当前位置:首页 >> 数学 >> 【优化方案】2014届高考数学一轮复习 4.5 三角函数的性质课件

【优化方案】2014届高考数学一轮复习 4.5 三角函数的性质课件


§4.5

三角函数的性质

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 正弦、余弦、正切函数的性质
函数 定义 域 值域 y=sin x R
[-1,1] ________ π π 在[- +2kπ, +2kπ]上 2 2 π 递增,k∈Z;在[ +2kπ, 2 3 π+2kπ]上递减,k∈Z 2 π +2kπ 2 x=____________时, max y π =1(k∈Z);x=- +2kπ 2 时,ymin=-1(k∈Z)

y=cos x ____ [-1,1]
R

y=tan x π {x|x≠ +kπ,k 2 ∈Z} ___ R

单调 性

在[-π+2kπ, 2kπ] 上 π 在(kπ- ,kπ+ 递增,k∈Z;在[2kπ, 2 (2k+1)π] 上递减,k π )上递增,k∈Z 2 ∈Z x=2kπ 时,ymax=1(k 2kπ+π ∈Z);x=________ 时,ymin=-1(k∈Z)

最值

无最值

函数 奇偶性

y=sin x 奇 ______ 对称中心 (kπ,0),k∈Z _______________

y=cos x 偶 π 对称中心( + 2 kπ,0),k∈Z 对称轴 l: x=kπ,k∈Z ____________ 2π

y=tan x 奇 _____ k 对称中心( 2 π,0),k∈Z 无

对称性

周期

π 对称轴 l:x= + 2 kπ,k∈Z 2π

π ______

思考探究 1.对于正切函数y=tan x,能否说:它在整个定义域内为

增函数?
提示:不可以,因为取 x1=0,x2=π,显然 tan x1=tan x2,不 π 满足增函数的定义,y=tan x 在 x=kπ+ (k∈Z)处是间断的. 2

2.函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)能成为奇函数、偶函数吗?
提示:当 φ 满足一定条件时,可成为奇函数或偶函数. π 当 φ= +kπ(k∈Z)时,是偶函数, 2 当 φ=kπ 时(k∈Z)时,是奇函数.

课前热身
x+φ 1.(2012· 高考大纲全国卷)若函数 f(x)=sin (φ∈[0,2π])是偶 3 函数,则 φ=( ) π 2π A. B. 2 3 5π D. 3 φ π 解析:选 C.∵f(x)为偶函数,∴ =kπ+ (k∈Z), 3 2
3 3 ∴φ=3kπ+ π(k∈Z).又∵φ∈[0,2π],∴φ= π. 2 2

3π C. 2

?2x+π ? + 2 . (2011· 考 课 标 全 国 卷 ) 设 函 数 f(x) = sin 高 4? ? ?2x+π ?,则( cos ) 4? ? ?0,π ?上单调递增,其图象关于直线 x=π对称 A.y=f(x)在 ? 2? 4 ?0,π ?上单调递增,其图象关于直线 x=π对称 B.y=f(x)在 ? 2? 2 ?0,π ?上单调递减,其图象关于直线 x=π对称 C.y=f(x)在 ? 2? 4 ?0,π ?上单调递减,其图象关于直线 x=π对称 D.y=f(x)在 ? 2? 2

?2x+π ?+cos?2x+π ? 解析:选 D.∵f(x)=sin 4? 4? ? ? ?2x+π+π ?= 2cos 2x, = 2sin 4 4? ?
π ?0,π ?上单调递减. 当 0<x< 时, 0<2x<π, f(x)= 2cos 2x 在 故 又 2 ? 2? π ?2×π ?=- 2,因此 x=π是 y=f(x)的一条 当 x= 时, 2cos 2 ? 2? 2 对称轴.

