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高中数学选修2-3期末复习题【二】(教师版)


高中数学选修 2-3 期末复习试卷(二)
一、选择题 1.已知 a ???1 2, ,b ??0 1 3 4 ,R ??1 2 ,则方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 所表示的不同的 , 3? ,, , ? , ? 圆的个数有( ) A.3×4×2=24 B.3×4+2=14 C.(3+4)×2=14 D.3+4+2=9 答案:A 2.乒乓球运动

员 10 人,其中男女运动员各 5 人,从这 10 名运动员中选出 4 人进行男女混 合双打比赛,选法种数为( ) A. ( A52 )2 答案:D 3. (1 ? x)3 ? (1 ? x)4 ? ? ? (1 ? x)n? 2 的展开式中 x2 的系数是(
3 A. Cn?3 3 B. Cn?2 3 C. Cn ? 2 ? 1

B. (C52 )2

C. (C52 )2 A4 · 2

D. (C52 )2 A2 · 2



3 D. Cn ?3 ? 1

答案:D 4.从标有 1,2,3,?,9 的 9 张纸片中任取 2 张,数字之积为偶数的概率为( ) A.12 B.718 C.1318 D.1118 答案:C 5.在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球(各不相同) ,不放回地依次摸出 2 个球,在第一次 摸出红球的条件下,第 2 次也摸到红球的概率为( ) A.35 B.25 C.110 D.59 答案:D 6.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占 70%,乙厂产品占 30%,甲厂产品的合格率是 95%,乙 厂产品的合格率是 80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( ) A.0.665 B.0.56 C.0.24 D.0.285 答案:A 7. 正态总体的概率密度函数为 f ( x) ?
1 8π e
? x2 ( x?R ) 8

, 则总体的平均数和标准差分别为 (



A.0,8 B.0,4 C.0,2 D.0,2 答案:D ,, 3) 4) 5) 8.在一次试验中,测得 ( x,y) 的四组值分别是 A(1 2) B(2,,C (3,,D(4, ,则 y 与 x 之 间的回归直线方程为( A. ? ? x ? 1 y ) C. ? ? 2 x ? 1 y D. ? ? x ? 1 y B. ? ? x ? 2 y

答案:A 9.用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两 个奇数数字之间的五位数的个数是( ) A.48 B.36 C.28 D.20 答案:C 10.求 (1 ? x)2 (1 ? x)5 的展开式中 x 3 的系数.
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A.4 B.5 C.6 D.7 解:解法一:先变形,再部分展开,确定系数.
(1 ? x)2 (1 ? x)5 ? (1 ? x2 )2 (1 ? x)3 ? (1 ? 2 x2 ? x4 )(1 ? 3x ? 3x2 ? x3 ) .

所以 x 3 是由第一个括号内的 1 与第二括号内的 ? x 3 的相乘和第一个括号内的 ?2x 2 与第二个 括号内的 ? 3x 相乘后再相加而得到,故 x 3 的系数为 1 ? (?1) ? (?2) ? (?3) ? 5 .
r 解法二:利用通项公式,因 (1 ? x)2 的通项公式为 Tr ?1 ? C2· x r ,

1 , 1 3, 5? , (1 ? x)5 的通项公式为 Tk ?1 ? (?1)k C5k· xk ,其中 r ??0,2?,k ??0,2,4, ,令 k ? r ? 3 ,
, ?k ? 2, ?k ? 3, ?k ? 1 1 1 3 则? 或? 或? 故 x 3 的系数为 ?C5 ? C2 C52 ? C5 ? 5 . · , ?r ? 0. ?r ? 2, ?r ? 1

11.春节期间,国人发短信拜年已成为一种时尚,若小李的 40 名同事中,给其发短信拜年 的概率为 1,0.8,0.5,0 的人数分别为 8,15,14,3(人) ,则通常情况下,小李应收到 同事的拜年短信数为( ) A.27 B.37 C.38 D.8 答案:A 12.设 ξ 是离散型随机变量,P(ξ=a)= 则 a+b 的值为( A. ) B.

2 4 2 1 ,P(ξ=b)= ,且 a<b,又 Eξ= ,Dξ= , 3 3 3 9

5 3

7 3

C.3

D.

11 3

答案:C 二、填空题 13.某仪表显示屏上一排有 7 个小孔,每个小孔可显示出 0 或 1,若每次显示其中三个孔, 但相邻的两孔不能同时显示,则这显示屏可以显示的不同信号的种数有 种. 答案:80 14.空间有 6 个点,其中任何三点不共线,任何四点不共面,以其中的四点为顶点共可作出 个四面体,经过其中每两点的直线中,有 对异面直线. 答案:15 15.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 4 次,且各次射击是否击中目标 相互之间没有影响,有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9; ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.93×0.1; ③他至少击中目标 1 次的概率是 1 ? (0.1)4 . 其中正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号) . 答案:①③ 16.两名狙击手在一次射击比赛中,狙击手甲得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.4,0.1, 0.5;狙击手乙得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.1,0.6,0.3,那么两名狙击手获胜希望 大的是 .

