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2015届高考理科数学三角形及三角函数


第三章 三角函数、解三角形

第3讲 三角函数的图象与性质

1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的 周期性.

2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在(- π π , )上的性质. 2 2

1个必会思想——整体思想的运用 研究y=As

in(ωx+φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中 心)时,首先把“ωx+φ”视为一个整体,再结合基本初等函数y =sinx的图象和性质求解.

2个重要性质——三角函数的周期性与单调性 (1)周期性:函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期 2π π 为|ω|,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为|ω|. (2)单调性:三角函数的单调性应在定义域内考虑,注意以下两 π π 个三角函数单调区间的不同:①y=sin( -x),②y=sin(x- ). 4 4

3种必备方法——求三角函数值域(或最值)的方法 (1)利用sinx、cosx的有界性. (2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx +φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域. (3)换元法:把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在区间上 的值域(最值)问题.

01抓住2个必备考点

考点1

周期函数和最小正周期

对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域 内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x) ,则称f(x)为周期函数,T为 它的一个周期.若在所有周期中,有一个 最小 个最小的正数叫做f(x)的 最小正周期 . 的正数,则这

[判一判] 或“×”).

判断下面的结论是否正确(请在括号中打“√”

(1)由sin(30° +120° )=sin30° 知,120° 是正弦函数y=sinx(x∈ R)的一个周期.(×) (2)常函数f(x)=a(a∈R)为周期函数,有最小正周期.(×) π (3)函数y=|cos(2x-1)|的最小正周期为2.(√) π π (4)函数y=tan(3ax- )的最小正周期是2,则a= .(×) 4 6

考点2 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

[判一判] “× ”).

判断下列说法是否正确(请在括号内填“√”或

(1)y=cosx在第一、二象限上是减函数.(×) (2)y=tanx在整个定义域上是增函数.(×) (3)函数f(x)=sin(-2x)的单调增区间是 Z).(×)
? π π? ?kπ- ,kπ+ ? 4 4? ?

(k∈

(4)y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值是k+1.(×) π 1 (5)y=cos(x+3)在[0,π]的值域是[-1,2].(√) 5 (6)y=sin(2x+2π)是非奇非偶函数.(×)

02突破3个热点考向

考向一 三角函数的定义域、值域 π π 例1 (1)[2013· 天津高考]函数f(x)=sin(2x- 4 )在区间[0, 2 ] 上的最小值为( A. -1 2 C. 2 ) 2 B. - 2 D. 0

(2)函数y=lg(2sinx-1)+ 1-2cosx的定义域是________.

[解析]

π π π 3 (1)∵x∈[0, ],∴2x- ∈[- , π], 2 4 4 4

2 ∴y∈[- 2 ,1],选B项. 1 ? ? ?sinx>2, ?2sinx-1>0, (2)由题意,得? 即? ? ?1-2cosx≥0, ?cosx≤1, 2 ?

1 1 首先作出sinx= 与cosx= 表示的角的终边(如图所示). 2 2

由图可知劣弧

的公共部分对应角的范围是

π 5π π [2kπ+ ,2kπ+ )(k∈Z),所以函数y的定义域为[2kπ+ ,2kπ 3 6 3 5 +6π)(k∈Z).
[答案] (1)B π 5 (2)[2kπ+3,2kπ+6π)(k∈Z)

[易错点拨]

求解三角函数的最值和值域时一定要注意自变

量的取值范围,由于三角函数的周期性,正弦函数、余弦函数 的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得,因此要 把这两个最值点弄清楚,不然极易出现错误.

三角函数定义域、值域的求解策略 (1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角 不等式,也可借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y= Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域),或用换元法(令t= sinx,或t=sinx± cosx)化为关于t的二次函数求值域(最值).

[学以致用] 1. (1)[2014· 苏州模拟]函数y= sinx + 16-x2 的定义域为 ________. (2)已知f(x)的定义域为[0,1],则f(cosx)的定义域为 ________. (3)函数y=2cos2x+5sinx-4的值域为________.

(4)[2014· 衡水统考]求函数y=sinx-cosx+sinxcosx,x∈[0, π]的最值________. π (5)若函数f(x)=(1+ 3 tanx)cosx,0≤x< 2 ,则f(x)的最大值为 ________.

解析:(1)∵sinx≥0,∴2kπ≤x≤2kπ+π, ∵16-x2≥0,∴-4≤x≤4, 取交集得[-4,-π]∪[0,π]. π π (2)0≤cosx≤1?2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 2 2

(3)y=2cos2x+5sinx-4=2(1-sin2x)+5sinx-4 =-2sin2x+5sinx-2 52 9 =-2(sinx-4) +8. ∴当sinx=1时,ymax=1, 当sinx=-1时,ymin=-9, ∴y=2cos2x+5sinx-4的值域为[-9,1].

