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高三培优补差下(易错题分析)精品!!


高三培优补差下(易错题分析)精品! 高三培优补差下 易错题分析)精品! ! 5.数列单元易错题分析 数列单元易错题分析 6.平面向量易错题分析 平面向量易错题分析 7.解析几何易错题分析 解析几何易错题分析

数列单元易错题分析
1、如何判断等差数列、等比数列?等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导? 、 2、解决等差(等比)数列计算问题通常的方法有哪两种? ① 基本量方法:抓住 a1 , d ( q ) 及方程思想; ②利用等差(等比)数列性质). [ 问题 ] : 在等差数列 {a n } 中, a16 + a17 + a18 = a 9 = ?36 ,其前 n项的和为

Sn

, (1)求 S n 的最小值;

(2)求Tn

= a1 + a 2 + L + a n

3、解决一些等比数列的前 n 项和问题,你注意到要对公比 q = 1 及 q ≠ 1 两种情况进行讨论了吗? 4、在“已知 S n ,求 a n ”的问题中,你在利用公式 a n = S n ? S n ?1 时注意到 n ≥ 2 了吗?( n = 1 时,应有 a1 = S1 ) 5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法?(①猜证法;②转化为等差(比)数列问题) [问题]:已知: a1 = 1, a n = 2a n ?1 + 3 , 求a n . 问题]
n

6、你知道 lim q 存在的条件吗?( ? 1 < q ≤ 1) ,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列
n n →∞

{a n } 的前 n 项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在?
7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法) *8 数学归纳法证明问题的基本步骤是什么?你注意到“用数学归纳法证明中,必须用上归纳假设”吗? 1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明,其步骤是: (1)验证命题对于第一个自然数 n=n0 (k≥n0)时成立; (2)假设 n=k 时成立,从而证明当 n=k+1 时命题也成立, (3)得出结论. 2、.(1)、 (2)两个步骤在推理中的作用是:第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,二者缺一不可。第二 步证明时要一凑假设,二凑结论. 例题选讲 1、不能正确地运用通项与前 n 项和之间的关系解题: 项和之间的关系解题: 、 例 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn,求通项公式 an: (1)Sn=5n2+3n; (2)Sn= 3 -2; 【错解】由公式 an=sn-sn-1 得: (1)an=10n-2; (2) an = 2 ? 3 【分析】应该先求出 a1,再利用公式 an=sn-sn-1 ( n ≥ 2 ) 求解. 【正解】 (1)an=10n-2; (2) an = ?
n ?1

n

?1 ?2 ? 3
n ?1

(n = 1) (n ≥ 2)
1

2、忽视等比数列的前 n 项和公式的使用条件: 、 项和公式的使用条件: 2 例 2、求和:(a-1)+(a -2)+(a3-3)+…+(an-n) . 【错解】S=(a+(a2+a3+…+an) -(1+2+3+…+n)=

a (1 ? a n ) n(n + 1) ? . 1? a 2

【分析】利用等比数列前 n 项和公式时,要注意公比 q 的取值不能为 1. 【正解】S=(a+(a2+a3+…+an) -(1+2+3+…+n) 当 a=1 时,S =

n ? n2 a (1 ? a n ) n(n + 1) ;当 a ≠ 1 时,S= ? 2 1? a 2
1 ,第二、三项的和为 2 ,求这个等比数列的公比. 16

3、 忽视公比的符号 、 例 3、已知一个等比数列 {an } 前四项之积为

1 ? 4 ? a = 16 a a ? , 解得 q = 2 ± 1 或 【 错解】 Q 四 个数成 等比数 列,可 设其分别 为 3 , , aq, aq 3 , 则有 ? a q q ? + aq = 2 ?q ?
q = ? 2 ± 1 ,故原数列的公比为 q 2 = 3 + 2 2 或 q 2 = 3 ? 2 2
【分析】按上述设法,等比数列 {an } 的公比是 q 2 ,是正数,四项中各项一定同号,而原题中无此条件,所以 增加了限制条件。

? 4 6 1 4 ? a q = 16 ,∴ (1 + q ) = 64q 2 【正解】设四个数分别为 a, aq, aq , aq , 则 ? ?aq + aq 2 = 2 ?
2 3

由 q > 0 时,可得 q 2 ? 6 q + 1 = 0,∴ q = 3 ± 2 2; 当 q < 0 时,可得 q 2 + 10 q + 1 = 0,∴ q = ?5 ? 4 6 变式、等比数列 {a n } 中,若 a 3 = ?9 , a 7 = ?1 ,则 a5 的值 (A)是 3 或-3 (B) 是 3 (C) 是-3
2

(D)不存在

【错解】Q {a n } 是等比数列, ∴ a3 , a5 , a 7 成等比, a 5 = ( ?9)(?1) =9,∴ a5 = ±3 选A 【分析】 a3 , a5 , a 7 是 {a n } 中的奇数项,这三项要同号。错解中忽视这一点。 【正解】C 4、 (见手写 P13-25 13) 、 见手写 5、 (见手写 P14-25 14) 、 见手写 6、缺乏整体求解的意识 、 例 6、一个只有有限项的等差数列,它的前 5 项的和为 34,最后 5 项的和为 146,所有项的和为 234,求 a 7 【错解】设该数列有 n 项且首项为 a1 ,末项为 a n ,公差为 d

2

则依题意有

? ?5a1 + 10 d = 34 ? ?5a n ? 10 d = 146 ?a + a n ? 1 ? n = 234 2 ?

(1) ( 2 ) ,三个方程,四个未知数,觉得无法求解。 (3)

【分析】 在数列问题中,方程思想是常见的思想,使用时,经常使用整体代换的思想。错解中依题意只能列 出 3 个方程,而方程所涉及的未知数有 4 个,没有将 a1 + a n 作为一个整体,不能解决问题。事实上,本 题求 a 7 ,而没有要求其他的量,只要巧用等差中项的性质, a 7 = 活应用,来源于对知识系统的深刻理解。 【正解】设该数列有 n 项且首项为 a1 ,末项为 a n ,公差为 d 则依题意有

a1 + a13 ,求出 a1 + a13 即可。知识的灵 2

? ?5a1 + 10 d = 34 ? ?5a n ? 10 d = 146 ?a + a n ? 1 ? n = 234 ? 2

(1) ( 2 ) , (1) + ( 2 ) 可得 a1 + a n = 36 ,代入(3)有 n = 13 , (3)
a1 + a13 36 = = 18 2 2

从而有 a1 + a13 = 36 , 又所求项 a 7 恰为该数列的中间项,∴ a 7 = 例7

(1)设等比数列 {an }的全 n 项和为 S n .若 S 3 + S 6 = 2 S 9 ,求数列的公比 q . 错误解法 Q S 3 + S 6 = 2 S 9 , ∴

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 9 ) + = 2? 1 , 1? q 1? q 1? q

整理得

q 3 (2q 6 ? q 3 ? 1)=0.
3

由q ≠ 0得方程 2q 6 ? q 3 ? 1 = 0. ∴ (2q 3 + 1)(q 3 ? 1) = 0,∴ q = ?

4 2

或 q = 1。

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a1 (1 ? q 9 ) + = 2? 错误分析 在错解中,由 , 1? q 1? q 1? q
整理得 q 3 (2q 6 ? q 3 ? 1 )=0 时,应有 a 1 ≠ 0 和 q ≠ 1 。
在等比数列中, a1 ≠ 0 是显然的,但公比 q 完全可能为 1,因此,在解题时应先讨论公比 q = 1 的情况, 再在 q ≠ 1 的情况下,对式子进行整理变形。 正确解法 若 q = 1 ,则有 S 3 = 3a1 , S 6 = 6a1 , S 9 = 9a1 . 但 a1 ≠ 0 , 即得 S 3 + S 6 ≠ 2 S 9 , 与题设矛盾,故 q ≠ 1 . 又依题意

S 3 + S 6 = 2S9 ?

a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 9 ) + = 2? 1 1? q 1? q 1? q
3

? q ( 2q ? q ? 1 )=0 ,即 (2q + 1)(q ? 1) = 0, 因为 q ≠ 1 ,所以 q ? 1 ≠ 0, 所以 2q + 1 = 0. 解得
3 6 3 3 3 3 3

q=?

3

4 . 2

说明 此题为 1996 年全国高考文史类数学试题第(21)题,不少考生的解法同错误解法,根据评分标准而痛失 2 分。 例题 7 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)若 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列,证明 am,am+2,am+1 成等差数列; (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题,判断它的真伪,并给出证明. 证 (Ⅰ) ∵Sm+1=Sm+am+1,Sm+2=Sm+am+1+am+2. 由已知 2Sm+2=Sm+Sm+1,∴ 2(Sm+am+1+am+2)=Sm+(Sm+am+1), 1 1 ∴am+2=- am+1,即数列{an}的公比 q=- . 2 2 1 1 ∴am+1=- am,am+2= am,∴2am+2=am+am+1,∴am,am+2,am+1 成等差数列. 2 4 (Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是:若 am,am+2,am+1 成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 成等差数列. 设数列{an}的公比为 q,∵am+1=amq,am+2=amq2. 1 由题设,2am+2=am+am+1,即 2amq2=am+amq,即 2q2-q-1=0,∴q=1 或 q=- . 2 当 q=1 时,A≠0,∴Sm, Sm+2, Sm+1 不成等差数列.逆命题为假. 例题 8 已知数列{an}满足 a1=1,a2=-13, a n + 2 ? 2a n +1 + a n = 2n ? 6 (Ⅰ)设 bn = a n +1 ? a n , 求数列{bn } 的通项公式; (Ⅱ)求 n 为何值时, a n 最小(不需要求 a n 的最小值) 解: (I)Q bn = a n +1 ? a n ,∴ a n + 2 ? 2a n +1 + a n = bn +1 ? bn = 2n ? 6

∴ bn ? bn ?1 = 2(n ? 1) ? 6, bn ?1 ? bn ? 2 = 2(n ? 2) ? 6,...., b2 ? b1 = 2 ? 6 将这n ? 1个等式相加,得bn ? b1 = 2[1 + 2 + ... + (n ? 1)] ? 6(n ? 1) ∴ bn = n(n ? 1) ? 6(n ? 1) + (a 2 ? a1 ) = n 2 ? 7n ? 8
即数列{bn}的通项公式为 bn = n ? 7 n ? 8
2

(Ⅱ)若 an 最小,则 a n ≤ a n ?1且a n ≤ a n +1 .即bn ?1 ≤ 0且bn +1 ≥ 0

? 2 ?n ? 7 n ? 8 ≥ 0 注意 n 是正整数,解得 8≤n≤9 ∴? ?(n ? 1) 2 ? 7(n ? 1) ? 8 ≤ 0 ?
∴当 n=8 或 n=9 时,an 的值相等并最小 例题 9 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 关于点(1,1)成中心对称,且 f '(1)=0. . (Ⅰ)求函数 f(x)的表达式; (Ⅱ)设数列{an}满足条件:a1∈(1,2),an+1=f (an) 求证:(a1- a2)·(a3-1)+(a2- a3)·(a4-1)+…+(an- an+1)·(an+2-1)<1 解:(Ⅰ)由 f(x)=x3+ax2+bx+c 关于点(1,1)成中心对称,所以 x3+ax2+bx+c+(2-x)3+a(2-x)2+b(2-x)+c=2
4

对一切实数 x 恒成立.得:a=-3,b+c=3, . 对由 f '(1)=0,得 b=3,c=0, 故所求的表达式为:f(x)= x3-3x2+3x. (Ⅱ) an+1=f (an)= an 3-3 an 2+3 an (1)
3 令 bn=an-1,0<bn<1,由代入(1)得:bn+1= bn ,bn= b1
3 n ?1



∴ 1>bn >bn+1 >0 (a1-a2)·(a3-1)+(a2-a3)·(a4-1)+…+(an-an+1)·(an+2-1) =


k =1

n

(bk ? bk +1 ) ? bk + 2 <

∑ (b
k =1

n

k

? bk +1 ) =b1-bn+1<b1<1。

uuuuuur uuuuu r 例题 10、平面直角坐标系中, 平面直角坐标系中, 平面直角坐标系中 已知 An (n, an ) 、Bn (n, bn ) 、Cn ( n ? 1, 0)(n ∈ N* ) , 满足向量 An An +1 与向量 Bn Cn
* 共线, 的同一条直线上. 共线,且点 Bn (n, bn )(n ∈ N ) 都在斜率为 6 的同一条直线上.

(1)试用 a1 , b1 与 n 来表示 an ; 中的最小值的项. (2)设 a1 = a, b1 = ? a ,且 12<a≤15,求数列 {an } 中的最小值的项. ≤ 解: 1)Q 点 Bn ( n, bn )(n ∈ N* ) 都在斜率为 6 的同一条直线上, (



bn +1 ? bn = 6 ,即 bn +1 ? bn = 6 , (n + 1) ? n

于是数列 {bn } 是等差数列,故 bn = b1 + 6(n ? 1) .

Q An An+1 = (1, an+1 ? an ) , BnCn = (?1, ? bn ) ,又 An An +1 与 BnCn 共线,

uuuuuur

uuuuu r

uuuuuur

uuuuu r

∴ 1 × (?bn ) ? (?1)(an +1 ? an ) = 0, 即an +1 ? an = bn .
∴ 当n ≥ 2时,an = a1 + (a2 ? a1 ) + (a3 ? a2 ) + L + (an ? a n ?1 )

= a1 + b1 + b2 + b3 + L + bn ?1
= a1 + b1 (n ? 1) + 3(n ? 1)(n ? 2) .
当 n=1 时,上式也成立. 所以 an = a1

+ b1 (n ? 1) + 3(n ? 1)(n ? 2) .

(2)把 a1 = a, b1 = ? a 代入上式, 得 an = a ? a (n ? 1) + 3(n ? 1)( n ? 2)

= 3n2 ? (9 + a)n + 6 + 2a.

Q

7 9+a 12<a≤15,∴ < ≤4, 2 6 最小值为 a4=18-2a.

Q 当 n=4 时, an 取最小值,∴

基础练习题 - 1、已知 a1 = 1,an = an-1 + 2n 1(n≥2),则 an = ________。2n-1(认清项数)
5

2、已知 -9、a1、a2、-1 四个实数成等差数列,-9、b1、b2、b3、-1 五个实数成等比数列, 则 b2 (a2-a1) = A(符号) (A) -8 (B) 8 (C) - 9 8 (D) 9 8

3、已知 {an} 是等比数列,Sn 是其前 n 项和,判断 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成等比数列吗? 当 q = -1,k 为偶数时,Sk = 0,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 不成等比数列; 当 q≠-1 或 q = -1 且 k 为奇数时,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成等比数列。 (忽视公比 q = -1) 4、已知等差数列{an}的首项 a1=120,d=-4,记 Sn= a1 +a2 +…+an ,若 Sn ≤an (n>1) ,则 n 最小值 为……………………………………………………………( (A)60 (B)62 (C)63 (D)70 B )

5、在等比数列 {an } 中, a1 = 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 {an + 1} 也是等比数列,则 Sn 等于(C ) (A)

2 n+1 ? 2

(B) 3n

(C) 2n

(D)

3n ? 1

6、若数列 {a n }中, a1 =

1 ,且对任意的正整数 p 、 q 都有 a p + q = a p aq ,则 a n = 3
n

? 1? (A) ? ? ? 3?

n ?1

?1? (B) 2? ? ? 3?

