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第一章 1.1.4


第1章 立体几何初步
§1.1 空间几何体
1.1.4 直观图画法

本节知识目录

1.1.4

明目标、知重点

直 观 图 画 法

填要点、记疑点 探究点一 水平放置的平面图形的画法 探要点、究所然 探究点二 空间几何体的直观图的画法 当堂测、查疑缺<

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1.了解斜二测画法的作图规则; 2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.

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1.画平面图形直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相 垂直 的 x 轴和 y 轴,两轴相交于点 O.画直观图时, 把它们画成对应的 x′轴与 y′轴,两轴交于点 O′,且使∠x′O′y′= 45° (或 135° ),它们确定的平面表示水平面. (2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段, 在直观图中分别画成 平行 于 x′轴 或 y′轴的线段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度 不变 轴的线段,长度为原来的 一半 .
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,平行于 y

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2.立体图形的直观图的画法 画立体图形的直观图,在画轴时,要多画一条与平面 x′O′y′垂直的轴 O′z′.且平行于 O′z 的线段长度 不变 .其他同平面图形的画法.

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[情境导学] 空间几何体除了用三视图表示外, 更多的是用直观图来表示. 空间图形能否在 平面中画出来, 使得既富有立感, 又能表达出图形各主要部分的位置关系和度 量关系呢?这就是空间几何体的直观图.本节我们就来研究这个问题.

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探究点一 :水平放置的平面图形的画法
问题 用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图, 要画空间几何体 的直观图,先要学会水平放置的平面图形的画法. 思考 1 把一个矩形水平放置,从适当的角度观察,给人以平行四边形的
感觉,如图.比较两图,其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生 了变化?哪些没有发生变化?

答 由矩形到平行四边形长没变,宽变小,直角变成了锐角或钝角.

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探究点一 :水平放置的平面图形的画法
思考 2 把一个直角梯形水平放置得其直观图如下,比较两图,其中哪些 线段之间的位置关系、数量关系发生了变化?哪些没有发生变化?



发生变化的是高变为原来的一半,直角变成了 45° 角,相应的腰也发

生了变化.

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探究点一 :水平放置的平面图形的画法
思考 3 阅读教材 15 页中的例 1, 然后自主作出水平放置的正六边形的直观图.
答 画法:(1)如图 1,在正六边形 ABCDEF 中,取 AD 所在直线为 x 轴, 对称轴 MN 所在直线为 y 轴,
两轴相交于点 O.在图 2 中,画相应的 x′和 y′轴,两轴相交于点 O′, 使∠x′O′y′=45° .

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探究点一 :水平放置的平面图形的画法
(2)在图 2 中,以 O′为中点,在 x′轴上取 A′D′=AD,在 y′轴上取 1 M′N′= MN. 2

以点 N′为中点,画 B′C′平行于 x′轴,并且等于 BC;
再以 M′为中点,画 E′F′平行于 x′轴,并且等于 EF.

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探究点一 :水平放置的平面图形的画法
(3)连结 A′B′,C′D′,D′E′,F′A′,并擦去辅助线 x′轴和 y′轴,
便获得正六边形 ABCDEF 水平放置的直观图 A′B′C′D′E′F′(图 3).

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小结

上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法,斜二测

画法的基本步骤和规则: (1)建坐标系,定水平面; (2)与坐标轴平行的线段保持平行; (3)水平线段等长,竖直线段减半.

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探究点一 :水平放置的平面图形的画法
思考 4 斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图,如果把一个圆 水平放置,看起来像什么图形?画出水平放置的圆的直观图.
答 看起来像椭圆.画法如图:

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探究点一 :水平放置的平面图形的画法
例 1 用斜二测画法画边长为 4 cm 的水平放置的正三角形的直观图.
解 (1)如图①所示,以 BC 边所在的直线为 x 轴,以 BC 边上的高线

AO 所在的直线为 y 轴.

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探究点一 :水平放置的平面图形的画法
(2)画对应的 x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45° .

1 在 x′轴上截取 O′B′=O′C′=2 cm,在 y′轴上截取 O′A′= OA, 2 连结 A′B′,A′C′,
则三角形 A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图,如图②所示.

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探究点一 :水平放置的平面图形的画法

反思与感悟 此类问题的解题步骤是:建系、定点、连线成图.要注意选 取恰当的坐标原点,能使整个作图变得简便.

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探究点一 :水平放置的平面图形的画法
跟踪训练 1 将例 1 中三角形放置成如图所示,则直观图与例 1 中的还一 样吗?

解 (1)如图①所示, 以 BC 边所在的直线为 y 轴, 以 BC 边上的高 AO 所在 的直线为 x 轴.

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探究点一 :水平放置的平面图形的画法
(2)画对应的 x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45° .
1 在 x′轴上截取 O′A′=OA,在 y′轴上截取 O′B′=O′C′= OC 2 =1 cm,连结 A′B′,A′C′,

则三角形 A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图,如图②所示.

