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2012年江苏高中数学竞赛夏令营函数讲稿(扬州)





扬州2012

x ?1 1. 函数 f ( x) ? x ?1
2

2 (?? , ? ] ? (1, ? ?) 的值域为______________. 2

t 2 ? 2t ? 2 解1: x ? 1 ? t ? f ( x) ? g (t ) ? (t ? 0

) t ? 1 2 1 ? h( s ) ? 1 ? 2( s ? ) ? , s ? 0 1 2 2 ? ? s ? f ( x ) ? h( s ) ? ? t 2 ?? 2( s ? 1 ) 2 ? 1 , s ? 0 ? h( s ) ? ? ? 2 2 2 ? ? ? 解2: x ? tan ? , ? ? (? , ) 2 2 sec ? 1 1 ? f ( x) ? F (? ) ? ? ? ? tan ? ? 1 ? ? cos ? sin 2 sin( ? ? ) 4 ? ? ? 3? ? ? ? (? , ) ? ? ? ? (? , ) 2 2 4 4 4 2 ] ? (1, ? ?) ? ? 2 ? 2 sin ? ? 1 ? f ( x) ? (?? , ? 2

2. 已知正数a、b、c满足:

5c ? 3a ? b ? 4c ? a , c ln b ? a ? c ln c ,
b [ e, 7 ] 则 的取值范围是________. a

化简
b y ? a x

a b a 5c ? 3a ? b ? 4c ? a ? 5 ? 3 ? ? ? 4 ? ? 5 ? 3x ? y ? 4 ? x , c c c a b b a ? ? e c ? y ? ex , c ln b ? a ? c ln c ? ln ? c c c y ? 5 ? 3x y ? y ? 5 ? 3x 1 7 y ? ex ?b ? ? P( , ) ? ? ? ? 7 y ? 4 ? x ? 2 2 ? a ? max ?y ? 4 ? x

y ? ex ? y ' ? ex

P
x0

y ? e x ? e ? e x0 ? x0 ? 1
x0 x0

B A Q
O

?b ? ? Q(1, e) ? ? ? ? e ? a ? min

x

x 1 3. 设函数 f ( x) ? x ? px ? q 与 g ( x) ? ? 2 在区间 4 x [ 1, 4 ]的同一点上取相同的最小值,试求 f (x)在该区
2

间上的最大值。
1 3 x x 1 ? . ? ? 2 ? 3?3 2 64 4 8 8 x x 3 ? f ( x) |min ? g ( x) |min ? . ( x ? 2 ? [ 1, 4 ] ) 4 ? p ? p ? ?4, ?? 2 ? 2 19 ? ? f ( x) |max ? f (4) ? . ?? 2 ?? 19 4 ?? p ? q ? 3 ?q ? 4 . ? ? 4 4 ?
g ( x) ? x ? 1 ?

若在区间[ 1, 2 ]的同一点上取相同的最小值呢?

1 3 [ , ] 的同一点上取相同的最小值呢? 若在区间 2 2 3
? f ( x) |min ? g ( x) |min ? g ( ) . 2

9 f ( x) |max ? f (1) ? ? ? p . ( p ? ?4) 4
1 ? f ( x) |max ? f ( ) . 2

4. 设函数f (x) = |lg (x+1)|,实数 a, b (a < b)满足
b ?1 f (a) ? f (? ) , f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 . b?2

b ?1 ) ?| lg( a ? 1) |?| lg( b ? 2) | 解:f (a) ? f (? b?2 (舍去)或 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 ? a ?1 ? b ? 2

求 a, b 的值 .

f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ?| 5a ? 3b ? 11 |? 8
?a ? 1 ? 0, ?? ?b ? 2 ? 0

? | 5a ? 3b ? 11 |? 8 ? 5(a ? 1) ? 3(b ? 2) ? 8
2 ? ?a ? ? 5 , ? ?? ?b ? ? 1 . ? 3 ?

?(a ? 1)(b ? 2) ? 1, ? ? 5(a ? 1) ? 3(b ? 2) ? 8 .

5. 已知 a, b, c 是实数,函数
f ( x) ? ax ? bx ? c , g ( x) ? ax ? b ,
2

当 ?1 ? x ? 1时, f ( x) ? 1,

(1)证明: c ? 1 ;
(2)证明:当 ?1 ? x ? 1 时,g ( x) ? 2 ;

(3)设 a ? 0 ,当 ?1 ? x ? 1时,g (x)
的最大值为2,求 f (x) 。

f (0) ? c , f (1) ? a ? b ? c , 5( ) c ? f (0) ? 1 1 .
(2)

f (?1) ? a ? b ? c

g (1) ? a ? b ? f (1) ? f (0) ? f (1) ? f (0) g (?1) ? a ? b ? f (?1) ? f (0) ? f (?1) ? f (0)

?

?1 ? x ? 1 ,

? f ( x) ? 1 .

? g (1) ? 2 , g (?1) ? 2 . ? g ( x) ? 2 .

(3) ? a ? 0 , g max ( x) ? 2 , ? g (1) ? 2 . ? a ? b ? 2, c ? ?1. 又 f ( x) ? ?1 ? f (0),
? x ? 0 是函数 f ( x) 的对称轴

? a ? 2, b ? 0, c ? ?1, ? f ( x) ? 2 x ? 1.
2

6. 设 p , q ? R , f ( x) ? x 2 ? p | x | ?q . 当函数f (x)的零点多 于一个时, 求f (x)在以其最小零点与最大零点为端点的 y y 闭区间上的最大值 .
由题意,f (x)是偶函数 . 1. 当函数f (x)的零点为2个时,
o

x

o

f (x) 的最大值为 0 (此时q < 0)
q (此时q >0) ; 2. 当函数f (x)的零点为3个时, f (x) 的最大值为 0 (此时q = 0) ; 3. 当函数f (x)的零点为4个时, f (x) 的最大值为q (此时q > 0) .

q
y y

q

x

q q
o

x y

o

x

q
o

x

7. 若函数y = f(x)在 x ? x0 处取得极大值或极小

值,则称为函数y = f(x)的极值点。已知 a、b是实
数,1 和 -1 是函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点。 (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g(x)的导函数 g ' ( x) ? f ( x) ? 2 ,求

g(x)的极值点;
(3)设 h(x)= f(f(x))- c,其中c ? [ ? 2 , 2 ],

求函数 y = h(x)的零点个数。

解: f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? ? f ' (?1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 ? ?a ? 0 (1) ? ?
? f ' ( 1 ) ? 3 ? 2a ? b ? 0 g ' ( x) ? f ( x) ? 2 ? x3 ? 3x ? 2 ? ( x ? 1) 2 ( x ? 2) (2)