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答案:乙
x 3x 17.已知 C10 = C10 -2 ,则 x ? __________.

答案:1 或 3 18.以正方体的顶点为顶点,能作出的三棱锥的个数是__________. 答案:58 19.从 1,2,3,?,9 九个数字中选出三个不同的数字 a,b,c,且 a<b<c,作抛物线 y=ax2+bx+c,则不同的抛物线共有 条(用数字作答). 答案:84 20.有 4 台设备,每台正常工作的概率均为 0.9,则 4 台中至少有 3 台能正常工作的概率 为 . (用小数作答) 答案:0.9477 21.已知 ? ~N (4, ? 2 ) ,且 P(2 ? ? ? 6) ? 0.6826 ,则 ? = 答案:2;0.8390 22.若 p 为非负实数,随机变量ξ 的分布为 ξ P 则 Eξ 的最大值为 答案: 0 1 2 , P( ? ? 2 ? 4) = .

1 -p p 2

1 2


,Dξ 的最大值为

3 ;1 2

三、解答题 23.有 4 个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)共有多少种放法?(2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法? (3)恰有一个盒内放 2 个球,有多少种放法?(4)恰有两个盒不放球,有多少种放法? 解: (1)一个球一个球地放到盒子里去,每只球都可有 4 种独立的放法,由分步乘法计数原 理,放法共有: 44 ? 256 种. (2)为保证“恰有一个盒子不放球” ,先从四个盒子中任意拿出去 1 个,即将 4 个球分成 2,
2 1,1 的三组,有 C4 种分法;然后再从三个盒子中选一个放两个球,其余两个球,两个盒子,

1 全排列即可.由分步乘法计数原理,共有放法: C4 C4· C3 A2 ? 144 种. · 2 1 2 ·

(3) “恰有一个盒内放 2 个球” ,即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此, “恰有一个盒内放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有 144 种放法.
2 (4)先从四个盒子中任意拿走两个有 C4 种,问题转化为: “4 个球,两个盒子,每盒必放

球,有几种放法?”从放球数目看,可分为(3,1)(2,2)两类.第一类:可从 4 个球中 ,
3 1 2 先选 3 个,然后放入指定的一个盒子中即可,有 C4· C2 种放法;第二类:有 C4 种放法.因此

3 1 3 C2 共有 C4· C2 ? C4 ? 14 种.由分步乘法计数原理得 “恰有两个盒子不放球” 的放法有: 4· 14 ? 84

24.已知 An ? 56Cn ,且(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+??+anxn.
5 7

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(Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)求 a1+a2+a3+??+an 的值. 解: (Ⅰ)由 A5 ? 56C7 得: n n n(n-1) (n-2) (n-3) (n-4)=56 ·

n(n ? 1)( n ? 2)( n ? 3)( n ? 4)( n ? 5)( n ? 6) 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1

即(n-5) (n-6)=90 解之得:n=15 或 n=-4(舍去) .∴ n=15. (Ⅱ)当 n=15 时,由已知有: (1-2x)15=a0+a1x+a2x2+a3x3+??+a15x15, 令 x=1 得:a0+a1+a2+a3+??+a15 =-1,令 x=0 得:a0=1,∴a1+a2+a3+??+a15=-2. 25.为了调查胃病是否与生活规律有关,某地 540 名 40 岁以上的人的调查结果如下: 患胃病 生活不规律 生活有规律 合计 60 20 80 未患胃病 260 200 460 合计 320 220 540

根据以上数据比较这两种情况,40 岁以上的人患胃病与生活规律有关吗?

540 ? (60 ? 200 ? 260 ? 20)2 540 ? (12000 ? 5200)2 2496960 ? ? ? 9.638 . 320 ? 220 ? 80 ? 460 2590720000 259072 ∵ 9.638 ? 7.879 ,∴我们有 99.5%的把握认为 40 岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关, 即生活不规律的人易患胃病. 26.一个医生已知某种病患者的痊愈率为 25%,为实验一种新药是否有效,把它给 10 个病 人服用,且规定若 10 个病人中至少有 4 个被治好,则认为这种药有效;反之,则认为无效, 试求: (1)虽新药有效,且把痊愈率提高到 35%,但通过实验被否认的概率; (2)新药完全无效,但通过实验被认为有效的概率. 解:记一个病人服用该药痊愈率为事件 A,且其概率为 p,那么 10 个病人服用该药相当于 10 次独立重复实验. (1) 因新药有效且 p=0.35, 故由 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率公式知, 实验被 否定(即新药无效)的概率为:
解:由公式得 k ?
0 1 2 3 P (0) ? P (1) ? P (2) ? P (3) ? C10 p0 (1 ? p)10 ? C10 p1 (1 ? p)9 ? C10 p2 (1 ? p) x ? C10 p3 (1 ? p)7 ? 0.514 10 10 10 10