显然与例 1 中的既不全等也不相似.
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探究点二 :空间几何体的直观图的画法
例 2 用斜二测画法画长、宽、高分别为 4 cm、3 cm、2 cm 的长方体 ABCD—A′B′C′D′的直观图.



(1)画轴.如下图,画 x 轴、y 轴、z 轴,三轴相交于点 O,使∠xOy=

45° ,∠xOz=90° .

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探究点二 :空间几何体的直观图的画法
(2)画底面.以点 O 为中点,在 x 轴上取线段 MN,使 MN=4 cm;在 y 轴 3 上取线段 PQ,使 PQ= cm.分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线,过点 P 和 2 Q 作 x 轴的平行线,设它们的交点分别为 A,B,C,D,四边形 ABCD 就 是长方体的底面 ABCD.
(3)画侧棱.过 A,B,C,D 各点分别作 z 轴的平行线,并在这些平行线上 分别截取 2 cm 长的线段 AA′,BB′,CC′,DD′.

(4)成图.顺次连结 A′,B′,C′,D′,并加以整理(去掉辅助线,将 被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.
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探究点二 :空间几何体的直观图的画法
反思与感悟 直观图中应遵循的基本原则: (1)用斜二测画法画空间图形的直观图时,图形中平行于 x 轴、y 轴、z 轴的 线段在直观图中应分别画成平行于 x′轴、y′轴、z′轴的线段; (2)平行于 x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变,平行于 y 轴的线段 1 长度变为原来的 . 2

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探究点二 :空间几何体的直观图的画法
跟踪训练 2 如图,是一个空间几何体的三视图,请用斜二测画法画出它 的直观图.

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探究点二 :空间几何体的直观图的画法
解 由几何体的三视图知道,这个几何体是一个简单组合体,它的下部是 一个圆柱,上部是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.我们 可以先画出下部的圆柱,再画出上部的圆锥.

画法:①画轴; ②画圆柱的下底面;
④画圆锥的顶点;

③画圆柱的上底面; ⑤成图.
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探究点二 :空间几何体的直观图的画法
例3 如图,一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形,

它的底角为 45° ,两腰和上底边长均为 1,求这个平面图形的面积.

2 2 解 根据斜二测画法,等腰梯形的高为 ,所以 AB=1+2× =1+ 2, 2 2 在平面图形中,AB 的长度不变,CD 的长为 1,AD 的长为 2,所以这个平 1 面图形的面积为 (1+1+ 2)×2=2+ 2. 2
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探究点二 :空间几何体的直观图的画法

反思与感悟

解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形

的直观图还原为原来的实际图形,其依据就是逆用斜二测画法,也就是使 平行于 x 轴的线段的长度不变, 而平行于 y 轴的线段长度变为原来的 2 倍.

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探究点二 :空间几何体的直观图的画法
跟踪训练 3 已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长为 a 的正三角 形,那么原△ABC 的面积为________.
解析 画△ABC 直观图如图(1)所示:

则 A′D′=

3 6 a ,又∠x′O′y′=45° a. , ∴ A ′ O ′ = 2 2

画△ABC 的实际图形
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探究点二 :空间几何体的直观图的画法
如图(2)所示,AO=2A′O′= 6 a,BC=B′C′=a,

1 6 2 ∴S△ABC= BC· AO= a . 2 2
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1.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为 4,则此 正方形的面积为________.

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1.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为 4,则此
16或64 . 正方形的面积为________

解析 等于 4 的一边在原图形中可能等于 4,也可能等于 8,所以正方形的 面积为 16 或 64.

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2 .利用斜二测画法画出边长为 3 cm 的正方形的直观图,正确的是图中的 ________.

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2 .利用斜二测画法画出边长为 3 cm 的正方形的直观图,正确的是图中的
③ ________ .

解析 正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为 2∶1.

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3.已知两个圆锥,底面重合在一起 (底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到 底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm,则其直观图中 这两个顶点之间的距离为________cm.

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3.已知两个圆锥,底面重合在一起 (底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到 底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm,则其直观图中
5 这两个顶点之间的距离为________cm.

解析 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为 2+3=5(cm), 在直观图中与 z 轴平行的线段长度不变,仍为 5 cm.

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4.如图所示,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其还原 成平面图形.

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4.如图所示,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其还原 成平面图形.



(1)画直角坐标系 xOy, 在 x 轴的正方向上取 OA=O′A′, 即 CA=C′A′;

(2)过 B′作 B′D′∥y′轴,交 x′轴于 D′,在 OA 上取 OD=O′D′,过 D 作 DB∥y 轴,且使 DB=2D′B′;
(3)连结 AB,BC,得△ABC. 则△ABC 即为△A′B′C′对应的平面图形,如图所示.
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1.1.4 呈重点、现规律

1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁,可根据它们之间的可逆关系寻 找它们的联系;在求直观图的面积时,可根据斜二测画法,画出直观图, 从而确定其高和底边等,而求原图形的面积可把直观图还原为原图形. 2.在用斜二测画法画直观图时,平行线段仍然平行,所画平行线段之比仍然 等于它的真实长度之比,但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.

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1.1.4

本课时内容结束

请完成课时作业

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