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2.2.2对数函数及其性质1


沂南二中 高一数学

1. 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图 象
y (0,1)

复习引入

O

y= a (a>1) y= 1 x

x

y=ax (0<a<1)

y (0,1) O y= 1 x


性 质

定义域 R;值域(0,+∞) 过点(0,1),即x=0时,y=1
在R上是增函数 x>0时,ax>1; x<0时,0<ax<1 在R上是减函数 x>0时,0<ax<1; x<0时,ax>1

2. 某种细胞分裂时,得到的细胞的个 数y是分裂次数x的函数,这个函数可 以用指数函数y=2x表示.

这种细胞经过多少次分裂,大约 可以得到1万个,10万个……细胞?
分裂次数x就可以写成对数的形 式是x=log2y. y=2x? x= log2y

分析:

y=2x? x= log2y

x 与y= log x y = 2 2 定义域x为 (-∞,+∞) 关系怎样? 值域y为 (0,+∞)

关于直线y=x对称

如果用x表示自变量,y表示函 数,这个函数x=log2y 就是 y=log2x. 定义域为 (0,+∞) 值域为 (-∞,+∞).

讲授新课
1. 对数函数的定义: 函数y=logax (a>0且a≠1)叫做 对数函数,定义域为(0,+∞) 值域为(-∞,+∞).

对数函数的特征有哪些?
①系数是1;②真数是单个x③底数是常数

判断是不是对数函数
x ?1? y ? log 5 5
(3) y ? 2 log5 x
(×) (×)

? 2? y ? log2 ( x ? 2)

(×)

(4) y ? log? 2? x? x (×)

1 (5) y ? log 2 x

(×)

(6) y ? lg ? x ? 2 x ?
2

(×)

例1 求下列函数的定义域:

(1) y ? log a x
课本

2

( 2) y ? log a (4 ? x )

P73

2

练习 求下列函数的定义域:

1 (3) y ? log 7 (4) y ? log3 x 1 ? 3x

1 (3) ? ? 0 (4) ? log x ? 0 3 1 ? 3x ?x ?1 ?1 ? 3 x ? 0 ?函数定义域是 ? x | x ? 1? 1 ?x ? 3 1? ? 所以函数定义域是 ? x|x ? ? 3? ?

2. 对数函数的图象:

列表描点连线作出下列函数的图象:

y ? log 2 x
x
y ? log 2 x
1 4

y ? log3 x
1 2

1

2

4

-2
1 9

-1
1 3

0

1
3

2
9

x
y ? log3 x

1

-2

-1

0

1

2

y

y ? log 2 x
y ? log3 x
x

O

1

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2.函数y ? log 1 x与y ? log 2 x的图象关系?
2

y ? log 1 x ? ? log 2 x
2

关于x轴对称

3.作出函数y ? log 1 x与y ? log 1 x的图象.
2 3

观察图象你发现对数函数 y ? log a x 有哪些性质?

y

y ? log 2 x
y ? log3 x
x

O

1

y ? log 1 x y ? log 1 x 3
2

3. 对数函数的性质:
a> 1 0< a< 1
y

图 象

y
O

x

O

x

性 x∈ (0, 1)时,y<0; x∈(0, 1)时,y>0 质
在(0,+∞)上是增函数

定义域:(0, +∞); 值域:R 过点(1, 0),即当x=1时,y=0.

x∈ (1, +∞)时,y>0. x∈(1, +∞)时,y<0.
在(0,+∞)上是减函数

对数函数的图象性质二:
⑴ y ? log a x与

的图象关于x轴对称. y ? log 1 x
a

(2)函数y ? log a x的图象:在x轴的上方底大靠右

y

y ? log 2 x
y ? log3 x
x

O

1

y ? log 1 x y ? log 1 x 3
2

由下面对数函数的图像判断底数a,b,c,d的大小
y

logc x logd x
1

loga x

学案P49 第4题

logb x
C

o

d 1

a

b

x

0< c< d < 1< a < b
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函数 y=x+a 与 y=logax 的图象可能是 K=1
a﹥1 a<1

学案P49第2题
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例2 比较下列各组数中两个值的大小:

(1) log 2 3.4, log 2 8.5
( 2) log 0.3 1.8, log 0.3 2.7
(3) log a 5.1, log a 5.9(a ? 0, a ? 1)

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口答

< log0.54 1 、 log0.56 ______
2、 log
1.6 1.5

3、 若 log3 m ? log3 n,则m___n; <

___ > log

1.4 4、 若 log0.7 m ? log0.7 n , 则m___n. 1.5

>

课本P73
P74

3T
8T
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例3 比较下列各组数中两个值的大小:

(1)log64 y

log74

(2) log0.6 4

log0.7 4

y ? log 6 x

y ? log 7 x
O
1

x

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例3 比较下列各组数中两个值的大小: (4) log35 > log53 (5) log 3 ? ,> log 2 0.8
>1 <1 >1
6

<0

(6) 6 ,0<0.7 <1 , log 0.7 6
>1 <0

0.7

方法:

当底数、真数均不相同时,

常需引入中间值0或1.

.
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练习 比较大小

(1) log 0.3 0.1, log 0.2 0.1 log 0.3 0.1 ? log 0.2 0.1
(2) log 0.3 0.7, log 0.4 0.3
?1? (3) log3.4 0.7, log 0.6 0.8, ? ? ?3? 1 ? ?1? 2 log 3.4 0.7 ? log 0.6 0.8 ? ? ? ? 3?

log 0.3 0.7 ? log 0.4 0.3

?

1 2

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练习 比较大小

(1) log 0.3 0.7, log 0.4 0.3 log 0.3 0.7 ? log 0.4 0.3
?1? ( 2) log 3.4 0.7, log 0.6 0.8, ? ? ? 3? 1 ? ?1? 2 log 3.4 0.7 ? log 0.6 0.8 ? ? ? ? 3?
1 ? 2

(3) log 0.3 0.1, log 0.2 0.1 log 0.3 0.1 ? log 0.2 0.1

小 结 1. 两个同底数的对数比较大小的一般 步骤: ①确定所要考查的对数函数; ②根据对数底数判断对数函数增减性; ③比较真数大小,然后利用对数函数 的增减性判断两对数值的大小. 2. 分类讨论的思想.

课堂小结
1. 对数函数定义、图象、性质;

2. 对数的定义,指数式与对数式 互换;
3. 比较两个数的大小.

课后作业
《学案》巩固提升 思考
已知函数y=loga(x+1) (a>0, a≠1) 的定义域与值域都是[0, 1],求a的值.


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