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2010年泛珠三角及中华名校物理奥林匹克邀请赛


智浪教育—普惠英才文库

第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛 (2005 年 1 月 29 日上午)
题 1(5 分) 光滑平面上有两条长度均为 2 l、而质量为 m 的均匀蠕虫 A 和 B。它们的起始位置如图所示,蠕虫 A 的质心位于 x-y 坐标(0, 0)。蠕虫 B 开始慢慢从 A 身上爬过,爬时 两虫的身体轴线始终保持夹角?。试用参量 l, ?

表示:当 蠕虫 B 爬过 A 后,两蠕虫各个质心位置的坐标。
y ? x A

B

题 2(13 分) 一体积为 0.001m3 的空气泡和一质量和体积与空气泡相同的钢瓶从水下 2.0 km 深处 放出。 不考虑磨擦。 气泡温度不变。 空气在水面的密度为 1.21 kg/m3, 大气压为 1.0 x 105 N/m 。(提示:
2

? ? ? ?a ? ? ? ? ? ?x ? ? ln? ? ?
a

b

dx

1

? ? ? ?b ?

)

(a) 求气泡到水面时体积。 (3 分) (b)求在深度 h (h < 2.0 km)时气泡和钢瓶净得的能量的表达式。(7 分) (c) 用该表达式求气泡和钢瓶到达水面时的速度。(3 分) 题 3(12 分) 一质量为 0.5M 的人站在一以角速度 ? 旋转的厚度质量 均匀,质量为 0.5M,半径为 R 的圆台上。圆台与中心转 轴间无磨擦。该人离圆台中心距离为 r (< R) ,并带 有 10 颗质量为 0.01M 的石子。 (a) 求整个系统的总角动量。(4 分) 为了减速该人准备向外扔石子。石子扔出时相对于他的 速度为 v ,方向与径向成夹角 ? . (b) 求当他扔了一石子后圆台的角速度, 并找出使角速度减少最多的夹角 ?max 。 (4 分) (c) 求当他以 ?max 扔光石子后圆台的角速度。(答案可用多项式表达) (4 分) 题 4(8 分) 一均匀长竿长度为 L,质量为 M,在一半径为 R (>0.5L)的 光滑半球面内处于静止状态。 (a) 求竿在其平衡位置附近作小幅振荡的频率。(4 分) (b) 已知小幅振荡时长竿偏离水平线最大偏角为 ? max 。长 竿在最大偏角和水平时球面对竿端的力的强度的差 2 可写成 ?N ? ?Mg? max 。求 ? 。(4 分) 题 5(12 分)
?

?

智浪教育—普惠英才文库

? c ? 一电磁波的电场为 E ? E0 x0 ei ( kZ ??t ) ,其中 E0 和 ω 为实常数, ? ? ~ k ,c 为真空光速, n ~ 为介质的介电常数(可以是复数)。 n
~ 是实数,虚数,或复数时电磁波强度的 (a) 简单讨论电磁波在介质里传播过程中,当 n 变化。(4 分) ? 1 ? ? ? (b) 求磁场 B , 以及 Poynting 向量在一个周期里的平均量 ? S ? ( E ? B) ? 。(4 分)
0 ? d?S ? ~是 (c) q ? 是描述电磁波在介质里能量损失的物理量。计算 q,并简单讨论当 n dz 实数,虚数,或复数时所得结果的物理意义。(3 分) (d) 根据上述结果,电磁波在介质里传播时如果其强度衰减,是否其能量一定有损失? (1 分)

?

3

第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛 (2005 年 1 月 29 日下午)
题 6(12 分) 下图中阴影部分为均匀磁场区。磁场方向垂直纸面向外。

磁场区

磁场区 w y (c)

(a)

(b)