? 1? (C) ? ? ? 3?

n

(D)

1 3

(

C)

7、已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n = aq n ?1 (a ≠ 0, q ≠ 1, q 为非零常数) ,则数列 {a n } 为( (A)等差数列 (C)既不是等差数列,又不是等比数列 8、设数列{an}是等比数列, a1 = A. (B)等比数列 (D)既是等差数列又是等比数列 (



1 4

B.

1 8

1 , q = 2 ,则 a4 与 a10 的等比中项为 512 1 1 C. ± D. ± 4 8



9 、 设 x, a1 , a2 , y 成 等 差 数 列 , x, b1 , b2 , y 成 等 比 数 列 , 则

(a1 + a 2 ) 2 的 取 值 范 围 是 ____________. ( 答 : b1b2

(?∞, 0] U [4, +∞) ) 。
10、设 x, a1 , a2 , a3 , y 成等差数列, x, b1 , b2 , b3 , y 成等比数列,则

(a1 + a3 ) 2 的取值范围是____________.(答: b1b3

[4, +∞) ) 。
11、等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,公差 d < 0 . 若存在正整数 m( m ≥ 3) ,使得 am = S m ,则当 n > m ( n ∈ N * )时,有 S n _____ an (填“>”“<”“=”. < 、 、 ) 12、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S12>0,S13<0,则 S1 S2 S12 , ,…, 中最大的是 B a1 a2 a12

6

(A)

S1 a1

(B)

S6 a6

(C)

S7 a7

(D)

S12 a12

13、已知数列 {an } 为等差数列,则“ m + n = p + q ”是“ am + an = a p + aq ”的(A) A.充分不必要条件 C.充要条件 易错原因:不注意 {an } 为常数列特殊情况. 14、 b = “ B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要的条件

ac ”是实数 a, b, c 成等比数列的
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要的条件

(D)

A.充分不必要条件 C.充要条件 易错原因:对等比数列的概念理解不全面.

15、等差数列 {an } 中,若 S9 = 18, S n = 240, an ? 4 = 30 ,则 n 的值为 A. 14 B. 15 C. 16 易错原因:找不到简捷的解法,用联立方程组求解时发生运算错误. 16、等差数列 {an } 中, a10 < 0, a11 >| a10 |, S n 为其前 n 项的和,则 A. S1 , S 2 , ???, S10 都小于 0 , S11 , S12 , ??? 都大于 0 B. S1 , S 2 , ???, S10 都小于 0 , S 20 , S 21 , ??? 都大于 0 C. S1 , S 2 , ???, S5 都小于 0 , S6 , S7 , ??? 都大于 0 D. S1 , S 2 , ???, S 20 都小于 0 , S 21 , S 22 , ??? 都小于 0 易错原因:已知条件 a11 >| a10 | 不会灵活运用. 17、在等差数列 {an } 中,若 a3 + a9 + a15 + a17 = 0 ,则 a11 的值是 A. 1 B. ?1 C. 0 D. 17

(B)

(B)

(C) D.不能确定

易错原因:找不到 a3 + a9 + a15 + a17 = 0 与 a11 的关系. 18、若 {an } 为等比数列, a4 ? a7 = ?512, a3 + a8 = 124 ,若公比 q 为整数,则 a10 = (C) A. 256 B. ?256 C. 512 D. ?512

易错原因:①未考虑 q 为整数;②运算发生错误. 19、数列 {an } 中, a1 = 2, an +1 = 2an ? 1 ,则 an 为 (C)

A. 2 n + 1 B. 2 n ? 1 C. 2n ?1 + 1 D. 2n ?1 ? 1 易错原因:①对取特殊值排除有些选项的意识不强;②构造新数列有困难. 20、数列 {xn } 满足 则首项 x1 等于

x xn x1 x = 2 = 3 = ??? = ,且 x1 + x2 + ??? + xn = 8 , x1 + 1 x2 + 3 x3 + 5 xn + 2n ? 1
(D)

7

A. 2n ? 1

B. n

C.

易错原因:①不能熟练地运用比的性质;②对连等式如何变换缺少办法. 1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n} )的特殊函数,数列的 通项公式也就是相应函数的解析式。如 (1)已知 an =

8 2n ? 1

D.

8 n2

n 1 (n ∈ N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为__(答: ) ; n + 156 25 an a < a n+1 ,其中 a, b 均为正数,则 an 与 an +1 的大小关系为___(答: n ) ; (2)数列 {an } 的通项为 an = bn + 1
2

2 (3)已知数列 {an } 中, an = n + λ n ,且 {an } 是递增数列,求实数 λ 的取值范围(答: λ > ?3 ) ;

a = f (a n ) {a } (4) 一给定函数 y = f (x ) 的图象在下列图中, 并且对任意 a1 ∈ (0,1) , 由关系式 n +1 得到的数列 n
满足

a n +1 > a n ( n ∈ N * ) ,则该函数的图象是 () (答:A)

A

B

C

D

2.等差数列的有关概念: (1)等差数列的判断方法:定义法

an +1 ? an = d (d 为常数) an +1 ? an = an ? an ?1 (n ≥ 2) 。如 或

a1 + a 2 + L + a n n ∈ N * 为通项公式的数列 {bn } 为等差数列。 n 设 {an } 是等差数列,求证:以 bn=
(2)等差数列的通项:

an = a1 + (n ? 1)d



an = am + (n ? m)d

。如 (答: 2n + 10 ) ;

(1)等差数列 {an } 中, a10 = 30 , a20 = 50 ,则通项 an =

8 <d ≤3 ) (2)首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______(答: 3 Sn = n(a1 + an ) n(n ? 1) S n = na1 + d 2 2 , 。如

(3)等差数列的前 n 和:

1 3 15 an = an ?1 + (n ≥ 2, n ∈ N * ) an = Sn = ? 2 2 ,前 n 项和 2 ,则 a1 =_, n =_(答: (1)数列 {an } 中, , a1 = ?3
, n = 10 ) ;

( 2 ) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和

S n = 12n ? n 2

,求数列

{| an |}

T 的前 n 项和 n (答:

8

?12n ? n 2 (n ≤ 6, n ∈ N * ) ? Tn = ? 2 * ?n ? 12n + 72(n > 6, n ∈ N ) ). ?
(4)等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素:

A=

a+b 2 。

a1

、d 、n、

an



Sn

,其中

a1

、d 称

作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,

a ? 2d , a ? d , a, a + d , a + 2d …(公差为 d ) ;偶数个数成等差,可设为…, a ? 3d , a ? d , a + d , a + 3d ,…
(公差为 2 d )

3.等差数列的性质:

a = a1 + (n ? 1)d = dn + a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公 (1)当公差 d ≠ 0 时,等差数列的通项公式 n

差 d ;前 n 和

S n = na1 +

n(n ? 1) d d d = n 2 + (a1 ? )n 2 2 2 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.

(2)若公差 d > 0 ,则为递增等差数列,若公差 d < 0 ,则为递减等差数列,若公差 d = 0 ,则为常数列。

a + an = a p + aq a + an = 2 a p (3)当 m + n = p + q 时,则有 m ,特别地,当 m + n = 2 p 时,则有 m .如(1)
等差数列

{an } 中, S n = 18, an + an ?1 + an ? 2 = 3, S3 = 1 ,则 n =____(答:27) ;
a10 < 0, a11 > 0 S1 , S 2 L S19
,且

(2)在等差数列 {an } 中,

a11 >| a10 |



Sn

是其前 n 项和,则 A、 C、

S1 , S 2 L S10

都小于 0,

S11 , S12 L
都大于 0

都大于 0 D、

B、

都小于 0,

S 20 , S 21 L

都大于 0

S1 , S 2 L S5

都小于 0,

S6 , S7 L

S1 , S 2 L S 20

都小于 0,

S 21 , S 22 L


都大于 0 (答:B)

(4) 若 {an } 、

{bn }

是等差数列,则

{kan }

{kan + pbn }

{a }( p, q ∈ N ) ( k 、 p 是 非 零 常 数 ) 、 p + nq 、
*

S n , S 2 n ? S n , S3 n ? S 2 n

an {a } a >0 {lg an } ,…也成等差数列,而 {a } 成等比数列;若 n 是等比数列,且 n ,则

是等差数列. 如等差数列的前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为 (5)在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时,

。 (答:225)

S偶-S奇 = nd
。如

;项数为奇数 2n ? 1 时,

S奇 ? S偶 = a中



S 2 n ?1 = (2n ? 1) ? a中

(这里

a中



an

) ;

S奇 : S偶 = (k + 1) : k

(1)在等差数列中,S11=22,则

a6

=______(答:2) ;

奇数项和为 80, 偶数项和为 75, 求此数列的中间项与项数 (答: 31) 5; . (2) 项数为奇数的等差数列 {an } 中,

An = f (n) {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且 Bn (6)若等差数列 {an } 、 ,则
9

an (2n ? 1)an A2 n ?1 = = = f (2n ? 1) b S T bn (2n ? 1)bn B2 n ?1 .如设 {an } 与{ n }是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 n 和 n ,若
an Sn 3n + 1 6n ? 2 = = Tn 4 n ? 3 ,那么 bn ___________(答: 8 n ? 7 )
“首负”的递增等差数列中,前 n 项和 (7)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和;
?an ≥ 0 ? ?an ≤ 0 ? ?或? ? ? ? ? ? a n + 1 ≤ 0 ? ? a n + 1 ≥ 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) 的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组 ;

法二: 因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数, 故可转化为求二次函数的最值, 但要注意数列的特殊性 n ∈ N 。
*

上述两种方法是运用了哪种数学思想?(函数思想) ,由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?如 (答:前 13 项和最大, (1)等差数列 {an } 中, a1 = 25 , S9 = S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。 最大值为 169) ; (2)若 {an } 是等差数列,首项 a1 > 0, a2003 + a2004 > 0 ,

a2003 ? a2004 < 0 ,则使前 n 项和 Sn > 0 成立的最大正整数 n 是

(答:4006)

(8)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是 原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究

an = bm

.

4.等比数列的有关概念:

an +1 an +1 a = q(q为常数) = n q ≠ 0, an ≠ 0 an an ?1 (1)等比数列的判断方法:定义法 an ,其中 或
( n ≥ 2) 。如

5 a (1)一个等比数列 {an } 共有 2n + 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 n +1 为____(答: 6 ) ;
(2)数列 {an } 中,

Sn

=4

an ?1

+1 ( n ≥ 2 )且 或

a1

=1,若

bn = a n +1 ? 2a n

,求证:数列{

bn

}是等比数列。

(2)等比数列的通项:

an = a1q n ?1

an = am q n ?m

。如设等比数列 {an } 中,

a1 + an = 66



a2 an ?1 = 128

,前 n

项和

Sn

=126,求 n 和公比 q . (答: n = 6 ,

q=

1 2 或 2)

(3)等比数列的前 n 和:当 q = 1 时,

S n = na1

;当 q ≠ 1 时,

Sn =

a1 (1 ? q n ) 1? q

=

n 10 a1 ? an q k (∑ C n ) ∑ 1 ? q 。如(1)等比数列中, q =2,S99=77,求 a 3 + a 6 + L + a 99 (答:44)(2) n =1 k =0 ; 的值

为__________(答:2046) ; 特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先要判断公比 q 是否为 1,
10

再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q = 1 和 q ≠ 1 两种情形讨论求 解。 (4)等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。提醒:不是任何两数都有等比中项, 只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ± ab 。如已知两个正数 a, b( a ≠ b) 的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为______(答:A>B) 提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素:

a1

、q、n、

an



Sn

,其中

a1

、q称

作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2;

a a , , a, aq, aq 2 q2 q (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为…, …(公比为 q ) ;
a a , , aq, aq 3 3 q q 但偶数个数成等比时,不能设为… ,…,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,
且公比为 q 。 如有四个数, 其中前三个数成等差数列, 后三个成等比数列, 且第一个数与第四个数的和是 16, 第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16) 5.等比数列的性质:
2

a a = a p aq a a = ap (1)当 m + n = p + q 时,则有 m n ,特别地,当 m + n = 2 p 时,则有 m n .如
2

(1)在等比数列 {an } 中,

a3 + a8 = 124, a4 a7 = ?512

,公比 q 是整数,则

a10

=___(答:512) ; (答:10) 。 成等比数列,则

(2)各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 = 9 ,则 log 3 a1 + log 3 a2 + L + log 3 a10 = (2) 若 {an } 是等比数列,则

{| an |}



{a p + nq }( p, q ∈ N * )



{kan }

成等比数列;若

{an }、 n } {b

a { n} {anbn } S , S ? S n , S3 n ? S 2 n 、 bn 成等比数列; 若 {an } 是等比数列,且公比 q ≠ ?1 ,则数列 n 2 n ,…也是等
比数列。当 q = ?1 ,且 n 为偶数时,数列

S n , S 2 n ? S n , S3 n ? S 2 n

,…是常数数列 0,它不是等比数列. 如

( 1) 已知 a > 0 且 a ≠ 1 ,设 数列 {xn } 满足 log a xn +1 = 1 + log a xn (n ∈ N *) , 且 x1 + x2 + L + x100 = 100 , 则

x101 + x102 + L + x200 =
(2)在等比数列 {an } 中, (3)若

. (答: 100a

100

) ; ,则

Sn

为其前 n 项和,若

S 30 = 13S10 , S10 + S 30 = 140

S 20

的值为______(答:40) ,则 {an } 为

a1 > 0, q > 1

,则 {an } 为递增数列;若

a1 < 0, q > 1

, 则 {an } 为递减数列;若

a1 > 0, 0 < q < 1

递减数列;若 列.

a1 < 0, 0 < q < 1

, 则 {an } 为递增数列;若 q < 0 ,则 {an } 为摆动数列;若 q = 1 ,则

{an }

为常数

(4) 当 q ≠ 1 时,

Sn =

? a1 n a q + 1 = aq n + b 1? q 1? q ,这里 a + b = 0 ,但 a ≠ 0, b ≠ 0 ,这是等比数列前 n 项和
11

公式的一个特征, 据此很容易根据 则r = (5) (答:-1)

Sn ,判断数列 {a } 是否为等比数列。如若 {a } 是等比数列,且 Sn = 3 n + r , n n
.如设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为

S m+ n = S m + q m S n = S n + q n S m

Sn

,若

S n +1 , S n , S n + 2

成等差数

列,则 q 的值为_____(答:-2) (6) 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时,

S偶 = qS奇

;项数为奇数 2n ? 1 时,

S奇 = a1 + qS偶

.

