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八年级


广州市民间补习天皇——李老师

初二年级春季数学竞赛讲义





本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。注重中考与竞赛的有机结合,重点落实在中 考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中,讲练结 合,由浅入深,讲解与练习同步,重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外在本

次培训中,内容的编排大多大于 120 分钟的容量,因此在实际教学过程中可以根据学生 的具体状况和层次, 由任课教师适当的调整顺序和选择内容 (如专题复习可以提前上) 。 注:有(*) 标注的为选做内容。 本次培训具体计划如下,以供参考: 第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲 第九讲 第十讲 第十一讲 第十二讲 第十三讲 第十四讲 如何做几何证明题 平行四边形(一) 平行四边形(二) 梯形 中位线及其应用 一元二次方程的解法 一元二次方程的判别式 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的应用 专题复习一:因式分解、二次根式、分式 专题复习二:代数式的恒等变形 专题复习三:相似三角形 结业考试(未装订在内,另发) 试卷讲评

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初二年级春季数学竞赛讲义

第一讲:如何做几何证明题
【知识梳理】 1、几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有 两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相 互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法: (1)综合法(由因导果) ,从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进, 直到问题的解决; (2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件 看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止; (3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此, 在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基 本图形。在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、 转化问题的目的。 【例题精讲】 【专题一】证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最 后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其 它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 【例 1】已知:如图所示, ? B 中, ? C ? 9 0 ? , A C ? B C , A D ? D B , A E ? C F 。 A C 求证:DE=DF
A E

D

C

F

B

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【巩固】如图所示,已知 ? B 为等边三角形,延长 BC 到 D,延长 BA 到 E,并且使 AE=BD,连 A C 结 CE、DE。 求证:EC=ED
E

A B

C

D

【例 2】已知:如图所示,AB=CD,AD=BC,AE=CF。 求证:∠E=∠F
A B F

E D

C

【专题二】证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行,可用同位角、内错 角或同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直,可 转化为证一个角等于 90°,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证。 【例 3】如图所示,设 BP、CQ 是 ? B 的内角平分线,AH、AK 分别为 A 到 BP、CQ 的垂线。 A C 求证:KH∥BC
A Q K B P H C

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【例 4】已知:如图所示,AB=AC, ∠0 A B B D A ?? E F D C 9, ? , ? 。 求证:FD⊥ED
A E F B D C

【专题三】证明线段和的问题 (一)在较长线段上截取一线段等一较短线段,证明其余部分等于另一较短线段。 (截长法) 【例 5】如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,点 E 是 AB 上一个动点,若∠B=60°,AB=BC, 且∠DEC=60°; 求证:BC=AD+AE

A

D

E B C

【巩固】已知:如图,在 ? B 中, ? ? 0 ,∠BAC、∠BCA 的角平分线 AD、CE 相交于 O。 A C B 6? 求证:AC=AE+CD
B

E

O

D

A C

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(二)延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明该线段 等于较长线段。 (补短法) 【例 6】 已知:如图 7 所示,正方形 ABCD 中,F 在 DC 上,E 在 BC 上, ? F 4 。 E ?5 A ? 求证:EF=BE+DF

A

D F

B

E

C

【专题四】证明几何不等式: 【例 7】已知:如图所示,在 ? B 中,AD 平分∠BAC, A B ? A C 。 A C 求证: B ? C D D
A

B

D

C

D B C C 【拓展】 ? B 中, ? C 9 ,? 于 D,求证: A ? ?A ?A ?B ? B ?0 A B A ? DC A C 4

1

A

B

D

C

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第二讲:平行四边形(一)
【知识梳理】 1、平行四边形: 平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质: (1)平行四边形对角相等; (2)平行四边形对边相等; (3)平行四边形对角线互相平分。 除了定义以外,平行四边形还有以下几种判定方法: (1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形; (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形; (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2、特殊平行四边形: 一、矩形 (1)有一角是直角的平行四边形是矩形 (2)矩形的四个角都是直角; (3)矩形的对角线相等。 (4)矩形判定定理 1:有三个角是直角的四边形是矩形 (5)矩形判定定理 2:对角线相等的平行四边形是矩形 二、菱形 (1)把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. (2)定理 1:菱形的四条边都相等 (3)菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. (4)菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以 2 (5)菱形判定定理 1:四边都相等的四边形是菱形 (6)菱形判定定理 2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 三、正方形 (1)有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 (2)性质:①四个角都是直角,四条边相等 ②对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 (3)判定:①一组邻边相等的矩形是正方形 ②有一个角是直角的菱形是正方形

【例题精讲】
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【例 1】填空题: 在下列特征中, (1) 四条边都相等 (2) 对角线互相平分 (3) 对角线相等 (4) 对角线互相垂直 (5) 四个角都是直角 (6) 每一条对角线平分一组对角 (7) 对边相等且平行 (8) 邻角互补

平行四边形具有的是: 矩形具有的是: 菱形具有的是: 正方形具有的是:

【巩固】 1、下列说法中错误的是( ..



A.四个角相等的四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 2、如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是 ( A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形 3、下面结论中,正确的是( A.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 ) B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

)

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

4、如图,在 △ A B C 中,点 D、E、F 分别在边 A B 、 B C 、 C A 上,且 D E ∥ C A , D F ∥ B A .下 列四种说法: ①四边形 A E D F 是平行四边形; ②如果 ? B A C ? 9 0 ,那么四边形 A E D F 是矩形; ③如果 A D 平分 ? B A C ,那么四边形 A E D F 是菱形; ④如果 A D ? B C 且 A B ? A C ,那么四边形 A E D F 是菱形. 其中,正确的有 .(只填写序号)
?

A F E B D C

【例 2】如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AD,BC 的中点. 求证:四边形 BFDE 是平行四边形.
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A

E

D

B

F

C

【巩固】已知,如图 9,E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE. 四边形 ABCD 是平行四边形吗?请说明理由.

D E A F B

C

【例 3】如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,AC 平分∠BAD,CE∥AD 交 AB 于点 E. 求证:四边形 AECD 是菱形.
D

C

A E

B

【例 4】如图,在等边△ABC 中,点 D 是 BC 边的中点,以 AD 为边作等边△ADE. (1)求∠CAE 的度数; (2)取 AB 边的中点 F,连结 CF、CE,试证明四边形 AFCE 是矩形.
A

F

E

B

D

C

【巩固】如图,O 为矩形 ABCD 对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD. (1)试判断四边形 OCED 的形状,并说明理由;
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(2)若 AB=6,BC=8,求四边形 OCED 的面积.
A O D

E

B

C

【例 5】如图所示,在△ABC 中,分别以 AB、AC、BC 为边在 BC 的同侧作等边△ABD、等边△ACE、 等边△BCF. (1)求证:四边形 DAEF 是平行四边形; F E D A B C

(2)探究下列问题: (只填满足的条件,不需证明) ①当△ABC 满足_________________________条件时,四边形 DAEF 是矩形; ②当△ABC 满足_________________________条件时,四边形 DAEF 是菱形; ③当△ABC 满足_________________________条件时,以 D、A、E、F 为顶点的四边形不存在.

第三讲:平行四边形(二)

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【知识梳理】 由平行四边形的结构知,平行四边形可以分解为一些全等的三角形,并且包含着平行线的有关 性质,因此,平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合,平行四边形包括矩形、菱形、 正方形。 另一方面,平行四边形有许多很好的性质,使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。 【例题精讲】 【例 1】四边形四条边的长分别为 m 、 n 、 p 、 q ,且满足 m ? n ? p ? q
2 2 2 2

? 2 mn ? 2 pq ,则这

个四边形是( A.平行四边形

) B.对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形

C.平行四边形或对角线互相垂直的四边形

【例 2】如图①,四边形 ABCD 是正方形, 点 G 是 BC 上任意一点,DE⊥AG 于点 E,BF⊥AG 于 点 F. (1) 求证:DE-BF = EF. (2) 当点 G 为 BC 边中点时, 试探究线段 EF 与 GF 之间的数量关系, 并说明理由. (3) 若点 G 为 CB 延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时 DE、BF、EF 之间的数量关系(不需要证明) .

【巩固】 如图 1, 在边长为 5 的正方形 A B C D 中, E 、 分别是 B C 、 C 边上的点, A E ? E F , 点 且 D F BE ? 2 .
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(1)求 E C ∶ C F 的值; (2)延长 E F 交正方形外角平分线 C P 于 点 P (如图 13-2) ,试判断 A E 与 E P 的大小关系,并 说明理由; (3)在图 2 的 A B 边上是否存在一点 M ,使得四边形 D M E P 是平行四边形?若存在,请给予 证明;若不存在,请说明理由.

A

D

A

D

F B E 图1 C B E 图2

F C

P

【例 3】如图,在矩形 ABCD 中,已知 AD=12,AB=5,P 是 AD 边上任意一点,PE⊥BD 于 E,PF ⊥AC 于 F,求 PE+PF 的值。

【例 4】如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE、AF 分别是∠ABC、∠DAC 的平分线, BE 和 AD 交于 G,求证:GF∥AC。

【例 5】如图所示,Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于 D,BG 平分∠ABC,EF∥BC 且交 AC

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于 F。求证:AE=CF。

A G E B D F C

【巩固】如图,在平行四边形 ABCD 中,∠B,∠D 的平分线分别交对边于点 E、F,交四边形的对 角线 AC 于点 G、H。求证:AH=CG。

第四讲:梯
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【知识梳理】 与平行四边形一样,梯形也是一种特殊的四边形,其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位,本 讲就来研究它们的有关性质的应用。 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形,等腰梯形是一类特殊的梯形,其判定和性 质定理与等腰三角形的判定和性质类似。 通过作辅助线,把梯形转化为三角形、平行四边形,这是解梯形问题的基本思路,常用的辅助 线的作法是: 1、 平移腰:过一顶点作一腰的平行线; 2、 平移对角线:过一顶点作一条对角线的平行线; 3、 过底的顶点作另一底的垂线。 熟悉以下基本图形、基本结论:

【例题精讲】

中位线概念: (1)三角形中位线定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. (2)梯形中位线定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线. 三角形的中位线性质:三角形的中位线平行于第三边,并等于第三边的一半。 梯形的中位线性质:梯形的中位线平行于两底,并等于两底和的一半。

【例题精讲】 【例 1】如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=8,DC=6,∠B=45°,BC=10,求梯形上
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底 AD 的长.
A D

B

C

【例 2】如图所示,在直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,AB∥DC,AD=15,AB=16,BC=17. 求 CD 的长.