(a) 一平面线圈带电流 I,整个线圈在磁场区内,其平面与磁场垂直。求磁场对线圈的 力。(3 分) (b) 当线圈有部分在磁场区外时,磁场对线圈的力可表达成 F = ?wBI, 其中 w 是线 圈与磁场区边缘两交界点间的距离, 其方向则向上或向下(由电流方向决定)。 求 ?。(3 分) (c) 一半圆型线圈半径为 r, 电阻为 R,质量为 m,从磁场区内下落。线圈平面始终与 纸面平行,其直边始终与磁场区底部边缘平行,距离为 y。不计线圈自感。导出 决定 y(<R)的微分方程式。如果你求不到(b)部分的 ?,你可当它是已知的。 (6 分) 题 7(15 分) 当一半导体被加上相互垂直的电场和磁场时, 就会产生一 ? 与电流方向 j 垂直的电压 VH 。这一现象称为霍尔效应。
? B

y

VH

? j

V (a) 一半导体为 W ? W 的方型薄膜,里面的电流由带正电的载流子运动引起, 每个 x 载流子带电荷 e,载流子面密度为 n, 半导体导电率为 ?。另有一负电荷本底使 半导体除了边缘以外处处中性。 半导体内电场处处均匀。 外加磁场 B 与薄膜垂直。 ? 当电压 V 加上后,除了产生 X-方向的电流 j 外,还产生一与电流方向垂直的电 ? 压 VH 。 求到达稳态时的霍尔系数 RH ? VH / V 。(注意电流 j 不是已知量)(6 分)

最近发现,在某些半导体里存在自旋霍尔效应。该效应与载流子固有的磁矩 m 有关。 ? ? ? ? 在二维系统中载流子会受到一附加的力 FR ? ?R (m ? v ) (Rashba 力)。其中 v 为载流子在 ? ? ? 二维系统(X-Y)平面的速度,? R 为常数。磁矩 m 保持与平面垂直,因此 m ? ? mz 。注意 这时无外加磁场。不计载流子磁矩间的相互作用。

?

? (b) 设电场处处均匀,其沿 X-方向的力远大于 FR , z ? 求 Y-方向的电流。电流与 m 是何关系? (6 分)

y

? j
x V

4 (c) 由于与边界的碰撞, 载流子的磁矩方向过了时间? 之后就变成无序。 也就是说每 单位长度边界每秒钟有 nm/? 的载流子的磁矩方向成为无序,其中 nm 是还保持 ? ? 磁矩方向( ? z )的载流子密度。求边缘区的磁化强度 M 。(3 分) 题 8(23 分) 导电板 电流变液由绝缘液体(比如硅油)和许多悬浮其中的介电小 球组成,是一种因外加电场而从液体形态变成固体形态的物 电流变液 质。如图所示一测试装置,包括两间距为 D ,面积为 A 的 平行导电板,板间充满电流变液。两板间无电压时电流变液 导电板 处于液体形态,因此两板可无磨擦地在水平方向相对运动。 两板间加上电压 V 后,小球被电场极化并沿电场排成直行。一板相对另一板要平移一 D ?f 小距离 ?x 就需要一力 ?f。 切变模量 ? 的定义为 ? ? 。 小球的半径为 R (<< D) , A ?x 介电常数为?, 总体小球占整个电流变液的体积比为 m。 无小球时液体的介电常数为 1。 不考虑重力。以下题目要求你将 ? 用上述物理量表达出来。

? (a) 第一步要通过求解(a1) – (a3)来计算单一小球在一均匀外电 ? ? ? E0 场 E0 里的极化 P 。 已知球体内的极化是均匀的, 方向与 E0 相 同。 ? (a1) 求在球心位置由极化 P 产生的电场。(3 分) (a2) 求球体内的总电场。(3 分) ? ? (a3) 单个小球极化产生的总电偶极子可表达成 p0 ? ?E0 。 求 ?。(3 分)

? (b) 把小球近似当作位于球心的理想电偶极子,并只和 E0 有关。如果你没求出(a3)里的 ?,你可以当它是已知常数来计算下面的问题。(提示:展开时保留到 d2 项,d 是 偶极子的长度。) (b1) 求当两球接触,左右并排和上下排列时(如下图所示)的静电能量。 (4 分) (b2) 求当一球与板接触时板对球的静电力。(3 分) (b3) 如下图所示,求当两球上下排列时,上面的球沿水平方向平移一小距离?a 时的 水平回复力。(3 分)

? E0

(b1)

(b2)

(b3)