?b ? ?3

x

?2
0 +

1
0 + 所以,g(x)的 极值点为-2.

g ' ( x) g (x)

y ? f (x) (3)设 f(x)= t , 2 当| t | = 2 时,f(x)= t 的零点 x = 2 数为2 (零点为x = -1、x = 2或x = -2 -2、x = 1); x o ? 3 3 2 当| t | < 2 时,f(x)= t 的零点 -2 x=- 2 数为3且零点| x | < 2 . 所以,当| c | = 2时,y = h(x)= f ( f (x)) – c 的零点数为5 ( 2+3 ); 当| c | < 2时,y=h(x)的零点数为9(3+3+3 ).

y

8.设二次函( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) f 数 ,满足条件: (1)当 且 f时,) ? f (2 ? x) (x ? 4 f ( x) ? x x?R x ?1 2 f ( x) ? ( ) ; x ? (0,2) 2 f (x) (2)当 时, ; 求最大的 m(m ?在R上的最小值为0. (3) 1),使得存在t ? R,只要 x ? [1, m] ,就有 f ( x ? t ) ? x .

8. f ( x ? 4) ? f (2 ? x) ? x ? ?1是二次函数 f(x)对称轴
? f ( x) ? a( x ? 1) 2 f min ( x) ? 0 ? f (?1) ? 0 2 x ?1 2 ( x ? 1) x ? f ( x) ? ( ) ? f (1) ? 1 ? f ( x) ? . 4 2 f ( x ? t ) ? x? 2 ? ? (2 ? t ) ? 4 ? ?4 ? t ? 0. — 必要条件 x ?1 ?
f ( x ? t ) ? x? 2 ? ? (m ? t ? 1) ? 4m x?m ? ? 1 ? t ? ? 4t ? m ? 1 ? t ? ? 4t

? m ? 9 ( t ? ?4 )

— m 的可能值

经验算 t ? ?4 ? x ?[1, 9] , 恒有 f ( x ? t ) ? x . ? m ? 9 .

9. 设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函
数、偶函数,当x < 0 时,F(x)= f(x)g(x)

在(-∞,0)上是增函数,且 g(2)= 0.则不
(?? , ? 2) ? (0 , 2) 等式 f(x)g(x)< 0 的解集是_____________.
y

F (x) 是奇函数

g (2) ? 0 ? g (?2) ? 0

-2

O

2

x

10. 设 f (x) 是定义在 R 上的函数 :
M ? { x | f ( x) ? x } , N ? { x | f ( f ( x)) ? x }

(1)求证 : ? N ; M
(2)若 f (x) 在 R 上是增函数,判断 M = N 是 否成立,并证明你的结论。
(1) (2)
x ? M ? f ( x) ? x ? f ( f ( x)) ? f ( x) ? x ? x ? N ? M ? N ;

x ? M ? f ( x) ? x 或 f ( x) ? x
?M ?N

f (x) 在 R 上是增函数 ? f ( f ( x)) ? f ( x) ? x ? x ? N f ( x) ? x f (x) 在 R 上是增函数 ? f ( f ( x)) ? f ( x) ? x ? x ? N f ( x) ? x

∴ M=N .

11. 设 f (x) 是定义在 R 上的函数 , a 是大于
1 0的实数,满足 : f ( x ? a) ? ? 2 f ( x) ? [ f ( x)]2 .

试证明: f (x) 是周期函数。
证明: f ( x ? 2a) ? 1 ? f ( x ? a) ? [ f ( x ? a)]2
2
1 1 ? ? ? 2 2
2 ?1 f ( x) ? [ f ( x)] ? ? ? ?2

探索
? f ( x) ? [ f ( x)]2 ? ?
2

f ( x ? a) ?

1 ? 2

1 1 1 1 ? ? f ( x) ? [ f ( x)]2 ? ? | ? f ( x) | 化简 2 4 2 2 1 1 f ( x) ? [ f ( x)]2 ? f ( x) ? ? f ( x ? a) ? [ f ( x ? a)]2 ? f ( x) ? 2 2 1 1 f ( x ? 2a ) ? ? f ( x ) ? ? f ( x ) ? T ? 2a . 2 2 ?

12. 函数 f (x) 在[ 0,1 ]上有定义, (0) ? f (1) . 如果对 f 于不同的, x2 ?[ 0 , 1] ,都有 ( x2 ) ? f ( x1) | ? | x2 ? x1 | . x1 |f 求证: f ( x2 ) ? f ( x1 ) | ? 1 . |
证明:

2 不妨设 0 ? x1 ? x2 ? 1

1 若 | x2 ? x1 | ? ,则 2 1 | f ( x2 ) ? f ( x1 ) | ? | x2 ? x1 | ? ; 2 1 | x2 ? x1 | ? ,则 | 1 ? x2 | ? | x1 ? 0 | ? 1 . 若 2 2
| f ( x2 ) ? f ( x1 ) | ? | f ( x2 ) ? f (1) ? f (0) ? f ( x1 ) | 1 ? | x2 ? 1 | ? | 0 ? x1 | ? . 2

? ? f (2 x) ? 2 f ( x) ? ? ? f (nx) ? n f ( x) y?x ? f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? ? ? f (0) ? 0 ? f (0) ? 0 . x? y?0 ? f (nx) ? n f ( x)? 1 1 ? (? f (1) ? 1) 1 ?? f ( )? n n x? ? n ? 由 f (y)≥0,得 f (x) 在[0,1]上是不减的函数. [ f (x+y)≥ f (x) ] 当 x = 0 或 x ? [ 1 , 1] 时,显然命题成立. 2 1 1 1 ? x ? (n ? 2 ) 当 0 < x < 2 时,存在正整数 n , 使得 n ?1 n 1 1 1 所以,原命题成立. ? f( ) ? f ( x) ? f ( ) ? f ( x) ? ? 2x . n ?1 n n

13. 已知 f (x) 是定义在[0,1]上的非负函数,且f (1) =1, 对任意的 x,y,x+y∈[0,1] 都有 f (x+y)≥f (x)+ f(y) . 证明:f (x) ≤2x (x∈[0,1]). f 证明: ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)?