D

C

A

B

【例 3】如图所示,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC⊥BD,BD=6cm. 求梯形 ABCD 的 面积.
A D

B

C

【例 4】如图所示,四边形 ABCD 中,AD 不平行于 BC,AC=BD,AD=BC. 判断四边形 ABCD 的 形状,并证明你的结论.

D

C

A

B

【巩固】 1、如图所示,已知等腰梯形的锐角等于 60°,它的两底分别为 15cm 和 49cm,求它的腰长.
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A

D

B

C

2、如图所示,已知等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC⊥BD,AD+BC=10,DE⊥BC 于 E,求 DE 的长.
A D

B E

C

3、如图所示,梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠D=2∠B,AD+DC=8,求 AB 的长.

D

C

A

B

【例 5】已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,E 是 CD 的中点,且 AE⊥BE.

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求证:AD+BC=AB
A D

E

B

C

【巩固】如图所示,梯形 ABCD 中,AD∥BC,E 是 CD 的中点,且 AD+BC=AB 求证:DE⊥AE。
A D

E

B

C

【例 6】 如图, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC , E、 分别是 AD 、 的中点, F BC 若∠B+∠C=90°.AD = 7 ,BC = 15 ,求 EF .

A

E

D

B

F

C

第五讲:中位线及其应用
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【知识梳理】 1、三角形中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。 梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。 2、中位线性质定理的结论,兼有位置和大小关系,可以用它判定平行,计算线段的长度,确定线段 的和、差、倍关系。 3、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点,找到三角形或梯形,包括作出辅助线。 4、中位线性质定理,常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论, ①一组平行线在一直线上截得相等线段,在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线,必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线,必平分另一腰 5、有关线段中点的其他定理还有: ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ②等腰三角形底边中线和底上的高,顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 【例题精讲】 【例 1】 已知△ABC 中, 是 AB 上一点, D AD=AC, AE⊥CD 于 E, 是 BC 的中点, F 试说明 BD=2EF。

C

E

F

A

D

B

【巩固】已知在△ABC 中,∠B=2∠C,AD⊥BC 于 D,M 为 BC 的中点. 求证: D M ?
1 2 AB
A

B

D

M

C

【例 2】已知 E、F、G、H 是四边形 ABCD 各边的中点 则①四边形 EFGH 是__________形
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②当 AC=BD 时,四边形 EFGH 是__________形 ③当 AC⊥BD 时,四边形 EFGH 是__________形 ④当 AC 和 BD__________时,四边形 EFGH 是正方形。

【巩固】如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,M、N 分别是 AD、BC 的中点,E、F 分别是 BM、 CM 的中点。 (1)求证:四边形 MENF 是菱形; (2)若四边形 MENF 是正方形,请探索等腰梯形 ABCD 的高和底边 BC 的数量关系,并证明你的结 论。
A E B M D

F C

N

【例 3】梯形 ABCD 中,AB∥CD,M、N 分别是 AC、BD 的中点。求证:MN=

1 2

(AB-CD)

D

C

M

N

A

B

【巩固】如图,在四边形 ABCD 中,AB>CD,E、F 分别是对角线 BD、AC 的中点。

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求证:EF>

1 2

( AB ? CD )
A D

E

F

B

C

解答第 2 题图

【拓展】E、F 为四边形 ABCD 的一组对边 AD、BC 的中点,若 EF= ABCD 为什么四边形?请说明理由。

1 2

( AB ? CD ) ,问:四边形

C D F E

A

B

【例 4】四边形 ABCD 中,G、H 分别是 AD、BC 的中点,AB=CD.BA、CD 的延长线交 HG 的延长 线于 E、F。求证:∠BEH=∠CFH.

【例 5】如图,△ABC 的三边长分别为 AB=14,BC=16,AC=26,P 为∠A 的平分线 AD 上一点,
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且 BP⊥AD,M 为 BC 的中点,求 PM 的长。

A

P B D M C

【巩固】已知:△ABC 中,分别以 AB、AC 为斜边作等腰直角三角形 ABM 和 CAN,P 是 BC 的中点。 求证:PM=PN
A N

M

B

P

C

第六讲:一元二次方程的解法
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【知识梳理】 形如 ax
2

? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元

二次方程的基本方法,而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。 求根公式 x ?
?b ? b
2

? 4 ac

内涵丰富: 它包含了初中阶段已学过的全部代数运算; 它回答了

2a

一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美。 【例题精讲】 【例 1】选用恰当的方法解方程(基础题) :

(1)x2 –2x=0

(2) x2 –9=0

(3)(1-3x)2=1;

(4) (t-2) (t+1)=0

(5)x2+8x=2

(6) x 2

? 7x ? 6 ? 0

(7) x 2

? 4 x ? 21 ? 0

(8) x 2

? 2 x ? 15 ? 0

(9) 4 x 2

? 12 x ? 9 ? 0

(10) ? a 2

? 4a ? 21 ? 0

(11) x 2

? 11x ? 18 ? 0

(12) 2 x 2

? x?3? 0

(13)(x-6) x =2

2 (14) (2x+1) =3 (2x+1)

(15)2 b 2

? 7b ? 15 ? 0

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(16) a 2 3

? 4a ? 4 ? 0

(17) b 2 3

? 14b ? 5

2 (18)

3x ? x ?
2

3 ? 0

(19) x 4

? x ? 20 ? 0
2

(20) ( 3 x ? 5 ) 2

? 5 (3 x ? 5 ) ? 6 ? 0



【例 2】用适当的方法解下列关于 x 的方程(提高题) : (1) ?3 x ? 2 ?? 4 x ? 3 ? ? 5 ; (2)
1 3 x
2

? 2 x ? 3327 ? 0 ;

(3) ? 5 x ? 3 ? ? 12 ? 4 ? 5 x ? 3 ? ;
2

(4) ? 3 x ? 1 ?? x ? 1 ? ? ? 4 x ? 1 ?? x ? 1 ? ;

(5) ?2 ?

3 x

?

2

? 2

?

3 ?1 x ? 6 ? 0

?



【巩固】用适当的方法解下列关于 x 的方程:

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(1) ? x ? 2 ? ? 9 ? x ? 1 ? ? 0 ;
2 2

(2) x ? 6 ax ? b ? 9 a ;
2 2 2

2 (3) 2 x ? ?2 2 ?

3 x ?

?

6 ? 0



(4) ? 2 x ? 1 ?? x ? 3 ? ? ? 4 x ? 1 ?? 3 ? x ? 。

【拓展】解方程: ? 6 x ? 7 ? ? 3 x ? 4 ?? x ? 1 ? ? 6 ;
2

【例 3】解方程: x ? 3 x ? 4 ? 0 。
2

【巩固】解方程: (1) x ? x ? 1 ? 1 ? 0 ;
2

(2) x x ? x ? 2 ? 0 。

2 【例 4】解关于 x 的方程: ? m ? 1 ? x ? ? 2 m ? 1 ? x ? m ? 3 ? 0 。

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【巩固】解关于 x 的方程: x ? 4 px ? 4 p ? 5 x ? 10 p ? 6 ? 0 。
2 2

2 2 【例 5】已知方程 x ? kx ? 7 ? 0 与 x ? 6 x ? ? k ? 1 ? ? 0 有公共根。

(1)求 k 的值; (2)求二方程的所有公共根和所有相异根。

【巩固】是否存在某个实数 m ,使得方程 x ? mx ? 2 ? 0 和 x ? 2 x ? m ? 0 有且只有一个公共的
2 2

实根?如果存在,求出这个实数 m 及两方程的公共实根;如果不存在,请说明理由。

第七讲:一元二次方程的判别式
【知识梳理】
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一、一元二次方程 ax

2

? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 根的情况:令 ? ? b

2

? 4 ac 。
? b ?
2

1、若 ? ? 0 ,则方程有两个不相等的实数根: x 1 ?

