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上海各区2010年高考数学最新联考试题分类汇编(16)选修系列--选修4-4:坐标系与参数方程


上海市各地区 2010 年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 16 部分:选修系列(选修 4-4:坐标系与参数方程)
一、选择题: 16. (上海市嘉定黄浦 2010 年 4 月高考模拟理科)在极坐标系中,圆心坐标是 (a , ? ) (a ? 0) ,半径为 a 的圆的极坐标方程是…( A A. ? ? ?2a cos? ( )
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3? ) B. ? ? a cos? ( 0 ? ? ? ? ) . . 2 2 ? 3? C . ? ? ?2a sin ? ( ? ? ? ) D. ? ? a sin ? ( 0 ? ? ? ? ) . . 2 2 ?? ?

?

16. (上海市浦东新区 2010 年 4 月高考预测理科)在极坐标系中,与点 P (2 , 对 称的点的坐 标是 A. (?2 , ? 二、填空题: ( D B. (?2 , ) C. (2 , ?

?
3

) 关于极点 2? ) 3

?
3



4? ) 3

?
3



D. (2 , ?

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8. (上海市卢湾区 2010 年 4 月高考模拟考试理科)在极坐标系中,圆 ? ? 2sin ? 的圆心与 点 D ?1, ? ? 的距离为 . 2 10、 上海市长宁区 2010 年高三第二次模拟理科) ( 已知圆的极坐标方程为 ? ? cos? ? sin ? , 则该圆的面积为 _________

? 2
? x ? 4 cos ? , ? y ? 5sin ? ,

5. (上海市普 陀区 2010 年高三第二次模拟考试理科)已知椭圆的参数方程为 ?

(? ? R ) ,则该椭圆的焦距为 . 6 6 . ( 上 海 市 松 江 区 2010 年 4 月 高 考 模 拟 理 科 ) 在 极坐 标 系中 , 若直 线 l 的 方 程是

? ? sin(? ? ) ? 1 ,点 P 的坐标为 (2, ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离 d ?
6

▲ .2

11. (上海市徐汇区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科)在极坐标系中,若过点(3,0)且 与极轴垂直的直线交曲 线 ? ? 4cos? 于 A、B 两点,则 AB =______________________.

2 3
3. (上海市闸北区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科)在极坐标系中,点 P? 2,

? ?? ? 到圆 ? 3?

? ? 2 cos? 的圆心的距离是________. 3
7. (2010 年 4 月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟)[理科]在极坐标系中,圆

?=4 cos? ? 3 sin ? 的半径长是
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. 2.5

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三、 解答题 22. (上海市普陀区 2010 年高三第二次模拟考试理科)(本题满分 18 分,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 8 分) 定义变换 T : ?

?cos ? ? x ? sin ? ? y ? x?, 可把平面直角坐标系上的点 P( x, y) 变换到这一 ?sin ? ? x ? cos ? ? y ? y?,

平面上的点 P?( x?, y?) .特别地,若曲线 M 上一点 P 经变换公式 T 变换后得到的点 P? 与点

P 重合,则称点 P 是曲线 M 在变换 T 下的不动点 .
(1)若椭圆 C 的中心为坐标原点,焦点在 x 轴上,且焦距为 2 2 ,长轴顶点和短轴顶点间 的距离为 2. 求该椭圆 C 的标准方程. 并求出当 ? ? arctan 换公式 T 变换后得到的点 F1? 和 F2? 的坐标; (2) 当 ? ? arctan

3 时,其两个焦点 F 、 F2 经变 1 4

3 时,求(1)中的椭圆 C 在变换 T 下的所有不动点的坐标; 4

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(3)试探究:中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换

T :?

?cos ? ? x ? sin ? ? y ? x?, k? (? ? , k ? Z )下的不动点的存在情况和个数. 2 ?sin ? ? x ? cos ? ? y ? y?,

[来源:Z&xx&k.Com][来源:学科网 ZXXK]

22.(理)解: (1)设椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) ,由椭圆定义知焦距 a 2 b2
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2c ? 2 2 ? c ? 2 ,即 a2 ? b2 ? 2 …①.
2 2

又由条件得 a ? b ? 4 …②,故由①、②可解得 a ? 3 , b ? 1 .
2
2

x2 ? y 2 ? 1. 即椭圆 C 的标准方程为 3
且椭圆 C 两个焦点的坐标分别为 F1 ? 2, 0 和 F1

?

?

?

2, 0 .

?

3 ?4 ? 5 x ? 5 y ? x?, cos ? ? x ? sin ? ? y ? x?, ? 3 ? 对于变换 T : ? ,当 ? ? arctan 时,可得 ? 4 ?sin ? ? x ? cos ? ? y ? y? ? 3 x ? 4 y ? y?, ?5 5 ?
设 F1? ? x1 , y1 ? 和 F2? ? x2 , y2 ? 分别是由 F1 ? 2, 0 和 F1

?

?

?

2, 0 的坐标由变换公式 T 变

?