14. 已知函数 f ( x) ? a ln x ? 1 (a ? 0) . 1 (1)证明:f ( x) ? 1 ? a (1 ? ) ; x (2)在区间(1, e )上 f (x) > x 恒成立, 求实数 a 的 取值范围 ; n ?1 1 (3)当 a ? 时,证明:? f (k ) ? 2(n ? 1 ? n ? 1) . 2 k ?2 1 解:(1)证明: F ( x) ? ln x ? (1 ? ) ? F ' ( x) ? 1 ? 12 ? x ? 1 设 2
x x x x 1 ? f ( x) ? 1 ? a (1 ? ) . (? a ? 0 ) ? F ( x) |min ? F (1) ? 0 ? F ( x) ? 0 x a?x ' (2)设 g ( x) ? f ( x) ? x ? g ( x) ? x a?e ? g ( x) ? g (1 ) ? 0 , ?a?e ? ? e ?1 ? a ? e x ? (1, e ) ? ? g ( x) ? min{ g (1) , g ( e )}, 1 ? a ? e ? g ( x) ? g ( e ) ? a ? 1 ? e. 0 ? a ? 1 (舍去) ? ? a ? e ? 1.

n ?1 1 (3)当 a ? 时,证明: f (k ) ? 2(n ? 1 ? n ? 1) . ? 2 k ?2

1 ln (n ? 1) ! ? n ? 2(n ? 1 ? n ? 1) (3)证明:? 2 k ?2 1 1 1 1 5 ①当n =1时, ln 2!? 1 ? ln 2 ? 1 ? (1 ? ) ? 1 ? ? 2(2 ? 2 ) 2 2 2 2 4 f (k ) ? 2(n ? 1 ? n ? 1) ?
所以n = 1时不等式成立.

n ?1

1 ②假设n = k 时,不等式成立.即 ln (k ? 1) !? k ? 2(k ? 1 ? k ? 1) . 2 1 1 1 当n = k+1时, ln (k ? 2) !? (k ? 1) ? ln (k ? 1) !? k ? ln (k ? 2) ? 1 2 2 2 1 ? 2(k ? 1 ? k ? 1) ? ln( k ? 2) ? 1 2 ? 2(k ? 2 ? k ? 2 ) ? ln k ? 2 ? 1 ? 2( k ? 2 ? k ? 1)

? 2(k ? 2 ? k ? 2 ) ? 1 ?

1 2 ? 2(k ? 2 ? k ? 2 ) . ?1 ? k ?2 k ? 2 ? k ?1

故当n = k+1时,不等式也成立. n ?1 1 所以,当 a ? 时, ? f (k ) ? 2(n ? 1 ? n ? 1) . 2 k ?2

15. 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? ln x .
(1)求函数 f (x) 的最小值;
1 1 1 1? ? ??? ? n (2)求证:当 n ? N 时,e 2 3

? n ? 1;

(3)对于函数 h (x) 和 g (x) 定义域上的任意实 数 x ,若存在常数 k、b,使得不等式
h( x) ? kx ? b 和 g ( x) ? kx ? b 都成立,则称直线

y = kx + b 是函数 h (x) 与 g (x) 的“分界线”。 1 2 设 h( x) ? x , g ( x) ? e [ x ? 1 ? f ( x)] ,试问函数 2 h (x) 与 g (x) 是否存在“分界线”?若存在, 求 出常数 k、 b的值;若不存在,说明理由。

1 x ?1 ( x ? 0) ? f ( x) |min ? f (1) ? 0 . 15.解(1)f ' ( x) ? 1 ? ? x x (2)由(1) f ( x) ? 0 ( x ? 0) ? x ? 1 ? ln x ? 0

? e x?1 ? x ( x ? 1) ? et ? t ? 1 (t ? 0)
1 1 1 ? ? (1 ? 1)( ? 1)( ? 1) ? ( ? 1) 2 3 n 3 4 n ?1 ? 2 ? ? ? ?? ? n ?1. 2 3 n 1 2 1 2 y y? x (3)F ( x) ? h( x) ? g ( x) ? x ? e ln x ( x ? 0) 2 2 e F ' ( x) ? x ? ( x ? 0) ? F ( x) |min ? F ( e ) ? 0 . x ? h' ( e ) ? g ' ( e ) ? e ? k ? e e e O h( e ) ? ? b ? ? y ? kx ? b 2 2 y ? e ln x
1 1 1 1? ? ??? n e 2 3

x

16.设f (x)是定义在 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x) 。 如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x ? (1,??) 都有h(x)>0,使得 f ' ( x) ? h( x)( x 2 ? ax ? 1) ,则称函数f(x) 具有性质P(a)。
b?2 ( x ? 1),其中b为实数。 (1)设函数 f ( x) ? ln x ? x ?1

① 求证:函数f(x)具有性质P(b);② 求函数f(x)的

单调区间。
(2)已知函数g(x)具有性质P(2)。 给定 x1, x2 ? (1,??), x1 ? x2,设m为实数,? ? 1, ? ? 1 , 且 ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 , 若 | g (? ) ? g (? ) | ? | g ( x1 ) ? g ( x2 ) | ,求m的取值范围。

b?2 ( x ? 1) 16. (1)①证明 f ( x) ? ln x ? x ?1 1 1 b?2 ' ? ( x 2 ? bx ? 1) . ? f ( x) ? ? x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

1 ? 0,得函数 f (x) 具有性质 P (b) . 由 h( x ) ? 2 x( x ? 1) 1 1 ' 2 ( x ? bx ? 1) , ? 0 ( x ? 1), ②解 ? f ( x) ? 2 2 x( x ? 1) x( x ? 1) ∴当b ? 2 ? x 2 ? bx ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 0 ( x ? 1) ? f ' ( x) ? 0

? f ( x) 在 (1,??)上单调增;
b ? b2 ? 4 b ? b2 ? 4 ? 1, x2 ? ? 1, b ? 2? x1 ? 2 2 b ? b2 ? 4 ? f ( x) 在 (1, ) 上单调减; 2
b ? b2 ? 4 在 ( , ? ?) 上单调增. 2

? ? ? ? x1 ? x2
| g (? ) ? g (? ) | ? | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |
g ( x2 )

g ( x1 )

1 ? x1 ?

M

?

x2 ?

16. (2)解 由题意 g ' ( x) ? h( x)( x 2 ? 2 x ? 1) , h( x) ? 0 ( x ? 1) .