? b ?

b

2

? 4 ac

2a

, x2 ?

b

? 4 ac



2a

2、若 ? ? 0 ,则方程有两个相等的实数根: x 1 ? x 2 ? ? 3、若 ? ? 0 ,则方程无实根(不代表没有解) 。 二、1、利用判别式,判定方程实根的个数、根的特性;

b 2a



2、运用判别式,建立等式、不等式,求方程中参数或参数的取值范围; 3、通过判别式,证明与方程有关的代数问题; 4、借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题、最值问题。 【例题精讲】 【例 1】已知方程 ax ? 4 x ? 1 ? 0 ;则①当 a 取什么值时,方程有两个不相等的实数根? ②当 a 取什么值时,方程有两个相等的实数根?③当 a 取什么值时,方程没有实数根?
2

【巩固】1、已知关于 x 的方程 x ? 2 ? 2 ? m ? x ? 3 ? 6 m ? 0 。
2

求证:无论 m 取什么实数,方程总有实数根;

2 2、已知关于 x 的一元二次方程 ?1 ? 2 k ? x ? 2 k ? 1 x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,求 k 的取值范

围。

2 【拓展】关于 x 的方程 kx ? ? k ? 1 ? x ? 1 ? 0 有有理根,求整数 k 的值。

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2 【例 2】已知关于 x 的方程 x ? ? k ? 2 ? x ? 2 k ? 0 。

(1)求证:无论 k 取任何实数值,方程总有实数根; (2)若等腰三角形 ABC 的一边长 a ? 1 ,另两边长 b 、 c 恰好是这个方程的两个根,求 ? ABC 的周 长。

【巩固】1、等腰三角形 ABC 中,BC=8,AB、AC 的长是关于 x 的方程 x ? 10 x ? m ? 0 的两根,
2

则 m ? ___________。

2、在等腰三角形 ABC 中, ? A、 ? B、 ? C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? 3 , b 和 c 是关于 x 的方程 x ? mx ? 2 ?
2

1 2

m ? 0 的两个实数根,求三角形 ABC 的周长。

【拓展】已知对于正数 a 、 b 、 c ,方程 c x ? ?a ? b ? c
2 2 2 2

2

?x ? b

2

? 0 没有实数根,求证:以长

a 、 b 、 c 的线段为边能组成一个三角形。

【例 3】设方程 x ? ax ? 4 有三个不相等的实数根,求 a 的值和相应的 3 个根。
2

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3 2 2 【巩固】已知关于 x 的方程 x ? ?1 ? a ? x ? 2 ax ? a ? 0 有且只有一个实根,则实数 a 的取值范围

是___________________。

【例 4】设 a , b , c , d ? 0 ,证明在方程
1 2 1 2 1 2 1 2 x
2

x

2

? ? ? ?

2a ? b x ? 2b ? c x ? 2c ? d x ? 2d ? a x ?

cd ? 0 ; ad ? 0 ; ab ? 0 ; bc ? 0 ,

x

2

x

2

中,至少有两个方程有不相等的实数根。

第八讲:一元二次方程根与系数的关系
【知识梳理】 一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ? 的根与系数的关系(韦达定理)

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设方程的两个根 x 1, x 2 ,则 x 1 ? x 2 ? ?

b a

, x1 x 2 ?

c a



韦达定理用途比较广泛,运用时,常需要作下列变形: (1) x 1 ? x 2 ? ? x 1 ? x 2 ? ? 2 x 1 x 2 ;
2 2 2

(2)

x2 x1
3

?

x1 x2
3

?

x1 ? x 2 x1 x 2

2

2

?

? x1

? x2

?

2

? 2 x1 x 2



x1 x 2
2

(3) x 1 ? x 2 ? ? x 1 ? x 2 ??? x 1 ? x 2 ? ? 3 x 1 x 2 ? ; (4) ? x 1 ? x 2 ? ? ? x 1 ? x 2 ? ? 4 x 1 x 2 ;
2 2

(5) x 1 ? x 2 【例题精讲】

? x1

? x2

?

2

?

? x1

? x2

?

2

? 4 x1 x 2 。

【例 1】求下列方程的两根之和,两根之积。 (1)x2-2x+1=0; (2)x2-9x+10=0; 解: x 1 ? x 2 ? ______, x 1 x 2 ? _ _ _ _ _ _ _ (3)2x2-9x+5=0; 解: x 1 ? x 2 ? ______, x 1 x 2 ? _ _ _ _ _ _ _ (5)2x2-5x=0; 解: x 1 ? x 2 ? ______, x 1 x 2 ? _ _ _ _ _ _ _ 解: x 1 ? x 2 ? ______, x 1 x 2 ? _ _ _ _ _ _ _ (4)4x2-7x+1=0; 解: x 1 ? x 2 ? ______, x 1 x 2 ? _ _ _ _ _ _ _ (6)x2-1=0 解: x 1 ? x 2 ? ______, x 1 x 2 ? _ _ _ _ _ _ _

【例 2】设 x1,x2 是方程 2x2+4x-3=0 的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值: (1)(x1+1)(x2+1)=_______; (2)x12x2+x1x22=_______; (3)
x2 x1 ? x1 x2

=_______

(4)(x1+x2)2=_______;

(5)(x1-x2)2=_______;

(6)x13+x23=_______.

【例 3】解答下列问题: (1)设关于 x 的一元二次方程 x ? 4 x ? 2 ? k ? 1 ? ? 0 有两个实数根 x 1、 x 2 ,问是否存在
2

x 1 ? x 2 ? x 1 ? x 2 的情况?

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2 2 x (2) 已知: 1、 x 2 是关于 x 的方程 x ? ? 2 a ? 1 ? x ? a ? 0 的; 两个实数根, ? x 1 ? 2 ?? x 2 ? 2 ? ? 11 , 且

求 a 的值。

【巩固】
2 1、已知关于 x 的方程 x ? 4 x ? a ? 0 有两个实数根,且 2 x 1 ? x 2 ? 7 ,则 a ? _____________。

2、已知 ? 、 ? 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的两个实数根,则代数式 ?
2

2

?? ?

?

2

? 2 的值为_________。

?

【例

4】已知关于 x

的方程: x ?
2

?m

?

2 ?x

?

m 4

2

? 0。

(1)求证:无论 m 取什么实数值,这个方程总有两个相异实根; (2)若这个方程的两个实根 x 1、 x 2 满足 x 2 ? x 1 ? 2 ,求 m 的值及相应的 x 1、 x 2 。

2 2 【巩固】已知关于 x 的方程 x ? ? 2 k ? 3 ? x ? k ? 1 ? 0 。

(1)当 k 为何值时,此方程有实数根; (2)若此方程的两个实数根 x 1、 x 2 满足 x 1 ? x 2 ? 3 ,求 k 的值。

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【例 4】CD 是 Rt△ABC 斜边上的高线,AD、BD 是方程 x ? 6 x ? 4 ? 0 的两根,则△ABC 的面积
2

是多少?

2 2 【巩固】 已知△ABC 的两边 AB、 的长是关于 x 二次方程 x ? ? 2 k ? 3 ? x ? k ? 3 k ? 2 ? 0 的两个 AC

实数根,第三边 BC 的长为 5。 (1) k 为何值时,△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形; (2) k 为何值时,△ABC 是等腰三角形,并求△ABC 的周长。

第九讲:一元二次方程的应用
【知识梳理】 方程是刻画现实问题的有效模型之一,一元二次方程是方程模型的重要代表,许多实际问题可 转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。 列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题的一般步骤基本相同,解题的
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关键是恰当设未知数、分析数量关系,将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题,建立二次 方程模型解决问题。 【例题精讲】 【例 1】要建一个面积为 150m2 的长方形养鸡场,为了节省材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙, 墙长 a m,另三边用竹篱笆围成,如果篱笆的长为 35m。 (1)求鸡场的长和宽各为多少? (2)题中墙的长度 a m 对题目的解起着怎样的作用?

【例 2】某博物馆每周都吸引大量中外游客参观,如果游客过多,对馆中的珍贵文物会产生不利影 响;但同时考虑文物的修缮和保存费用问题,还要保证一定的门票收入,因此博物馆采用了涨浮门 票的价格来控制参观人数,在该方法实施过程中发现:每周参观人数与票价之间存在着如图所示的 一次函数关系,在这样的情况下,如果确保每周 4 万元的门票收入,那么每周应限定参观人数是多 少?门票价格应是多少元? 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 5 10 15 20 票价(元) 人数(人)

【例 3】将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出时,就能卖出 500 个,已知这种商品每个涨价 1 元, 其销售量就减少 10 个,问为了赚得 8000 元的利润,售价应定为多少?这时应进货多少个?

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【例 4】甲、乙二人同时从同一地点相背而行,1 小时后分别到达各自的终点 A 与 B,若让他们仍 从原地出发, 互换彼此到达的目的地, 则甲将在乙到达 A 之后 35 分钟到达 B, 求甲与乙的速度之比。

【例 5】一支士兵队伍长 1200 米,在行军途中,队伍正中间的某士兵接受任务,追赶队伍的排头兵, 并在到达排头后立即回到末尾, 然后再立即返回队伍正中间, 在他完成任务时, 队伍已经前进了 1200 米,如果行军途中队伍和他的速度都保持不变,那么这位士兵共走了多少路程?

【例 6】象棋比赛中,每个选手都与其他选手恰好比赛一局,每局赢者记 2 分,输者记 0 分,如果 平局,两个选手各记 1 分,今有 4 个同学统计了比赛中全部选手的得分总数,分别是 1980、1981、 1993、1994,经核实确实有一位同学统计无误,试计算这次比赛中共有多少名选手参加。

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【巩固】 1、在青岛市开展的创城活动中,某居民小区要在一块靠墙(墙长 15m)的空地上修建一个矩形花园 ABCD, 花园的一边靠墙, 另三边用总长为 40m 的栅栏围成 (如图所示) 若设花园的 BC 边长为 x m, , 花园的面积为 y m2。 (1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)满足条件的花园面积能达到 200m2 吗?若能,求出此时 x 的值;若不能,说明理由; (3)当 x 取何值时,花园的面积最大?最大面积为多大?

A

D

B

C

2、某水果批发商场有一种高档水果,如果每千克盈利 10 元,每天可售出 500 千克,经市场调查发 现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价 1 元,日销售量将减少 20 千克,现该商场要保证每天盈 利 6000 元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?

3、甲乙两条船分别从河的两岸同时出发,它们的速度是固定的。第一次相遇距河的一岸 700 米处, 然后继续前进,都到达对岸后立即折回,第二次相遇距河的另一岸 400 米处,如果认为船到岸调转 方向时不耽误时间,问河有多宽?

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4、一支士兵队伍长 100 米,在行军途中,队伍正中间的某士兵接受任务,追赶队伍排头,并在到达 排头后立即回到队伍的末尾,然后再立即返回队伍正中间,在他完成任务时,队伍已前进了 100 米, 如果行军途中队伍和他的速度都保持不变,那么这位士兵共走了多少路程?