(7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列, 那么数列 {an } 是非零常数数列, 故常数数列 {an } 仅是此数列既 , 成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ( n ∈ N ) 关于数列 {an } 有下 列三个命题:①若 a n = a n +1

(n ∈ N) ,则 { an } 既是等差数列又是等比数列;②若 S n = a n 2 + b n ( a 、 ∈ R ) , b
n

则 {an } 是等差数列;③若 S n = 1 ? ( ? 1 ) ,则 {an } 是等比数列。这些命题中,真命题的序号是 ②③) 6.数列的通项的求法:

(答:

1 1 1 1 3 ,5 ,7 ,9 , L 试写出其一个通 ⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。如已知数列 4 8 16 32 an = 2 n + 1 + 1 2n +1 )
an =

项公式:__________(答:

⑵已知

Sn

(即

a1 + a2 + L + an = f (n)

)求

an

,用作差法:

{S ,(?nS= 1),(n ≥ 2) S
1 n n ?1

。如

已知 {an } 的前 n 项和满足

log 2 ( S n + 1) = n + 1

,求

an

(答:

an =

{

3, n = 1 2n , n ≥ 2

) ;

1 1 1 14, n = 1 an = n +1 a1 + 2 a2 + L + n an = 2n + 5 a 2 ,n ≥ 2 2 2 ②数列 {an } 满足 2 ,求 n (答: )

{

? f (1), (n = 1) ? an = ? f (n) , (n ≥ 2) ? f (n ? 1) a a L an = f ( n ) an ? ⑶已知 1 2 求 , 用作商法: 。 如数列 {an } 中,a1 = 1, 对所有的 n ≥ 2 a1 a 2 a3 L a n = n 2 an +1 ? an = f (n) a3 + a5 = 61 ______(答: 16 ) an = (an ? an ?1 ) + (an ?1 ? an ? 2 ) + L + (a2 ? a1 ) a n ? a n ?1 = 1 n + 1 + n (n ≥ 2) , 则 a n =________ ( 答 :

都有 ⑷若

,则



an

用累加法:

+ a1 (n ≥ 2) 。 如 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 = 1 ,

an = n + 1 ? 2 + 1 )
12

an +1 a a a = f ( n) an = n ? n ?1 ? L ? 2 ? a1 a a an ?1 an ? 2 a1 (n ≥ 2) 。如已知数列 {a n } 中, a1 = 2 ,前 ⑸已知 n 求 n ,用累乘法:

n 项和 S n ,若 S n = n a n ,求 a n (答:
2

an =

4 n(n + 1) )

⑹已知递推关系求 (1)形如

an

,用构造法(构造等差、等比数列) 。特别地, 、

an = kan ?1 + b
an

an = kan ?1 + b n

( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的

等比数列后,再求 ①已知 ②已知

。如 ,求

a1 = 1, an = 3an ?1 + 2

an

(答:

an = 2 3n ?1 ? 1

) ; ) ;

a1 = 1, an = 3an ?1 + 2 n

,求

an

(答:

an = 5 3n ?1 ? 2n +1

(2)形如 an =

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。如 kan ?1 + b

1 an = an ?1 a 3n ? 2 ) ①已知 a1 = 1, an = ,求 n (答: ; 3an ?1 + 1
②已知数列满足 注意: (1)用

a1

=1,

an?1 ? an = an an ?1

,求

an

(答:

an =

1 n2 )

a n = S n ? S n ?1

求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗?( n ≥ 2 ,当 n = 1 时,

a1 = S1 )(2)一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时,常需运用关系式 a n = S n ? S n ?1 ,先将已知 ;
an Sn
{an } 5 a1 = 4, S n + S n +1 = an +1 a 3 满足 ,求 n (答:

条件转化为只含



的关系式,然后再求解。如数列

?4, n = 1 an = ? n ?1 ?3 ? 4 , n ≥ 2 )
7.数列求和的常用方法: (1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其 公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式:

1 + 2 + 3 + L + n = 1 n(n + 1) 2 ,

12 + 22 + L + n 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1) 13 + 23 + 33 + L + n3 = [ 6 ,
2 1 2 2

n(n + 1) 2 ] 2 .如
2 n =_____(答:

(1)等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn=2n-1,则

a + a + a +L+ a
2 3

4n ? 1 3 ) ;

(2)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢 2 进 1” ,如 (1101) 2 表示二进制数,将它转
13

换成十进制形式是 1× 2 +1× 2 + 0 × 2 +1× 2 = 13, 那么将二进制
3 2 1 0

(111L11) 2 14 4 2 3
2005 个1

转换成十进制数是_______ (答:

22005 ? 1 )
(2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式
n n 法求和. 如求: S n = ?1 + 3 ? 5 + 7 ? L + ( ?1) (2n ? 1) (答: ( ?1) ? n )

(3)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选 用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和公式的推导方法). 如 ①求证: Cn + 3Cn + 5Cn + L + (2n + 1)Cn = ( n + 1) 2 ;
0 1 2 n n

②已知 f ( x) =

x2 1 1 1 7 ,则 f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f ( ) + f ( ) + f ( ) =___(答: ) 2 1+ x 2 3 4 2

(4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错 位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 如 (1)设 {an } 为等比数列, Tn = na1 + (n ? 1)a2 + L + 2an ?1 + an ,已知 T1 = 1 , T2 = 4 ,①求数列 {an } 的首项和 公比;②求数列 {Tn } 的通项公式.(答:①

a1 = 1

, q = 2 ;②

Tn = 2 n +1 ? n ? 2

) ;

(2)设函数 f ( x ) = ( x ? 1) 2,g ( x ) = 4( x ? 1) ,数列 {an } 满足: a1 = 2, f ( an ) = (an ?

an +1 ) g (an )(n ∈ N + ) ,①求证:数列 {an ? 1} 是等比数列;②令 h( x) = (a1 ? 1) x + (a2 ? 1) x 2
2 8 8 8 处的导数 h′( ) ,并比较 h′( ) 与 2n ? n 的大小。 (答:①略; 3 3 3 2 2 8 8 8 n ② h′( ) = ( n ? 1) 2 + 1 , 当 n = 1 时 , h′( ) = 2n ? n ; 当 n = 2 时 , h′( ) < 2n ? n ; 当 n ≥ 3 时 , 3 3 3 8 2n 2 ? n h′( ) > ) 3

+ L + (an ? 1) x n ,求函数 h(x) 在点 x =

(5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相 消法求和.常用裂项形式有: ① ②

1 =1? 1 ; n(n + 1) n n + 1 1 = 1 (1 ? 1 ) ; n(n + k ) k n n + k
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 < 2 = ( ? ), ? = < 2< = ? ; 2 k k ?1 2 k ?1 k + 1 k k + 1 (k + 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k 1 1 1 1 = [ ? ]; n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) n 1 1 = ? ; (n + 1)! n ! (n + 1)! 2 < 1 < n + n +1 n 2 = 2( n ? n ? 1) . n + n ?1
14







⑥ 2( n + 1 ? n ) =

如(1)求和:

1 1 1 + +L + = 1× 4 4 × 7 (3n ? 2) × (3n + 1)

(答:

n ) ; 3n + 1

(2)在数列 {an } 中, an =

1 n + n +1

,且 Sn=9,则 n=_____(答:99) ;

(6)通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。如 ①求数列 1×4,2×5,3×6,…, n × ( n + 3) ,…前 n 项和 Sn = ②求和: 1 + (答:

n(n + 1)(n + 5) ) ; 3

1 1 1 + +L + = 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 +L + n

(答:

2n ) n +1

8. “分期付款”“森林木材”型应用问题 、 (1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手指” ,细心计算“年限”. 对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决. (2)利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金 p 元,每期利率为 r , 则 n 期后本利和为: S n = p (1 + r ) + p (1 + 2r ) + L p (1 + nr )

= p(n +

n(n + 1) r ) (等差数列问题) ;②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型:若贷款(向 2

银行借款) p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去, 分 n 期 还 清 。 如 果 每 期 利 率 为 r ( 按 复 利 ), 那 么 每 期 等 额 还 款 x 元 应 满 足 :

p (1 + r ) n = x(1 + r ) n ?1 + x(1 + r )n ? 2 + L + x(1 + r ) + x (等比数列问题).

平面向量易错题解析
1、你熟悉平面向量的运算(和、差、实数与向量的积、数量积) 、运算性质和运算的几何意义吗? 2、你通常是如何处理有关向量的模(长度)的问题?(利用 | a | = a ; | a |= 、
2 → →2

x2 + y 2 )

3、你知道解决向量问题有哪两种途径?(①向量运算;②向量的坐标运算) 、 4、你弄清“ a ⊥ b ? x1 x 2 + y1 y 2 = 0 ”与“ a// b ? x1 y 2 ? x 2 y1 = 0 ”了吗? 、 [问题]:两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别? 问题] (1) 在实数中:若 a ≠ 0 ,且 ab=0,则 b=0,但在向量的数量积中,若 a ≠ 0 ,且 a ? b = 0 ,不能推出
→ → → → →









b =0.
→ → → → → →



(2) 已知实数 a, b, c, (b ≠ o) ,且 ab = bc ,则 a=c,但在向量的数量积中没有 a ? b = b ? c ? a = c . (3) 在实数中有 (a ? b) ? c = a ? (b ? c ) ,但是在向量的数量积中 ( a ? b ) ? c ≠ a ? ( b ? c ) ,这是因为左 边是与 c 共线的向量,而右边是与 a 共线的向量. 5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗?
15
→ → → → → → → →

6、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗?三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点? 向量有关概念: 1、向量有关概念 (1)向量的概念 向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不 向量的概念 不 能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移) 如已知 A(1,2) 。如 ,B(4,2) ,则把向量 AB 按向量 a =(- 能说向量就是有向线段 1,3)平移后得到的向量是_____(答: (3,0) ) (2)零向量 零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 ,注意零向量的方向是任意的 零向量的方向是任意的; 零向量 零向量的方向是任意的
AB (3)单位向量 单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是 ± uuu ); 单位向量 r | AB |

uuu r

r

uuu r

uuu r

(4)相等向量 相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; 相等向量 (5)平行向量(也叫共线向量) :方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量,记作: a ∥ b ,规 平行向量(也叫共线向量) 规 定零向量和任何向量平行。提醒 定零向量和任何向量平行 提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与 提醒 与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;

AC 共线; ③平行向量无传递性 (因为有 0 );④三点 A、B、C 共线 ? AB、 平行向量无传递性! 平行向量无传递性
(6)相反向量 相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是- a 。 相反向量 r r r r (1)若 a = b ,则 a = b 。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。 (3) 如下列命题: r r r r uuu uuur r uuu uuur r r r 若 AB = DC , ABCD 是平行四边形。 若 ABCD 是平行四边形, AB = DC 。 若 a = b, b = c , a = c 。 则 (4) 则 (5) 则 r r r r r r (6)若 a // b, b // c ,则 a // c 。其中正确的是_______(答: (5) (4) ) 2、向量的表示方法: 向量的表示方法 (1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终点在后; (2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等; (3)坐标表示法:在平面内建立直角坐 标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为基底,则平面内的任一向量 a 可表示为

r

uuu uuur r

r r r a = xi + y j = ( x, y ) , ( x, y ) 为向量 a 的坐标,a = ( x, y ) 叫做向量 a 的坐标表示。 称 如果向量的起点在原点 向量的起点在原点, 向量的起点在原点

那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理 平面向量的基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量 a, 3.平面向量的基本定理 r r 有且只有一对实数 λ 1 、 λ 2 ,使 a= λ1 e1+ λ2 e2。如(1)若 a = (1,1), b = 如 r r 1r 3r (1, ?1), c = (?1, 2) ,则 c = ______(答: a ? b )(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 A. ; 2 2 ur uu r ur uu r ur uu r ur uu r 1 3 e1 = (0,0), e2 = (1, ?2) B. e1 = (?1, 2), e2 = (5,7) C. e1 = (3,5), e2 = (6,10) D. e1 = (2, ?3), e2 = ( , ? ) (答: r r2 4 uuur uuu r uuur r uuu r r uuu r B) 3) ; 已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC , AC 上的中线,且 AD = a, BE = b ,则 BC 可用向量 a, b 表示为_____ ( (答: a + b )(4)已知 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD = 2 DB , CD = r AB + s AC ,则 r + s 的 ; 实数与向量的积:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a ,它的长度和方向规定如下: 4 、 实数与向量的积

2r 4r 3 3 值是___(答:0)

? ?→

? ?→

? ?→

? ?→

? ?→

r = λ a , ( 2 ) 当 λ >0 时, λ a 的方向与 a 的方向相同,当 λ <0 时, λ a 的方向与 a 的方向相反,当 λ r r =0 时, λ a = 0 ,注意 λ a ≠0。 注意: 注意

(1) λ a

r

5、平面向量的数量积: 平面向量的数量积

(1)两个向量的夹角 两个向量的夹角:对于非零向量 a , b ,作 OA = a, OB = b , ∠AOB = θ 两个向量的夹角

uuu r

r uuu r

r

( 0 ≤ θ ≤ π ) 称为向量 a , b 的夹角,当θ =0 时, a , b 同向,当θ = π 时, a , b 反向,当θ =
b 垂直。 r r

π
2

时, a ,

r r b 的数量积(或内积或点积) ,记作:a ? b ,即 a ? b = a b cos θ 。规定:零向量与任一向量的数量积是 0,
注意数量积是一个实数,不再是一个向量 如 注意数量积是一个实数,不再是一个向量。如 ; (1)△ABC 中, | AB |= 3 , | AC |= 4 , | BC |= 5 ,则 AB? BC = _________(答:-9)
16
? ?→ ? ?→ ? ?→

(2)平面向量的数量积 平面向量的数量积:如果两个非零向量 a ,b ,它们的夹角为 θ ,我们把数量 | a || b | cos θ 叫做 a 与 平面向量的数量积

r r u r r r u r r 1 r 1 r r π ; (2)已知 a = (1, ), b = (0, ? ), c = a + kb, d = a ? b , c 与 d 的夹角为 ,则 k 等于____(答:1) 2 2 4 r r r r r r r r ; ( 3) 已知 a = 2, b = 5, a b = ?3 ,则 a + b 等于____(答: 23 ) ( 4) 已知 a, b 是两个非零向量,且

r r r r r r r a = b = a ? b ,则 a与a + b 的夹角为____(答: 30o ) → → → → r (3) 在 a 上的投影 | b | cos θ , b 上的投影为 它是一个实数, 但不一定大于 0。 已知 | a |= 3 , b |= 5 , a ? b = 12 , | 且 如 → → 12 则向量 a 在向量 b 上的投影为______(答: ) 5 r (4) a ? b 的几何意义 的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积。
(5)向量数量积的性质 向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 θ ,则: 向量数量积的性质 ①a ⊥ b ? a?b = 0;

r

r

r r

②当 a , b 同向时, a ? b = a b ,特别地, a = a ? a = a , a =

r r

r2

r r

r2 r

r2 a ;当 a 与 b 反向时, a ? b =-

r r r r r r a b ;当 θ 为锐角时, a ? b >0,且 a、 不同向, a ? b > 0 是 θ 为锐角的必要非充分条件 b 为锐角的必要非充分条件;当 θ 为钝角时, r r r r a ? b <0,且 a、 不反向, a ? b < 0 是 θ 为钝角的必要非充分条件 b 为钝角的必要非充分条件; r r → r r r r a ?b ③非零向量 a , b 夹角 θ 的计算公式: cos θ = r r ;④ | a ? b |≤| a || b | 。如( 1 ) 已知 a = (λ ,2λ ) , 如 a b
→ → 4 1 b = (3λ ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是______(答: λ < ? 或 λ > 0 且 λ ≠ )(2) ; 3 3 ? ?→ ? ?→ ? ?→ ? ?→ 1 3 已知 ?OFQ 的面积为 S ,且 OF ? FQ = 1 , 若 <S< ,则 OF , FQ 夹角 θ 的取值范围是_________(答: 2 2 →

( , ) )(3)已知 a = (cos x,sin x), b = (cos y,sin y ), a 与 b 之间有关系式 k a + b = 3 a ? kb , 其中k > 0 ,① ; 4 3
r r r r r r k2 +1 r r 用 k 表示 a ? b ;②求 a ? b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角 θ 的大小(答:① a ? b = (k > 0) ;②最小值 4k


