四棱锥S-ABCD的外接球半径为 a, 3 4 6 3 8 6 3 其体积为 π·( a) = πa . 3 3 27

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金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好! 老师都说好! (2)设内切球的半径为 ,球心为 ,显然该正四棱锥由以 为顶点的四个三棱 设内切球的半径为r,球心为M,显然该正四棱锥由以M为顶点的四个三棱 设内切球的半径为 三棱锥M- 锥(三棱锥 -SAB,三棱锥 -SBC,三棱锥 -SDC,三棱锥 -SAD) 三棱锥 ,三棱锥M- ,三棱锥M- ,三棱锥M- 和一个四棱锥M- 组成, 和一个四棱锥 -ABCD组成,这四个三棱锥和一个四棱锥的体积之和等 组成 于该正四棱锥的体积, 于该正四棱锥的体积,在△SBC中,作SE⊥BC,垂足为 , 中 ⊥ ,垂足为E,

1 7 则|BE|= a,又|SB|= 2a,∴|SE|= a, 2 2 1 7 7 2 ∴S△SBC= ×a× a= a . 2 2 4 又∵4VM-SBC+VM-ABCD=VS-ABCD, 1 1 ∴4× ×S△SBC·r+ SABCD·r 3 3
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1 = ×S正方形ABCD·|SO1|, 3 4 7 2 1 1 2 6 2 ∴ × a ·r+ ×a ·r= a · a, 3 4 3 3 2 42- 6 解得r= a. 12 42- 6 2 4- 7 2 所以该内切球的表面积为4π( a) = πa . 12 3

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半径为R的球有一个内接圆柱,这个圆柱的底面半径为何值时,它的侧面积最大? 半径为 的球有一个内接圆柱,这个圆柱的底面半径为何值时,它的侧面积最大? 的球有一个内接圆柱 最大值是多少? 最大值是多少? [解析 取圆柱的一个轴截面 解析] 如图所示), 为球的一个大圆. 解析 取圆柱的一个轴截面ABCD(如图所示 ,则⊙O为球的一个大圆.设圆柱 如图所示 为球的一个大圆 的底面半径为r,高为h,侧面积为S,连结OB,作OH⊥AB,交AB于H. 的底面半径为 ,高为 ,侧面积为 ,连结 , ⊥ , 于

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h2 在Rt△OBH中有( ) =R2-r2,即h=2 R2-r2, 2 ∴S=2πrh=2πr·2 R2-r2=4πr· R2-r2. ∴S2=16π2r2( R2-r2)2=-16π2(r2)2+16π2R2r2. ∵这是一个关于r2的二次函数, b 16π2R2 R2 ∴当r2=- =- 2 = , 2a 2(-16π ) 2

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即r= R×
2

2 2

R时,S有最大值,最大值为4π·

2 2

2 2 R -( R) =2πR2. 2 2 故当圆柱的底面半径为 R时,它的侧面积最大, 2

最大值为2πR2.

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