5、象棋比赛共有奇数个选手参加,每位选手都同其他选手比赛一盘,记分办法是胜一盘得 1 分,和 一盘各得 0.5 分,负一盘得 0 分,已知其中两名选手共得 8 分,其他人的平均分为整数,求参加此 次比赛的选手共有多少人?

第十讲:专题复习:因式分解、分式和根式
【知识梳理】 一、因式分解: 1、常用的公式:
2 2 平方差公式: a ? b ? ? a ? b ?? a ? b ? ;

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2 2 完全平方公式: a ? 2 ab ? b ? ? a ? b ? ; 2

a

2

?b ?b ?b

2

? c ? c ? c

2

? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca ? ? a ? b ? c ? ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca ? ? a ? b ? c ? ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca ? ? a ? b ? c ?

2

; ; ;

a

2

2

2

2

a

2

2

2

2

3 3 2 2 立方和(差)公式: a ? b ? ? a ? b ??a ? ab ? b ? ;

a ?b
3

3

? ?a ? b ? a

?

2

? ab ? b

2

?;

2、许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到,我们应熟悉以下的常用结果: (1) ab ? b ? a ? 1 ? ? a ? 1 ??b ? 1 ? ; (2) ab ? a ? b ? 1 ? ? a ? 1 ?? b ? 1 ? ; (3) a ? 4 ? ?a ? 2 a ? 2 ??a ? 2 a ? 2 ? ;
4 2 2

(4) 4 a ? 1 ? ?2 a ? 2 a ? 1 ??2 a ? 2 a ? 1 ? ;
4 2 2
2 2 2 (5) a ? b ? c ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ac ? ? a ? b ? c ? ; 2

3 3 3 2 2 2 (6) a ? b ? c ? 3 abc ? ? a ? b ? c ??a ? b ? c ? ab ? bc ? ac ? 。

二、分式: 1、分式的意义 形如
A B

( A 、 B 为整式) ,其中 B 中含有字母的式子叫分式。

当分子为零且分母不为零时,分式的值为零,而当分母为零时,分式没有意义。 2、分式的性质 (1)分式的基本性质:
A B ? A?M B?M ? A? M B ? M

(其中 M 是不为零的整式) 。

(2)分式的符号法则: 分子、分母与分式本身的符号,改变其中的任何两个,分式的值不变。 (3)倒数的性质:

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a?

1 a

? 1 ? a ? 0 ?, a ?

1

?1 ? ? 1 ? a ? 0 ? ;若 a ? ? 1 ,则 a ? ? ? a a ?a ?
1
n

n

; ? 1 ( a ? 0 , n 是整数)

a ?

1 a

? 2 ?a ? 0 ? 。

3、分式的运算 分式的运算法则有:
a c ac
a c ? b c
n

?

a ?b c

a c ad ? bc ; , ? ? b d bd
n n

a c ad ? a ? ? ? , ? ? , ? ? b d bd b d bc ? b ?

?

a b

( n 是正整数) 。

4、分式的变形 分式的基本性质是分式变形的理论根据之一,分式变形的常用方法有:设参法(主要用于连比 式或连等式) ,拆项法(即分离变形) ,因式分解法,分组通分法和换元法等。 三、二次根式: 1、当 a ? 0 时,称 a 为二次根式,显然 a ? 0 。 2、二次根式具有如下性质: (1) ? a ? ? a ? a ? 0 ? ;
2

(2) a

2

? a ,当 a ? 0 时, ? a ? ? ? ? a ,当 a ? 0 时;

(3) ab ?

a ?

b ? a ? 0, b ? 0 ? ;

(4)

a b

?

a b

?a

? 0, b ? 0 ? 。

3、二次根式的运算法则如下: (1) a c ? b c ? ? a ? b ? c ? c ? 0 ? ; (2) ? a ? ?
n

a

n

?a

? 0?。

4、设 a , b , c , d , m ? Q ,且 m 不是完全平方数,则当且仅当 a ? c , b ? d 时,
a ? b m ? c ? d m 。

【例题精讲】 【例 1】分解因式: x ? xy ? 6 y ? x ? 13 y ? 6
2 2

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【巩固】分解因式:
2 2 1、 x ? xy ? 2 y ? x ? 5 y ? 2 ;

2、 3 x ? 5 xy ? 2 y ? x ? 9 y ? 4 ;
2 2

【例 2】已知 a 、 b 、 c 是一个三角形的三边,则 a ? b ? c ? 2 a b ? 2 b c ? 2 c a 的值是(
4 4 4 2 2 2 2 2 2



A.恒正

B.恒负

C.可正可负

D.非负

3、 k 为何值时,多项式 x ? 2 xy ? ky ? 3 x ? 5 y ? 2 能分解成两个一次因式的积?
2 2

【例 3】 已知 a 、 b 是实数, 且

?

1? a

2

? a

??

1? b

2

问 ? b ? 1 , a 、 b 之间有怎样的关系?请推导。

?

【专题训练】 1、已知 ab ? a ? b ? 1 ? 13 ,求 a ? b 的值为_____________;

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2、多项式 x ? axy ? by ? 5 x ? y ? 6 的一个因式是 x ? y ? 2 ,试确定 a ? b 的值为_____________;
2 2

3、设 3 b ? a ? 2 c ,求 a ? 9 b ? 4 c ? 4 ac 的值。
2 2 2

4、若 abc ? 0 ,且设

a ? b c

?

b ? c a

?

c ? a b

,则

?a

? b ?? b ? c ?? c ? a ? abc

? ___________

5、已知 1 ?

xy x ? y

,2 ?

yz y ? z

,3 ?

zx z ? x

,则 x ? _______________;

6、已知 a ? x ? 1991 , b ? x
2

2

? 1992 , c ? x

2

? 1993 ,且 abc ? 24 ,则

a bc

?

b ca

?

c ab

?

1 a

?

1 b

?

1 c

? ______________________

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7、当 x 变化时,分式

3x 1 2

2

? 6x ? 5
2

的最小值为______________

x

? x ?1

8、设
x

x
2

? mx ? 1

? 1 ,则
x

x
6

3 3 3

? m x

?1

? ____________________;

9、已知实数 a 满足 1992 ? a ?

a ? 1993 ? a ,则 a ? 1992

2

? __________________;

10、化简

2 2 ?

6 3 ? 5

? ____________________;

11、已知 x ?

1 a

?

a ,则

4x ? x

2

? __________________

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12、设 39 ?

432 的整数部分为 a ,小数部分为 b ,则

11 a ? b

?

11 a ? 4 ? b

? _____________;

13、 设等式 a ? x ? a ? ? 则
3x x
2 2

a?y ? a? ?

x?a ?

其中 a , x , y 两两不同, a ? y 在实数范围内成立,

? xy ? y ? xy ? y

2

2

? __________________;

14、使等式 x ?

y ?

99 成立的整数对 ? x , y ? 的个数为__________________;

15、设正整数 a , m , n 满足 a 2 ? 4 2 ?

m ?

n ,则这样的 a , m , n 的取值有______组;

16、求和: S ?

1 1? x

?

2 1? x
2

?

2

2 4

1? x

?? ?

2

n 2n

1? x

17、已知 a ? b ? c ? 0 ,化简
b

1
2

? c

2

? a

2

? c

1
2

? a

2

?b

2

? a

1
2

? b

2

? c

2



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18、若 a ? b ? c ? abc ? 0 ,计算

?1 ? b ??1 ? c ? ?1 ? a ??1 ? c ? ?1 ? a ??1 ? b ?
2 2 2 2 2 2

?

?

的值。

bc

ac

ab

19、计算:

1 3? 3

? 5

1 3 ? 3 5

? 7

1 5 ? 5 7

?? ? 49

1 47 ? 47 49

20、设 M ? ?4 ? 2 3 ? ,它的小数部分为 P,求 M ?1 ? P ? 的值。
3

第十一讲:专题复习:代数式的恒等变形
【知识梳理】 1、恒等式的意义 两个代数式,如果对于字母在允许范围内的一切取值,它们的值都相等,则称这两个代数式恒 等。

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2、代数式的恒等变形 把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形。恒等式的证明,就是通 过恒等变形证明等号两边的代数式相等。 3、基本思路 (1)由繁到简,即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边; (2)两边同时变形为同一代数式; (3)证明: 左边 ? 右边 ? 0 ,或 4、基本方法 在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元 法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。
左边 右边 ? 1 ,此时 右边 ? 0 。

【例题精讲】 【例 1】已知 abc ? 1 ,求证:
a ab ? a ? 1 ? b bc ? b ? 1 ? c ac ? c ? 1 ? 1。

思路点拨:由繁到简,化简左边,使左边等于右边。

【巩固】已知 x 、 y 、 z 为三个不相等的实数,且 x ?

1 y

? y ?

1 z

? z ?

1 x

,求证: x y z
2 2

2

?1。

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【拓展】若 x ? y ? z ? 0 , a ?

x y ? z

,b ?

y x ? z

,c ?

z x ? y

,求证:

a a ?1

?

b b ?1

?

c c ?1

? 1。

【例 2】证明:

x ax ? a
2

?

y ay ? a
2

?

z az ? a
2

?

1 x ? a

?

1 y ? a

?

1 z ? a

?

3 a



思路点拨:本题可采用比差法以及拆分法两种方法进行证明。

1 ? ? 【巩固】1、求证 ? a ? ? a ? ?

2

1? ? ? ?b ? ? b? ?

2

1 ? ? ? ? ab ? ? ab ? ?

2

1 ?? 1 ?? 1 ? ? ? 4 ? ? a ? ? ? b ? ? ? ab ? ?。 a ?? b ?? ab ? ?