? x ? 1, ? g ( x) ? 0 ? g ( x) 在 (1,??)上单调增。
'

? ? ? ? ? x1 ? x2 ,
∴区间[? , ? ] 与区间[ x1 , x2 ] 的中点重合。

? [? , ? ] ? [ x1 , x2 ] 或 [? , ? ] ? [ x1 , x2 ] .
? g ( x) 在 (1,??) 上单调增,
又 | g (? ) ? g (? ) | ? | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |

? [? , ? ] ? [ x1 , x2 ]

? x1 ? mx1 ? (1 ? m) x2 ? x2 ? m ? (0 , 1) .

? f1 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x) 常数,且 f ( x) ? ? ? f 2 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x) (1)求 f ( x) ? f1 ( x) 对所有实数 x 成立的充要

17.为 f1( x) ? 3

x ? p1

, f 2 ( x) ? 2 ? 3

x ? p2

, x ? R , p1, p2

条件(用 p1 , p2表示) (2)设 a, b为两实数,a ? b且 p1 , p2 ? (a, b)若
f (a) ? f (b)求证: (x)在区间 ?a, b?上的单调增区 f

间的长度和为 b ? a (闭区间 ?m, n? 的长度定
义为 n ? m)
2

17.(1) f ( x) ? f1( x) ? f1( x) ? f 2 ( x)
?3
| x? p1|?|x? p2 |

? 2?3
y

| p1 ? p2 |

?2

因此,所求的必要条件是 | p1 ? p2 |? log 3 2. (2)①当| p1 ? p2 |? log 3 2 时,
f ( x) ? f1( x) ? 3|x? p1|.
a?b f (a) ? f (b) ? p1 ? 2

此时,增区间为 ( p1 , b ) ,它 b?a 的长度是 b ? p1 ? ; 2

oa

p1 b

x

②当| p1 ? p2 | ? log 3 2 时,设 p1 ? p2 ,
3
| x ? p1|

? 2?3

| x ? p2 |

?3 p1 ? x ? ?3 x ? p1 p1 ? x ? x0 , ? f ( x) ? ? p2 ? x x0 ? x ? p2 , ?2 ? 3 ? x ? p2 ?2 ? 3 p2 ? x ? b. ?
f (a) ?

p1 ? p2 ? log 3 2 ? p1 ? x0 ? ? p2 2 a ? x ? p1, y
( x0 , y0 )

a f (b) ? p1 ? p2 ? a ? b ? log 3 2 o

p1

p2

b

x

因此,单调增区间的长度和为 b?a l ? ( x0 ? p1 ) ? (b ? p2 ) ? . 2

1 2 18. 已知函数 f ( x) ? mx ? 2 x ? 1 ? ln( x ? 1) (m ? 1) . 2 (1)若曲线 C : y ? f ( x) 在点P(0,1)处的切线 l 与 C 有且只

有一个公共点,求 m 的值 ;

(2)求证:函数存在单调递减区间 [ a , b ],并求出单调递减 区间的长度 t = b - a 的取值范围。
1 解:(1) f ' ( x) ? mx ? 2 ? f ' (0) ? ?1 ? l : y ? ? x ? 1 x ?1 1? m 由 f ( x) ? ? x ? 1 有惟一实数解 x ? 0 mx( x ? ) 1 2 m 设 g ( x) ? f ( x) ? (? x ? 1) ? mx ? x ? ln( x ? 1) ? g ' ( x) ? 2 x ?1 2 x m ? 1 ? g ' ( x) ? ? 0 (适合题意) 1? m x ?1 x ?1 0 ?? 1? m m m ? 1 ? ?1 ? ?0 g ' ( x) ? 0 ? 0 ? m
1? m ? g( ) ? 0, m ∴在(-1,0)上,方程 g ( x) ? 0 还有一解(不合题意)
1 ? m?1 g (e 2 ? 1) ? 0 ,

∴ m=1.

(2)

1 mx2 ? (m ? 2) x ? 1 f ' ( x) ? mx ? 2 ? ? x ?1 x ?1

? x ? ?1, ? f ' ( x) ? 0 ? mx2 ? (m ? 2) x ? 1 ? 0 .
? ? (m ? 2) 2 ? 4m ? m2 ? 4 ? 0

m ?1
? t ? b ? a ? | x2 ? x1 | ? (?

? x ?[ x1 , x2 ] , g ' ( x) ? 0 .
m?2 2 4 4 ) ? ? 1? 2 . m m m

m ? 1 ? t ? ( 1, 5 ] .

19.已知a,b是实数,函数 f ( x) ? x3 ? ax , g ( x) ? x 2 ? bx , f ?(x) 和 g ?(x) 是 f ( x) , g ( x)的导函数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区 间I上恒成立,则称 f (x) 和 g (x) 在区间I上单调性一致. (1)设 a ? 0,若函数 f (x) 和 g (x) 在区间 [?1,??) 上单调 性一致,求实数b 的取值范围; (2)设 a ? 0 , 且 a ? b ,若函数 f (x) 和 g (x) 在以a,b为 端点的开区间上单调性一致,求|a - b|的最大值。
解: (1)
f ' ( x) ? 3 x 2 ? a , g ' ( x) ? 2 x ? b .
f ' ( x) ? g ' ( x) ? 0 ? ? ? 2 x ? b ? 0 , x ? [?1, ? ?) ? b ? 2 . a ? 0?

f ' ( x) ? 3 x 2 ? a , g ' ( x) ? 2 x ? b . (2) ① b < a < 0, x ? (b , a) ? 2 x ? b ? 0 f ' ( x) ? g ' ( x) ? (3x 2 ? a)(2 x ? b) ? 0 ? a ? ?3x 2

? b ? a ? ?3b 2 1 1 1 ; ? 0 ? a ? b ? ?3b 2 ? b ? ?3(b ? ) ? ?| a ? b |max ? 12 6 12 ② a < b ≤ 0, x ? (a , b) ? 2 x ? b ? 0
f ' ( x) ? g ' ( x) ? 0 ? a ? ?3x 2
1 ? a ? ?3a ? ? ? a ? 0 . 3 1 1 ? | a ? b |max ? ; ( a ? ? , b ? 0 ) 3 3 x ? ( a , b) ③ a < 0 < b,
2

f ' ( x) ? g ' ( x) ? 0 ? (3x 2 ? a)(2 x ? b) ? 0 , x ? (a , b)
1 综上, | a ? b |max ? . 3

? f ' (0) ? g ' (0) ? ab ? 0(不合题意)