π 3.下列函数中,在区间(0, )上为增函数且以 π 为周期 2 的是( ) x A.y=sin 2 B.y=sin 2x C.y=-tan x D.y=-cos 2x

答案:D

π 4.函数 y=sin x+ 3cos x,x∈[ ,π]的最小值是________. 6
答案:- 3
5.函数 y=cos 2x 的递减区间为________.

π 答案:[kπ,kπ+ ](k∈Z) 2

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 三角函数的定义域、值域、最值

三角函数的定义域转化为有关三角函数的最简单的三角函 数不等式. 三角函数的值域问题, 实质上大多是含有三角函数的复合函 数的值域问题.要充分利用 sin x、cos x 的有界性.

例1 求下列函数的定义域、值域.
(1)y=lg(2sin x-1); 2sin xcos2x (2)y= . 1+sin x

【思路分析】

(1)由 0<2sin x-1≤1 确定定义域,值域.

12 1 (2)化简在 sin x+1≠0 的条件下得 y=-2(sin x- ) + ,利用 2 2 sin x 有意义的条件,用二次函数求值域.

【解】

(1)要使原函数有意义,必须有 2sin x-1>0, 1 即 sin x> . 2 作出单位圆中的三角函数线,由图知,原函数的定义域为(2kπ π 5π + ,2kπ+ )(k∈Z). 6 6 又∵0<2sin x-1≤1. ∴y=lg(2sin x-1)≤0,即值域为(-∞,0].

(2)要使函数有意义 sin x+1≠0,∴sin x≠-1, π ∴x≠2kπ- ,k∈Z. 2 π ∴原函数的定义域为{x|x≠2kπ- ,k∈Z}. 2 2sin x?1-sin2x? y= ,∵-1<sin x≤1 时, 1+sin x 12 1 1 y=2sin x(1-sin x)=-2(sin x- ) + ,∴-4<y≤ . 2 2 2 2sin xcos2x 1 故函数 y= 的值域为(-4, ]. 2 1+sin x

【名师点评】

解三角函数不等式,既可以用单位圆中的函

数线,也可用三角函数图象.

考点 2 三角函数的奇偶性与对称性 奇偶性的判定既需要按其定义, 又要结合三角函数公式(如诱导 公式),其实质就是三角函数的对称性. 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)其对称轴和对称中心的求法 π kπ π φ 为:令 ωx+φ=kπ+ (k∈Z)从中解出 x= + - ,即为对 2 ω 2ω ω kπ φ 称轴;令 ωx+φ=kπ(k∈Z),解出 x= - ,即对称中心为 ω ω ?kπ- φ ,0?(k∈Z). ?ω ω ? kπ φ 而 y=Atan(ωx+φ)(A>0, ω>0)的对称中心为( - , 0)(k∈Z). ω ω

例2

π 如果函数 y=sin 2x+acos 2x 的图象关于 x=- 对称. 8

(1)求 a 的值; (2)要使这个函数经过左右平移成为奇函数,求需要平移的最少 的单位个数.
π 【思路分析】 (1)当 x=- 时,y 取到最大值或最小值,求出 8 a 的值,或利用特殊值点. (2)成为奇函数,则 f(0)=0.

(1)法一:函数解析式可化为 y= 1+a2· sin(2x+φ), π 2 函数的最值是± 1+a .函数图象关于直线 x=- 对称,则直 8 π 线 x=- 要过函数图象上最大值或最小值对应的点, 8 π 即 x=- 时,y= a2+1,或 y=- a2+1必有一个成立.把 8 π π x=- ,y=± a2+1代入函数的表达式,得 sin(- )+acos(- 8 4 π 2 2 )=± a +1,即 (a-1)=± a2+1,解得 a=-1. 4 2 π 法二:由题意可知 f(0)=f(- ), 4 【解】 π π 即 sin 0+acos 0=sin(- )+acos(- ),所以 a=-1. 2 2

π (2)由(1)得 y=sin 2x-cos 2x= 2sin(2x- ), 4 π 设平移|φ|个单位后得到 y= 2sin[2(x+φ)- ]成为奇函数. 4 π 则有 f(0)=0,即 sin(2φ- )=0. 4 π π k π ∴2φ- =kπ,∴2φ=kπ+ ,∴φ= π+ ,(k∈Z). 4 4 2 8 π π ∴当 k=0 时,|φ|最小= ,φ= 8 8 π π 即函数 y= 2sin(2x- )向左平移 个单位为奇函数, 4 8 即 y= 2sin 2x.

