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选修2-3课件2.3.1离散型随机变量的均值


2.3.1离散型随机变量的均值

一、引入 甲、乙两人射击的概率分布表为:
X(环数) P(概率) 8 0.4 9 0.5 10 0.1

y(环数) P(概率)

8 0.5

9 0.2

10 0.3

如何比较两人的射击水平呢?

一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列 X

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · · · · ·

P

p1

p2

pi

2、离散型随机变量分布列的性质:

(1)pi≥0,i=1,2,…; (2)p1+p2+…+pi+…=1.

复习引入
对于离散型随机变量,可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中, 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如,要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平, 很重要的是看平均分;要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征,最常用的有期望与方差.

二、互动探索
1、某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1, 1,2,2,2,3,3,4;则所得的平均环数是 多少?

1?1?1?1? 2? 2? 2? 3? 3? 4 X? ?2 10
权数
X P 1
4 10

把环数看成随机变量的概率分布列:
2
3 10

3
2 10

4
1 10

4 3 2 1 X ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2 10 10 10 10

加 权 平 均

一、离散型随机变量取值的平均值

数学期望
xn

一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:

X
P
则称

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · ·

p1

p2

pi

· pn · ·

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。

X
P

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · ·

xn

p1

p2

pi

· pn · ·

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
思考:
设Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是 随机变量. (1) Y的分布列是什么? (2) EY=?

X P

x1

p1

p2

x2

· · · · · ·

pi

xi

· · xn · · pn · ·

x2 x1 X Y ax1 ? b ax2 ? b p1 p2 P

· · xi · · xn · · · axi ? b · axn ? b · · · · · · pi · · · pn ·

EY ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? ?? (axn ? b) pn ? a( x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xn pn ) ? b( p1 ? p2 ? ?? pn )

XE a ?

?b

一、离散型随机变量取值的平均值

数学期望
xn

X
P

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · ·

p1

p2

pi

· pn · ·

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
二、数学期望的性质

E (aX ? X)E a b ?

?b

三、基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
ξ 1 3 5

P

0.5

0.3

0.2

(1)则Eξ=

2.4

. 5.8 .

(2)若η=2ξ+1,则Eη=

2、随机变量ξ的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a 9 b 10 0.2

Eξ=7.5,则a=

0.1 b=

0.4 .

四、例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,则他罚球1次的得分X的均值是多少? 小结:
一般地,如果随机变量X服从两点分布,
X 1 0

P

p

1-p



EX ? 1 ? p ? 0 ? (1 ? p) ? p

例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,他连续罚球3次; (1)求他得到的分数X的分布列; (2)求X的期望。
解:(1) X~B(3,0.7)
X P 0 1
3

2
2

3

0.3

C 0.7 ? 0.3
1 3

C 0.7 ? 0.3
2 3 2

0.7

3

1 2 (2) EX ? 0 ? 0.33 ? 1? C3 0.7 ? 0.32 ? 2 ? C3 0.72 ? 0.3 ? 3 ? 0.73

EX ? 2.1 ? 3? 0.7

小结: 一般地,如果随机变量X服从二项分布,

即X~B(n,p),则

EX ? np

基础训练: 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球 次数的数学期望是

3

.

五、巩固应用
1.一次英语单元测验由20个选择题构成,每 个选择题有4个选项,其中有且只有一个选 项是正确答案,每题选择正确答案得5分, 不作出选择或选错不得分,满分100分,学 生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在 测验中对每题都从4个选项中随机地选择一 个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的 成绩的期望。

2. 决策问题:

根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25, 有大洪水的概率为0.01,该地区某工地上有一台大型 设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时 要损失10000元。为保护设备,有以下种方案:
方案1:运走设备,搬运费为3800元。 方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能

挡住小洪水。
方案3:不采取措施,希望不发生洪水。

试比较哪一种方案好。

3.某商场的促销决策: 统计资料表明,每年国庆节商场内促销活 动可获利2万元;商场外促销活动如不遇下雨 可获利10万元;如遇下雨则损失4万元。9月 30日气象预报国庆节下雨的概率为40%,商 场应选择哪种促销方式?

4.(07全国)某商场经销某商品,根据以往资料统 计,顾客采用的分起付款期数 ? 的分布列为:

?
P

1 0.4

2 0.2

3 0.2

4 0.1

5 0.1

商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200 元,分2期或3期付款,其利润为250元,分4期或5 期付款,其利润为300元, ? 表示经销一件该商品的 利润。

(1)求事件A:”购买该商品的3位顾客中,至少有 一位采用1期付款” 的概率P(A);
(2)求 ? 的分布列及期望E ? 。

练习:
1、若保险公司的赔偿金为a(a>1000)元,为使保险 公司收益的期望值不低于a的百分之七,则保险公司应 将最大赔偿金定为多少元?

?
P

1000 0.97

1000-a 0.03

E ? = 1000-0.03a≥0.07a
得a≤10000 故最大定为10000元。

2、射手用手枪进行射击,击中目标就停止,否则继续射 击,他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击 次数的期望。(保留三个有效数字)

?
p

1 0.7
E? =1.43

2

3

4

5 0.34

0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7

六、课堂小结
一、离散型随机变量取值的平均值

数学期望
xn

X
P

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · ·

p1

p2

pi

· pn · ·

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
二、数学期望的性质

E (aX ? X)E a b ?

?b

三、如果随机变量X服从两点分布,
X 1 0

P

p

1-p



EX ? p

四、如果随机变量X服从二项分布,即 X~B(n,p),则

EX ? np

证明:若ξ~B(n,p),则Eξ=np
证明: ? P(ξ ? k) ? C p q
k n k n ?k

(k ? 0,1,2,? ?, n) ?

? Eξ ? 0 ? C 0 p 0 q n ? 1? C1 p1q n ?1 ? ? ? ? ? n n kCk p k q n ?k ? ? ? ? ? nC n p n q 0 n n

? np(C0 ?1p 0 q n ?1 ? C1 ?1p1q n ?2 ? ? ? ? ? n n C
k ?1 k ?1 ( n?1)?( k?1) n ?1

p q

? ??? ? C

n ?1 n ?1

p

n ?1 0

q )

? np( p ? q)
所以

n ?1

? np.

若ξ~B(n,p),则Eξ=np.


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