20. 已知函数 f ( x) ? xe ( x ? R) (1)求函数 f ( x ) 的单调区间和极值;

?x

(2)已知函数 y ? g ( x ) 的图象与函数 y ? f ( x)
的图象关于直线 x ? 1 对称,证明当 x ? 1 时, f ( x) ? g ( x) (3)如果 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明
x1 ? x2 ? 2

20.(1)解:f ' ( x) ? (1 ? x )e ? x 由 f '(x) =0, 解得x =1.
当x <1时, f '(x) >0 ; 当x >1时, f '(x) <0 . 所以 f(x)在( ??,1 )内是增函数, 1, ?? )内是减函数。 在(
1 函数f(x)在x =1处取得极大值f(1)且f(1)= . e

x?2 (2)证明: 由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e

令F(x)= f(x)-g(x),即

F ( x) ? xe ? x ? ( x ? 2)e x ? 2

于是 F '( x) ? ( x ? 1)(e 2 x ? 2 ? 1)e ? x
2 x ?2 ?1 ? 0 , 又 e? x ? 0 , 当x >1时,2x -2>0, 从而 e

所以 F '(x)>0, 从而函数F(x)在[1,+∞)是增函数。
又 F (1)= e?1 ? e?1 ? 0,所以 x ? 1 时,有 F(x)> F(1)=0,即 f(x)> g(x).

不失一般性,设 x1 ? x2 . (3)证明:
若 x1 ? x2 ? 1或 1 ? x1 ? x2 ,

由(1)可知,f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
所以,若 f ( x1) ? f ( x2 ) ,只可能有 x1 ? 1 ? x2 . 由 x1 ? 1 ? x2 及(2)可知,f ( x2 ) ? g ( x2 ) ? f (2 ? x2 ) . 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 从而 f ( x1 ) ? f (2 ? x2 ) . 又由 x1 ? 1, 2 ? x2 ? 1及函数f(x)在区间(-∞,1)内是 增函数,所以 x1 ? 2 ? x2,即 x1 ? x2 ? 2 .

2 sin x ? cos 2 x ? 3 1. 求函数 y ? 的最值. 2 4 sin x ? 4
解: 2 sin x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? sin x ? 1 t 2 ? t ?1 y? ? ? y? 2 | t |? 1 2 2 4 sin x ? 4 2 sin x ? 2 2t ? 2 解1: ?1 t ?0 ?2 , 1 3 t 2 ? t ?1 ? 0 ? t ?1? ? y ? y? 2 ? ?1 1 2 4 ), t ? 0 2t ? 2 ? (1 ? 1 2 1 1 t? ? ?1 ? t ? 0 ? ? y ? t ? 4 2 1 3 ? ymin ? , ymax ? . 4 4 t 2 ? t ?1 ? (2 y ? 1)t 2 ? t ? 2 y ? 1 ? 0 解2: y ? 2 2t ? 2 1 3 ? ? 0 ? 1 ? 4(2 y ? 1) 2 ? 0 ? ? y ? 4 4 1 3 ? ymin ? , ymax ? . 4 4

2.设 f ( x) ? cos 2 x ? 2a(1 ? cos x) 的最小 1 值为 ? ,求实数 a 的值。
2
a 2 1 2 f ( x) ? 2(cos x ? ) ? (a ? 4a ? 2) 2 2
| a |? 2 ? a 2 ? 4a ? 1 ? 0 ? a ? 3 ? 2 ;
1 3 a ? 2 ? 1 ? 4a ? ? ? a ? (舍去) 2 8 1 a ? ?2 ? f min ( x) ? 1 ? ? ? a? 2

3?2

5 5 3 3 3. 若 cos ? ? sin ? ? 7(sin ? ? cos ? ) ? ?[0 , 2? ) , 则 ? 的取

( , ) 4 4 值范围为________________.

? 5?

解1: a n ? b n ? (a ? b)(a n?1 ? a n?2b ? ? ? b n?1 ) ? ? cos5 ? ? sin 5 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos 4 ? ? cos3 ? sin ? ? ? ? sin 4 ? ) ? (cos ? ? sin ? )(1 ? sin ? cos ? ? sin 2 ? cos 2 ? )
7(sin 3 ? ? cos3 ? ) ? 7(sin ? ? cos ? )(1 ? sin ? cos ? )
7(sin 3 ? ? cos3 ? ) ? (cos 5 ? ? sin 5 ? ) ? (sin ? ? cos ? )(6 ? 6 sin ? cos ? ? sin 2 ? cos 2 ? )
5 5 3 3

? cos ? ? sin ? ? 7(sin ? ? cos ? ) ? sin ? ? cos? ? ? ? ( , ) 4 4 解2: 原式可化为 cos5 ? ? 7 cos3 ? ? sin 5 ? ? 7 sin 3 ?
5 3 由函数 y ? x ? 7x 是增函数

? 5?

? cos ? ? sin ? ? ? ? ( , ) 4 4

? 5?

4. 设三角函数 f ( x) ? sin( kx ? ? ) ,其中
k≠0 . 试求最小的正整数 k ,使得当自变量 x 在
5 3

任意两个整数间(包括这两个整数)变化时,
函数 f(x)至少有一个极大值 M 与一个极小值 m。
10? T? k

10? | |? 1 ? k ? 10? k ? kmin ? 32

11 ? 5. 设 f ( x) ? sin( ? x ? ) 6 3 (1)求 f (x) 的最小正周期;

12 T ? 11

(2)对于任意正数 a,是否能找到不小于a, 且不大于 a + 1 的两个数 m 和 n,使得 f (m) = 1且 f (n) = -1 ?
3 不一定 . 取 a ? 22

? 3? ? 7 1 ?11? ? ? ( ? )? ? 6n ?a11 , m不存在 . 2 ? 2 3 ? ?

(3)若 (2)中 a 改为任意自然数,你能得 到怎样的结论?
11a 11a ? 1 11a ? 11 12k ? 1 12k ? 7 , ,? ?m? , n? 11 11 11 11 11

? cos a ? a , ? ? 6. 已知 a , b , c ? ( 0 , ) 且满足 ?sin cos b ? b , 2 ?cos sin c ? c , ?

试比较 a,b,c 的大小.
解:
2 cos a ? a ? sin cos a ? sin a ? a , ? a , b, c ?( 0,

?