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2、求证:

b a ?a ? b ?

?

c

?a

? b ?? a ? b ? c ?

?

d

?a

? b ? c ?? a ? b ? c ? d

?

?

b ? c ? d a ?a ? b ? c ? d

?



【拓展】求证:

2 x ?1
2

?

4 x ?4
2

?

6 x ?9
2

?? ?

20 x ? 100
2

?

11

? x ? 1 ?? x ? 10 ? ? x ? 2 ?? x ? 9 ?

?

11

?? ?

11

? x ? 10 ?? x ? 1 ?

【例 3】已知 x ?

a ?b a ? b

,y ?

b ? c b ? c

,z ?

c ? a c ? a

,求证: ?1 ? x ??1 ? y ??1 ? z ? ? ?1 ? x ??1 ? y ??1 ? z ?

思路点拨:左边和右边,变形为同一个代数式。

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【巩固】已知

a b

?

c d

? 3 ,求证:

a

2

? c

2

a ? c

?

b

2

? d

2

b ? d

?

?a

? b ? ? ?c ? d
2

?

2

a ? b ? c ? d



【拓展】已知实数 a 、 b 、 c 满足
1 a
2 n ?1

1 a

?

1 b

?

1 c

?

1 a ? b ? c

,求证:

? b

1
2 n ?1

? c

1
2 n ?1

? a

1
2 n ?1

? b

2 n ?1

? c

2 n ?1

,其中 n 是正整数。

【例 4】已知 ax

3

? by

3

? cz

3

,且

1 x

?

1 y

?

1 z

? 1 ,求证: 3 ax

2

? by

2

? cz

2

?

3

a ?

3

b ?

3

c 。

第 45 页 共 91 页

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初二年级春季数学竞赛讲义

【巩固】 已知 1、

A x

?

B y

?

C z

?

D t

, 求证: Ax ?

By ?

Cz ?

Dt ?

?A ?

B ? C ? D ?? x ? y ? z ? t ?

2、设

a1 b1

?

a2 b2

?

a3 b3

? ? ?

an bn

? a 1, a 2 , , a n , b 1, b 2 , , a n 都是整数 ? ?
a nbn ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

?。

求证: a 1 b 1 ?

a 2b2 ?

a 3b3 ? ? ?

b1 ? b 2 ? ? ? b n

【拓展】设 2005 x ? 2006 y ? 2007 z , xyz ? 0 ,
3 3 3

且 3 2005 x ? 2006 y ? 2007 z
2 2

2

?

3

2005 ?

3

2006 ?

3

2007 ,求证:

1 x

?

1 y

?

1 z

? 1。

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例 5】已知正数 a , b 满足 a 1 ? b 2 ? b 1 ? a 2 ? 1 ,求证: a ? b ? 1 。
2 2

思路点拨:本题采用综合法。所谓综合法就是从条件开始进行推理,一步一步地推到我们所要证明 的结论,就是我们平时说的“正面突破” 。

第十二讲:专题复习:相似三角形
【知识梳理】 1、比例线段的有关概念:
a c 在 (b da 外 内 前 比 a c , ,,, 例 式 ?中 项 项 项 ? : : 叫叫叫 ) 、 、、 d b c a c b d

b、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果 b=c,那么 b 叫做 a、d 的比例中项。 2、平行线分线段成比例定理: ①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l1∥l2∥l3。

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初二年级春季数学竞赛讲义



AB BC

?

DE

AB DE BC EF , ? , ? ,… EF AC DF AC DF

②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 4、相似三角形的判定: ①两角对应相等,两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 ③三边对应成比例,两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角形相似 5、相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例 ③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方 3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论: (1)如图 1,当 时, ? A B C ∽ ? A D E (2)如图 2,当 时, ? A B C ∽ ? A E D 。 (3)如图 3,当 时, ? A B C ∽ ? A C D 。
A A A

D

E

D D E

B

图1

C

B 图2

C

B

图3

C

(4)如图 4,如图 1,当 AB∥ED 时,则△ (5)如图 5,当 时,则△
A C B B' C' E' E D D'

∽△ ∽△

。 。

A'

图4 图5 (6)如右图,特殊图形(双垂直模型) ∵∠BAC=90° A D ? B C ∴ ? ADC ∽ ? BDA ∽ ? BAC

A

B

D

C

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【例题精讲】 【例 1】如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,BD 是中线,AE⊥BD,交 BC 于点 E,求证: BE=2EC。
A

D

B

E

C

【巩固】 如图, △ABC 是一个等腰三角形, 其中 AB=AC, 若∠B 的角平分线交 AC 于 D 且 BC=BD+AD, 设∠A=c°,求 c 的值。
A

D

B

C

【例 2】如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC(AD<BC) ,AC、BD 交于点 O,若 S ? OAB ? 则△AOD 与△BOC 的周长之比是__________________。
A

6 25

S 梯形

ABCD



D

O

B

C

【巩固】1、如图,在□ABCD 中,E 为 CD 上一点,DE:CE=2:3,连结 AE、BE、BD,且 AE、BD

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初二年级春季数学竞赛讲义

交于点 F,则 S ? DEF : S ? EBF : S ? ABF ? ( A.4:10:25 B.4:9:25

) D.2:5:25
D E C

C.2:3:5

F

A

B

2、如图,已知 DE∥BC,CD 和 BE 相交于 O,若 S ? D 0 E : S ? COB ? 9 : 16 ,则 AD:DB=____________。
A

D O B

E

C

【例 3】 已知如图, 在△ABC 中, ∠BAC=90°, AD⊥BC, 为 AC 中点, E 求证:AB ? AF ? AC ? DF 。

A

E

B D F

C

【巩固】已知如图,AE 为△ABC 的角平分线,D 为 AB 上一点,并且∠ACD=∠B,CD 交 AE 于 F, 求证: CE ? CF ? FD ? BE 。
C

E F

B

A D

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例 4】如图 1,在等腰△ABC 中,AB=AC,点 D 是 BC 上任意一点,连结 AD,过 D 作 AB、AC 的 垂线,垂足分别为 E、F,求证:DE+DF 的长是定值。
A

F E B C D 图1

【巩固】如图 2,在等腰△ABC 中,AB=AC,点 D ? 在 BC 的延长线上,过 D ? 作 AB、AC 的垂线, 垂足分别为 M、N,求证: D ?M ? D ?N 的长是定值。
A

M

B 图2 N

C D'

【例 5】如图,在△ABC 中,D 为 BC 上任意一点,连结 AD,P 为 AD 上任意一点,连结 PB、PC, 求证:
S ? ABP S ? APC ? BD DC
A



P

B

D

C

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【巩固】用面积法证明下述定理: (1)在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,求证:AB:AC=BD:DC。

(2) (赛瓦定理)如图,在△ABC 中,点 D、E、F 分别在 BC、AC、AB 上,连结 AD、BE、CF 交 于点 O,求证:
BD DC ? CE AE ? AF FB ? 1。

A

E F O

B

D

C

(3) (梅内劳斯定理)如图,一条直线与三角形 ABC 的三边 BC,CA,BA(或其延长线)分别交于 D,E,F。求证:
BD DC ? CE EA ? AF FB ? 1。
A

E B D F

C

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初二年级春季数学竞赛讲义

【拓展】如图,在△ABC 中,D 是 BC 边中点,G 是 AD(不包括 A、D 两点)上一动点,BG、CG 的延长线分别交 AC、AB 于点 F、E。 (1)求证:
AE EB AE EB ? AF FC


S ? BGE ? S ? CGF S ? ABC
E G A

(2)设

? x ,用含 x

的代数式表示



并求出它的最大值。

F

B D

C

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初二年级春季数学竞赛讲义





本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。注重中考与竞赛的有机结合,重点落实在与 中考中难以上题,奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中,讲练 结合,由浅入深,讲解与练习同步,重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外在 本次培训中,内容的编排大多大于 80 分钟的容量,因此在实际教学过程中可以根据学 生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和选择内容。由于《相似三角形》与其他知识 的衔接较多,因此本讲义补充了初三的《相似三角形》,可根据实际情况进行必要的讲 解。 注:有(*) 标注的为选做内容。 本次培训具体计划如下,以供参考: 第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲 第九讲 第十讲 第十一讲 第十二讲 分式的运算 分式的化简求值 分式方程及其应用 二次根式的运算 二次根式的化简求值 相似三角形(基础篇) 相似三角形(提高篇) 平行四边形(基础篇) 平行四边形(提高篇) 梯形、中位线及其应用 结业考试(未装订在内,另发) 试卷讲评

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初二年级春季数学竞赛讲义

第一讲:分式的运算
【知识梳理】 一、分式的意义 形如
A B

( A 、 B 为整式) ,其中 B 中含有字母的式子叫分式。

当分子为零且分母不为零时,分式的值为零,而当分母为零时,分式没有意义。 二、分式的性质 (1)分式的基本性质:
A B ? A?M B?M ? A? M B ? M

(其中 M 是不为零的整式) 。

(2)分式的符号法则: 分子、分母与分式本身的符号,改变其中的任何两个,分式的值不变。 (3)倒数的性质: 1、 a ?
1 a ? 1 ? a ? 0 ?, a ? 1 a
n

? 1? a ? 0 ? ;

?1 ? 2、若 a ? ? 1 ,则 a ? ? ? a ?a ?
1
n

; ? 1 ( a ? 0 , n 是整数)

3、 a ?