π 【思维总结】 当 x=- 时,y=± a2+1,不能只写为其中一 8 个,对于(2)可通过图象观察,要注意移动的方向.

跟踪训练

1.在本例中,已知a=-1,
求:(1)这个函数的对称中心; (2)要使这个函数成为偶函数,左右平移最少多少个单位? π 解:当 a=-1 时,y=sin 2x-cos 2x= 2sin(2x- ). 4 π (1)令 2x- =kπ(k∈Z), 4
k π k π ∴x= π+ ,∴对称中心( π+ ,0)(k∈Z). 2 8 2 8

π (2)法一: 设平移|φ|单位得到 y= 2 sin(2x+2φ- )成为偶函数, 4 ∴f(0)=± 2. π ∴sin(2φ- )=± 1. 4 π π ∴2φ- =kπ+ (k∈Z). 4 2 k 3 ∴φ= π+ π(k∈Z). 2 8 π π 当 k=-1 时,|φ|最小= ,φ=- . 8 8 π π 即函数 y= 2sin(2x- )向右平移 个单位为偶函数, 4 8 即 y=- 2cos 2x.

π π π 法二:y= 2 sin(2x- )的对称轴为 2x- =kπ+ , 4 4 2 k 3 ∴x= π+ π(k∈Z). 2 8 3 π 在 y 轴两侧,与 y 轴最近的两条对称轴为 x= π 或 x=- , 8 8 π π ∴向右平移 个单位,对称轴 x=- 移到 y 轴位置,成为偶函 8 8 数 y=- 2cos 2x.

考点 3

函数的周期性及单调性

求三角函数的周期,一般通过恒等变形为 y=Asin(ωx+φ)(或 y 2π π =Atan(ωx+φ))借用公式 T= (T= ). 但要注意定义域, 否 |ω| |ω| 则,通过周期定义 f(x+T)=f(x)结合图象来求. 对函数 y=Asin(ωx+φ)的单调性, 主要思想是将 ωx+φ 视为一 个角度 X,利用 y=Asin X 的单调性求解 x 的区间.

例3 已知函数 f(x)=sinxcosx+cos2x-2. 2 2 2
(1)将函数 f(x)化简成 Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π)) 的形式,并指出 f(x)的周期; (2)写出 f(x)的单调区间.
【思路分析】
2 2

首先化简函数 f(x)为 asin x+bcos x,再提取

2π a +b ,写成 Asin(ωx+φ)+B 的形式,由 T= 求周期,结 ω 合不等式求单调区间.

1+cos x 1 1 3 2 【解】 (1)f(x)= sin x+ -2= (sin x+cos x)- = 2 2 2 2 2 π 3 sin(x+ )- ,故 f(x)的周期为 2π. 4 2 π π π (2)令 2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ 2 4 2 3 π 得 2kπ- π≤x≤2kπ+ (k∈Z),f(x)为增函数. 4 4 π π 3 令 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ π 得 2 4 2 π 5 2kπ+ ≤x≤2kπ+ π(k∈Z),f(x)为减函数. 4 4 3 π ∴f(x)的单调增区间为[2kπ- π,2kπ+ ](k∈Z). 4 4 π 5 单调减区间为[2kπ+ ,2kπ+ π](k∈Z). 4 4

【误区警示】 写单调区间时要注意“加上”周期 2kπ,另外 π 3 单调减区间切不可写为[2kπ+ ,2kπ- π](k∈Z). 4 4

跟踪训练
2.(2011· 高考天津卷)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其 π 中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π,且当 x= 时, 2 f(x)取得最大值,则( )