π π

r

r

r

r

r

r

r

r

1 o , θ = 60 ) 2
6、向量的运算: 向量的运算 (1)几何运算 几何运算: 几何运算 ①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量,如此之外,

向 量 加 法 还 可 利 用 “ 三 角 形 法 则 ” 设 AB = a, BC = b , 那 么 向 量 AC 叫 做 a 与 b 的 和 , 即 :

uuu r

r uuu r r

r

uuur

r

r

r r uuu uuu uuur r r a + b = AB + BC = AC ;

②向量的减法:用“三角形法则” :设 AB = a, AC = b, 那么a ? b = AB ? AC = CA ,由减向量的终点指 uuu uuu uuu r r r 向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。如( 1 ) 化简:① AB + BC + CD = ___; 如 uuu r uuur r uuu uuu r r uuur uuu r uuu uuur uuur r ② AB ? AD ? DC = ____; ( AB ? CD ) ? ( AC ? BD ) = _____ ③ (答: AD ; CB ; 0 ) 2) ① ② ③ ; 若正方形 ABCD ( 的边长为 1, AB = a, BC = b, AC = c ,则 | a + b + c | =_____(答: 2 2 )(3)若 O 是 ABC 所在平面内 ; 一点, 且满足 OB ? OC = OB + OC ? 2OA , 则 ABC 的形状为____ (答: 直角三角形) 4) D 为 ?ABC ; 若 (

uuu r

r uuur

r r

uuu uuur r

uuu r

uuu r

r uuu r

r uuur

r

r r r

uuu uuur r

uuu uuur r

uuu r

uuu r uuu uuu uuu r r r r | AP | r 的边 BC 的中点,?ABC 所在平面内有一点 P , 满足 PA + BP + CP = 0 , uuu = λ , λ 的值为___ 设 则 (答: | PD | uuu uuu uuu r r r r o 2)(5)若点 O 是 △ABC 的外心,且 OA + OB + CO = 0 ,则 △ABC 的内角 C 为____(答: 120 ) ; ; r r (2)坐标运算:设 a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ) ,则: r r ①向量的加减法运算: a ± b = ( x1 ± x2 , y1 ± y2 ) 。如(1)已知点 A(2,3), B (5, 4) , C (7,10) ,若 向量的加减法运算
uuu uuu r r uuur 1 AP = AB + λ AC (λ ∈ R ) ,则当 λ =____时,点 P 在第一、三象限的角平分线上(答: )(2)已知 ; 2
17

r π 1 uuu π π π A(2,3), B (1, 4), 且 AB = (sin x,cos y ) , x, y ∈ (? , ) ,则 x + y = (答: 或 ? )(3)已知作用 ; 2 2 2 6 2 uu r uu r uu r ur uu uu uu r r r (答: 在点 A(1,1) 的三个力 F1 = (3, 4), F2 = (2, ?5), F3 = (3,1) ,则合力 F = F1 + F2 + F3 的终点坐标是 (9,1) )
②实数与向量的积 λ a = λ ( x1 , y1 ) = ( λ x1 , λ y1 ) 。 实数与向量的积: 实数与向量的积 ③若 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 AB = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段 uuur 1 uuu uuur r uuu r 且 AD 则 D 的终点坐标减去起点坐标。 设 A(2,3), B (?1,5) , AC = AB , = 3 AB , C、 的坐标分别是__________ 如 3 11 (答: (1, ),(?7,9) ) ; 3 ④平面向量数量积 a ? b = x1 x2 + y1 y2 。如已知向量 a =(sinx,cosx), b =(sinx,sinx), c =(- 平面向量数量积: 平面向量数量积 如 1,0)(1)若 x= 。

r

uuu r

r r

π

3

,求向量 a 、 c 的夹角; (2)若 x∈ [ ?

3π π 1 , ] ,函数 f ( x) = λ a ? b 的最大值为 ,求 λ 8 4 2

的值(答: (1)150 ; (2)

1 或 ? 2 ?1 ) ; 2 r r2 r 2 2 r r 2 2 2 o ⑤向量的模 | a |= x + y , a =| a | = x + y 。如已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 向量的模: 向量的模 如 uu r r | a + 3b | =_____(答: 13 ) ;
o

⑥两点间的距离 两点间的距离:若 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 | AB |= 两点间的距离

( x2 ? x1 ) + ( y2 ? y1 )
2

2

。如如图,在平面斜坐标 如 是这样定义的:若

uuu r ur uu r ur uu r OP = xe1 + ye2 , 其中 e1 , e2 分别为与 x 轴、 轴同方向的单位向量, y 则 P 点斜坐标为 ( x, y ) 。 若点 P 的斜坐标为 (1) (2, -2) 求 P 到 O 的距离|PO|; , (2)求以 O 为圆 心,1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程。 (答: (1)2; (2) 2 2 x + y + xy ? 1 = 0 ) ; r r r r r r r r r r ( 7 、 向 量 的 运 算 律 : 1 ) 交 换 律 : a + b = b + a , λ ? a = ( λ? ) a , a ? b = b ? a ; (2) 结 合 律 : r r r r r r r r r r r r r r r r r r a + b + c = a + b + c, a ? b ? c = a ? b + c , λ a ? b = λ a ? b = a ? λ b ; ( 3 ) 分 配 律 : r r r r r r r r r r r r r r ( λ + ? ) a = λ a + ? a, λ a + b = λ a + λ b , a + b ? c = a ? c + b ? c 。 如 下 列 命 题 中 : ①

系 xOy 中, ∠xOy = 60o ,平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标

(

)

(

)

(

)

( ) ( )

( ) ( )


( )

a a r r 2 r2 r2 r r 2 r2 r r r2 ⑧ (a ? b) = a ? b ;⑨ (a ? b) = a ? 2a ? b + b 。其中正确的是______(答:①⑥⑨) 提醒: (1 提醒: 1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两 ( 边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一

a ? ( b ? c ) = a ? b ? a ? c ;② a ? ( b ? c ) = ( a ? b ) ? c ;③ ( a ? b )2 =| a |2 r r r → → → → → → → r r r r r r r 2 r2 a?b b 2 ?2 | a | ? | b | + | b | ;④ 若 a ? b = 0 ,则 a = 0 或 b = 0 ;⑤若 a ? b = c ? b, 则 a = c ;⑥ a = a ;⑦ r 2 = r ;







→ →

→ →



→ →

→ →







个向量,切记两向量不能相除(相约); 2)向量的“乘法”不满足结合律 切记两向量不能相除(相约) ( 向量的“乘法”不满足结合律,即 a (b ? c) ≠ ( a ? b)c ,为什么? 切记两向量不能相除 r r r r r r r r 向量平行(共线)的充要条件: 8 、向量平行( 共线 )的充要条件 a // b ? a = λ b ? (a ? b) 2 = (| a || b |)2 ? x1 y2 ? y1 x2 =0。如(1) 如 (1)若向量 r r r r r r r r r a = ( x,1), b = (4, x) , x =_____时 a 与 b 共线且方向相同 当 (答: ; 2) 2) ( 已知 a = (1,1), b = (4, x) ,u = a + 2b , r r r r r uuu r uuu r uuu r v = 2a + b ,且 u // v ,则 x=______(答:4)(3)设 PA = (k ,12), PB = (4,5), PC = (10, k ) ,则 k=_____时, ; A,B,C 共线(答:-2 或 11)
1 2 uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuu uuu r r AB AC AB AC ( uuu + uuur ) ⊥ ( uuu ? uuur ) 。 (1) 若 则 如(1)已知 OA = ( ?1, 2), OB = (3, m) , OA ⊥ OB , m = r r AB AC AB AC

9 、 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 : a ⊥ b ? a ? b = 0 ? | a + b |=| a ? b |

r

r

r r

r

r

r

r

? x x + y1 y2 = 0 . 特 别 地
(答: ) ;

3 2

(2)以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB, ∠B = 90° ,则点 B 的坐标是________ (答: r r ur r ur ur (1,3)或 (3, -1); 3) ) 且 则 ( 已知 n = (a, b), 向量 n ⊥ m , n = m , m 的坐标是________ (答:(b, ? a )或( ?b, a) )
18

10.线段的定比分点 10.线段的定比分点: 线段的定比分点 uuu r uuur P 若存在一个实数 λ , P P = λ PP2 , 使 1 定比分点的概念: ( 1) 定比分点的概念 设点 P 是直线 P 1 P 2 上异于 P 1 、 2 的任意一点, 则 λ 叫做点 P 分有向线段 P P2 所成的比,P 点叫做有向线段 P P2 的以定比为 λ 的定比分点; 1 1 的位置之间的关系:当 P 点在线段 P 1 P 2 上时 ? λ >0;当 P 点在线段 P 1 P 2 的 (2) λ 的符号与分点 P 的位置之间的关系 延长线上时 ? λ <-1;当 P 点在线段 P 2 P 1 的延长线上时 ? ?1 < λ < 0 ;若点 P 分有向线段 P P2 所成的比 1 uuuu r uuu r uuu r 1 3 为 λ ,则点 P 分有向线段 P2 P 所成的比为 。如若点 P 分 AB 所成的比为 ,则 A 分 BP 所成的比为_______ 如 1 4 λ 7 (答: ? ) 3 线段的定比分点公式:设 P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 分有向线段 P P2 所成的比为 λ ,则 ( 3 ) 线段的定比分点公式 1 1

uuuu r

uuuu r

uuuu r

uuuu r

x1 + x2 ? x1 + λ x2 ? ?x = 2 ? ?x = 1+ λ ? ? ,特别地,当 λ =1 时,就得到线段 P 1 P 2 的中点公式 ? ? y = y1 + y2 。在使用定比分点的坐标 y1 + λ y2 ?y = ? ? 2 ? 1+ λ ?
公式时,应明确 ( x, y ) , ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标。在具体计算时应根 据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比 λ 。如(1)若 M(-3,-2) ,N(6, 如 ??→ 1 ??→ 7 1 ; -1) ,且 MP = ? MN ,则点 P 的坐标为_______(答:( ?6, ? ) )(2)已知 A(a,0), B (3, 2 + a ) ,直线 y = ax 2 3 3 uuuu r uuur 与线段 AB 交于 M ,且 AM = 2MB ,则 a 等于_______(答:2或-4) r x′ = x + h ;曲线 f ( x, y ) = 0 按向量 11.平移公式 平移公式:如果点 P ( x, y ) 按向量 a = ( h, k ) 平移至 P ( x′, y ′) ,则 ? 11.平移公式 ? ? y′ = y + k

r r 向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!如(1)按向量 a 把 (2, ?3) 平移到 (1, ?2) ,则按向量 a 把点 (?7,2) 平 如
→ →

r a = ( h, k ) 平移得曲线 f ( x ? h, y ? k ) = 0 .注意 (1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?(2) 注意: 注意 (

移到点______(答: (-8,3) ; 2 ) 函数 y = sin 2 x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是 )(

y = cos 2 x + 1 ,则 a =________(答: (?

π
4

,1) )

12、向量中一些常用的结论: 12、向量中一些常用的结论 (1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;

(2) || a | ? | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b | ,特别地,当 a、 同向或有 0 ? | a + b |=| a | + | b | b r r r r r r r r r r r r r r r r r ≥ || a | ? | b ||=| a ? b | ; 当 a、 反 向 或 有 0 ? | a ? b |=| a | + | b | ≥ || a | ? | b ||=| a + b | ; 当 a、 不 共 线 b b r r r r r r ? || a | ? | b ||<| a ± b |<| a | + | b | (这些和实数比较类似). ( 3 ) 在 ?ABC 中 , ① 若 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , 则 其 重 心 的 坐 标 为

r

r

r r

r

r

r r

r

r

r

r

r

? x + x + x y + y2 + y3 ? 、 、 (-1, , -1) 则⊿ABC G? 1 2 3 , 1 如 ? 。如若⊿ABC 的三边的中点分别为(2,1)(-3,4) 3 3 ? ? 2 4 的重心的坐标为_______(答: ( ? , ) ) ; 3 3 uuu r uuu uuu uuu r r r uuu uuu uuu r r r r ② PG = 1 ( PA + PB + PC ) ? G 为 ?ABC 的重心,特别地 PA + PB + PC = 0 ? P 为 ?ABC 的重心; uuu uuu uuu uuu uuu uuu r 3 r r r r r ③ PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心; uuur uuu r AC AB uuu + uuur )(λ ≠ 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ∠BAC 的角平分线所在直线); r ④向量 λ ( | AB | | AC | uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r r ⑤ | AB | PC + | BC | PA+ | CA | PB = 0 ? P ?ABC 的内心; uuuu r uuuu r uuuu r uuur 1 (3) P 分有向线段 P P2 所成的比为 λ , M 为平面内的任一点, MP = MP + λ MP2 , 若 点 则 特别地 P 为 P P2 1 1
1+ λ

19

uuuu uuuu r r uuur MP + MP 1 2 ; 的中点 ? MP = 2 uuu r uuu r uuu r uuu uuu uuu r r r (4)向量 PA、 、 中三终点 A、B、C 共线 ? 存在实数 α、β 使得 PA = α PB + β PC 且 α + β = 1 . PB PC

如平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) , B (?1,3) ,若点 C 满足 OC =

? ?→

λ1 , λ2 ∈ R 且 λ1 + λ2 = 1 ,则点 C 的轨迹是_______(答:直线 AB)

λ1 OA + λ2 OB ,其中

? ?→

? ?→

例题 2 在 ?ABC 中,已知 AB = (2,3), AC = (1, k ) ,且 ?ABC 的一个内角为直角,求实数 k 的值. 错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论. 答案: (1)若 ∠BAC = 90°, 即 AB ⊥ AC , 故 AB ? AC = 0 ,从而 2 + 3k = 0, 解得 k = ?

2 ; 3

(2) 若 ∠BCA = 90°, 即 BC ⊥ AC , 也 就 是 BC ? AC = 0 , 而 BC = AC ? AB = (? 1, k ? 3), 故

? 1 + k (k ? 3) = 0 ,解得 k =

3 ± 13 ; 2

(3) 若 ∠ABC = 90°, 即 BC ⊥ AB , 也 就 是 BC ? AB = 0, 而 BC = (? 1, k ? 3) , 故 ? 2 + 3(k ? 3) = 0 , 解 得

k=

11 2 3 ± 13 11 . 综合上面讨论可知, k = ? 或 k = 或k = . 3 3 2 3
→ →

例题 4 已知向量 m=(1,1),向量 n 与向量 m 夹角为 π ,且 m · n =-1,求向量 n ;
→ → x+ y 3 ? 2 =? 解:设 n =(x,y) 则由< m , n >= π 得:cos< m , n >= m n = → → 4 2 2 ? x2 + y2 m? n → → → → →

3 4









由 m · n =-1 得 x+y=-1 ②联立①②两式得 ? 例题 7 已知向量 a = ( mx ,?1), b = (
2





?x = 0 ? ? y = ?1 ?

或?

? x = ?1 ? ?y = 0 ?