1 a

? 2 ?a ? 0 ? 。

三、分式的运算 分式的运算法则有:
a c ? b c ? a ?b c a c ad ? bc ; , ? ? b d bd
n

a c ad ? a ? ? ? , ? ? , ? ? b d bd b d bc ? b ? a c ac

?

a b

n n

( n 是正整数) 。

四、分式的变形 分式的基本性质是分式变形的理论根据之一,分式变形的常用方法有:设参法(主要用于连比 式或连等式) ,拆项法(即分离变形) ,因式分解法,分组通分法和换元法等。

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【例题精讲】 【例 1】 (1)当 m ? ___________时,分式

?m
m

? 1 ?? m ? 3 ?
2

? 3m ? 2

的值为零;

(2)要使分式

1 1? x x

有意义,则 x 的取值范围是_______________________。

思路点拨:当分式的分母不为零时,分式有意义;当分子为零,分母不为零时,分式的值为零。

【巩固】
3x ? 12
2

1、若分式

x ? 4x ? 4
2

的值为 0,则 x 的值为_____________;

a

2

? 4

2、若使分式 1 ? 1 ? 3 a 没有意义,则 a 的值为________________;
2a

【拓展】当 x 取何值时,分式

x?2 x ?5x ?6
2

有意义?

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例 2】化简下列分式: (1) ?
? 2x
2

? x ? 4

?

? x? 2 ?? x ? 2 ? x ?1 1

(2)

1 x ?1

?

1 x ?1

?

2 x ?1
2

?

4 x ?1
4

?

8 x ?1
8

(3)

1 x ?1

?

1

? x ? 1 ?? x ? 2 ?

?

1

? x ? 2 ?? x ? 3 ?

?? ?

1

? x ? 99 ?? x ? 100 ?



【巩固】化简:
? (1) 1 n m ? m? n ? 2 2 m2 ? n m? m? n 4n 4
2 2

(2)

1 a ? 3a ? 2
2

?

1 a ? 5a ? 6
2

?

1 a ? 7 a ? 12
2



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初二年级春季数学竞赛讲义

【例 3】已知 2 x ? y ? 0 , A ?

x y

,B ?

x ?1 y ? 2

,试比较 A 与 B 的大小;

【巩固】比较两数

5678901234 6789012345



5678901235 6789012347

的大小。

【例 4】化简:

?y ? z? ?z ? x ? ?x ? y ? 。 ? ? ? x ? y ?? x ? z ? ? y ? x ?? y ? z ? ? z ? x ?? z ? y ?
2 2 2

【巩固】化简:

?y ?x ?

? x ?? z ? x ?

2 y ? z ?? x ? y ? 2 z ?

?

?z ?x ?

? y ?? x ? y ?

y ? 2 z ?? y ? z ? 2 x ?

?

?y

?

? x ? z ?? y ? z ? z ? 2 x ?? x ? 2 y

? z?

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初二年级春季数学竞赛讲义

第二讲:分式的化简求值
【知识梳理】 1、先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略,分式的化简求值通常分为有条件和无条件两 类。 给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值,解这类问题,既要瞄 准目标,又要抓住条件,既要依据条件逼近目标,又要能根据目标变换条件。常常用到如下策略: (1)适当引入参数; (2)拆项变形或拆分变形; (3)整体代入; (4)取倒数或利用倒数关系等。 2、基本思路 (1) 由繁到简,即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边; (2) 两边同时变形为同一代数式; (3) 证明: 左边 ? 右边 ? 0 ,或 3、基本方法 在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元 法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。 【例题精讲】 【例 1】 (1)已知 x?2y ?0,求
x ? 3 xy ? y
2 2 2 2

左边 右边

? 1 ,此时 右边 ? 0 。

2 x ? xy ? 3 y

? ___________________;

(2)已知

1 x

?

1 y

? 5 ,则

2 x ? 5 xy ? 2 y x ? 2 xy ? y

? ___________________;

(3)若

a 3

?

b 4

?

c 5

,则

3a ? 2b ? c a ? 2b ? 3c

? ____________________;

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例 2】若 x ?

a ?b c

?

b?c a

?

c? a b

,求 x 的值?

【例 3】已知 abc ? 0 ,且

a b

?

b c

?

c a

,求

3a ? 2b ? c a ? 2b ? 3c

的值?

【巩固】若

a b

?

b c

?

c d

?

d a

,则

a ?b? c? d a ?b?c? d

的值是 __________________;

【例 4】已知: x ? ? ? ,求 x ? x 1 0
2
4

1 x
4

的值。

【巩固】 (1)已知 a ? 3 a ? 1 ? 0 ,则代数式
2

a
6

3

a ?1

的值为_______________;

(2)若 x ? x ? 1 ? 0 ,则
2

x ? 2x ?1
4

x

5

? _______________;

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例 5】已知 a、b、c 为实数,且 多少?

1 b c 1 c a 1 abc 的值是 ? , ? , ? ,那么 ab 3 bc 4 c a 5 ? ? ? ab ? bc ? ca

a b

【例 6】已知 abc ? 1 ,求证:

a ab ? a ? 1

?

b bc ? b ? 1

?

c ac ? c ? 1

? 1。

思路点拨:由繁到简,化简左边,使左边等于右边。

( ?( ?( ? 的值。 【巩固】已知: a b c ? 0 , a b c 0 ? ? ? ,求 a ? ) b ? ) c ? ) 3 b c c a a b

1 1

1 1

1 1

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【例 7】已知 a ?

1 b

? 1 ,b ?

1 c

? 1 ,求 c ?

1 a

的值。

【例 8】已知 x ?

a ?b a ? b

,y ?

b ? c b ? c

,z ?

c ? a c ? a

,求证: ?1 ? x ??1 ? y ??1 ? z ? ? ?1 ? x ??1 ? y ??1 ? z ? 。

思路点拨:左边和右边,变形为同一个代数式。

【巩固】已知

a b

?

c d

? 3 ,求证:

a

2

? c

2

a ? c

?

b

2

? d

2

b ? d

?

?a

? b ? ? ?c ? d
2

?

2

a ? b ? c ? d



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初二年级春季数学竞赛讲义

第三讲:分式方程及其应用
【知识梳理】 1. 解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤: (1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程; (2)解这个整式方程; (3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否等于零,使最简公分母等于零的根是原方 程的增根,必须舍去,但对于含有字母系数的分式方程,一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同,但必须注意,要检验求得的解是否为 原方程的根,以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 4. 较为复杂的分式方程可以采用换元法、约分来简化。 【例题精讲】 【例 1】解方程: (1)
x x ?1 ?1 ? 3 ( x ? 1) ( x ? 2 )

(2)

x x ?1

?

2 x ?1

?1

【例 2】解方程:

y? 4 y ? 2 ? 2 ? 0 ? y?y 4 y?y 4 y? 4? 4? 4
2 2

6 ?2 y 1

【例 3】解方程:

1 x ? 10

?

1 ( x ? 1) ( x ? 2 )

?

1 ( x ? 2 )( x ? 3)

?…

1 ( x ? 9 )( x ? 1 0 )

? 2

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例 4】解方程

x 1 x 6 x 2 x 5 ? ? ? ? ? ? ? x 2 x 7 x 3 x 6 ? ? ? ?

【巩固】解方程:

1? 3? 2 1 2 3 2? 1? x 0 x 4 4 2 6 1 x 3 x 9 ? ? ? 4 3 8 9 x ? x ? 8 7 4 5 x ? x ?

【例 5】解方程:

x ? 4x
2

x ?1

?

72 x ? 72 x ? 4x
2

? 18 ? 0

【拓展】解方程:

1 x ? 11x ? 8
2

?

1 x ? 2x ? 8
2

?

1 x ? 13x ? 8
2

? 0

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例 6】m 为何值时,关于 x 的方程

m x 3 会产生增根? ? ? ? x?2 x ?4 x?2

2

【巩固】若解分式方程 A. ?1或 ? 2 C. 1 或 2

2x x ?1

?

m ?1 x ? x
2

?

x ?1 x

产生增根,则 m 的值是(



B. ?1或 2 D. 1或 ? 2

【例 7】甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏,商定:用球拍托着乒乓球从起跑线 l 起跑,绕过点 P 跑 回到起跑线(如图所示);途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑,用时少者胜,结果:甲 同学由于心急,掉了球,浪费了 6 秒钟,乙同学则顺利跑完,事后,乙同学说: “我俩所用的全部时 间的和为 50 秒,捡球过程不算在内时,甲的速度是我的 1.2 倍” ,根据图文信息,请问哪位同学获 胜? P

30 米

l 【巩固】轮船在一次航行中顺流航行 80 千米,逆流航行 42 千米,共用了 7 小时;在另一次航行中, 用相同的时间,顺流航行 40 千米,逆流航行 70 千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度 点拨:在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”

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初二年级春季数学竞赛讲义

第四讲:二次根式的运算
【知识梳理】 1、 当 a ? 0 时,称 a 为二次根式,显然 a ? 0 。 2、 二次根式具有如下性质: (1) ? a ? ? a ? a ? 0 ? ;
2

(2) a

2

? a ,当 a ? 0 时, ? a ? ? ? ? a ,当 a ? 0 时;
a ? b ? a ? 0, b ? 0 ? ;

(3) ab ?
a b

(4)

?

a b

?a

? 0, b ? 0 ? 。

3、二次根式的运算法则如下: (1) a c ? b c ? ? a ? b ? c ? c ? 0 ? ; (2) ? a ? ?
n

a

n

?a

? 0?。

4、设 a , b , c , d , m ? Q ,且 m 不是完全平方数,则当且仅当 a ? c , b ? d 时,
a ? b m ? c ? d m 。

5、 二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容, 其运算常用到换元、 拆项相消、 分解相约等方法, 还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧,最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。 6、最简二次根式与同类二次根式 (1)一个根式经过化简后满足: 被开方数的指数与根指数互质; 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数; 被开方数不含分母。 适合上述这些条件的根式叫做最简根式。 (2)几个根式化成最简根式后,如果被开方数都相同,根指数也都相同,那么这几个根式叫做同类 根式。

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例题精讲】 【例 1】已知 y ?
x
2

? 2

5x ? 4

?

x

2

? 2

4 ? 5x

? 2 ,则 x

2

? y

2

? ___________________。

【巩固一】若 x , y 为有理数,且 2 x ? 1 ?