(c) 设加上电压后所有小球都排成连续的单行的细柱,连接上下 导电板。根据你(b1)的答案,细柱容易粘在一起吗?只考虑 同一柱内最邻近球之间的力,当上板平移了一小距离 ?x 时, 每根柱最顶端的球仍然粘在板上跟板移动了同样距离。如右 图所示,上面每个球都相对于下一个球移动了相同距离。最 底部的球仍然粘在下板上不动。 求切变模量?.(4 分)

5

Pan Pearl River Delta Physics Olympiad 2005 Jan. 29th, 2005 Morning Session Marking Scheme
Q1. Original Position of A (center) A 的起始中心位置: (0,0)---- (1 分) Original Position of B (center) A 的起始中心位置: (L/2cosθ ,-L/2sinθ ) --- (1 分) Center-of-mass of A+B remains fixed A+B 的重心不变 ---- (1 分) Final Position of A (center) A 的最终中心位置: (L/2cosθ ,-L/2sinθ ) ---- (1 分) Final Position of B (center) B 的最终中心位置: (0,0) ------(1 分)

Q2. a. According to the Boyle’s Law 利用理想气体原理, P 1V1 ? P 2V2 Ph ? ?w gh ? P0 ? [(1000? 9.8 ? 2 ?103 ) ? 105 ]Nm?2 ---- (1 分)
? 1.97 ? 107 Nm ?2 ---- (1 分) PhVh 1.97 ? 107 V0 ? ? (10?3 )m 3 ? 0.197m 3 ---- (1 分) 5 P0 10

共 (3 分) b. Buoyant Force 浮力, F ? ??gV ?? ? ? w ? ? ( ? w ?? ? , ?? ? ? w )

For the tank 钢瓶, ?V (1.21)( 0.197 ) kgm ?3 ? 238.4kgm?3 ---- (1 分) ?? 0 0 ? ?3 10 Vh

Et ? ??gVh h ? (1000? 243.21)(9.8)(10?3 )(2 ?103 ) J ? 1.48?104 J --- (1 分) For the bubble 气泡, Energy gained = buoyant force part 浮力作功 P ? ? ? P ? ? b b ? 0 ? 0 ( ? w gh ? P0 ) ---- (1 分) P0 P0
Eb ? ? Fdh

? ? (? w ?
0

h

?0
P0

( ? w gh ? P0 ) g (

P0V0 )dh ? w gh ? P0

6

? w gP0V0 ? ? 0 gV )dh ? w gh ? P0 P ? ? w gh ? P0V0 ln[ 0 ] ? ? 0 gV0 h
?? (
0 h

P0

? [(1.97 ?10 ) ln[197] ? (1.21)(9.8)(0.197)(2 ?103 )]J ? (1.041?105 ? 4247 .3) J 5 ? 0.998? 10 J ---- (1 分) (if assume 如果假设 ?? ? ?w , we have the following modification 我们得到)
4

Eb ? ? Fdh

? ? ?w g(

P0V0 )dh 0 ? w gh ? P0 P ? ? w gh ? P0V0 ln[ 0 ] P0
h

? (1.97 ?104 ) ln[197]J ? 1.041? 105 J
共 (7 分) c. For the tank 钢瓶, 1 2 mv ? Et 2 2 Et ? v? ? 0V0
1 2 mv ? Eb 2 2 Eb v? ? ? 0V0

2(1.48 ? 10 4 ) ?1 ms ? 352.4m s?1 ---- (1 分) (1.21)( 0.197 )

2(0.998? 105 ) ?1 m s ? 915.2m s?1 (1.21)(0.197)

or v ? 共(3 分) Q3. a.

2(1.041 ? 10 5 ) ? 934.5m s?1 ---- (2 分) (1.21)( 0.197 )

1 I ? ? mi ri 2 ? (0.5? ? 10(0.01? )r 2 ? ?R 2 2 i 2 2 ? (0.6 ? 0.5n )?r L ? I? ? (0.6 ? 0.5n 2 )??r 2 (4 分)

let 取

R ? n ?1 r

7

b. 恒

L ? m?r 2 where M ? (0.6 ? 0.5n 2 )? and m ? 0.01? In the 1st throw, by the conservation of angular momentum, 扔了一石子后, 由角动量守

v L ? ( M ? m)?1 r 2 ? mr 2 ( sin ? ? ?1 ) ---- (2 分) r L ? mvr sin ? ? ?1 ? Mr 2 For the optimum angle to slow down, ? sin ? ? 1 ? ? ? 900 C ---- (1 分) ? ?1 ? L ? mvr L mv 1 ? ? ( ) ---- (1 分) 2 2 r M Mr Mr