),

反设 a ? b ? cos a ? cos b ? sin cos a ? sin cos b ? a ? b (此为矛盾) ? a ? b. 反设 a ? c ? cos a ? cos c ? cos sin c

? a ? c (此为矛盾)
? c ? a.
? c ? a ? b.

取值范围.

b2 cos 2 B 7. 在锐角ΔABC中,若 ? ,求∠B的 ac cos A cos C

b2 cos 2 B sin 2 B cos 2 B 解1: ? ? tan 2 B ? tan A tan C ? ? ac cos A cos C sin A sin C cos A cos C 2 tan A ? tan C 2 tan A tan C ? tan B ? ? tan( A ? C ) ? 1 tan A tan C ? 1 ? tan A tan C ? 1 tan A tan C ? tan A tan C 2 tan B ? ? 2 tan B 2 ? tan B ? ? tan B ? 3 ? ? B ? . ? 2 2 tan B ? 1 3 2 tan B ? 1 2 ? c2 ? a 2 ? b2 ? ? ? ? ? 2 2ca cos B b 2 (c 2 ? a 2 ? b 2 ) 2 ? ? 解2: ? ? 2 2 ? b ? c ? a 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ac(b 2 ? c 2 ? a 2 )( a 2 ? b 2 ? c 2 ) cos A cos C ? 2bc 2ab a4 ? c4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? (c ? a ? b ) ? (b ? c ? a )(a ? b ? c ) ? b ? 2 2 a ?c a4 ? c4 2 2 c ?a ? 2 2 c2 ? a2 ? b2 a ? c ? 2ac ? 1 ? ? ? B ? ? . cos B ? ? 2ca 2ca a2 ? c2 2 3 2 (当且仅当 a = b = c 等号成立)

8. 在ΔABC中,若 sin A ? sin B ? sin C ? 3. cos A ? cos B ? cos C 求证:ΔABC中至少有一个角为60°.
sin A ? sin B ? sin C sin 600 证明: ? 3? cos A ? cos B ? cos C cos 600 ? sin( A ? 600 ) ? sin( B ? 600 ) ? sin( C ? 600 ) ? 0

? ( A ? 600 ) ? ( B ? 600 ) ? (C ? 600 ) ? 00 ,
? sin( A ? 600 ) ? sin( B ? 600 ) ? sin( C ? 600 ) A ? 600 B ? 600 C ? 600 ? 0. ? 4 sin sin sin 2 2 2

所以,ΔABC中至少有一个角为60°.

9. 在ΔABC中,证明:
1 1 1 ? ? ? 2. 2 2 2 2 2 2 1 ? cos A ? cos B 1 ? cos B ? cos C 1 ? cos C ? cos A
? c ? a cos B ? b cos A 证明1:
? c 2 ? (a cos B ? b cos A) 2 ? (a 2 ? b 2 )(cos 2 B ? cos2 A)
1 a 2 ? b2 ? ? 2 2 2 1 ? cos A ? cos B a ? b 2 ? c 2

同理

1 b2 ? c2 ? 2 2 2 1 ? cos B ? cos C a ? b 2 ? c 2 1 c2 ? a2 ? 2 2 2 1 ? cos C ? cos A a ? b 2 ? c 2

?

1 1 1 ? ? ? 2. 2 2 2 2 2 2 1 ? cos A ? cos B 1 ? cos B ? cos C 1 ? cos C ? cos A

9. 在ΔABC中,证明:
1 1 1 ? ? ? 2. 2 2 2 2 2 2 1 ? cos A ? cos B 1 ? cos B ? cos C 1 ? cos C ? cos A
? 证明2: sin 2 C ? (sin A cos B ? cos A sin B) 2
? (sin 2 A ? sin 2 B)(cos 2 B ? cos2 A)
1 sin 2 A ? sin 2 B ? ? 2 2 1 ? cos A ? cos B sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C

同理

1 sin 2 B ? sin 2 C ? 2 2 1 ? cos B ? cos C sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C 1 sin 2 C ? sin 2 A ? 2 2 1 ? cos C ? cos A sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C

?

1 1 1 ? ? ? 2. 2 2 2 2 2 2 1 ? cos A ? cos B 1 ? cos B ? cos C 1 ? cos C ? cos A

10. 凸四边形ABCD中,没有一个内角是直角,
求证:tan A ? tan B ? tan C ? tan D ? cot A ? cot B ? cot C ? cot D .
tan A ? tan B ? tan C ? tan D

证明: 设 A≤B≤C≤D,
则 A+B与A+C中至少有一个不为90°. 不失一般性,设 A+B≠90°.

A ? B ? C ? D ? 3600 ? tan( A ? B) ? tan( C ? D) ? 0

? (tan A ? tan B)(1 ? tan C tan D) ? (tan C ? tan D)(1 ? tan A tan B) ? 0
? tan A ? tan B ? tan C ? tan D ? tan A tan C tan D ? tan B tan C tan D ? tan C tan A tan B ? tan D tan A tan B

?

tan A ? tan B ? tan C ? tan D ? cot A ? cot B ? cot C ? cot D . tan A tan B tan C tan D

11.已知函数 f ( x) ?| sin x | 的图象与直 线 y ? kx (k ? 0) 有且仅有三个交点, 交点的横坐标的最大值为a. 求证:
cos a 1? a ? . sin a ? sin 3a 4a
2

y ? kx

a ? sin a k ? f ' (a) ? ? cos a ? ? a ? tan a
a

cos a cos a 1 ? ? 2 sin a ? sin 3a 4 sin a(1 ? sin a) 2 sin 2a
1 ? tan 2 a 1 ? a 2 ? ? . 4 tan a 4a

12.已知函数 f ( x) ? sin ?x ? cos ?x ? 2 ( 1 ? x ? 5 ) ,

求 f (x) 的最小值.
1 2 sin ?( x ? ) ? 2 4 f ( x) ? x 1 3 5 x 4 4 4 1 sin ?( x ? ) 4

x

4

4

1 4

3 4

5 4

5 4 5 3 5 (1) x ? [ , ] ? f ( x) 减 ? f min ( x) ? f ( ) ? 4 5 4 4

1 3 1 1 5 3 【 关于 (2) x ? [ , )? y ? sin ? ( x ? ) x ? , 】 x ? 对称 4 4 4 4 4 4 3 5 1 3 4 5 ? 任意 x ? [ , ) 存在 x'? ( , ] ,使得 5 4 4 4 4 1 1 sin ? ( x ? ) ? sin ? ( x'? ) 4 4

1 1 x 3 x' 5 2 sin ? ( x ? ) ? 2 4 4 4 4 f ( x) ? x 1 1 2 sin ? ( x'? ) ? 2 2 sin ? ( x'? ) ? 2 3 5 4 4 ? ? ? f ( x' ) x'? ( , 】 4 4 x x'

13. 已知 a > 0,b > 0,又α、β为实数且满足
a 2 cos ? cos ? ? b2 sin ? sin ? ? 0 .
(a 2 cos 2 ? ? b 2 sin 2 ? )( a 2 cos 2 ? ? b 2 sin 2 ? ) 求证: a (cos ? ? cos ? ) ? b (sin ? ? sin ? )
2 2 2 2

?

a 2b 2 a ?b
2 2

.