π (4)设sinx-cosx=t,t= 2sin(x- ), 4 π π 3 ∵x∈[0,π],∴x-4∈[-4,4π], 1-t2 ∴t∈[-1, 2],sinxcosx= 2 , 1-t2 1 ∴y=t+ =- (t-1)2+1, 2 2 当t=1时,ymax=1,t=-1时,ymin=-1.

π π (5)依题意,得f(x)=cosx+ 3 sinx=2sin(x+ ),当0≤x< 6 2 π π 2π π π π 时,6≤x+6< 3 ,所以当x+6=2,即x=3时,f(x)取得最大值2.

答案:(1)[-4,-π]∪[0,π] π π (2)[2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z) 2 2 (3)[-9,1] (5)2 (4)最大值为1,最小值为-1

考向二 三角函数的单调性 例2 (1)[2014· 唐山模考]已知函数f(x)=-2sin(2x+ π φ)(|φ|<π),若f(8)=-2,则f(x)的一个单调递减区间是( π 3π A. [- , ] 8 8 3π π C. [- 8 ,8] π 9π B. [ , ] 8 8 π 5π D. [8, 8 ] )

(2)已知函数f(x)=

3 sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与

直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间 是( ) π 5π A. [kπ- ,kπ+ ],k∈Z 12 12 5π 11π B. [kπ+12,kπ+ 12 ],k∈Z π π C. [kπ-3,kπ+6],k∈Z π 2π D. [kπ+ ,kπ+ ],k∈Z 6 3

[解析]

π π π π (1)由f( )=-2,得f( )=-2sin(2× +φ)=-2sin( 8 8 8 4

π π +φ)=-2,所以sin( 4 +φ)=1.因为|φ|<π,所以φ= 4 .所以f(x)的 π π π 3π 单调递减区间为2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,解得kπ- 2 4 2 8 π ≤x≤kπ+8,k∈Z.

π (2)f(x)= 3sinωx+cosωx=2sin(ωx+ ),由函数y=f(x)的图 6 象与直线y=2的两个相邻交点的距离为π,知函数y=f(x)的最小 2π 正周期T=π,所以T= ω =π,解得ω=2. π 所以f(x)=2sin(2x+6). π π π 令2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2(k∈Z),得 π π kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 3 6
[答案] (1)C (2)C

三角函数单调区间的求法 求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间,基本 π π 思路是把ωx+φ看作一个整体,由- +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k 2 2 π 3π ∈Z)求得函数的增区间,由 +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z)求 2 2 得函数的减区间.若在y=Asin(ωx+φ)中,ω<0,则应先利用诱 导公式将解析式转化,使x的系数变为正数,再进行求解.

[学以致用] π 2. (1)函数y=sin(3-2x)的递增区间为________. 1 (2)函数y=log2cos2x的递减区间为________.

π 解析:(1) ∵y=-sin(2x- ), 3 π π 3 ∴2kπ+2≤2x-3≤2kπ+2π, 5 11 ∴kπ+ π≤x≤kπ+ π. 12 12

1 (2)设t=cos2x,则y=log t, 2 y=log 1 2 t递减区间为t=cos2x的递增区间,同时注意

π π cos2x>0,∴有2kπ- <2x≤2kπ,kπ- <x≤kπ,其递减区间为 2 4 π (kπ-4,kπ](k∈Z).
5 11 答案:(1)[kπ+12π,kπ+12π](k∈Z) π (2)(kπ-4,kπ](k∈Z)

π π π 3. 函数f(x)=cos(2x- )+3在[- , ]上的单调递减区间为 4 2 2 ________.

π π 5π 解析:由2kπ≤2x- ≤2kπ+π得kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 4 8 8 π π π π ∵x∈[- 2 , 2 ],∴取k=0得f(x)在[- 2 , 2 ]上的单调递减区间为 π π π π π [ , ];取k=-1得f(x)在[- , ]上的单调递减区间为[- ,- 8 2 2 2 2 3π π π π 3π π 8 ].∴f(x)在[- 2 , 2 ]上的单调递减区间为[- 2 ,- 8 ]和[ 8 , π ]. 2

π 3π π π 答案:[- ,- ]和[ , ] 2 8 8 2

考向三 三角函数的奇偶性和对称性 例3 (1)[2013· 山东高考]将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴 π 向左平移 8 个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能 取值为( 3π A. 4 C. 0 ) π B. 4 π D. - 4

(2)[2012· 天津高考]将函数f(x)=sinωx(其中ω>0)的图象向右
?3π ? π 平移 4 个单位长度,所得图象经过点 ? 4 ,0? ,则ω的最小值是 ? ?