∴ n =(0,-1)或(-1,0)



1 , x) (m 为常数) a , b 不共线,若向量 a , b 的夹角< a , b > ,且 mx ? 1

为锐角,求实数 x 的取值范围. 解:要满足< a , b >为锐角 只须 a ? b >0 且 a ≠ λ b ( λ ∈ R )

mx 2 mx 2 ? mx 2 + x x ?x = = >0 即 x (mx-1) >0 mx ? 1 mx ? 1 mx ? 1 1 1 1°当 m > 0 时 x<0 或 x > 2°m<0 时,x ( -mx+1) <0 , x < 或x > 0 3°m=0 时 只要 x<0 m m 1 1 综上所述:x > 0 时, x ∈ (?∞,0) U ( ,+∞) x = 0 时, x ∈ (?∞,0) x < 0 时, x ∈ (?∞, ) U (0,+∞) m m
a ? b =
例题 9 已知向量 a = (cos α ,sin α ) , b = (cos β , sin β ) , a ? b = (Ⅱ)若 0 < α < (Ⅰ)求 cos(α ? β ) 的值;

r

r

r r

2 5 . 5 5 ,求 sin α 的值. 13

π

2 2 v v v v 解(Ⅰ)Q a = ( cos α, α ), = ( cos β, β ) ,∴ a ? b = ( cos α ? cos β, α ? sin β ) . sin b sin sin
20

,?

π

< β < 0 ,且 sin β = ?

v v 2 5 Q a ?b = , 5




( cos α ? cos β ) + ( sin α ? sin β )
2

2

=

2 5 , 5

2 ? 2 cos (α ? β ) =

(Ⅱ)Q 0 < α <

π

2 2 5 12 Q sin β = ? ,∴ cos β = . 13 13

,?

π

4 . 5

3 ∴ cos (α ? β ) = . 5 3 4 Q cos (α ? β ) = ,∴ sin (α ? β ) = . 5 5

< β < 0,∴ 0 < α ? β < π .

∴ sin α = sin ?(α ? β ) + β ? = sin (α ? β ) cos β + cos (α ? β ) sin β ? ? = 4 12 3 ? 5 ? 33 . ? + ?? ? ? = 5 13 5 ? 13 ? 65

基础练习题 1、设平面向量 a =(-2,1), b =(λ,-1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )

1 A、 (? ,2) ∪ ( 2,+∞) 2

1 B、 (2,+∞) C、 (? ,+∞) 2

1 D、 (?∞,? ) 2

答案:A 点评:易误选 C,错因:忽视 a 与 b 反向的情况。 2、O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

OP = OA + λ (
(A)外心

AB | AB |

+

AC | AC |

), λ ∈ [0,+∞) ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的(
(D)垂心

)

(B)内心

(C)重心

正确答案:B。错误原因:对 OP = OA + λ (

AB | AB |

+

AC | AC |

), λ ∈ [0,+∞) 理解不够。不清楚

AB | AB |

+

AC | AC |

与∠BAC 的角平分线有关。

3、若向量

a =(cosα,sinα) , b = (cos β , sin β ) , a 与 b 不共线,则 a 与 b 一定满足(
B. a ∥ b C.( a + b )⊥( a - b ) D. a ⊥ b



A. a 与 b 的夹角等于α-β 正确答案:C

错因:不能把 a 、 b 的终点看成是上单位圆上的点,用四边形法则来处理问题。

4、已知 O、A、B 三点的坐标分别为 O(0,0),A(3,0),B(0,3),是 P 线段 AB 上且 AP =t AB (0≤t≤1) 则 OA · OP 的最大值为( ) A.3 B.6 C.9 D.12

正确答案:C 错因:不能借助数形结合直观得到当|OP|cosα最大时, OA · OP 即为最大。 5、在 ?ABC 中, a = 5, b = 8, C = 60° ,则 BC ? CA 的值为 A 20 B ( D )

? 20

C

20 3
21

? 20 3

错误分析:错误认为 BC ,CA = C = 60° ,从而出错. 答案: B 略解: 由题意可知 BC ,CA = 120° , 故 BC ? CA = BC ? CA ? cos BC , CA = 5 × 8 × ? ?

? 1? ? = ?20 . ? 2?
)

6、已知向量 a =(2cos?,2sin?),?∈( A. π -?
2 3

π
2

, π ), b =(0,-1),则 a 与 b 的夹角为(

B.

π
2

+?

C.?-

π
2

D.?

正确答案:A 错因:忽略考虑 a 与 b 夹角的取值范围在[0,π]。

r r r r r r 7、如果 a ? b = a ? c , 且 a ≠ 0 ,那么
A. b = c

( ) C.

r

r

B. b = λ c

r

r

r r b⊥c

D. b, c 在 a 方向上的投影相等

r r

r

正确答案:D。错误原因:对向量数量积的性质理解不够。 8、已知向量 OB = (2, 0), OC = (2, 2), CA = ( 2 cos a, 2 sin a ) 则向量 OA, OB 的夹角范围是( A、[π/12,5π/12] B、[0,π/4] C、[π/4,5π/12] D、 [5π/12,π/2]

uuu r

uuur

uuu r

uuu uuu r r



正确答案:A 错因:不注意数形结合在解题中的应用。 9、设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则下列 a 与 b 共线的充要条件的有( ① 存在一个实数λ,使 a =λ b 或 b =λ a ; ② | a · b |=| a | | b |;③ A、1 个 B、2 个 C、3 个 答案:C 点评:①②④正确,易错选 D。 )

x1 y1 ; ④ ( a + b )//( a - b ) = x2 y2

D、4 个

10、以原点 O 及点 A(5,2)为顶点作等腰直角三角形 OAB,使 ∠A = 90 ,则 AB 的坐标为(
o

) 。

A、 (2,-5)

B、 (-2,5)或(2,-5)

C、 (-2,5) ①

D、 (7,-3)或(3,7)

正解: 正解:B 设 AB = ( x, y ) ,则由 | OA |=| AB |? 而又由 OA ⊥ AB 得 5 x + 2 y = 0

52 + 2 2 = x 2 + y 2

②由①②联立得 x = 2, y = ?5或x = ?2, y = 5 。

∴ AB = (2,?5)或 (-2, 5)
误解: 误解:公式记忆不清,或未考虑到联立方程组解。 11、设向量 a = ( x1 , y1 ), b = ( x 2 , y 2 ) ,则 A、充要 正解:C 若 正解: B、必要不充分

x1 y = 1 是 a // b 的( x2 y 2
C、充分不必要

)条件。 D、既不充分也不必要

x1 y = 1 则 x1 y 2 ? x 2 y1 = 0,∴ a // b ,若 a // b ,有可能 x 2 或 y 2 为 0,故选 C。 x2 y 2 x1 y = 1 ,此式是否成立,未考虑,选 A。 x2 y 2

误解: 误解: a // b ? x1 y 2 ? x 2 y1 = 0 ?

22

12、在 ? OAB 中, OA = ( 2 cos α ,2 sin α ), OB = (5 cos β ,5 sin β ) ,若 OA ? OB = ?5 , 则 S ?OAB =( )A、 3

B、

3 2

C、 5 3

D、

5 3 2

正解: 正解:D。∵ OA ? OB = ?5 ∴ | OA | ? | OB | ? cos V = ?5 (LV 为 OA 与 OB 的夹角)

(2 cos α )2 + (2 sin α ) 2 ?
∴ cos V =

(5 cos β ) 2 + (5 sin β ) ? cos V = ?5
2

1 3 1 5 3 ∴ sin V = ∴ S ?OAB = | OA | ? | OB | ? sin V = 2 2 2 2

误解: 误解:C。将面积公式记错,误记为 S ?OAB =| OA | ? | OB | ? sin V 13 、 设 平 面 向 量 a = ( ?2,1), = (λ ,?1), ∈ R ) , 若 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 , 则 λ 的 取 值 范 围 是 b (λ ( )A、 ? (

1 , ∪ 2, ∞) 2) ( + 2

B、 (2,+ ∞)

C、 (— , ∞) D、 ∞, ) + (?

1 2

1 2

错解:C 错因:忽视使用 a ? b < 0 时,其中包含了两向量反向的情况 正解:A 14、设 a, b, c 是任意的非零平面向量且互不共线,以下四个命题: ① (a ? b) ? c ? c ? a ? b = 0

( ) ③ (b ? c )? a ? (c ? a )? b不与c垂直

② a + b > a+b ④若 a ⊥ b, 则a ? b与c 不平行 ( )

r

r

r r

其中正确命题的个数是 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 正确答案:(B)错误原因:本题所述问题不能全部搞清。 15、若向量 a = ( x, 2 x ) , b = (? 3x, 2 ) ,且 a , b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是______________. 错误分析:只由 a , b 的夹角为钝角得到 a ? b < 0, 而忽视了 a ? b < 0 不是 a , b 夹角为钝角的充要条件,因为

r v

r r

r r

r r

r v r r a , b 的夹角为 180o 时也有 a ? b < 0, 从而扩大 x 的范围,导致错误.
正确解法:Q a , b 的夹角为钝角, ∴ a ? b = x ? (? 3 x ) + 2 x ? 2 = ?3 x + 4 x < 0
2

r r

解得 x < 0 或 x >

又由 a , b 共线且反向可得 x = ?

r r

4 3 1 3

(1) (2)

由(1),(2)得 x 的范围是 ? ? ∞, ? ?

? ?

1? ? 1 ? ?4 ? ? U ? ? ,0 ? U ? ,+∞ ? 3? ? 3 ? ? 3 ?

答案: ? ? ∞, ? ?

? ?

1? ? 1 ? ?4 ? ? U ? ? ,0 ? U ? ,+∞ ? . 3? ? 3 ? ? 3 ?
23

16、已知平面上三点 A、B、C 满足 | AB |= 3, | BC |= 4, | CA |= 5, 则 AB ? BC + BC ? CA + CA ? AB 的值等于 ( C A.25 ) B.24

C.-25

D.-24

解析几何单元易错题练习
一.考试内容: 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二.考试要求: (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用. 【注意】圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的重点内容,高考中主要出现三种类型的 试题:①考查圆锥曲线的概念与性质;②求曲线方程和轨迹;③关于直线与圆锥曲线的位置关 系的问题. 三.基础知识: (一)椭圆及其标准方程 1. 椭圆的定义:椭圆的定义中,平面内动点与两定点 F1 、 F2 的距离的和大于| F1 F2 |这个 条件不可忽视.若这个距离之和小于| F1 F2 |,则这样的点不存在;若距离之和等于| F1 F2 |,则 动点的轨迹是线段 F1 F2 . x2 y2 y2 x2 + 2 = 1 ( a > b >0) 2 + 2 = 1 ( a > b >0). , a2 b a b 3.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果 x 2 项的分母大于 y 2 项 的分母,则椭圆的焦点在 x 轴上,反之,焦点在 y 轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法 求解. (二)椭圆的简单几何性质 x2 y2 1. 椭圆的几何性质:设椭圆方程为 2 + 2 = 1 ( a > b >0). a b ⑴ 范围: -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线 x= ± a 和 y= ± b 所围成的矩形里. ⑵ 对称 性:分别关于 x 轴、y 轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点:有四个 A1 (-a,0) A2 (a,0) B1 (0,-b) B2 (0,b). 、 、 线段 A1 A2 、B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b, 和 b 分别叫做 a 椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点. c ⑷ 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比 e = 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程 a 度.0<e<1.e 越接近于 1 时,椭圆越扁;反之,e 越接近于 0 时,椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 c ⑴ 定义: 平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e = (e<1 a =时,这个动点的轨迹是椭圆. x2 y2 a2 ( 的准线有两条, 它们的方程为 x = ± . ⑵ 准线: 根据椭圆的对称性, 2 + 2 = 1 a > b >0) c a b 2.椭圆的标准方程:

24

y2 x2 a2 + 2 = 1 ( a > b >0)的准线方程,只要把 x 换成 y 就可以了,即 y = ± . c a2 b 3.椭圆的焦半径:由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. x2 y2 设 F1 (-c,0) F2 (c,0)分别为椭圆 2 + 2 = 1( a > b >0)的左、右两焦点,M(x,y) , a b 是椭圆上任一点,则两条焦半径长分别为 MF1 = a + ex , MF2 = a ? ex . 对于椭圆 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便. c 椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 a 2 = b 2 + c 2 、 e = 两个关系,因此确定椭圆的标准方程只 a 需两个独立条件. 4.椭圆的参数方程 ? x = a cos θ x2 y2 (θ为参数). 椭圆 2 + 2 = 1 ( a > b >0)的参数方程为 ? a b ? y = b sin θ 说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角θ与直线 OP 的倾斜角α不 b 同: tan α = tan θ ; a x2 y2 ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 2 + 2 = 1 与三角恒等式 cos 2 θ + sin 2 θ = 1 相比较而得到, a b x2 y2 所 以 椭 圆 的 参 数 方 程 的 实 质 是 三 角 代 换 . 92. 椭 圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的 参 数 方 程 是 a b ? x = a cos θ . ? ? y = b sin θ 5.椭圆的的内外部 x2 y 2 x2 y2 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的内部 ? 0 + 0 < 1 . a b a2 b2 x2 y 2 x2 y2 (2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的外部 ? 0 + 0 > 1 . a b a2 b2 6. 椭圆的切线方程 xx y y x2 y2 (1)椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 + 02 = 1 . a b a b 2 2 xx y y x y (2)过椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 + 02 = 1 . a b a b 2 2 x y (3)椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 A2 a 2 + B 2b 2 = c 2 a b (三)双曲线及其标准方程 1. 双曲线的定义: 平面内与两个定点 F1 、 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a 小于| F1 F2 |) F ( 的动点 M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件 2a<| F1 F2 |,这一条件可以用“三角 形的两边之差小于第三边” 加以理解.若 2a=| F1 F2 |, 则动点的轨迹是两条射线; 2a>| F1 F2 |, 若 则无轨迹. 若 MF1 < MF2 时,动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若 MF1 > MF2 时,轨迹为双 曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”. x2 y2 y2 x2 2. 双曲线的标准方程: 2 ? 2 = 1 和 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0).这里 b 2 = c 2 ? a 2 ,其中 a b a b | F1 F2 |=2c.要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是:如果 x 2 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 y 2 项的 系数是正数,则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样,通过比较
25