证明:

(a 2 cos 2 ? ? b 2 sin 2 ? )( a 2 cos 2 ? ? b 2 sin 2 ? )

? (a 2 cos ? cos ? ? b 2 sin ? sin ? ) 2 ? a 2b 2 sin 2 (? ? ? )
? a 2b 2 sin 2 (? ? ? ) .

a 2 (cos ? ? cos ? ) 2 ? b 2 (sin ? ? sin ? ) 2 ? 4a 2 sin 2

? ??
2

2 2 2 2? ?? 2 2? ?? 2 2? ?? ? 4 sin (a sin ? b cos ) 2 2 2 ? ?? 2 ? 2 sin 2 {a [1 ? cos(? ? ? )] ? b 2 [1 ? cos(? ? ? )]} 2

sin 2

? ??

? 4b 2 cos 2

? ??

sin 2

? ??

? 2 sin 2

? ??
2

[( a 2 ? b 2 ) ? a 2 sin ? sin ? ? b 2 cos ? cos ? ]

? (a 2 cos ? cos ? ? b 2 sin ? sin ? ) ? (a 2 sin ? sin ? ? b 2 cos ? cos ? ) ? (a 2 cos ? cos ? ? b 2 sin ? sin ? ) ? (a 2 ? b 2 ) cos(? ? ? ) 2 2 2? ?? ? (a ? b )( 2 cos ? 1). 2 ? a 2 (cos ? ? cos ? ) 2 ? b 2 (sin ? ? sin ? ) 2

? 2 sin

2

? ??
2

[( a 2 ? b 2 ) ? (a 2 sin ? sin ? ? b 2 cos ? cos ? )]

? (a 2 ? b2 ) sin 2 (? ? ? ) .
? ? (a 2 cos 2 ? ? b 2 sin 2 ? )( a 2 cos 2 ? ? b 2 sin 2 ? ) (a 2 cos 2 ? ? b 2 sin 2 ? )( a 2 cos 2 ? ? b 2 sin 2 ? ) a 2b 2 sin 2 (? ? ? ) (a ? b ) sin (? ? ? )
2 2 2

?

a 2b 2 a ?b
2 2

.

设 A(a cos ? , b sin ? ) , B(a cos ? , b cos ? ) 是椭圆 x 2 y 2 上两点,O为椭圆中心。 ? 2 ?1 2 a b a 2 cos ? cos ? ? b 2 sin ? sin ? ? 0 ? OA ? OB
(a 2 cos 2 ? ? b 2 sin 2 ? )( a 2 cos 2 ? ? b 2 sin 2 ? ) OA 2 ? OB 2 ? 2 2 2 2 a (cos ? ? cos ? ) ? b (sin ? ? sin ? ) AB 2

即要证明: OA ? OB ? a b AB 2 a2 ? b2
2 2 2 2

m2n2 a 2b 2 令 OA = m,OB = n ,即要证明 2 2 ? 2 2 m ?n a ?b

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 m n a b

由题意,可设 a ? c cos ? , b ? c sin ? . ? ? (0, 解:
3 3 3 3 3

14. 在直角ΔABC中,∠C为直角. 求使得 a 3 ? b3 ? c 3 ? k 成立的最大 k 值. abc
?
2 )

a ?b ?c cos ? ? sin ? ? 1 ? ? abc cos ? sin ? (sin ? ? cos ? )3 ? 3 sin ? cos ? (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? sin ? cos ? 设 t ? sin ? ? cos ? , t ? (1, 2 ] , 则 t 2 ?1 t3 ? 3? ? t ? 1 ? t 3 ? 3t ? 2 ? t 2 ? t ? 2 3 3 3 a ?b ?c 2 ? ? ? f (t ) ? 2 2 t ?1 t ?1 t ?1 abc 2 2 ? ?(t ? 1) ? ?1 t ?1

由f (t )在 (1, 2 ] 上是减函数,? kmax ? f (t ) |min ? f ( 2 ) ? 2 ? 2 .

15. 已知 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) 是圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的三点, 且满足 x1 ? x2 ? x3 ? 0, y1 ? y2 ? y3 ? 0 . 证明:
3 x ?x ?x ? y ?y ?y ? . 2 由题意,可设 x1 ? cos ? , y1 ? sin ? , x2 ? cos ? , y2 ? sin ? , x3 ? cos ? , y3 ? sin ? . 证明1:
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3

其中 ? , ? , ? ? [ 0 , 2? ]

则 cos ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0

? (cos ? ? cos ? ) 2 ? (sin ? ? sin ? ) 2 ? 1 ? cos(? ? ? ) ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? (cos ? ? cos ? ) 2

1 2

? 2 ? cos 2? ? cos 2? ? 2 cos ? cos ?

? 2 ? 2 cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 1 3 ? cos(? ? ? ) ? ? , ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? . 2 2 3 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 3 ? (cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ) ? . 2

所以,原命题成立.

15. 已知 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) 是圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的三点, 且满足 x1 ? x2 ? x3 ? 0, y1 ? y2 ? y3 ? 0 . 证明:
3 x ?x ?x ? y ?y ?y ? . 2 证明2:由题意,可设 OA ? ( x1 , y1 ) , OB ? ( x2 , y2 ) , OC ? ( x3 , y3 ).
2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3

则 | OA |?| OB |?| OC |? 1 且 OA ? OB ? OC ? 0 . 所以,ΔABC 是正三角形. 设 x1 ? cos ? , y1 ? sin ? , 则 x2 ? cos(1200 ? ? ), y2 ? sin( 1200 ? ? ), x3 ? cos(1200 ? ? ), y3 ? sin( 1200 ? ? ).
2 2 ? x12 ? x2 ? x3 ? cos 2 ? ? cos 2 (1200 ? ? ) ? cos 2 (1200 ? ? )

cos 2? ? cos 2(? ? 1200 ) ? cos 2(? ? 1200 ) ? 0

1 ? cos 2? 1 ? cos 2(? ? 1200 ) 1 ? cos 2(? ? 1200 ) ? 3 . ? ? ? 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ? y1 ? y2 ? y3 ? 3 ? ( x1 ? x2 ? x3 ) ? . 2

所以,原命题成立.