1? 2x ? y ? 4

,则 xy 的值为___________。

【巩固二】已知 y ?

1? x ?

x ? 1 ? 2009

,则 x ? y ? _______________________。

【拓展】若 m 适合关系式 3 x ? 5 y ? 2 ? m ? 的值。

2x ? 3y ? m ?

x ? 199 ? y ?

199 ? x ? y ,求 m

【例 2】当 a ? 2 b 时,化简二次根式

a a ? 2b

a

2

? 4 ab ? 4 b a

2



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初二年级春季数学竞赛讲义

【巩固】 1、化简 4 x 2 ? 4 x ? 1 ?

?

2x ? 3

?

2

的结果是__________________。

2、已知 a ? 0 ,则 A. a

?2 a

? a

?

2

等于(

) C. 3 a D. ? 3 a

B. ? a

3、已知 b ? a ? 0 ? c ,化简 a

2

?

?c

? a?

2

?

?a

? b?

2

?

?b

? c? 。
2

【例 3】多重二次根式的化简: (1) 4 ? 2 3 ?
4? 2 3 ;

(2) 10 ? 8 3 ? 2 2 。

【巩固】化简: (1) 27 ? 10

2 ? ______________________;

(2) 25 ? 4 6 ? 2 5 ? ________________________;

(3) x ? 4 x ? 1 ? 5 ?

x?6

x ? 1 ? 1 0 ? ______________________;

第 68 页 共 91 页

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初二年级春季数学竞赛讲义

【拓展】化简 1996

1995

1994

1993 ? 1991 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 。

【例 4】计算: (1)

?

6 ? 4 6 ? 3

??

3 ? 3 3 ?

2 2

?



(2)

10 ? 10 ?

14 ? 14 ?

15 ? 15 ?

21 21



【巩固】计算: (1)
15 ? 35 ? 5 ? 21 ? 5 7



(2)
7 ?

11 ? 5 77 ?

7 ? 4 66 ?

6 42



3 ? 2

【拓展】设 M ?

1 1? 2

?

1 2 ? 3

?? ? 2007
N

1 ? 2008



N ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 2007 ? 2008 ,则

?M

? 1?

2

的值是__________________________。

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初二年级春季数学竞赛讲义

第五讲:二次根式的化简求值
【知识梳理】 有条件的二次根式化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点,这类问题包容了有理式的 众多知识,又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念,同时联系着整体代入、分 解变形、构造关系式或图形等重要的技巧与方法,解题的关键是,有时需把已知条件化简,或把已 知条件变形;有时需把待求式化简或变形;有时需把已知条件和待求式同时变形。 【例题精讲】 【例 1】设 x ?
5? 5 ,y ? 5? 5 ,求 x
6

? y 的值。
6

【巩固】 1、设 x ?
2 ?1 2 ?1 ,y ? 2 ?1 2 ?1

,求 x ? xy ? y 的值。
2 2

2、已知 x ?

1 2 ? 3

,y ?

1 2 ? 3

,求

1

?x

? 1?

2

?

1

?y

? 1?

2

的值。

【拓展】已知 x ? 2 ?

3 ,求 x ? 5 x ? 6 x ? 5 x 的值。
4 3 2

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例 2】已知 x ?

1 x

? 2 ,那么
x

x
2

? 3x ? 1

? x

x
2

? 9x ? 1

的值等于______________。

【巩固】 1、若 x ?
1 a
1 a ? a ,则

4x ? x

2

的值为(


1 a

A. a ?

B.

1 a

? a

C. a ?

D.不能确定

2、已知 x ?

1 x

?

5 ,求
x

x
2

? x ?1

? x

x
2

? x ?1

的值。

【例 3】 已知 a 、 b 是实数, 且

?

1? a

2

? a

??

1? b

2

问 ? b ? 1 , a 、 b 之间有怎样的关系?请推导。

?

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初二年级春季数学竞赛讲义

【巩固】已知 x ?

?

x

2

? 2008

?? y ?

y

2

? 2008

? ? 2008

,求 x ? 3 xy ? 4 y ? 6 x ? 6 y ? 58 的值。
2 2

【例 4】已知 a 、 b 均为正数,且 a ? b ? 2 ,求 U ?

a

2

? 4 ?

b

2

? 1 的最小值。

【巩固】求代数式 x ? 4 ?
2

?12

? x ? ? 9 的最小值。
2

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初二年级春季数学竞赛讲义

第六讲:相似三角形(基础篇)
【知识梳理】 1、比例线段的有关概念:
a c 在 (b da 外 内 前 比 a c , ,,, 例 式 ?中 项 项 项 ? : : 叫叫叫 ) 、 、、 d b c a c b d

b、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果 b=c,那么 b 叫做 a、d 的比例中项。 2、平行线分线段成比例定理: ①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l1∥l2∥l3。



AB BC

?

DE

AB DE BC EF , ? , ? ,… EF AC DF AC DF

②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。 4、相似三角形的判定: ①两角对应相等,两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 ③三边对应成比例,两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角形相似 5、相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例 ③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方 3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论: (1)如图 1,当 时, ? A B C ∽ ? A D E (2)如图 2,当 时, ? A B C ∽ ? A E D 。 (3)如图 3,当 时, ? A B C ∽ ? A C D 。
A A A

D

E

D D E

B

图1

C

B 图2

C

B

图3

C

(4)如图 4,如图 1,当 AB∥ED 时,则△

∽△



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初二年级春季数学竞赛讲义

(5)如图 5,当
A C B

时,则△
B' C' E'

∽△



A'

E

D

D'
A

图4 图5 (6)如右图,特殊图形(双垂直模型) ∵∠BAC=90° A D ? B C ∴ ? ADC ∽ ? BDA ∽ ? BAC 【例题精讲】 【例 1】如图所示,给出下列条件: ① ? B ? ? A C D ;② ? A D C ? ? A C B ;③
AC CD ? AB BC

B

D

C

;④ A C ? A D ? A B .
2

其中单独能够判定 △ A B C ∽ △ A C D 的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4



【巩固】 1、如图,DE∥BC,DH∥EC 交 BC 延长线于点 H (1)试找出图中的相似三角形? (2)若 AE:AC=1:2,则 AC:DH=_______。 (3)若△ABC 的周长为 4,则△BDH 的周长为_____。 (4)若△ABC 的面积为 4,则△BDH 的面积为_____。

E A

D

B

C

H

2、如图,在△ABC 中,AB=24,AC=18,D 是 AC 上一点,AD=12,在 AB 上取一点 E,使 A、 D、E 三点为顶点组成的三角形与△ABC 相似,则 AE 的长是__________ A. 16 B. 14 C. 16 或 14 D. 16 或 9

3、如图,□ABCD 中,E 是 AB 延长线上一点,连结 DE,交 AC 于 G,交 BC 于 F,那么图中相似 三角形共有_________对。

A
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G F C

D

B E

第6题图

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例 2】 (1)如图,△ABC 是等边三角形,CE 是外角平分线,点 D 在 AC 上,连结 BD 并延长与 CE 交于点 E. 求证:△ABD∽△CED A

D B

E

C

F

(2)如图,

AB AC

?

AD AE

,∠BAD= ∠CAE,求证:△ADE ∽△ABC

【巩固】如图,已知 A D ? A B ? A E ? A C ,求证:△FDB∽ △FEC

【拓展】如图,△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于 D,AE=CE,延长 ED 交 AB 的延长线于 F, 求证:△AFD ∽ △DFB
A E
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B F

D

C

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例 3】如图,每个小正方形边长均为 1,则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中 △ A B C 相似 的是( )

A B C A. B. C. D.
1 CD 2

【例 4】如图,□ABCD 中,E 是 CD 的延长线上一点,BE 与 AD 交于点 F, D E ⑴求证:△ABF∽△CEB; ⑵若△DEF 的面积为 2,求□ABCD 的面积.
A

?



E F D

B

C

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第七讲:相似三角形(提高篇)
【知识梳理】 1、通过寻找或构造相似三角形,计算线段长度,比例线段的证明,角相等的证明等。 2、利用相似三角形的性质解决实际问题。 3、做平行线构造相似三角形是常用的辅助线。 3、几何变换中的函数问题,利用相似三角形构造线段的比或面积的比是常用的方法。 【例题精讲】 【例 1】如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,对角线 AC、BD 交于点 O,BE∥CD 交 CA 延长线于 E。 求证:OC2=OA· OE 2 点拨:把 OC =OA· 化成比例形式 OE

【例 2】如图, △ A B C 中, D 、 E 分别是边 B C 、 A B 的中点, A D 、 C E 相交于 G . 求证:
GE CE ? GD AD ? 1 3



A

E G B D C

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初二年级春季数学竞赛讲义

【巩固】D 是△ABC 中 BC 边上的中点,E 是 AB 上一点,且 AE=6,BE=4,连 ED 并延长交 AC 的延长线于 F,求 AF:CF 的值。

F

C D B E A

【例 3】如图, ? A B C 是一块锐角三角形余料,边长 B C ? 1 2 0 毫米,高 A D ? 8 0 毫米,要把它加工成 正方形零件,使正方形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB、AC 上,这个正方形零件的边长 是多少?
A P N

B

Q

D M

C

【巩固】△ABC 中的内接矩形 EFGH,EF:FG=5:9,高 AD=16cm,BC=48cm,求矩形 EFGH 的面 积。
A E K H

B

F

D

G

C

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例 3】正方形 A B C D 边长为 4, M 、 N 分别是 B C 、 C D 上的两个动点,当 M 点在 B C 上运动 时,保持 A M 和 M N 垂直, (1)证明: R t △ A B M ∽ R t △ M C N ; (2)设 B M ? x ,梯形 A B C N 的面积为 y ,求 y 与 x 之间的函数关系式; (3)当 M 点运动到什么位置时 R t △ A B M ∽ R t △ A M N ,求 x 的值.