? 4 3 4 2 , ? x1 ? ? (? 2) ? ? 0 ? ? ? 5 5 5 ,即 F ? 的坐标为 ? ? 4 2 , ? 3 2 ? ; 换得到.于是, ? ? ? 1 ? 5 5 ? ? ? ? y ? 3 ? (? 2) ? 4 ? 0 ? ? 3 2 ? 1 5 5 5 ? ? 4 3 4 2 , ? x2 ? ? 2 ? ? 0 ? ? 5 5 5 即 F ? 的坐标为 ? 4 2 , 3 2 ? . 又? ? ? 2 ? 5 5 ? ? ? ?y ? 3 ? 2 ? 4 ?0 ? 3 2 ? 2 5 5 5 ?
(2) P( x, y) 是椭圆 C 在变换 T 下的不动点, 设 则当 ? ? arctan

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3 时, [来源 :Z§xx§k.Com] 4

3 ?4 ?5 x ? 5 y ? x (3 y ) 2 ? ? y2 ? 1 有? ? x ? 3 y ,由点 P( x, y) ? C ,即 P(3 y, y) ? C ,得: 3 ?3 x ? 4 y ? y ?5 5 ?
1 ? ?y ? ? ?3 1? ? 3 1? ?? 2 , 因而椭圆 C 的不动点共有两个,分别为 ? , ? 和 ? ? , ? ? . ?2 2? ? 2 2? ?x ? 3y ?
(3) 设 P( x, y) 是双曲线在变换 T 下的不动点,则由
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

?sin ? ? y ? ?1 ? cos ? ? ? x, ?cos ? ? x ? sin ? ? y ? x, ? ?? ? ?sin ? ? x ? cos ? ? y ? y, ?sin ? ? x ? ?1 ? cos ? ? ? y, ?
因为 ? ?

k? y 1 ? cos ? sin ? ? ? ? tan . , k ? Z ,故 ? 2 x sin ? 1 ? cos ? 2

? x2 y 2 ? ? 1 ( mn ? 0 ) 不妨设双曲线方程为 ,由 y ? tan x 代入得 2 m n

? ? ? ? n ? m tan 2 ? tan ? x ? 2 x ? 2 ? 2 x2 ? 1, ? ?1? 则有 m n mn
2

因为 mn ? 0 ,故当 n ? m tan 当 n ? m tan
2

2

?
2

? 0 时, 方程

n ? m tan 2 mn

?
2 x 2 ? 1 无解;
[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]

?
2

? 0 时,要使不动点存在,则需 x 2 ?
2?

mn n ? m tan 2

?
2

? 0,

因为 mn ? 0 ,故当 n ? m tan 不存 在不动点.

2

? 0 时,双曲线 在变换 T 下一定有 2 个不动点,否则

进一步分类可知: (i)当 n ? 0 , m ? 0 时,即双曲线的焦点在 x 轴上时,

? n ? m tan 2

?

2

? 0 ? tan 2

?

2

??

n ; m

此时双曲线在变换 T 下一定有 2 个不动点; (ii)当 n ? 0 , m ? 0 时,即双曲线的焦点在 y 轴上时,

? n ? m tan 2

?
2

? 0 ? tan 2

?
2

??

n ? 0. m

此时双曲线在变换 T 下 一定有 2 个不动点. 23. (上海市普陀区 2010 年高三第二次模拟考试文科)(本题满分 18 分,其中第 1 小题 6 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 8 分)

3 ?4 ? 5 x ? 5 y ? x?, ? 现有变换公式 T :? 可把平面直角坐标系上的一点 P( x, y) 变换到这一平 ? 3 x ? 4 y ? y?, ?5 5 ?
面上的一点 P?( x?, y?) . (1)若椭圆 C 的中心为坐标原点,焦点在 x 轴上,且焦距为 2 2 ,长轴顶点和短轴顶点间 的距离为 2. 求该椭 圆 C 的标准方程,并求出其两个焦点 F 、 F2 经变换公式 T 变换后得到 1 的点 F1? 和 F2? 的坐标; (2) 若曲线 M 上一点 P 经变换公式 T 变换后得到的点 P? 与点 P 重合,则称点 P 是曲线 M 在变换 T 下的不动点. 求(1)中的椭圆 C 在变换 T 下的所有不动点的坐标; (3) 在(2)的基础上,试探究:中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的椭圆和双曲线在变 换 T 下的不动点的存在情况和个数. 23. (文) 解: (2)基本同理 22 题(略) (1)
[来源:Z#xx#k.Com]

(3)由(2)可知,曲线 M 在变换 T 下的不动点 P( x, y) 需满足 x ? 3 y .

情形一:据题意,不妨设椭 圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0, n ? 0 ) , m n

则有

(3 y )2 y 2 9n ? m 2 ? ?1? y ?1. m n mn
2

[来源:学_科_网]

因为 m ? 0, n ? 0 ,所以 y ? 存在,且一定有 2 个不动点.

mn ? 0 恒成立,因此椭圆在变换 T 下的不动点必定 9n ? m

情形二:设双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 ( mn ? 0 ) , m n

则有

(3 y )2 y 2 9n ? m 2 ? ?1? y ?1, m n mn
9n ? m 2 y ? 1 无解;[来源:学。科。网 Z。X。 mn
2

因为 mn ? 0 ,故当 9n ? m ? 0 时,方程 X。K]

当 9n ? m ? 0 时,故要使不动点存在,则需 y ? 因此,当且仅当 ?

mn ? 0, 9n ? m

? mn ? 0, 时,双曲线在变换 T 下一定有 2 个不动点.否则不存在不动点. ?9n ? m ? 0
[来源:Z#xx#k.Com]

进一步分类可知,

m m ? ?1 ? 9n ? m ? 0 ? 9 ? ? . 9n ? m n m 即双曲线的焦点在 x 轴上时,需满足 0 ? ? ? 9 时,双曲线在变换 T 下一定有 2 个不 n
(i) 当 n ? 0 , m ? 0 时, ? 动点.否则不存在不动点.

mn m ? 0 ? 9n ? m ? 0 ? ? ? 9 . 9n ? m n m 即双曲线的焦点在 y 轴上时,需满足 ? ? 9 时,双曲线在变换 T 下一定有 2 个不动点.否 n
(ii) 当 n ? 0 , m ? 0 时, ? 则不存在不动点.


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