16. 若 x、y、z 均为正实数,且 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ,求: ( z ? 1) 2 (1) S ? 的最小值; 2 xyz (2) T= x + y + z – xyz 的取值范围.

解: 由题意,可设 x ? cos ? cos ? , y ? cos ? sin ? , z ? sin ? . ? , ? ? (0, ) 2 2 (sin ? ? 1) 1 ? sin ? 1 ? sin ? (1) S ? ? ? 2 sin ? cos 2 ? sin ? cos ? sin ? (1 ? sin ? ) sin 2? sin ? (1 ? sin ? )

?

t 1 S? 2 ? ? 3? 2 2. 2 ? t ? 3t ? 2 3 ? (t ? ) t ? 所以,当sin ? ? 2 ? 1且 ? ? 时,S min ? 3 ? 2 2 . 4 (2) T ? cos ? cos ? ? cos ? sin ? ? sin ? ? sin ? cos2 ? sin ? cos ?
设 t =1+sinα, t ? (1, 2 ) 则 , 设 t ? sin ? ? cos ? , t ? (1, 2 ] , 则 1 1 T ? f (t , ? ) ? (? sin ? cos 2 ? ) t 2 ? t cos ? ? sin ? cos 2 ? ? sin ? 2 2 b 2 ? ? ? 2 ? f (1, ? ) ? f (t , ? ) ? f ( 2 , ? ) . 2a sin 2? ? 3 8 3 ? f (1, ? ) |min ? f (1, ) ? 1 ? T ? f ( 2 , ? ) |max ? f ( 2 , arcsin )? . 4 3 9

17. 已知 0 ? ? ? ? ? ? ?

?
2

,求证:
?
2 .

sin 2? ? sin 2? ? sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? 2 sin ? cos ? ?
证明: 即要证

sin ? (cos ? ? cos ? ) ? sin ? (cos ? ? cos ? ) ? sin ? cos ? ?

?
4

.

S1 ? sin ? (cos ? ? cos ? ) S2 ? sin ? (cos ? ? cos ? )
S3 ? sin ? cos ?
? S1 ? S 2 ? S3 ?

y
S3

R(cos ? , sin ? ) Q(cos ? , sin ? )

S2
O

P(cos ? , sin ? )

S1
1

?
4

,

x

∴ 原命题得证。

18. 对定义域分别是 D f , Dg 的函数

y ? f ( x) , y ? g ( x) , 规定 ? f(x) g(x) x ? D f 且 x ? Dg ? ? 函数 h(x) ? f(x) ? x ? D f 且x ? Dg ? x ? D f 且x ? Dg ? g(x) ? g ? (1) 若函数 f(x) 3 ? 2 x,x ? 1 ;(x) x ? 2 ,x ? R , 写出函数 h(x) 的解析式; (2) 求 (1) 中的函数 h(x) 的最大值; ? (3) 若g(x) f(x ? ?) ,其中 ? ? [0,? ] 且? 是常 数,请设计一个定义域为 R 的函数 f(x) 及一个 ? ? 值,使得h(x) cos 2 x ,并予以证明。

18.

?? (2 x ? 3)( x ? 2) , x ?[1, ? ?) (1) h( x) ? ? x ? (?? , 1) ?x ? 2 , 7 1 1 (2) x ?[1, ? ?) ? h( x) ? ?2( x ? ) ? ? ; 4 8 8 1 x ? (?? , 1) ? h( x) ? x ? 2 ? ?1 . ? h( x) |max ? .

(3) cos2 x ? (cos x ? sin x)(cos x ? sin x) ? ?

8

? 2 cos(x ? ) ? 2 cos(x ? ) 4 4 ? ? 令 f ( x) ? 2 cos(x ? ) , ? ? , 4 2 ? h( x) ? cos2 x . ? 则 g ( x) ? f ( x ? ? ) ? 2 cos(x ? )
4

3? 19. 函数 f ( x) ?| cos 2 x ? 2 sin x cos x ? sin 2 x ? Ax ? B | , x ? [0, ] 2 的最大值为M. 问A、B取何值时,函数 f (x)的最大值 M最小? 证明你的结论。 ? 解:f ( x) ?| 2 sin( 2 x ? ) ? Ax ? B | , 当 A = B = 0 时, f ( x) |max ? 2 . 4 y

o ?
8

5? 8

9? 8

3? 2

x

? g( ) ? g( ) ? 2 , g( ) ? ? 2 , 8 8 8
若 h( ) ? 0 或 h(
?

设 g ( x) ? 2 sin( 2 x ? ) , h( x) ? Ax ? B . 4 ? 9? 5?

?

9? ) ? 0 成立,则 f ( x) |max ? 2 ; 8 8 ? 9? 5? 若 h( ) 与 h( ) 均小于0,则 h( ) ? 0 . 此时 f ( x) |max ? 2 . 8 8 8 ∴当A=B=0 时,函数 f (x) 的最大值 M的最小值为 2 .

20. 已知 f (? ) ? 1 ? a sin ? ? b cos? ? A sin 2? ? B cos 2? , 若对于任意实数θ,有 f (? ) ? 0 , 证明:a 2 ? b2 ? 2 , A2 ? B 2 ? 1.
证明: f (? ) ? 1 ? r sin( ? ? ? ) ? R sin 2(? ? ? ) , r ? a 2 ? b 2 , R ? A2 ? B 2 ,
2 r ? R cos 2(? ? ? ) ? 0 4 2 3? 2 ?? ? ? ? f (? ) ? 1 ? r ? R cos 2(? ? ? ) ? 0 4 2

??

?

? ? ? f (? ) ? 1 ?

? r ? 2;

4 4 5? ? ?? ? ? ? f (? ) ? 1 ? r sin( ? ? ? ? ) ? R ? 0 4 4

??

?

? ? ? f (? ) ? 1 ? r sin(

?

?? ? ? ) ? R ? 0

? R ? 1.

? a 2 ? b2 ? 2 , A2 ? B 2 ? 1.


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