共(4 分) For the 2nd stone 扔第二颗石子后, L ? m vr ?2 ? 1 2 ---- (1 分) Mr where 其中 L1 ? (M ? m)?1r 2 and M 1 ? M ? m L mv 1 1 ? ? ( ? ) ---- (1 分) 2 r M M ?m Mr c. For the nth stone 扔第 n 颗石子后, L mv n 1 ?n ? ? ? 2 r i ?1 M ? (i ? 1)m Mr L m v 10 1 ---- (2 分) ?10 ? ? ? 2 r i ?1 M ? (i ? 1)m Mr 共(4 分) Q4. (a) 长竿绕圆心运动。球面对长竿的力通过圆心,力矩为 0。---(1 分) According to the Parallel Axis Theorem 根据平行轴定理, 1 1 I ? I 0 ? M ( R 2 ? L2 ) ? ML2 ? Mh 2 ---(2 分) 4 12 1 I where 其中 h ? R 2 ? L2 T ? 2? 4 Mgh

f ?

1 2?

gh ---(1 分) h 2 ? 1 L2 12

共(4 分) (b)长竿最大偏角时两端的力分别为 At maximum angle the forces on the ends are N ? ?N , respectively

8
1 2 2 N sin ? ? Mg cos ? max ? Mg (1 ? ? max ) ,---(1) 2

其中 where sin ? ?

Mh? 2? max

R 2 ? 1/ 4 L2 。 R ? Mg? max ? 2?N cos? ---(2)

?NL sin ? ? I 0? 2? max ---(3)
Putting(3) into(2) one gets the same frequency as in (a) 由(3)得 ?N 。将 (3) 代入 (2) 可得 频率,与(a)相同。 长竿水平时两端的力均为 At level position both end forces are N’,angular speed is 角速度 2 为 ? 2 ? Mgh? max /I 。

2N ' sin ? ? Mg ? Mh? 2 --- (4) 6 1 Finally 最后得 ? ? ( ? ) / sin ? 。 2 4 12 ? ( L / h)
Q5. a.

? ?~ ?ei (kz??t ) where 其中 k ? n E ? E0 x c ? ~ ? a ? ib Let 令 k ? (a ? ib) where 其中 n c a and b are real, a 和 b 为实数 az bz b?z az ? i? ( ?i ?t ) ? i? ( ?t ) c c c ? ? ---(1 分) E ? E0 xe ? E0 e xe c ? if 如果 k ? a , c az ? i? ( ?t ) ?e c 波幅不随传播而变 ---(1 分) E ? E0 x ? if 如果 k ? (a ? ib) , c 波幅随传播而变 ---(1 分) ?b if 如果 k ? i , c
E ? E0e
共(4 分) b.
? 1 ? 1 ?e i ( kz??t ) ) B? ?? E ? (ikE 0 y i? i? k ? e i ( kz??t ) ---(1 分) ? E0 y
? b? z c

xe?i?t 波幅随传播而变 ---(1 分)

? b?z az ? i? ( ?t ) 1 c ? ? (a ? ib) E0 e ye c ---(1 分) c For complex k, 如 k 是复数.

9
2b?z ? ? ? ? 1 1 1 2 S ? Re(E ? B * ) ? Re[ (a ? ib) E0 e c ] ?0 2? 0 c

---(3 分) 2? 0 c 共(5 分) ? b?z d S a 2b? 2 ? c c. q ? ? (? ) E0 e dz 2?0 c c

?

a

2 E0 e

?