(2)因新药无效,故 p=0.25,实验被认为有效的概率为: P (4) ? P (5) ? ? ? P (10) ? 1 ? ( P (0) ? P (1) ? P (2) ? P (3)) ? 0.224 . 10 10 10 10 10 10 10 即新药有效,但被否定的概率约为 0.514;新药无效,但被认为有效的概率约为 0.224. 27. A,B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员, A 队队员是 A1,A2,A3 , B 队队 员是 B1,B2,B3 ,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下: 对阵队员
A1 对 B1 A2 对 B2 A3 对 B3

A 队队员胜的概率 2 3
2 5
2 5

A 队队员负的概率 1 3
3 5
3 5

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队,B 队最后所得总分分别为 ?,? .(1)求 ?,? 的概率分布列;(2)求 E? , E? .
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解: (1) ?,? 的可能取值分别为 3,2,1,0.

2 2 2 8 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 ; P(? ? 3) ? ? ? ? ; P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 75 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 3 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; P(? ? 0) ? ? ? ? . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 3 5 5 25
由题意知 ? ? ? ? 3 ,所以 P(? ? 0) ? P(? ? 3) ?

8 28 ; P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ; 75 75

P(? ? 2) ? P(? ? 1) ?
(2) E? ? 3 ?

2 3 ; P(? ? 3) ? P(? ? 0) ? . 5 25

8 28 2 3 22 23 ,因为 ? ? ? ? 3 ,所以 E? ? 3 ? E? ? . ? 2 ? ? 1? ? 0 ? ? 75 75 5 25 15 15

m 0 m 28.规定 Ax ? x( x ? 1)?( x ? m ? 1) ,其中 x ? R ,m 为正整数,且 Ax ? 1 ,这是排列数 An (n,

m 是正整数,且 m≤n)的一种推广.
3 m m m m m (1)求 A?15 的值; (2)排列数的两个性质:① An ? nAn??1 ,② An ? mAn ?1 ? An ?1 (其中 m,n 1

是正整数).是否都能推广到 Axm ( x ? R ,m 是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式
3 并给予证明;若不能,则说明理由; (3)确定函数 Ax 的单调区间.

3 解: (1) A?15 ? (?15) ? (?16) ? (?17) ? ?4080 ; (2)性质①、②均可推广,推广的形式分别是

m m m m m ① Ax ? xAx ??1 ,② Ax ? mAx ?1 ? Ax?1 ( x ? R,m ? N? ) . 1

0 事实上,在①中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 ? x ,右边 ? xAx ?1 ? x ,等式成立; x

0 在②中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 ? Ax ? x ? 1 ? A1?1 ? 右边,等式成立;当 m ≥ 2 时,左边 x x

? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? m ? 1) ? mx( x ? 1)( x ? 2)?( x ? m ? 2)
m ? x( x ? 1)( x ? 2)?( x ? m ? 2)[( x ? m ? 1) ? m] ? ( x ? 1) x( x ? 1)( x ? 2)?[( x ? 1) ? m ? 1] ? Ax ?1 ? 右

m m m 因此② Ax ? mAx ?1 ? Ax?1 ( x ? R,m ? N? ) 成立.

3 (3)先求导数,得 ( Ax )? ? 3x2 ? 6 x ? 2 .令 3x 2 ? 6 x ? 2 ? 0 ,解得 x ?

3? 3 3? 3 或x? . 3 3

? ?3? 3 ? 3? 3 ? 因此,当 x ? ? ?∞, , ∞? 时,函数也为增函数, ? ? ? 时,函数为增函数,当 x ? ? ? ? 3 3 ? ? ? ? ?

令 3x2 ? 6 x ? 2 ≤ 0 ,解得

?3 ? 3 3 ? 3 ? 3? 3 3? 3 ≤ x≤ ,因此,当 x ? ? , ? 时,函数为减 3 3 3 ? ? 3

? ? ?3 ? 3 3 ? 3 ? 3? 3 ? ?3? 3 3 函数,∴函数 Ax 的增区间为 ? ?∞, ? ? ?,? ? ? ? 3 , ∞? ;减区间为 ? 3 , 3 ? 3 ? ? ? ? ? ?

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