分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后, 运用待定系数法求解. (四)双曲线的简单几何性质 x2 y2 c 1.双曲线 2 ? 2 = 1 的实轴长为 2a,虚轴长为 2b,离心率 e = >1,离心率 e 越大,双曲线的 a a b 开口越大. x2 y2 b x2 y2 2. 双曲线 2 ? 2 = 1 的渐近线方程为 y = ± x 或表示为 2 ? 2 = 0 .若已知双曲线的渐近线方 a a b a b m 程是 y = ± x ,即 mx ± ny = 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: m 2 x 2 ? n 2 y 2 = k ,其中 k 是 n 一个不为零的常数. 3.双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大于 1 的常 x2 y2 数(离心率)的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 2 ? 2 = 1 ,它的焦点坐标是(-c,0)和(c, a b 2 2 a a x2 y2 0) ,与它们对应的准线方程分别是 x = ? 和 x = .双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的焦半径公 c c a b 式 a2 a2 PF1 =| e( x + ) | , PF2 =| e( ? x) | . c c 4.双曲线的内外部 x2 y2 x2 y2 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的内部 ? 0 ? 0 > 1 . a b a2 b2 2 2 x0 y0 x2 y2 (2)点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的外部 ? 2 ? 2 < 1 . a b a b 5.双曲线的方程与渐近线方程的关系 x2 y2 x2 y2 b (1)若双曲线方程为 2 ? 2 = 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 = 0 ? y = ± x . a b a b a 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y = ± x ? ± = 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 = λ . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 = 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 = λ ( λ > 0 ,焦点在 x 轴上, λ < 0 , a b a b 焦点在 y 轴上). 6. 双曲线的切线方程 xx y y x2 y 2 (1)双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 = 1 . a b a b 2 2 xx y y x y (2) 过双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 = 1 . a b a b 2 2 x y (3)双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 A2 a 2 ? B 2b 2 = c 2 . a b (五)抛物线的标准方程和几何性质 1.抛物线的定义:平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。 这个定点 F 叫抛物线的焦点,这条定直线 l 叫抛物线的准线。 需强调的是,点 F 不在直线 l 上,否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线,而不是抛物线。 2.抛物线的方程有四种类型: y 2 = 2 px 、 y 2 = ?2 px 、 x 2 = 2 py 、 x 2 = ?2 py . 对于以上四种方程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次
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项;一次项前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向;一次项前面是负号则曲线的 开口方向向 x 轴或 y 轴的负方向。 3.抛物线的几何性质,以标准方程 y2=2px 为例 (1)范围:x≥0; (2)对称轴:对称轴为 y=0,由方程和图像均可以看出; (3)顶点:O(0,0) ,注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心) ; (4)离心率:e=1,由于 e 是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的; p (5)准线方程 x = ? ; 2 (6)焦半径公式:抛物线上一点 P(x1,y1) F 为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半 , 径公式分别为(p>0) : p p y 2 = 2 px : PF = x1 + ; y 2 = ?2 px : PF = ? x1 + 2 2 p p x 2 = 2 py : PF = y1 + ; x 2 = ?2 py : PF = ? y1 + 2 2 (7)焦点弦长公式:对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过 抛物线 y2=2px(p>O)的焦点 F 的弦为 AB,A(x1,y1) B(x2,y2) AB 的倾斜角为α, , , 则有①|AB|=x 1 +x 2 +p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦 长公式”来求。 (8)直线与抛物线的关系:直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程:x 2 +bx+c=0, 当 a≠0 时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可;但如果 a=0,则直 线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线,此时,直线和抛物线相交,但只有一个公共点。 2 y 4.抛物线 y 2 = 2 px 上的动点可设为 P ( o , y o ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt )或 P ( xo , yo ) ,其中 yo2 = 2 pxo . 2p 5. 二 次 函 数 y = ax2 + bx + c = a( x +
b 2 4ac ? b2 ) + (a ≠ 0) 的 图 象 是 抛 物 线 : 1 ) 顶 点 坐 标 为 ( 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 + 1 4ac ? b 2 ? 1 (? , ); (2)焦点的坐标为 (? , ); (3)准线方程是 y = . 2a 4a 2a 4a 4a 6.抛物线的内外部 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的内部 ? y 2 < 2 px( p > 0) .

点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的外部 ? y 2 > 2 px( p > 0) . (2)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px( p > 0) 的内部 ? y 2 < ?2 px( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px( p > 0) 的外部 ? y 2 > ?2 px( p > 0) . (3)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > 2 py ( p > 0) . (4) 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = ?2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > ?2 py ( p > 0) . 7. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y 2 = 2 px 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y = p ( x + x0 ) . (2)过抛物线 y 2 = 2 px 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y = p(x + x0 ) .(3)抛物 线 y 2 = 2 px( p > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 pB 2 = 2 AC . (六).两个常见的曲线系方程
27

(1)过曲线 f1 ( x, y ) = 0 , f 2 ( x, y ) = 0 的交点的曲线系方程是 f1 ( x, y) + λ f2 ( x, y) = 0 ( λ 为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 x2 y2 + 2 = 1 ,其中 k < max{a 2 , b 2 } .当 k > min{a 2 , b 2 } 时, 2 a ?k b ?k 2 2 表示椭圆; 当 min{a , b } < k < max{a 2 , b 2 } 时,表示双曲线.

(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB = ( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 ) 2 或

AB = (1 + k 2 )( x2 ? x1 ) 2 =| x1 ? x2 | 1 + tan 2 α =| y1 ? y2 | 1 + co t 2 α









? y = kx + b A ( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,由方程 ? 消去 y 得到 ax 2 + bx + c = 0 , ? > 0 , α 为直线 AB 的倾斜 ?F( x , y) = 0 角, k 为直线的斜率). (八).圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) = 0 关于点 P ( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y ) = 0 . (2)曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 Ax + By + C = 0 成轴对称的曲线是 2 A( Ax + By + C ) 2 B ( Ax + By + C ) F (x ? ,y? ) = 0. 2 2 A +B A2 + B 2 四.基本方法和数学思想
2 2 1.椭圆焦半径公式:设 P(x0,y0)为椭圆 x 2 + y 2 = 1 (a>b>0)上任一点,焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),

a

b

则 PF1 = a + ex0 , PF2 = a ? ex0 (e 为离心率) ;
2.双曲线焦半径公式: P x0,y0) 设( 为双曲线 x 2 ? y 2 = 1 a>0,b>0) ( 上任一点, 焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),
a b
2 2

则: (1)当 P 点在右支上时, PF1 = a + ex0 , PF2 = ? a + ex0 ; (2)当 P 点在左支上时, PF1 = ? a ? ex0 , PF2 = a ? ex0 ; e 为离心率) ( ; 另:双曲线 x 2 ? y 2 = 1 (a>0,b>0)的渐进线方程为 x 2 ? y 2 = 0 ;
a b a b
2 2 2 2

3.抛物线焦半径公式: P x0,y0) 设 ( 为抛物线 y2=2px(p>0)上任意一点, 为焦点, PF = x0 + F 则 y2=2px(p<0)上任意一点,F 为焦点, PF = ? x0 + 4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题; 5.共渐进线 y = ± x 的双曲线标准方程为 x 2 ? y 2 = λ (λ 为参数, λ ≠0) ;
a b

p ; 2

p ; 2

b a

2

2

6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式, 一般地, 若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB,A、 两点分别为 A(x1,1)、 2,y2), B y B(x

则弦长 AB = 1 + k 2 ? x2 ? x1 = (1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]
= 1+ 1 ? y 2 ? y1 = k2 (1 + 1 ) ? [( y1 + y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想; k2
2

7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为 2 b ,焦准距为 p= b ,抛物线的通径为 2p,焦准距为 p; 双
a
2 2

2

c

曲线 x 2 ? y 2 = 1 (a>0,b>0)的焦点到渐进线的距离为 b;
a b
28

8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 Ax2+Bx2=1; 9.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为 AB,A(x1,y1) 、B(x2,y2),则有如下结论: (1)
2 AB =x1+x2+p;(2)y1y2=-p2,x1x2= p ;

4

10.过椭圆 x 2 + y 2 = 1 (a>b>0)左焦点的焦点弦为 AB,则 AB = 2a + e( x1 + x 2 ) ,过右焦点的弦
a b

2

2

AB = 2a ? e( x1 + x 2 ) ;
11.对于 y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为(
2 y0 ,y0),以简化计算; 2p

12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设 A(x1,y1)、B(x2,y2)为椭圆
2 2 2 x 2 y 2 (a>b>0) 上不同的两点, 0,y0)是 AB 的中点, KABKOM= ? b 2 ; M(x 则 对于双曲线 x 2 ? y 2 = 1 + 2 =1 a a2 b a b
2 (a>0,b>0) ,类似可得:KAB.KOM= b 2 ;对于 y2=2px(p≠0)抛物线有 KAB= 2 p

a

y1 + y 2

13.求轨迹的常用方法: (1)直接法:直接通过建立 x、y 之间的关系,构成 F(x,y)=0,是求轨迹的最基本的方法; (2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所 求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可; (3)代入法(相关点法或转移法) :若动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1)的变化而变化,并且 Q(x1,y1)又在某已知曲线上,则可先用 x、y 的代数式表示 x1、y1,再将 x1、y1 带入已知曲线得 要求的轨迹方程; (4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方 程; (5)参数法:当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑 将 x、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。 求过点(2,1)且与两坐标所围成的三角形面积为 4 的直线方程。 x y 错解: 错解:设所求直线方程为 + = 1 。 a b 2 1 ∵(2,1)在直线上,∴ + = 1 , ① a b 1 又 ab=4 ,即 ab = 8 , ② 2 由①、②得 a = 4,b = 2。故所求直线方程为 x + 2 y = 4 。 剖析:本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中,由于对截 剖析: 距概念模糊不清,误将直线在 x 轴和 y 轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱” 。 1 1 事实上,直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 a b ,而不是 ab。 2 2 故所求直线方程应为:
x + 2 y = 4,或( 2 +1)x - 2( 2 -1)y – 4 = 0,或( 2 - 1)x - 2( 2 +1)y +4 = 0。 例题 2 求过点 A(-4,2)且与 x 轴的交点到(1,0)的距离是 5 的直线方程。 2 , 错解: ,则与 x 轴的交点为(-4- ,0) 错解:设直线斜率为 k,其方程为 y – 2 = k(x + 4) k

例题 1

29

∴ ?4?

1 2 ? 1 = 5 ,解得 k = - 。故所求直线的方程为 x + 5y – 6 = 0 。 5 k

剖析: 剖析:题中仅考虑了斜率存在的情况,忽视了斜率不存在的情况,即经过 A 且垂直于 x 轴的直 线,落入“陷阱” 。其实 x = - 4 也符合题意。 例题 3 求过点(1,1)且横、纵截距相等的直线方程。 x y 错解: 错解:设所求方程为 + = 1 ,将(1,1)代入得 a = 2, a a 从而得所求直线方程为 x + y – 2 = 0。 x y 剖析: 剖析:上述错解所设方程为 + = 1 ,其中不含横、纵截距为 0 的特殊情形,事实上,横、纵 a a 截距为 0 且过点(1,1)的直线 y = x 也符合条件。 例题 4 已知圆的方程为 x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ,一定点为 A(1,2) ,要使过 A 点作圆的切 线有两条,求 a 的取值范围。
a 2 4 ? 3a 2 2 错解: 。 错解:将圆的方程配方得: ( x + ) + ( y + 1 ) = 2 4

a 4 ? 3a 2 ∵其圆心坐标为 C(- ,-1) ,半径 r = 。 2 4 当点 A 在圆外时,过点 A 可作圆的两条切线,则 AC > r 。

a 4 ? 3a 2 即 (1 + ) 2 + (2 + 1) 2 > 。即 a2 + a + 9 > 0,解得 a∈R。 2 4
剖析: 剖析:本题的“陷阱”是方程 x2 + y2 + ax + 2y + a 2= 0 表示圆的充要条件,上述解法仅由条件得 出 AC > r ,即 a2 + a + 9 > 0,却忽视了 a 的另一制约条件 4 – 3 a2 > 0。 事实上,由 a2 + a + 9 > 0 及 4 – 3 a2 > 0 可得 a 的取值范围是( ? 例题 5
2 2 3, 3) 。 3 3

已知直线 L:y = x + b 与曲线 C:y = 1 ? x 2 有两个公共点,求实线 b 的取值范围。 ( * )

? y = x + b, ? 错解: 消去 x 得:2y2 - 2by + b2 – 1 = 0。 错解:由 ? ? y = 1? x2 ?

∵ L 与曲线 C 有两个公共点, ∴ ? = 4b2 – 8 ( b2 -1 ) > 0,解得- 2 <b< 2 剖析: 剖析:上述解法忽视了方程 y = 1 ? x 2 中 y ≥ 0 ,- 1 ≤ x ≤ 1 这一限制条件,得出了错 误的结论。 事实上,曲线 C 和直线 L 有两个公共点等价于方程(*)有两个不等的非负实根。 ? ? ? = 4b 2 - 8(b 2 - 1) > 0 ? - 2b ? 解得 1≤ b ≤ 2 。 >0 ? y 1 + y2 = 2 ? 2 ? y y = b ?1 ≥ 0 1 2 ? 2 ? 例题 6 等腰三角形顶点是 A(4,2) ,底边的一个端点是 B(3,5) ,求另一个端点 C 的轨迹方
30

程。 错解: ,依题意有: 错解:设另一个端点的坐标为( x ,y )

AC = AB ,即: ( x ? 4) 2 + ( y ? 2) 2 = (4 ? 3) 2 + (2 ? 5) 2
∴ (x - 4)2 + (y - 2) 2 = 10 即为 C 点的轨迹方程。 这是以 A(4,2)为圆心、以为半径的圆。 剖析: 剖析:因为 A、B、C 三点为三角形三个顶点,所以 A、B、C 三点不共线,即 B、C 不能重合, 且不能为圆 A 一直径的两个端点,这正是解题后没有对轨迹进行检验,出现增解,造成 的解题错误。 ?x+3 ? 2 ≠4 ?x ≠ 3 事实上,C 点的坐标须满足 ? ,且 ? , y+5 ?y ≠ 5 ? ≠2 ? 2 2 故端点 C 的轨迹方程应为(x - 4) + ( y-2 )2 = 10 ( x ≠ 3,y ≠ 5;x ≠ 5,y ≠ -1)。 它表示以(4,2)为圆心,以 10 为半径的圆,除去(3,5) 5,-1)两点。 (

例题 7

? 5x + 3y ≤ 15 ? 求 z = 3 x + 5 y 的最大值和最小值,使式中的 x ,y 满足约束条件: ? y ≤ x + 1 ? x ? 5y ≤ 3 ?

错解: 错解:作出可行域如图 1 所示,过原点作直线 L0:3 x + 5 y = 0 。 由于经过 B 点且与 L0 平行的直线与原点的距离最近,

? x ? 5y = 3 ? 故 z = 3 x + 5 y 在 B 点取得最小值。解方程组 ? ,得 B 点坐标为(3,0) ,∴ z ?5 x + 3 y = 15 ?
最小=3 × 3+5 × 0=9。 由于经过 A 点且与 L0 平行的直线与原点的距离最大, 故 z = 3x + 5y 在 A 点取得最大值。

? y = x +1 3 5 解方程组 ? ,得 A 点坐标为( , ) 。 2 2 ?5 x + 3 y = 15 ∴ z 最大=3 ×
3 5 +5 × = 17 。 2 2
Y

述解法中,受课本例题的影响,误认为 点的直线 L0 的平行移动中, 与原点距离 线所经过的可行域上的点,即为目标函 最大值的点。反之,即为 Z 取得最小值 把这一认识移到不同情况中加以应用, 了解题失误。 事实上,过原点作直线 L0:3x + 5y 使 z = 3x + 5y > 0 的区域为直线 L0 的 右上方,而使 z = 3x + 5y < 0 的 的 左下方。由图知:z = 3x + 5y 应在 最大值,在 C 点取得最小值。

剖析:上 在对过原 最大的直 数 Z 取得 的点,并 由此造成
X

= 0,由于

区域为 L0
A 点取得

31

? y = x +1 解方程组 ? ,得 C(-2,-1) 。 ?x ? 5 y = 3 ∴ z 最小=3 × (-2)+5 × (-1)= -11。 例题 8 已知正方形 ABCD 对角线 AC 所在直线方程为 y = x .抛物线 f ( x) = x 2 + bx + c 过 B,

D 两点 (1)若正方形中心 M 为(2,2)时,求点 N(b,c)的轨迹方程。 (2)求证方程 f ( x) = x 的两实根 x1 , x 2 满足 | x1 ? x 2 |> 2 解答: (1)设 B (2 + s, 2 ? s ), D (2 ? s, 2 + s ), s ≠ 0

? 2 + s = (2 ? S ) 2 + b(2 ? S ) + c 因为 B,D 在抛物线上 所以 ? 两式相减得 2 ?2 ? S = (2 + S ) + b(2 + S ) + c
2 s = ?8s ? 2 sb

