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2.1.2椭圆的简单几何性质


直线与椭圆的位置关系

回忆:直线与圆的位置关系
1.位置关系:相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0?直线与圆相交?有两个公共点; (2)△=0 ?直线与圆相切?有且只有一个公共点; (3)△<0 ?直线与圆相离?无公共点.

通法

直线与椭圆的位置关系

种类: 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)

直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
? Ax ? By ? C ? 0 ? 2 由方程组 ? x y2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

? mx 2 ? nx ? p ? 0(m ? 0)

△=n2 ? 4mp

△? 0

方程组有两解 方程组有一解 方程组无解

两个交点 一个交点 无交点

相交 相切 相离

△=0 △? 0

题型一:直线与椭圆的位置关系 例1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两 个公共点?有一个公共点?没有公共点?

6 当k = ? 时有一个交点 3 6 6 当k> 或k<时有两个交点 3 3 6 6 当? k< 时没有交点 3 3

1 练习:已知直线y=x与椭圆x2+4y2=2 ,判断 2 它们的位置关系。
解:联立方程组

1 y? x? 2

消去y

----5 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 (1)

x2+4y2=2

?>0,所以直线和椭圆相交 x2 y2 练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 9 ? 4 ? 1 交点情况满足( D) A.没有公共点 C.两个公共点 B.一个公共点 D.有公共点

练习:已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ,判断它们的位置关系。
2

解:联立方程组
1 y? x? 2

消去y

x2+4y2=2

5 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ----- (1)

?>0,所以直线和椭圆相交

思考:当直线和椭圆相交时,如何求相交弦长

知识点2:弦长公式

可推广到任意二次曲线

设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,直线P1P2的斜率为k.

弦长公式:

当直线斜率不存在时,则 AB ? y1 ? y2 .

1 | AB |? 1 ? k | xA ? xB |? 1 ? 2 | y A ? yB | k
2

题型二:弦长公式 例1:已知斜率为1的直线L过椭圆 的 右焦点,交椭圆于A,B两点,求弦AB之长.
解 :由椭圆方程知 : a ? 4, b ? 1, c ? 3.
2 2 2

右焦点F ( 3,0). 直线l方程为: y ? x ? 3.
?y ? x ? 3 ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? ?4

消y得: 2 ? 8 3x ? 8 ? 0 5x
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

8 3 8 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 5 5
? AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? k
2 2

8 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 5
2

题型三:中点弦问题
例 3 已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.

点 作差

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造 出中点坐标和斜率.

知识点3:中点弦问题
点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作 差构造出中点坐标和斜率.

设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ), 则有:x0 ? x1 ? x2 , 2 y0 ? y1 ? y2 2 y1 ? y2 又k AB ? x1 ? x2 ? A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )在椭圆上, 2 2 x2 2 y2 2 x1 y1 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 a b a2 b
两式相减得:

b2 ( x12 ? x22 ) ? a2 ( y12 ? y12 ) ? 0

由b ( x ? x2 ) ? a ( y ? y ) ? 0
2 2 1 2 2 2 1 2 1

y ?y b2 即 ?? 2 x ?x a
2 1 2 1 2 1 2 2

? k AB

y1 ? y1 b2 x1 ? x2 b2 x0 ? ?? 2 x1 ? x2 a y1 ? y1 ? ? a 2 y 0

直线和椭圆相交有关弦的中点问题,常用设而不求的 思想方法.

练习:

x2 y2 ? ?1 1、如果椭圆被 36 9 的弦被(4,2)平分,那

么这弦所在直线方程为(
A、x-2y=0

D


D、x+2y-8=0

B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0

x 2 y 2 恰有公共点,则m的范围 2、y=kx+1与椭圆 ? ?1 5 m (C )
A、(0,1) C、[ 1,5)∪(5,+ ∞ ) B、(0,5 ) D、(1,+ ∞ )

3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线,

16 则弦长 |AB|= _______ , 5

练习: 已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.

(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
椭圆的弦所在的直线方程.

x y 直线l:y ? x ? 2 解 : (1)椭圆 ? ? 1 F (2, 0) 9 5 2 得: x ? 36 x ? 9 ? 0 14 ?y ? x ? 2 由? 2 18 9 2 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ?5 x ? 9 y ? 45 7 14 6 11 2 2 ?弦长 ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 7

2

2

小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法; 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 相交

2、弦长的计算方法:

弦长公式: 2 1 ? k 2 · x1 ? x2) ? 4 x1 x2 ( |AB|=
1 1 ? 2 · y1 ? y2) 4 y1 y2 ( ? k

= (适用于任何曲线) 3、弦中点问题的两种处理方法: (1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; (2)设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率。


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