A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数

2π 2π 1 解析:选 A.∵T=6π,∴ω= = = , T 6π 3 1 π π ∴ × +φ=2kπ+ (k∈Z), 3 2 2 π ∴φ=2kπ+ (k∈Z). 3 π ∵-π<φ≤π,∴令 k=0 得 φ= . 3 ?x+π?. ∴f(x)=2sin?3 3 ? π x π π 令 2kπ- ≤ + ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 3 2 5π π 则 6kπ- ≤x≤6kπ+ ,k∈Z. 2 2

?-3π,-5π ? 显然 f(x)在[-2π, 0]上是增函数, A 正确, 故 而在 2? ? ?-5π,-π? 上为增函数,故 B 错误,f(x)在 上为减函数,在 ? 2 ? ?3π,7π ?上为减函数,在?7π,13π ?上为增函数,故 C 错误, 2? 2 ? ? ?2
f(x)在[4π,6π]上为增函数,故 D 错误.

考点4

三角函数性质的综合应用

主要指把其他数学问题转化为三角函数问题来解决,综合三 角函数变换及三角函数性质或其他章节的知识.

例4 已知函数 f(x)=cos2x-sin2x+2 3sin xcos x+1.
(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; π π (2)当 x∈[- , ]时,f(x)-3≥m 恒成立,试确定 m 的取 6 3 值范围.

【思路分析】

(1)函数化简成y=Asin(ωx+φ)的形式;

(2)求f(x)-3的最小值.

(1)f(x)=cos2x-sin2x+2 3sin xcos x+1 π = 3 sin 2x+cos 2x+1=2sin(2x+ )+1. 6 2π 因此函数 f(x)的最小正周期为 =π. 2 π π 3π 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z), 2 6 2 π 2π 得 +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z). 6 3 【解】 π 2π 故函数 f(x)的单调递减区间为[ +kπ, +kπ](k∈Z). 6 3

π π π π 5π (2)当 x∈[- , ]时,2x+ ∈[- , ], 6 3 6 6 6 π 所以-1≤2sin(2x+ )≤2, 6 因此 0≤f(x)≤3.因为 f(x)-3≥m 恒成立, 所以 m≤f(x)min-3=0-3=-3. 故 m 的取值范围是(-∞,-3].

【思维总结】

研究或利用三角函数的性质,一般先化简为y=

Asin(ωx+φ)的形式.本题(2)利用了三角函数式的最小值.

方法感悟
方法技巧
1.有关含三角函数的复合型函数的定义域、值域或最值时,要 充分利用三角函数的有界性或单调性. 2.三角函数的奇偶性,要借助于对称中心及对称轴. 2π 3. 求三角函数的周期除用公式 T= 之外, 还可借助于对称轴、 |ω| 对称中心等性质.如两相邻对称轴是半个周期,对称中心到相 1 邻对称轴间是 周期等. 4

失误防范 1.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性, 如:y=sin2x-4sin x+5,令t=sin x(|t|≤1),则y=(t-2)2+1≥1, 解法错误. 2.求周期、单调区间、值域要注意定义域. 3.要注意单调区间的写法.

考向瞭望把脉高考
命题预测 三角函数的性质是高考命题的重点,从近两年的高考试题分析,

大都来源于课本中的例题、习题的变形,题型设计有选择题、
填空题和解答题,难度中等偏低.客观题突出考查对基础知识 的掌握,主要是求定义域、值域、周期和判断奇偶性,及图象

的变换、单调性.解答题突出三角函数的恒等变换,常与向量、
三角形结合. 在2012年的高考中,重庆卷考查了正(余)弦函数的单调性及最值.

预测2014年高考,将以三角函数性质为主,降低对三角变换的
考查,加强三角函数图象与性质的考查力度,解答题突出与解 三角形的综合.