则 b = ?5 代入(1)
∴c = 8 ? s2 < 8

得 2 + s = s 2 ? 4 s + 4 ? 10 + 5s + c

故点 N (b, c) 的方程 x = ?5( y < 8) 是一条射线。 (2)设 B (t + s, t ? s ), D (t ? s, t + s ) s ≠ 0

? t + s = (t ? s ) 2 + b(t ? s ) + c LL (1) 同上 ? 2 ?t ? s = (t + s ) + b(t + s ) + c LL (2)
(1)-(2)得 t = ?
b +1 LL (3) 2

(1)+(2)得 s 2 + (b ? 1)t + t 2 + c = 0LL (4) (3)代入(4)消去 t 得 s 2 = 得 (b ? 1) 2 ? 4c > 4
x1 ? x2 = c
∴| x1 ? x2 |2 = ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = (b ? 1) 2 ? 4c > 4

b 2 ? 1 (b + 1) 2 ? ?c > 0 2 4

又 f ( x) = x 即 x 2 + (b ? 1) x + c = 0 的 两 根 x1 , x2 满 足 x1 + x2 = 1 ? b

故 | x1 ? x2 |> 2 。 易错原因:审题不清,忽略所求轨迹方程的范围。 1 例题 9 已知双曲线两焦点 F1 , F2 ,其中 F1 为 y = ? ( x + 1) 2 + 1 的焦点,两点 A (-3,2) B (1,2)都 4 在双曲线上, 1) ( 求点 F1 的坐标; 2) ( 求点 F2 的轨迹方程, 并画出轨迹的草图; 3) ( 若直线 y = x + t 与 F2 的轨迹方程有且只有一个公共点,求实数 t 的取值范围。
1 解答: 1)由 y = ? ( x + 1) 2 + 1 得: ( x + 1) 2 = ?4( y ? 1) ,故 F1 (?1, 0) ( 4
32

(2)设点 F2 ( x, y ) ,则又双曲线的定义得 || AF1 | ? | AF2 ||=|| BF1 | ? | BF2 ||≠ 0 又Q| AF2 |=| AF1 |= 2 2 ∴| AF2 |=| BF 2 | 或 | F2 A | + | F2 B |=| AF1 | + | BF1 |= 4 2
∴ 点 F2 的轨迹是以 A, B 为焦点的椭圆 ∴ x + 1 = 0 除去点 (?1, 0), (?1, 4) 或
(?1, 0), (?1, 4) ( x + 1) 2 ( y ? 2) 2 + = 1 除去点 8 4

图略。

y = x+t ? ? (3)联列: ? ( x + 1) 2 ( y ? 2) 消去 y 得 + =1 ? 4 ? 8 ( x + 1) 2 + 2( x + t ? 2) 2 = 8

整理得: 3 x 2 + (4t ? 6) x + 2t 2 ? 8t + 1 = 0 从图可知: t ∈ (?∞,3 ? 2 3) ∪ (3 + 2 3, +∞) ,

当 = 0时

得t = 3± 2 3

又因为轨迹除去点 (?1, 0), (?1, 4) 所以当直线过点 (?1, 0), (?1, 4) 时也只有一个交点, 即
t = 1或 5 ∴ t ∈ (?∞, 3 ? 2 3) ∪ (3 + 2 3, +∞) ∪ {1,5}

易错原因: 1)非标准方程求焦点坐标时计算易错; 2)求点 F2 的轨迹时易少一种情况; 3) ( ( ( 对有且仅有一个交点误认为方程只有一解。 例题 10 已知圆 O1 : x 2 + y 2 = 1 ,圆 O2 : x 2 + y 2 ? 10 x + 9 = 0 都内切于动圆,试求动圆圆心的轨 迹方程。 错解:圆 O2: x 2 + y 2 ? 10 x + 9 = 0 ,即为 ( x ? 5) 2 + y 2 = 16 所以圆 O2 的圆心为 O2 (5,0) ,半径 r2 = 4 , 而圆 O1 : x 2 + y 2 = 1 的圆心为 O1 (0,0) ,半径 r1 = 1 , 设所求动圆圆心 M 的坐标为(x,y),半径为 r 则 r =| O1 M | +1 且 r =| O2 M | +4 ,所以 | O1 M | ? | O2 M |= 3 即 x 2 + y 2 ? ( x ? 5) 2 + y 2 = 3 ,化简得 16 x 2 ? 80 x ? 9 y 2 + 64 = 0
5 (x ? )2 2 2 ? y = 1 为所求动圆圆心的轨迹方程。 即 9 4 4

剖析: 上述解法将 | O1 M | ? | O2 M | =3 看成 || O1 M | ? | O2 M ||= 3 ,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线,
33

这是双曲线的概念不清所致。 事实上,| O1 M | ? | O2 M |= 3 表示动点 M 到定点 O1 及 O2 的距离差为一常数 3。 5 (x ? )2 2 2 ? y = 1( x ≥ 4) 且 | O1O2 |= 5 > 3 ,点 M 的轨迹为双曲线右支,方程为 9 4 4 例题 11
5 点 P 与定点 F(2,0)的距离和它到直线 x=8 的距离比是 1:3,求动点 P 与定点 P1 ( ,3) 4 距离的最值。 | PF | 1 = , 错解:设动点 P(x,y)到直线 x=8 的距离为 d,则 d 3



( x ? 2) 2 + y 2 1 = | x?8| 3

5 (x ? )2 2 4 + y =1 两边平方、整理得 (1 ) 9 2 9 ( ) 4 2 5 2 9 由此式可得: ( x ? ) 2 = (1 ? y 2 ) × ( ) 2 4 9 4

5 2 9 因为 | PP1 |= ( x ? ) 2 + ( y ? 3) 2 = (1 ? y 2 ) × ( ) 2 + ( y ? 3) 2 4 9 4 1 1377 = ? ( y + 24) 2 + 8 16
所以 | PP1 | max = 剖析

1377 3 = 153 16 4

由上述解题过程知,动点 P(x,y)在一椭圆上,由椭圆性质知,椭圆上点的横纵坐标都是有 3 3 限制的, 上述错解在于忽视了 ? 2≤y≤ 2 这一取值范围, 由以上解题过程知, P1 P | | 2 2 的最值可由二次函数在区间上的单调性给予解决 3 3 即:当 y = ? 2 时, | PP1 | max = 3 + 2 2 2
x2 y2 2 已知双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率 e= 3 , 过点 A( 0,?b )和 B(a,0)的直线 3 a b

例题 12

与原点的距离为

3 ,直线 y=kx+m (k ≠ 0, m ≠ 0) 与该双曲线交于不同两点 C、D,且 C、D 2

两点都在以 A 为圆心的同一圆上,求 m 的取值范围。 2 ? 2 4 ?b? ?e = 1 + ? ? = 3 ?a? ? 错解 由已知,有 ? 解之得: a 2 = 3, b 2 = 1 3 ab ? ? a2 + b2 = 2 ?
34

所以双曲线方程为

x2 ? y2 = 1 3

把直线 y=kx+m 代入双曲线方程,并整理得: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kmx ? 3m 2 ? 3 = 0 所以 ? = m 2 + 1 ? 3k 2 > 0 (1) 设 CD 中点为 P ( x0 , y 0 ) ,则 AP ⊥ CD,且易知: x0 =
3km m , y0 = 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

所以 k AP

m +1 1 1 ? 3k 2 = =? ? 3k 2 = 4m + 1 3km k 2 1 ? 3k

(2)

将(2)式代入(1)式得 m 2 ? 4m > 0 解得 m>4 或 m < 0 故所求 m 的范围是 m ∈ (?∞,0) U (4,+∞) 剖析 上述错解,在于在减元过程中,忽视了元素之间的制约关系, 4m + 1 将k2 = 代入(1) 式时,m 受 k 的制约。 3 1 1 因为 k 2 > 0 所以 m > ? 故所求 m 的范围应为 m>4 或 ? < m < 0 4 4 例题 13 椭圆中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率 e =
3 3 ,已知点 P( 0, )到椭圆上的点 2 2

最远距离是 7 ,求这个椭圆的方程。 错解 设所求椭圆方程为
x2 y2 + = 1(a > b > 0) a 2 b2

b 因为 = a

a2 ? c2 1 = 1? e2 = 所以 a=2b 2 2, a x2 y2 + 2 =1 4b 2 b

于是椭圆方程为

3 设椭圆上点 M(x,y)到点 P (0, ) 的距离为 d, 2 3 y2 9 1 则: d 2 = x 2 + ( y ? ) 2 = 4b 2 (1 ? 2 ) + y 2 ? 3 y + = ?3( y + ) 2 + 4b 2 + 3 2 4 2 b 1 所以当 y = ? 时,有 d 2 max = 4b 2 + 3 = 7, b = 1 2

所以所求椭圆方程为

x2 + y2 = 1 4

剖析

由椭圆方程

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 得 ? b ≤ y ≤ b a 2 b2
35

由(1)式知 d 2 是 y 的二次函数,其对称轴为 y = ?

1 2

上述错解在于没有就对称轴在区间 [?b, b] 内或外进行分类,
1 其正解应对 f(y)= ? 3( y + ) 2 + 4b 2 + 3 的最值情况进行讨论: 2 1 1 (1)当 ? b ≤ ? ,即 b ≥ 时 2 2 1 x2 d 2 max = f (? ) = 4b 2 + 3 =7 ? b = 1 ,方程为 + y2 = 1 2 4

(2)当 ? d 2 max

1 1 < ?b , 即 b < 时, 2 2 3 1 1 = f (?b) = 7 ? b = 7 ? > ,与 b < 矛盾。 2 2 2

x2 综上所述,所求椭圆方程为 + y2 = 1 4 例题 15 已知双曲线 x 2 ? y2 = 1 ,问过点 A(1,1)能否作直线 l ,使 l 与双曲线交于 P、Q 两点, 2

并且 A 为线段 PQ 的中点?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由。 错解 设符合题意的直线 l 存在,并设 P( x1 , x 2 ) 、 Q( x 2 , y 2 )

? 2 y1 2 = 1 (1) ? x1 ? ? 2 则? 2 ? 2 y2 ? x 2 ? 2 = 1 ( 2) ?

(1) ? (2) 得 ( x1 ? x 2 )( x1 + x 2 ) =

1 ( y1 ? y 2 )( y1 + y 2 ) (3) 2

? x + x 2 = 2 (4) 因为 A(1,1)为线段 PQ 的中点,所以 ? 1 ? y1 + y 2 = 2 (5)
将(4)、(5)代入(3)得 x1 ? x 2 = 若 x1 ≠ x 2 ,则直线 l 的斜率 k =
1 ( y1 ? y 2 ) 2

y1 ? y 2 =2 x1 ? x 2

所以符合题设条件的直线 l 存在。其方程为 2 x ? y ? 1 = 0 剖析 在(3)式成立的前提下,由(4)、(5)两式可推出(6)式,但由(6)式不能推出(4)(5)

两式,故应对所求直线进行检验,上述错解没有做到这一点,故是错误的。
? y = 2x ?1 ? 应在上述解题的基础上,再由 ? 2 y 2 得 2x 2 ? 4x + 3 = 0 =1 ?x ? ? 2

根据 ? = ?8 < 0 ,说明所求直线不存在。
36

例题 15

已知椭圆 C :

( x ? 1) 2 y 2 + = 1 ,F 为它的右焦点,直线 l 过原点交椭圆 C 于 A、B 两点。 4 3

求 | FA | ? | FB | 是否存在最大值或最小值?若不存在,说明理由。 错解 设 A、B 两点坐标分别为 ( x A , y A ) 、 ( x B , y B )
c 1 a2 因为 a 2 = 4, b 2 = 3 , 所以 c = a 2 ? b 2 = 1 , e = = , =4 a 2 c

又椭圆中心为(1,0),右准线方程为 x=5, 所以
1 1 (5 ? x A ) 同理 | FB |= (5 ? x B ) 2 2 ,

| FA | 1 = 5 ? xA 2

即 | FA |=

1 所以 | FA | ? | FB | = [25 ? 5( x A + x B ) + x A x B ] (1) 4

设直线 l 的方程为 y=kx,代入椭圆方程得 (3 + 4k 2 ) x 2 ? 6 x ? 9 = 0
6 ?9 , x A xB = 2 3 + 4k 3 + 4k 2 1 39 代入(1)式得 | FA | ? | FB | = (25 ? ) 4 3 + 4k 2 25 所以 3 ≤| FA | ? | FB |< ,所以 | FA | ?FB |有最小值 3,无最大值。 4 剖析 上述错解过程忽视了过原点斜率不存在的直线,当 l 的斜率不存在时, 5 5 25 有 | FA | ? | FB | = × = 2 2 4

所以 x A + x B =

所以 | FA | ?FB 有最小值为 3,最大值为 25/4 课后练习题
1、圆 x2 + 2x + y2 + 4y –3 = 0 上到直线 x + y + 1 = 0 的距离等于 2 的点共有(



A、1 个 B、 2 个 C、 3 个 D、 4 个 分析: 分析:这里直线和圆相交,很多同学受思维定势的影响,错误地认为圆在此直线的两侧各有两

点到直线的距离为 2 ,导致错选( D ) 。 事实上,已知圆的方程为: (x +1)2 + (y+2) 2 = 8,这是一个 以(-1,-2)为圆心,以 2 2 为 半径的圆,圆的圆心到直线 x + y + 1 = 0 的距离
A O Y

C X

B
37

x+y=1

为 d=

?1? 2 +1 2

= 2,

这样只需画出(x +1)2 + (y+2) 2 = 8 和直线 x + y + 1 = 0 以及和 x + y + 1 = 0 的距离为 2 的平行直线即可。 如图 2 所示,图中三个点 A、B、C 为所求,故应选(C) 。 2、过定点(1,2)作两直线与圆 x 2 + y 2 + kx + 2 y + k 2 ? 15 = 0 相切,则 k 的取值范围是 A k>2 B -3<k<2 解 答:D C k<-3 或 k>2 D 以上皆不对

易错原因:忽略题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑 D 2 + E 2 ? 4 F > 0
3、设双曲线 x2 y2 ? = 1(a > b > 0) 的半焦距为 C,直线 L 过 (a, 0), (0, b) 两点,已知原点到直线 L a2 b2

的距离为

3 C ,则双曲线的离心率为 4 B 2或 2 3 C 3

A 2

2

D

2 3 3

解 答:D 易错原因:忽略条件 a > b > 0 对离心率范围的限制。
4、已知二面角 α ? l ? β 的平面角为 θ ,PA ⊥ α ,PB ⊥ β ,A,B 为垂足,且 PA=4,PB=5,设 A、 B 到二面角的棱 l 的距离为别为 x, y ,当 θ 变化时,点 ( x, y ) 的轨迹是下列图形中的



A 答: D

B

C

D

易错原因:只注意寻找 x, y 的关系式,而未考虑实际问题中 x, y 的范围。
5、若曲线 y = x 2 ? 4 与直线 y = k ( x ? 2) +3 有两个不同的公共点,则实数 k 的取值范围是 A 0 ≤ k ≤1 B 0≤k ≤ 3 4 C ?1 < k ≤ 3 4 D ?1 < k ≤ 0



答:C

易错原因:将曲线 y = x 2 ? 4 转化为 x 2 ? y 2 = 4 时不考虑纵坐标的范围;另外没有看清过点
(2,-3)且与渐近线 y = x 平行的直线与双曲线的位置关系。 6、已知圆 ( x ? 3) 2 +y 2 =4 和 直线 y=mx 的交点分别为 P、Q 两点,O 为坐标原点,
38