【巩固】如图,在△ABC 中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点 P 从 A 点出发,沿 AB 以每秒 4cm 的速度向点 B 运动;同时点 Q 从 C 点出发,沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动,设运动的时 间为 x。 (1)当 x 为何值时,PQ∥BC? (2)当
S ? BCQ S ? ABC ? 1 3

,求

S ? BPQ S ? ABC

的值;

(3)△APQ 能否与△CQB 相似?若能,求出 AP 的长;若不能,请说明理由。

B P

A

C Q

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第八讲:平行四边形(基础篇)
【知识梳理】 1、平行四边形: 平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质: (1)平行四边形对角相等; (2)平行四边形对边相等; (3)平行四边形对角线互相平分。 除了定义以外,平行四边形还有以下几种判定方法: (1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形; (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形; (4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2、特殊平行四边形: 一、矩形 (1)有一角是直角的平行四边形是矩形 (2)矩形的四个角都是直角; (3)矩形的对角线相等。 (4)矩形判定定理 1:有三个角是直角的四边形是矩形 (5)矩形判定定理 2:对角线相等的平行四边形是矩形 二、菱形 (1)把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. (2)定理 1:菱形的四条边都相等 (3)菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角. (4)菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以 2 (5)菱形判定定理 1:四边都相等的四边形是菱形 (6)菱形判定定理 2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 三、正方形 (1)有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 (2)性质:①四个角都是直角,四条边相等 ②对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 (3)判定:①一组邻边相等的矩形是正方形 ②有一个角是直角的菱形是正方形

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例题精讲】 【例 1】填空题: 在下列特征中, (1) 四条边都相等 (2) 对角线互相平分 (3) 对角线相等 (4) 对角线互相垂直 (5) 四个角都是直角 (6) 每一条对角线平分一组对角 (7) 对边相等且平行 (8) 邻角互补

平行四边形具有的是: 矩形具有的是: 菱形具有的是: 正方形具有的是:

【巩固】 1、下列说法中错误的是( ..



A.四个角相等的四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 2、如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是 ( A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形 3、下面结论中,正确的是( A.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 ) B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

)

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

4、如图,在 △ A B C 中,点 D、E、F 分别在边 A B 、 B C 、 C A 上,且 D E ∥ C A , D F ∥ B A .下 列四种说法: ①四边形 A E D F 是平行四边形; ②如果 ? B A C ? 9 0 ,那么四边形 A E D F 是矩形; ③如果 A D 平分 ? B A C ,那么四边形 A E D F 是菱形; ④如果 A D ? B C 且 A B ? A C ,那么四边形 A E D F 是菱形. 其中,正确的有 .(只填写序号)
?

A F E B D C

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例 2】如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AD,BC 的中点. 求证:四边形 BFDE 是平行四边形. A E D

B

F

C

【巩固】已知,如图 9,E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE. 四边形 ABCD 是平行四边形吗?请说明理由.

D E A F B

C

【例 3】如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,AC 平分∠BAD,CE∥AD 交 AB 于点 E. 求证:四边形 AECD 是菱形.
D

C

A E

B

【例 4】如图,在等边△ABC 中,点 D 是 BC 边的中点,以 AD 为边作等边△ADE. (1)求∠CAE 的度数; (2)取 AB 边的中点 F,连结 CF、CE,试证明四边形 AFCE 是矩形.
A

F

E

B
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D

C

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初二年级春季数学竞赛讲义

【巩固】如图,O 为矩形 ABCD 对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD. (1)试判断四边形 OCED 的形状,并说明理由; (2)若 AB=6,BC=8,求四边形 OCED 的面积.
A O D

E

B

C

【例 5】如图所示,在△ABC 中,分别以 AB、AC、BC 为边在 BC 的同侧作等边△ABD、等边△ACE、 等边△BCF. (1)求证:四边形 DAEF 是平行四边形; F E D A B C

(2)探究下列问题: (只填满足的条件,不需证明) ①当△ABC 满足_________________________条件时,四边形 DAEF 是矩形; ②当△ABC 满足_________________________条件时,四边形 DAEF 是菱形; ③当△ABC 满足_________________________条件时,以 D、A、E、F 为顶点的四边形不存在.

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第九讲:平行四边形(提高篇)
【知识梳理】 由平行四边形的结构知,平行四边形可以分解为一些全等的三角形,并且包含着平行线的有关 性质,因此,平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合,平行四边形包括矩形、菱形、 正方形。 另一方面,平行四边形有许多很好的性质,使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。 【例题精讲】 【例 1】四边形四条边的长分别为 m 、 n 、 p 、 q ,且满足 m ? n ? p ? q
2 2 2 2

? 2 mn ? 2 pq ,则这

个四边形是( A.平行四边形

) B.对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形

C.平行四边形或对角线互相垂直的四边形

【例 2】如图①,四边形 ABCD 是正方形, 点 G 是 BC 上任意一点,DE⊥AG 于点 E,BF⊥AG 于 点 F. (1) 求证:DE-BF = EF. (2) 当点 G 为 BC 边中点时, 试探究线段 EF 与 GF 之间的数量关系, 并说明理由. (3) 若点 G 为 CB 延长线上一点,其余条件不变.请你在图②中画出图形,写出此时 DE、BF、EF 之间的数量关系(不需要证明) .

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初二年级春季数学竞赛讲义

【巩固】 如图 1, 在边长为 5 的正方形 A B C D 中, E 、 分别是 B C 、 C 边上的点, A E ? E F , 点 且 D F BE ? 2 . (1)求 E C ∶ C F 的值; (2)延长 E F 交正方形外角平分线 C P 于 点 P (如图 13-2) ,试判断 A E 与 E P 的大小关系,并 说明理由; (3)在图 2 的 A B 边上是否存在一点 M ,使得四边形 D M E P 是平行四边形?若存在,请给予 证明;若不存在,请说明理由.

A

D

A

D

F B E 图1 C B E 图2

F C

P

【例 3】如图,在矩形 ABCD 中,已知 AD=12,AB=5,P 是 AD 边上任意一点,PE⊥BD 于 E, PF⊥AC 于 F,求 PE+PF 的值。

【例 4】如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC,BE、AF 分别是∠ABC、∠DAC 的平分线, BE 和 AD 交于 G,求证:GF∥AC。

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例 5】如图所示,Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于 D,BG 平分∠ABC,EF∥BC 且交 AC 于 F。求证:AE=CF。

A G E B D F C

【巩固】如图,在平行四边形 ABCD 中,∠B,∠D 的平分线分别交对边于点 E、F,交四边形的对 角线 AC 于点 G、H。求证:AH=CG。

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初二年级春季数学竞赛讲义

第十讲:梯
【知识梳理】



与平行四边形一样,梯形也是一种特殊的四边形,其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位,本 讲就来研究它们的有关性质的应用。 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形,等腰梯形是一类特殊的梯形,其判定和性 质定理与等腰三角形的判定和性质类似。 通过作辅助线,把梯形转化为三角形、平行四边形,这是解梯形问题的基本思路,常用的辅助 线的作法是: 1、 平移腰:过一顶点作一腰的平行线; 2、 平移对角线:过一顶点作一条对角线的平行线; 3、 过底的顶点作另一底的垂线。 熟悉以下基本图形、基本结论:

【例题精讲】

中位线概念: (1)三角形中位线定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. (2)梯形中位线定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线. 三角形的中位线性质:三角形的中位线平行于第三边,并等于第三边的一半。 梯形的中位线性质:梯形的中位线平行于两底,并等于两底和的一半。

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例题精讲】 【例 1】如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,M、N 分别是 AD、BC 的中点,E、F 分别是 BM、 CM 的中点。 (1)求证:四边形 MENF 是菱形; (2)若四边形 MENF 是正方形,请探索等腰梯形 ABCD 的高和底边 BC 的数量关系,并证明你的 结论。 A M D
E B

F C

N

【巩固】如图,在等腰梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,AB=DC,AD=2,BC=4,延长 BC 到 E, 使 CE=AD. (1)写出图中所有与△DCE 全等的三角形,并选择其中一对说明全等的理由; (2)探究当等腰梯形 ABCD 的高 DF 是多少时,对角线 AC 与 BD 互相垂直?请回答并说明理由.
A D

B

F

C

E

【例 2】已知:如图,在梯形 ABCD 中, AB∥CD,∠A=60°,AD=BC=DC 求证: A B ? 2 C D .

D

C

A

B

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初二年级春季数学竞赛讲义

【巩固】 如图, 四边形 ABCD 中, AB∥CD, ∠D=2∠B, AD=a, 若 AB=b, CD 的长是___________。 则

B

A

C D

【例 3】 如图, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC , E、 分别是 AD 、 的中点, F BC 若∠B+∠C=90°.AD = 7 ,BC = 15 ,求 EF .

A

E

D

B

F

C

【例 4】已知:如图,在梯形 ABCD 中, AB∥CD,AC=BD . 求证:梯形 ABCD 是等腰梯形.
D C

A

B

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初二年级春季数学竞赛讲义

【例 5】已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,E 是 CD 的中点,且 AE⊥BE. 求证:AD+BC=AB
A D

E

B

C

【巩固】如图所示,梯形 ABCD 中,AD∥BC,E 是 CD 的中点,且 AD+BC=AB 求证:DE⊥AE。
A D

E

B

C

【例 6】如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,CE 、BE 分别平分∠C 和∠B,E 为 AD 的中

点。 求证:AB+DC=BC .

D

C

E

A

B

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