规范解答 例
(本题满分 13 分)(2012· 高考重庆卷)设函数

?ωx-π ?sin ωx-cos(2ωx+π),其中 ω>0. f(x)=4cos 6? ?
(1)求函数 y=f(x)的值域;

?-3π,π ?上为增函数,求 ω 的最大值. (2)若 f(x)在区间 ? 2 2?

【解】

(1)f(x)=4?

3 1 ? cos ωx+ sin ωx sin ωx+cos 2ωx ?2 2 ?

=2 3sin ωxcos ωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx = 3sin 2ωx+1.(4 分) 因为-1≤sin 2ωx≤1, 所以函数 y=f(x)的值域为[1- 3,1+ 3].(6 分)

?2kπ-π,2kπ+π ?(k∈Z)上为增 (2)因为 y=sin x 在每个闭区间 2 2? ?
函 数 , 故 f(x) = 3 sin 2ωx + 1(ω > 0) 在 每 个 闭 区 间 ?kπ- π ,kπ+ π ?(k∈Z)上为增函数.(8 分) ? ω 4ω ω 4ω ?

?-3π,π ???kπ- π ,kπ+ π ?对某个 k∈Z 成立, 依题意知 此 ? 2 2 ? ? ω 4ω ω 4ω ?

? 时必有 k=0,于是? π π ?2≤4ω,
1 值为 .(13 分) 6

3π π - ≥- , 2 4ω

1 解得 ω≤ ,故 ω 的最大 6

【名师点评】

本题主要考查利用二倍角、和角公式求三角函

数的解析式,并求三角函数在给定区间上的值域.考查了化归能 力、分析问题和解决问题的能力,同时也考查了运算求解能力.


更多相关文档:

2014届高考数学一轮复习4.3三角函数的图象与性质教学案

【创新方案】(浙江专版)... 暂无评价 8页 2下载券 2014届福州高考数学一轮....三角函数的图象与性质考纲要求 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图...

2014年高考一轮复习数学教案:4.5 三角函数的图象与性质...

2014年高考一轮复习数学教案:4.5 三角函数的图象与性质(一)_数学_高中教育_教育专区。高三数学 2014年 高考一轮复习数学教案集4.5...

...大纲版)一轮复习课时闯关:4.5 三角函数的性质 Word...

2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习课时闯关:4.5 三角函数的性质 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习课时闯关:4.5 三角函...

...大纲版)一轮复习随堂检测:4.5 三角函数的性质 Word...

2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习随堂检测:4.5 三角函数的性质 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习随堂检测:4.5 三角函...

2014届高考数学一轮复习4.2同角三角函数的基本关系及三...

【优化方案】2014届高考... 暂无评价 39页 4下载券 2014届高考数学一轮复习....4.2 考纲要求 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式 2 2 1 .理解同角...

【创新方案】2014届高考数学一轮复习 8.6双曲线讲解与...

【优化方案】2014届高考数... 暂无评价 38页 免费 2014届高考数学一轮复习方...性质时的两个注意点 (1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个...

【一轮效果监测】2014届高考数学一轮复习检测:《三角函...

【一轮效果监测】2014届高考数学一轮复习检测:《三角函数的图象与性质》 Word版含解析 隐藏>> 三角函数的图象与性质【选题明细表】 知识点、方法 函数的定义域、...

2014届高考数学一轮复习4.3三角函数的图象与性质教学案

2014届高考数学一轮复习4.3三角函数的图象与性质教学案_数学_高中教育_教育专区。...三角函数的单调性 【例 2-1】 已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ ),∈R, ...

2014届高考数学一轮复习学案三角函数图象与性质(含解析)

2014届高考数学一轮复习学案三角函数图象与性质(含解析)_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2014届高考数学一轮复习学案三角函数图象与...

2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:三角函数的图象与...

2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:三角函数的图象与性质 1_数学_高中教育_...【优化方案】2014届高考... 暂无评价 39页 2下载券 【创新方案】(浙江专版)...
更多相关标签:
相关文档
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com