(

) 1 A. 3 5 C. 3 B. 1 D. 2

[解析]

π (1)函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移 个单位后变 8

? ? ? ? ? π? π 为函数y=sin?2?x+8?+φ?=sin?2x+4+φ?的图象, ? ? ? ? ? ? ? ? π π π ? ? 又y=sin 2x+4+φ 为偶函数,x=0为对称轴,故 +φ= + 4 2 ? ?

kπ,k∈Z, π π ∴φ=4+kπ,k∈Z.若k=0,则φ=4.故选B.

π (2)将函数f(x)=sinωx的图象向右平移 个单位长度得到函数 4
? ? ?3 ? π ?? ω ? ? ? ? ? ? y=sin ω x-4 的图象,因为所得图象经过点 4π,0 ,则sin 2 π ? ? ?? ? ?

ω =0,所以 π=kπ,即ω=2k,又ω>0,所以ωmin=2.故选D. 2

[答案]

(1)B (2)D

[奇思妙想]

π 本例(1)中函数平移后的图象关于点( ,0)中心 2

对称,那么φ的取值又为哪项?

π π 5 解:sin(2× + +φ)=0,φ+ π=kπ, 2 4 4 5 π ∴φ=kπ- π,当k=1时,φ=- ,选D项. 4 4

三角函数奇偶性和对称性的求法 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0),(1)函数f(x)为奇函数的充要 条件为φ=kπ(k∈Z);为偶函数的充要条件为φ=kπ+ π 2 (k∈

π Z).(2)求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的对称轴,只需令ωx+φ= + 2 kπ(k∈Z),求x;如要求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ =kπ(k∈Z)即可.

[学以致用] π 4. [2014· 江西高三联考]已知函数f(x)=sin(ωx+6)-1(ω>0)的 2π 最小正周期为 3 ,则f(x)的图象的一条对称轴方程是( π A. x=9 π C. x=3 π B. x=6 π D. x=2 )

2π 2π 解析:依题意得, = ,|ω|=3,又ω>0,因此ω=3,注 |ω| 3 π π π 意到当x=9时,y=sin(3×9 +6)=1,因此函数f(x)的图象的一条 π 对称轴方程是x= ,故选A. 9

答案:A

3π 5. [2014· 泰安质检]函数f(x)=cos(2x+ )(x∈R),下面结论 2 不正确的是( )

A. 函数f(x)的最小正周期为π π B. 函数f(x)的一个对称中心是( ,0) 2 π C. 函数f(x)的图象关于直线x=4对称 D. 函数f(x)是偶函数

3π 解析:∵f(x)=cos(2x+ )=sin2x(x∈R),∴最小正周期T 2 2π = 2 =π,选项A正确; kπ kπ 由2x=kπ得x= ,k∈Z,∴函数f(x)的对称中心为( , 2 2 0), ∴取k=1得选项B正确;

π kπ π 由2x=kπ+ 得x= + ,k∈Z,∴取k=0得函数f(x)的对称 2 2 4 π 轴为x=4,∴选项C正确; ∵f(x)=sin2x(x∈R),∴f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数, ∴选项D不正确.

答案:D

03破译5类高考密码

创新交汇系列7——三角函数定义与图象的精彩交汇 [2013· 江西高考]如下图,半径为1的半圆O与等边三角形 ABC夹在两平行线l1,l2之间,l∥l1,l与半圆相交于F,G两点, 与三角形ABC两边相交于E,D两点.设弧 FG 的长为x(0<x<π), y=EB+BC+CD,若l从l1平行移动到l2,则函数y=f(x)的图象大 致是( )

[审题视点]

本题审题时主要的思维方向体现在如何用半圆

图形中弧FG的长x去表示函数y=EB+BC+CD,不能突破这一 点,问题就不可能得到解决.通过观察l从l1平行移动到l2的过 程,可发现点O到直线l的距离与点A到直线l的距离始终相等, 抓住这一点就能得到弧度与长度的一种对应关系,并建立y与x 的关系式,使问题得以解决.

[解析]

连接OF,OG,过点O作OM⊥FG于M,过点A作

AH⊥BC于H,交DE于点N.因为 FG 的长为x, x 所以∠FOG=x,所以AN=OM=cos2, AN AE x 2 3 所以 = =cos .又AB= , AH AB 2 3 2 3 x 2 3 2 3 x 所以AE= 3 · cos2,所以EB= 3 - 3 cos2.

4 3 4 3 x 2 3 4 3 x 于是y=EB+BC+CD= - cos + =- cos + 3 3 2 3 3 2 2 3(0<x<π).故选D.

[答案]

D

[破题技巧]

本题以弧度制和三角函数的定义为命题背景,

考查考生对所学知识的灵活应用和合理转化的能力.由弧长到 线段OM的长考查的是转化与化归能力,由长度确定函数表达式 考查分析、解决问题的能力.本题的特点是命题角度新颖,能 力要求较高.

04迎战2年高考模拟

05限时规范特训

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