则︱OP︱·︱OQ︱=( A 1+m 2 B

)

正确答案: C 方来解题。

5 C 5 D 10 1+ m2 错因:学生不能结合初中学过的切割线定︱OP︱·︱OQ︱等于切线长的平

x2 y2 7、双曲线 - =1 中,被点 P(2,1)平分的弦所在直线方程是( 9 4



A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在 正确答案:D 错因:学生用“点差法”求出直线方程没有用“△”验证直线的存在性。 1 8、已知 α 是三角形的一个内角,且 sin α +cos α = 则方程 x 2 sin α -y 2 cos α =1 表示( ) 5 B 焦点在 y 轴上的双曲线 A 焦点在 x 轴上的双曲线 C 焦点在 x 轴上的椭圆 D 焦点在 y 轴上的椭圆 1 正确答案:D 错因:学生不能由 sin α +cos α = 判断角 α 为钝角。 5 9、过抛物线的焦点 F 作互相垂直的两条直线,分别交准线于 P、Q 两点,又过 P、Q 分别作抛物 线对称轴 OF 的平行线交抛物线于 M﹑N 两点,则 M﹑N﹑F 三点 A 共圆 B 共线 C 在另一条抛物线上 D 分布无规律 正确答案:B 错因:学生不能结合图形灵活应用圆锥曲线的第二定义分析问题。 10、已知实数 x,y 满足 3x2+2y2=6x,则 x2+y2 的最大值是( ) 9 A、 B、4 C 、5 D、2 2 正确答案:B 错误原因:忽视了条件中 x 的取值范围而导致出错。
11、过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y 2 = 4 x 仅有一个公共点,这样的直线有(



A.1 条 B.2 条 正确答案:C

C. 3 条

D. 0 条

? y 2 = 4x 2 错解:设直线的方程为 y = kx + 1 ,联立 ? ,得 (kx + 1) = 4 x , ? y = kx + 1
即: k 2 x 2 + (2k ? 4) x + 1 = 0 ,再由Δ=0,得 k=1,得答案 A. 剖析:本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将斜率 k=0 的情 形丢掉了,故本题应有三解,即直线有三条。 12、已知动点 P(x,y)满足 5 ( x ? 1)2 + ( y ? 2) 2 =| 3 x + 4 y ? 11| ,则 P 点的轨迹是 A、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆 正确答案:A 错因:利用圆锥曲线的定义解题,忽视了(1,2)点就在直线 3x+4y-11=0 上。
13、在直角坐标系中,方程 ( x + y ? 1) 3 + 2 x ? x 2 ? y = 0 所表示的曲线为(





(

)



A.一条直线和一个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.一条线段和半个圆 正确答案:D 错因:忽视定义取值。
x2 14、设 F1 和 F2 为双曲线 ? y 2 = 1 的两个焦点,点在双曲线上且满足 ∠F1 PF2 = 90 o ,则 4
39

?F1 PF2 的面积是(
A.1 B.
5 2

) 。

C.

2

D. 5

正解: 正解:A

x2 ? y 2 = 1 a = 2, C = 5 ∴|| PF1 | ? | PF2 ||= 4 4

?| PF1 | 2 ?2 | PF1 || PF2 | + | PF2 | 2 = 16 ① 又Q ∠F1 PF2 = 90 o ∴ | PF1 | 2 + | PF2 | 2 = (2 5 ) 2 ② 联立①②解得∴| PF1 || PF2 |= 2
∴ S ?F1PF2 = 1

误解: 误解:未将∴|| PF1 | ? | PF2 ||= 4 两边平方,再与②联立,直接求出 | PF1 || PF2 | 。
15、已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为 y = ±

b x, (a > 0, b > 0) ,若双曲线上有一点 M a

( x0 , y 0 ) ,使 a | y 0 |> b | x0 | ,那双曲线的交点(
A.在 x 轴上 B.在 y 轴上 C.当 a > b 时在 x 轴上

) 。
D.当 a < b 时在 y 轴上

正解: 正解:B。 由 a y0 > b x0 得

y0 b > ,可设 x0 > 0, y0 > 0 ,此时 OM 的斜率大于渐近线的斜率, x0 a

由图像的性质,可知焦点在 y 轴上。所以选 B。 误解: 误解:设双曲线方程为
x2 y2 ? 2 = λ ,化简得: b 2 x 2 ? a 2 y 2 = λ a 2b 2 , 2 a b

2 2 2 代入 ( x0 , y0 ) , b 2 x0 ? λ a 2b 2 = a 2 y0 > b 2 x0 ,∴ λ > 0 ,∴ 焦点在 x 轴上。这个方法没错,但

λ 确定有误,应 λ < 0 ,∴ 焦点在 y 轴上。
误解: 误解:选 B,没有分组。
16、与圆 x 2 + ( y + 5) 2 = 3 相切,且纵截距和横截距相等的直线共有( A 、2 条 B、3 条 答案:C 错解:A 错因:忽略过原点的圆 C 的两条切线 C 、4 条 D 、6 条



17、若双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的右支上一点 P(a,b)直线 y=x 的距离为 2 ,则 a+b 的值是( A、 ? 1 2 答案:B 错解:C B、 1 2 C、 ± 1 2 D、 ± 2



错因:没有挖掘出隐含条件 a > b
40

18、双曲线

x2 y2 ? = 1 中,被点 P(2,1)平分的弦所在的直线方程为( 9 4
B、 8 x + 9 y = 25 C、 4 x ? 9 y = 6 D、不存在



A、 8 x ? 9 y = 7 答案:D 错解:A

错因:没有检验出 8 x ? 9 y = 7 与双曲线无交点。
19、过函数 y=-

4x ? 9 的图象的对称中心,且和抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点的直线的条数 x?2 共有( ) B、2 条 C 、3 条 D、不存在 A、1 条 正确答案: B) ( 错误原因 :解本题时极易忽视中心(2,4)在抛物线上,切线只有 1 条,又易忽视平行于抛物 线对称轴的直线和抛物线只有一个公共点。 x2 y2 20、双曲线 ? = 1 上的点 P 到点(5,0)的距离为 8.5,则点 P 到点( ? 5,0 )的距离_______。 16 9

错解

设双曲线的两个焦点分别为 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,

由双曲线定义知 || PF1 | ? | PF2 ||= 8 所以 | PF1 |= 16.5 或 | PF1 |= 0.5 剖析 由题意知,双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为 1, 所以 PF1 = 0.5 不合题意,事实上,在求解此类问题时,应灵活运用双曲线定义,分析出点 P 的 存在情况,然后再求解。如本题中,因左顶点到右焦点的距离为 9>8.5,故点 P 只能在右支上, 所求 PF1 = 16.5
x2 y2 + = 1 有共同焦点,并且与其中一个交点的纵坐标为 4,则这个双曲线 27 36 的方程为_____。 x2 y2 x2 y2 正解: + = 4 ,设双曲线的方程为 ? + = 1 (27 < k < 36 ) 正解:5 4 k ? 27 36 ? k x 2 42 15 42 2 又由题意知 + = 1∴ x = 15 ∴ ? + = 1 ∴ k = 32 27 36 k ? 27 36 ? k x2 y2 故所求双曲线方程为 ? + =1 5 4 误解: 误解:不注意焦点在 y 轴上,出现错误。 21、一双曲线与椭圆
22、过双曲线 x2-
y2 = 1 的右焦点作直线交双曲线于 A、B 两点,且 AB = 4 ,则这样的直线有 2

___________条。错解:2

错因:设 y = k ( x ? 3 ) 代入椭圆的方程算出有两条,当 k 不存在,即直线 AB ⊥ x 轴时,|AB| =4,忽视此种情况。正解:3
41

23、一动点到定直线 x=3 的距离是它到定点 F(4,0)的距离的比是 为 。

1 ,则动点轨道方程 2

8 (x ? )2 2 3 ? y =1 答案: 4 4 9 3 错解:由题意有动点的轨迹是双曲线,又 F(4,0) ,所以 c=4,又准线 x=3,
所以 a2 x2 y2 = 3, a 2 = 12, b 2 = 4 ,故双曲线方程为 ? =1 c 12 4

错因:没有明确曲线的中心位置,而套用标准方程。
24、经过双曲线 x 2 ?

y2 = 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 30° 的弦 AB,则 ?F1 AB 的周长为 3



答案:设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 其中

x1 > 0, x 2 < 0, a = 1, e = 2, 则 AF1 = ex1 + a = 2 x1 + 1, BF1 = ?(2 x 2 + 1) ,
所以 AF1 + BF1 = 2( x1 ? x 2 ) ,将弦 AB 的方程 y =
3 ( x ? 2) 代入双曲线方程, 3

1 13 整理得 8 x 2 + 4 x ? 13 = 0, 所以x1 + x 2 = ? , x1 x 2 = ? , 则 AB = 3 , 2 8
可求得 x1 ? x 2 =

3 3 ,故答案为 3 + 3 3 2

错解:10 错因:作图错误,没有考虑倾斜角为 30° 的直线与渐近线的关系,而误将直线作成与右支 有两交点。

25、如果不论实数 b 取何值,直线 y = kx + b 与双曲线 x 2 ? 2 y 2 = 1 总有公共点,那么 k 的取值范
围为 答案: (? 。

2 2 , ) 2 2 2 2 , ] 2 2

错解: [?

错因:没考虑 b=0 时,直线不能与渐近线平行。 x2 y2 16 26、双曲线 =1上有一点 P 到左准线的距离为 ,则 P 到右焦点的距离为 9 16 5



42

x2 y2 错解: F1、 2 分别为由双曲线的左、 设 F 右焦点, 则由双曲线的方程为 9 - 16 =1, 易求得 a=3,c=5, 5 5 16 16 从 而 离 心 率 e = , 再 由 第 二 定 义 , 易 求 |PF1|=ed1 = × = ,于是又由第一定义 3 3 5 3 16 PF2 ? PF1 = 2a = 6 ,得|PF2|= 6 ± 。 y 3 剖析:以上出现两解的原因是考虑到 P 可能在不同的 两支上。 P 而事实上 P 若在右支上,则其到 F1 的最短距离应为右 16 x F1 顶点 A2 到 F1 的距离| A2 F1|=a+c=8,而 < 8 ,故点 F2 3 16 34 = P 只能在左支,于是|PF2|= 6 + 。 3 3 小结:一般地,若|PF1| ≥ a+c,则 P 可能在两支上, 若|PF1| < a+c,则 P 只能在一支上。 27、已知双曲线的一条准线方程为 x=2,其相应的焦点为 3 (8,0),离心率为 ,求双曲线的方程。 2 错解:由 a2 = 2, c = 8, 得 : a 2 = 16,∴ b 2 = 48 ,于是可求得双曲线的方程为 c

x2 y2 ? = 1。 16 48 点评:看起来问题已经解决,然而离心率这个条件似乎多余,而根据求得的方程又得不到离心 3 率为2 。错误是显然的,那么问题在哪里呢?其实问题就在于此方程并不是标准方程,而 我们把它当作了标准方程。正确的做法是利用双曲线的第二定义来求出方程(下略) 。由 此看来,判断准方程的类型是个关键。
28、过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y 2 = 4 x 仅有一个公共点,这样的直线有 A.1 条 B.2 条 C. 3 条 D. 0 条

? y 2 = 4x 2 错解:设直线的方程为 y = kx + 1 ,联立 ? ,得 (kx + 1) = 4 x , ? y = kx + 1
即: k 2 x 2 + (2k ? 4) x + 1 = 0 ,再由Δ=0,得 k=1,得答案 A. 剖析:本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将斜率 k=0 的 情形丢掉了,故本题应有三解,即直线有三条。 小结:直线与抛物线只有一解时,并不一定相切,当直线与抛物线的对称轴平行时,也只有一 解。
29、已知曲线 C: y =

20 ? x 2 与直线 L: y = ? x + m 仅有一个公共点,求 m 的范围。 2
? y = ?x + m 20 ? x 2 可化为 x 2 + 4 y 2 = 20 (1) ,联立 ? 2 ,得: 2 x + 4 y 2 = 20 ?

错解:曲线 C: y =

43

5 x 2 ? 8mx + 4m 2 ? 20 = 0 ,由Δ=0,得 m = ±5 。

y

分析:方程(1)与原方程并不等价,应加上

y ∈ [0,+∞ ) 。
故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分。 (如 图) ,结合图形易求得 m 的范围为 m = 5或 ? 2 5 < m < 2 5 。 解题回顾:在将方程变形时应时时注意范围的变化,这样才不会出错。 3 30、设双曲线的渐近线为: y = ± x ,求其离心率。 2
o

x

3 b 3 c b2 13 错解:由双曲线的渐近线为: y = ± x ,可得: = ,从而 e = = 1 + 2 = 2 a 2 a 2 a 3 剖析:由双曲线的渐近线为 y = ± x 是不能确定焦点的位置在 x 轴上的,当焦点的位置在 y 2 b 2 c b2 13 13 轴上时, = ,故本题应有两解,即: e = = 1 + 2 = 或 。 a 3 a 2 3 a

31、已知双曲线 x 2 ?

y2 = 1 ,过 P(1,1)能否作一条直线 L 与双曲线交于 A、B 两点,且 P 为 AB 2

中点。 错解: 1)过点 P 且与 x 轴垂直的直线显然不符合要求。 (
y2 (2)设过 P 的直线方程为 y ? 1 = k ( x ? 1) ,代入 x ? = 1 并整理得: 2
2

(2 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) 2 ? 2 = 0 2k (1 ? k ) 2k (1 ? k ) ,又∵ x1 + x 2 = 2 ∴ =2 2 2?k 2?k2 解之得:k=2,故直线方程为:y=2x-1,即直线是存在的。 剖析:本题的问题在于没有考虑隐含条件“Δ>0” ,当 k=2 时代入方程可知Δ<0,故这样的 直线不存在。 解题反思:使用一元二次方程的根与系数的关系必需要注意检验根的判别式 ? ≥ 0 是否成立。

∴ x1 + x 2 =

32、直线 L: y = k ( x ? 5) 与圆 O: x 2 + y 2 = 16 相交于 A、B 两点,当 k 变动时,弦 AB 的中点 M 的轨迹方程。 错解:易知直线恒过定点 P(5,0) ,再由 OM ⊥ AP ,得:
OP = OM
2 2

+ MP

2

∴ x 2 + y 2 + ( x ? 5) 2 + y 2 = 25 ,整理得:
5? 25 ? 2 ?x? ? + y = 2? 4 ?
2

剖析:求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点 M 应在圆内,故易求得轨迹
44

为圆内的部分,此时 0 ≤ x <

16 。 5

33、设点 P(x,y)在椭圆 4 x 2 + y 2 = 4 上,求 x + y 的最大、最小值。 错解:因 4 x 2 + y 2 = 4 ∴ 4 x 2 ≤ 4 ,得: ? 1 ≤ x ≤ 1 ,同理得: ? 2 ≤ y ≤ 2 , 故?3 ≤ x + y ≤ 3 ∴最大、最小值分别为 3,-3.

剖析:本题中 x、y 除了分别满足以上条件外,还受制约条件 4 x 2 + y 2 = 4 的约束。当 x=1 时,y 此时取不到最大值 2,故 x+y 的最大值不为 3。其实本题只需令 x = cos θ , y = 2 sin θ ,则
x + y = cos θ + 2 sin θ = 5 sin(θ + ψ ) ,故其最大值为 5 ,最小值为 ? 5 。

45


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