2b?z c

ab? 2 ? c ---(2 分) ?? E0 e ?0 c 2 if a or b = 0 当 a 或 b ? 0 时 q ? 0
d. 不. 当 a = 0 但 b ? 0 时,波幅随传播而变,但 q ? 0 。 No. When a = 0 but b ? 0 , the wave amplitude changes but q ? 0 .(2 分)

2b?z

10 第一届泛珠三角物理奥林匹克竞赛 第二部分答案 Q6 (a) (3 分)答案一:把线圈看成无数个小的正方形的线圈叠加的总效果。小线圈的 合力是零,因此总的合力是零。 答案二:将线圈在磁场里移动并不需要做功,因无电磁感应,因此总的合力是零。 答案三:用矢量投影。 (b) 将线圈在磁场边界分成两半,假想一正负电流。--- (1 分) α=1 --- (2 分) 共(3 分) (c) 线圈在磁场中运动时,切割磁场的长度
w ? 2 r 2 ? y 2 --- (1 分)

产生的电流 Bwv I? --- (1 分) R dy 其中 v ? --- (1 分) dt 磁场对线圈的作用力 F ? BIw --- (1 分) d2y 运动方程为 m 2 ? F ? m g --- (1 分) dt 综合上面各式,化简为: 2 2 d y 4B dy ? (r 2 ? y 2 ) ? g ? 0 --- (1 分) 2 mR dt dt 共(6 分) Q7 (a)
j ? nev ? ?E , --- (1 分)
FE ?
E? V --- (1 分) W

eVH FB ? e B v --- (1 分) , --- (1 分) W 由 FE ? FB ,--- (1 分) V B? 可以求出 H ? --- (1 分) V en

共(6 分) (b)y 方向, j ? j y ? j? y ? 0 , j spin ? 0

jspin 实际上是自旋电流,而不是电荷电流。
e e e neW nWe 2 电流方向一左一右,由自旋是上还是下决定。共(6 分) (c) 达到平衡时,退激化的电子等于电流补充进来的电子 j y ? ?E y ?

?FY

?

?? R m vx

?

?? R m ?V
?

?

? 2? R m V

11
nm jy e

?

?

--- (2 分) --- (1 分)

M ? nm m ?

? 2? R m 2?V
Wne 3

共(3 分)

Q8 (a)部分 A1: Surface charge density 电荷面密度 ? ? P cos ?
?

--- (1 分)
2?

Ep ?

P 4?? 0 R
2

? 2 ? ? d? cos ? ? R sin ? ? cos ? ? d? ?
2 0 0

2

P 3? 0

--- (2 分)

共(3 分) A2:
E ? E0 ? p 3? 0 ? E0 ?

? ?1
3

E,

? --- (2 分) 可得 E ?

3 E0 ? ?2

--- (1 分)

共(3 分) A3:

P ? (? ? 1)? 0 E --- (1 分) (? ? 1) ? 3? 0 E0 --- (1 分) ? ?2 4 ? ?1 p ? ?R 3 P ? 4?? 0 R 3 E0 3 ? ?2 ? ?1 ? ? 4?? 0 R 3 --- (1 分) ? ?2
共(3 分) (b) 部分 B1: 左右 W ?

2Q 2 1 1 p2 ----(2 分) [ ? ]? 4?? 0 2R 32?? 0 R 3 4R 2 ? d 2
p2 16?? 0 R 3
----(2 分)

上下 W ? ?

共(4 分) B2:(电像法 image charge) ----(1 分) p2 ?W 3p2 , ---( 1 分) ----(1 分) W? F ? ? ?(2 R) 32?? 0 R 4 16?? 0 R 3 共(3 分) B3: Q2 2 1 1 3p2 W ? ( ? ? )?? x2 5 2 2 2 2 4?? 0 4 R 2 ? x 2 128 ?? R (2 R ? d ) ? x (2 R ? d ) ? x 0

12 ----(1 分) dW 3 p2 F ?? ? ?a ----(2 分) dx 64??0 R5 共(3 分) (c)部分:左右排列时,能量为正,与距离三次方成反比,不易粘在一起。----(1 分) 4 D 细柱的体积: ?R 3 ? ,总体小球的体积:ADm 3 2R ADm 细柱的根数: ----(1 分) 4 3 D ?R ? 3 2R 2R ?a ? ?x , ?f ? F ----(1 分) D D?f 9m? 0 ? ? 1 2 V 2 9m? 0 ? ? 1 2 2 ( ) E0 ----(1 分) ?? ? ( ) ( ) ? 4 ? ?2 A?x 4 ? ?2 D 共(4 分)


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